phương pháp thế vi giải bài toán vận tải

Bài 2. Ph ơng pháp thế vị giải bài toán vận tải + Tìm P.á tối u là một p.á cực biên. + Sử dụng PP lặp: X 0 -> X 1 -> X 2 -> -> X * . I. Ph ơng pháp tìm ph ơng án cực biên ban đầu + Chọn ô để phân hàng trớc? + Xác định lợng hàng phân vào ô đã đợc chọn? 1. Chọn ô để phân hàng Mục đích: Phơng án cực biên tìm đợc gần với p.á tối u . a) Qui tắc c ớc phí bé nhất : Ưu tiên phân hàng cho ô có cớc phí nhỏ hơn trong số các ô còn có khả năng nhận hàng. b) Qui tắc Fogels : + Tính chênh lệch c ớc phí cho các hàng và các cột, bằng cớc phí nhỏ thứ hai trừ đi cớc phí nhỏ nhất, chỉ tính đối với các ô còn có khả năng nhận hàng. + Ưu tiên phân phối hàng vào hàng hay cột có chênh lệch c - ớc phí cao hơn, vào ô có cớc phí nhỏ hơn. 2. Xác định l ợng hàng phân vào ô đã đ ợc chọn Mục đích : Phơng án nhận đợc là p.á cực biên (cơ bản). + Lợng hàng phân vào mỗi ô đã đợc chọn là l ợng hàng tối đa có thể đợc. Ví dụ 1. Sử dụng qui tắc cớc phí bé nhất tìm p.án cơ bản. + + T P 40 60 100 70 80 7 12 11 14 50 11 10 9 18 50 15 9 13 11 90 5 17 16 8 ;X 0 = 0 10 50 20 0 0 50 0 0 50 0 0 40 0 0 50    ÷  ÷  ÷  ÷   VÝ dô 2. Sö dông qui t¾c Fogels t×m p.¸n c¬ b¶n. T P 40 60 100 70 80 7 12 11 14 50 11 10 9 18 50 15 9 13 11 90 5 17 16 8 + T P 40 60 100 70 T P 40 60 100 70 80 7 12 [10] 11 [50] 14 [20] 50 11 10 9 [50] 18 50 15 9 [50] 13 11 90 5 [40] 17 16 8 [50] 80 7 [40] 12 \ 11 [40] 14 \ 4,1,1,1,1!!! 50 11 \ 10 \ 9 [50] 18 \ 1,1,1,1!!! 50 15 \ 9 [50] 13 \ 11 \ 2,2,4!!! 90 5 \ 17 [10] 16 [10] 8 [70] 3,8,1,1!!! 2!!! 1,1,1,2, 5!!! 2,2,2,2,5! !! 3,3!!! Một vài chú ý: Cùng chênh lệch cớc phí thì u tiên cớc phí bé hơn, cùng c- ớc phí thì u tiên lợng hàng lớn hơn. Trong Fogels, khi chỉ còn 1 hàng hay 1 cột cha kết thúc thì không cần tính chênh lệch cớc phí nữa mà áp dụng theo qui tắc cớc phí. II. Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản (Sử dụng tiêu chuẩn của định lý đối ngẫu II cho bài toán qhtt). 1. Bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải Xét một ví dụ đơn giản: Bài toán có m = 2, n = 3. T P b 1 b 2 b 3 a 1 c 11 c 12 c 13 X = 232221 131211 xxx xxx a 2 c 21 c 22 c 23 Bài toán gốc: f(x) = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 min u 1 | x 11 + x 12 + x 13 = a 1 u 2 | x 21 + x 22 + x 23 = a 2 v 1 | x 11 + x 21 = b 1 v 2 | x 12 + x 22 = b 2 v 3 | x 13 + x 23 = b 3 x ij 0 .,1;,1 njmi == Bài toán đối ngẫu: g(u, v) = a 1 u 1 + a 2 u 2 + b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 max u 1 + v 1 c 11 u 2 + v 1 c 21 u 1 + v 2 c 12 u 2 + v 2 c 22 u 1 + v 3 c 13 u 2 + v 3 c 23 T P b 1 b 2 b 3 a 1 c 11 c 12 c 13 u 1 a 2 c 21 c 22 c 23 u 2 v 1 v 2 v 3 Tr ờng hợp tổng quát: Bài toán gốc .,1;,1 0 ),1( ),1( min )( 1 1 1 1 njmix njbx miax xcxf ij j m i ij i n j ij n j m i ijij == == == = = = = = Bài toán đối ngẫu: .,1;,1 u max ),( i 1 1 njmicv vbuavug ijj m i n j jjii ==+ += = = Các cặp điều kiện đối ngẫu: x ij 0 và u i + v j c ij .,1;,1 njmi == 2. Hệ thống thế vị a) Định nghĩa . Cho X = (x ij ) mxn là một p.á của bài toán vận tải. m + n số (U, V) = (u 1 , u 2 , , u m , v 1 , v 2 , , v n ) đợc gọi là hệ thống thế vị trong đó u 1 , u 2 , , u m là các thế vị hàng và v 1 , v 2 , , v n là các thế vị cột, tơng ứng với p.á X nếu chúng thỏa mãn điều kiện: u i + v j = c ij nếu x ij > 0 ((i, j) là ô chọn). b) Qui tắc tính hệ thống thế vị (U, V) . Chỉ áp dụng cho X là p.á cực biên. + Xác định hệ ô chọn cơ sở S (m + n - 1 ô chọn (thật và giả) không chứa vòng). + (U, V) đợc xác định từ hệ m + n - 1 pt đltt: {u i + v j = c ij (i, j) S. (*) + Chỉ cần xác định một nghiệm riêng của (*): Chọn một thế vị tự do: u 1 = 0. Theo các ô chọn (i, j) S, đã biết 1 trong 2 thế vị để tìm thế vị còn lại : v j = c ij - u i ; u i = c ij - v j . Ví dụ. T P 120 110 90 50 u 1 + v 1 = 7 u 1 + v 3 = 10 u 2 + v 2 = 9 100 7 [40] 5 10 [60] 13 u 1 = 70 14 9 [70] 18 20 u 2 = 80 6 3 6 [30] 8 [50] u 3 = 120 10 [80] 5 [40] 15 7 u 4 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = + T P 120 110 90 50 u 1 + v 1 = 7 u 1 + v 3 = 10 u 2 + v 2 = 9 100 7 [40] 5 10 [60] 13 u 1 =0 70 14 9 [70] 18 20 u 2 =7 80 6 3 6 [30] 8 [50] u 3 =-4 120 10 [80] 5 [40] 15 7 u 4 =3 v 1 =7 v 2 = 2 v 3 =10 v 4 =12 3. Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản Cho X 0 là một p.á cơ bản với tập ô chọn cơ sở S 0 và (U, V) là hệ thống thế vị tơng ứng. Với mỗi ô (i, j) ta đặt: ij = u i + v j - c ij gọi là số kiểm tra của ô (i, j). Tại các ô chọn (i, j) S 0 thì ij = 0. Nếu ij 0 i, j thì X 0 là p.á tối u. Chứng minh. ij 0 i, j suy ra u i + v j c ij i, j. Điều này chứng tỏ (U, V) là p.á của bt đối ngẫu. Tại các ô chọn cơ sở (i, j) S 0 thì ij = 0. Điều này có nghĩa nếu x 0 ij > 0 thì u i + v j = c ij . X 0 và (U, V) thoả mãn định lý đối ngẫu II. Chú ý. + Chỉ tính đợc (U, V) đối với p.á cơ bản và đã xác định hệ thống ô chọn cơ sở S của nó. + Khi tính ij chỉ cần tính cho các ô loại. Ví dụ 1. P.á không suy biến T P 120 110 90 50 100 7 [40] 5 10 [60] 13 u 1 =0 70 14 9 [70] 18 20 u 2 =7 80 6 3 6 [30] 8 [50] u 3 =-4 120 10 [80] 5 [40] 15 17 u 4 =3 v 1 = 7 v 2 =2 v 3 =10 v 4 =12 Ví dụ 2. P.á suy biến T P 90 90 80 70 110 6 [60] 10 [50] 9 10 u 1 = 80 13 12 9 [80] 8 u 2 = 100 8 [30] 7 10 12 [70] u 3 = 40 5 11 [40] 10 13 u 4 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = Chú ý. Tiêu chuẩn tối u chỉ là điều kiện đủ. Nếu tiêu chuẩn tối u không thoả mãn thì cha có câu kết luận p.á không tối u. III. Cải tiến (điều chỉnh) ph ơng án 1.Bổ đề 1. X 0 là một p.á của bt. V là một vòng bất kỳ trên bảng vt. q = q 0 = min {x 0 ij : (i, j) V C }. 0 q. Ma trận X() đợc xác định bởi công thức: 0 0 0 ỡ ù - ẻ ù ù ù ù = + ẻ ớ ù ù ù ẽ ù ù ợ :( , ) , ( ) :( , ) , :( , ) . ij c ij ij L ij x i j V x x i j V x i j V X() cũng là p.á của bài toán và ta có: f(X 0 ) - f(X()) = ( ẻ ẻ - ồ ồ ( , ) ( , ) c L ij ij i j V i j V c c ) (*) Nhận xét: Nếu vế phải (*) > 0 thì f(X 1 ) < f(X 0 ) hay X 1 tốt hơn X 0 . c 11 x 11 c 12 (1) [x 12 +] c 13 (2) [x 13 -] c 14 x 14 c 21 x 21 c 22 x 22 c 23 x 23 c 24 x 24 c 31 x 31 c 32 x 32 c 33 (3) [x 33 +] c 34 (4) [x 34 -] c 41 x 41 c 42 (6) [x 42 -] c 43 x 43 c 44 (5) [x 44 +] 2. Bổ đề 2. Cho X 0 , S 0 và (U, V). (i 0 , j 0 ) S 0 . V tạo bởi (i 0 , j 0 ) và một số ô chọn thuôc S 0 trong đó (i 0 , j 0 ) là ô số 1. Khi đó ta có: ( , ) ( , ) c L ij ij i j V i j V c c ẻ ẻ - ồ ồ = i0j0 (*). Chứng minh. Giả sử V = {(i 0 , j 0 ), (i 0 , j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i k , j k ), (i k , j 0 )} Vế trái (*) = - c i0j0 + c i0j1 - c i1j1 + - c ikjk + c ikj0 = = - c i0j0 + u i0 + v j1 - u i1 - v j1 + - u ik - v jk + u ik + v j0 = = u i0 + v j0 - c i0j0 = i0j0 . 3. Hệ quả (ý nghĩa kinh tế của ij ). Cho X 0 , S 0 , (U, V). (i 0 , j 0 ) S 0 . V tạo bởi ô (i 0 , j 0 ) và một số ô chọn thuộc S 0 trong đó (i 0 , j 0 ) là ô số 1. X() c xỏc nh theo b 1. 0 1 0 0 :( , ) , ( ) :( , ) , :( , ) . ij c ij ij L ij x i j V x x i j V x i j V ỡ ù - ẻ ù ù ù ù = + ẻ ớ ù ù ù ẽ ù ù ợ trong ú 0 q = q 0 . thì X() có tổng c ớc phí vận chuyển giảm đi so với X 0 là 0 0 i j . f(X() = f(X 0 ) - 0 0 i j Đặt q = q 0 = min{x 0 ij : (i, j) V c } và p.á X 1 đợc xác định bởi: 0 1 0 0 :( , ) , :( , ) , :( , ) . ij c ij ij l ij x q i j V x x q i j V x i j V = + Ta có: f(X 0 ) - f(X 1 ) = q i0j0 . 4. Qui tắc cải tiến p.á cơ bản v h ụ chn c s (X 0 , S 0 ) > (X 1 , S 1 ) Chọn ô điều chỉnh là ô loại (i 0 , j 0 )S 0 có 0 0 i j > 0 (max). Lập vòng đ / c V gồm ô đ/c và một số ô của S 0 trong đó ô đ/c là ô số 1 (số lẻ). Xác định lợng đ/c q = q 0 = min{x 0 ij : (i, j) V c } = 1 1 0 i j x }. đạt tại (i 1 , j 1 )S 0 . Thực hiện đ/c và xác định X 1 = X(q) ( = q): 0 1 0 0 :( , ) , :( , ) , :( , ) . ij c ij ij l ij x q i j V x x q i j V x i j V = + S 1 = S 0 \ {(i 1 , j 1 )}{(i 0 , j 0 )} 5.Qui tắc điều chỉnh ph ơng án không cơ bản Cho X 0 không cơ bản (tập ô chọn có chứa vòng). Không kiểm tra tối u nhờ (U, V). + Giai đoạn 1. Đc X 0 X 1 (cơ bản) : f(X 1 ) f(X 0 ). [...]... nhất + Tồn tại ô loại (i0, j0) ) S* có i0j0 = 0 và nếu chọn (i0, j0) làm ô đ/c thì q > 0 Trờng hợp này bt có vô số p.á tối u Thực hiện đ/c với 0 q ta nhận đợc X() là các p.á tối u Ví dụ 2 Giải bài toán vận tải: T 70 95 50 100 P 50 13 12 10 11 85 9 8 7 12 70 6 14 13 10 110 15 11 9 7 + Phân phối hàng theo qui tắc cớc phí: T P 70 50 13 85 9 70 6 110 15 / / [70] / + Xác định S0 (thêm (3, 4) 13 12 10... 6 u4 = 5 IV Nội dung của thuật toán thế vị Bớc chuẩn bị Tìm X0, S0: + Tìm (mới) theo qui tắc cớc phí hoặc Fogels + Đc từ phơng án không cực biên X0 đã cho trớc Với mỗi bớc lặp thứ k: Kiểm tra (Xk, Sk) (k = 0, 1, 2, ) Bớc 1 Tính (U, V) và các ij Bớc 2 Kiểm tra tiêu chuẩn tối u Bớc 3 Cải tiến (Xk, Sk) (Xk+1, Sk+1) Sau đó quay lại Bớc 1 Ví dụ 1 Tìm p.á tối u của bài toán sau: T 60 40 100 50 P 35 9... u1 = 0 Bảng 4 [70] [10] 13 7 15 6 u2 = -1 70 0 10 0 [80] [40] 0 80 0 40 ; 16 10 9 15 u3 = 1 X* = 0 0 40 0 [40] 0 0 10 60 12 16 11 10 u4 = 3 0 [10] [60] v1 = 9 v2 = 8 v3 = 8 v4 = 7 + Thuật toán dừng sau 4 bớc lặp vì ij 0 i, j P.á tối u: 70 0 10 0 0 80 0 40 X* = 0 0 40 0 0 0 10 60 fmin = 9ì70 + 8ì10 + 7ì80 + 6ì40 + 9ì40 + 11ì10 + 10ì60 = 2580 V Hiện tợng suy biến và tập phơng... 17 -3 -4 U 7 11 0 [35] [25] [40] [60] [40] [10] 12 3 [40] V Bảng 3 T P 60 35 9 70 11 65 6 80 15 [35] [25] 40 12 8 14 5 - 100 16 13 10 17 [60] [40] 50 7 5 12 3 [10] - U 0 0 -3 -2 [40] [40] V 9 7 13 5 T .toán dừng sau 3 bớc lặp vì ij 0, i, j P.án cực biên tối u: 35 0 0 0 0 0 60 10 ữ * ữ; fmin = 2015 X = 25 0 40 0 ữ ữ 0 40 0 40 9 [70] 13 16 12 +2 v1 = 9 9 11 7 [10] [20] 8 15 - 8 - [70] [10] 13 . bản (Sử dụng tiêu chuẩn của định lý đối ngẫu II cho bài toán qhtt). 1. Bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải Xét một ví dụ đơn giản: Bài toán có m = 2, n = 3. T P b 1 b 2 b 3 a 1 c 11 c 12 c 13 X. Bài 2. Ph ơng pháp thế vị giải bài toán vận tải + Tìm P.á tối u là một p.á cực biên. + Sử dụng PP lặp: X 0 -> X 1 -> X 2 -> -> X * . I. Ph ơng pháp tìm ph ơng. == 2. Hệ thống thế vị a) Định nghĩa . Cho X = (x ij ) mxn là một p.á của bài toán vận tải. m + n số (U, V) = (u 1 , u 2 , , u m , v 1 , v 2 , , v n ) đợc gọi là hệ thống thế vị trong đó