phương pháp thế vi giải bài toán vận tải

Ph ơng pháp thế vị giải bài toán vận tảiMục đích: Phơng án cực biên tìm đợc gần với p.á tối u.. a Qui tắc c ớc phí bé nhất : Ưu tiên phân hàng cho ô có cớc phí nhỏ hơn trong số các ô cò

Bài 2 Ph ơng pháp thế vị giải bài toán vận tải

Mục đích: Phơng án cực biên tìm đợc gần với p.á tối u

a) Qui tắc c ớc phí bé nhất : Ưu tiên phân hàng cho ô có cớc phí nhỏ hơn trong số các ô còn có khả năng nhận hàng b) Qui tắc Fogels :

+ Tính chênh lệch c ớc phí cho các hàng và các cột, bằng cớc phí nhỏ thứ hai trừ đi cớc phí nhỏ nhất, chỉ tính đối với các ô còn có khả năng nhận hàng.

+ Ưu tiên phân phối hàng vào hàng hay cột có chênh lệch c -

II Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản

(Sử dụng tiêu chuẩn của định lý đối ngẫu II cho bài toán qhtt).

1 Bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải

Xét một ví dụ đơn giản: Bài toán có m = 2, n = 3.

11

x x

x

x x

;,1

0

),1(

),1(

min)

m i

x

n j

b x

m i

a x

x c x

;,1

u

max )

,(i

n j

m i

c v

v b u

a v

u g

ij j

m i

n

j j j i

→+

v 2 , , v n là các thế vị cột, tơng ứng với p.á X nếu chúng thỏa mãn điều kiện:

u i + v j = c ij nếu x ij > 0 ((i, j) là ô chọn).

b) Qui tắc tính hệ thống thế vị (U, V)

Chỉ áp dụng cho X là p.á cực biên

+ Xác định hệ ô chọn cơ sở S (m + n - 1 ô chọn (thật và giả) không chứa vòng).

+ (U, V) đợc xác định từ hệ m + n - 1 pt đltt:

{u i + v j = c ij∀ (i, j) ∈ S (*) + Chỉ cần xác định một nghiệm riêng của (*):

3 Tiêu chuẩn tối u của ph ơng án cơ bản

Cho X 0 là một p.á cơ bản với tập ô chọn cơ sở S 0 và (U, V)

là hệ thống thế vị tơng ứng Với mỗi ô (i, j) ta đặt:

+ Khi tính ∆ij chỉ cần tính cho các ô loại.

Ví dụ 1 P.á không suy biến

Chú ý. Tiêu chuẩn tối u chỉ là điều kiện đủ Nếu tiêu chuẩn

tối u không thoả mãn thì cha có câu kết luận p.á không tối u III Cải tiến (điều chỉnh) ph ơng án

1.Bổ đề 1 X 0 là một p.á của bt V là một vòng bất kỳ trên bảng vt.

c 11

x 11

c 12 ( 1 ) [x 12 +θ]

c 13 ( 2 ) [x 13 -θ]

c 34 ( 4 ) [x 34 -θ]

c 41

x 41

c 42 ( 6 ) [x 42 -θ]

c 43

x 43

c 44 ( 5 ) [x 44 +θ]

2 Bổ đề 2 Cho X 0 , S 0 và (U, V) (i 0 , j 0 )∉ S 0 V tạo bởi (i 0 , j 0 ) và một số ô chọn thuôc S 0 trong đó (i0, j0) là ô số 1 Khi đó ta có:

Chứng minh Giả sử V = {(i0 , j 0 ), (i 0 , j 1 ), (i 1 , j 1 ), , (i… k , j k ), (i k , j 0 )}

Vế trái (*) = - ci0j0 + ci0j1 - ci1j1 + - c … ikjk + cikj0 =

= - ci0j0 + ui0 + vj1 - ui1 - vj1 + - u … ik - vjk + uik + vj0

=

= ui0 + vj0 - ci0j0 = ∆i0j0.

3 Hệ quả (ý nghĩa kinh tế của ∆ij)

Cho X 0 , S 0 , (U, V) (i 0 , j 0 ) ∉ S 0 V tạo bởi ô (i 0 , j 0 ) và một số ô chọn thuộc S 0 trong đó (i0, j0) là ô số 1 X(θ) được xỏc định theo bổ đề 1.

+ Giai đoạn 2 Đc p.á cơ bản X 1 → X * là p.án tối u.

Nội dung của giai đoạn 1:

+ Điều chỉnh hàng theo qui tắc đ/c p.á cơ bản.

Sau đ/c, ít nhất mất đi 1 ô chọn và vòng V bị phá Nếu p.á mới nhận đợc cha cơ bản thì lại lập vòng mới và thực hiện nh trên.

8 14 ( 5 )

[50] 11 9 ( 4 [20] ) +

9

- 12 - 6 [60] 14 - u 1 = 0

ớc 3 Cải tiến (Xk , S k ) → (X k+1 , S k+1 ) Sau đó quay lại B ớc 1

Ví dụ 1 Tìm p.á tối u của bài toán sau:

0400

0

400

800

0100

0

0400

0

400

800

0100

70

f min = 9ì70 + 8ì10 + 7ì80 + 6ì40 + 9ì40 + 11ì10 + 10ì60 =

2580.

V Hiện t ợng suy biến và tập ph ơng án tối u

1 Hiện t ợng suy biến

+ X 0 bị suy biến, để có S 0 ta phải thêm ô chọn giả.

+ q = min{x ij : (i, j) ∈ V c } = xi1j1 = xi2j2

+ q = 0 (V c có ô chọn giả).

2 Tập ph ơng án tối u

+ ∆ij < 0 ∀ ô loại (i, j)∉ S * thì X * là duy nhất

+ Tồn tại ô loại (i 0 , j 0 ) )∉ S * có ∆i0j0 = 0 và nếu chọn (i 0 , j 0 ) làm ô đ/c thì q > 0 Trờng hợp này bt có vô số p.á tối u Thực hiện đ/c với 0 ≤ θ ≤ q ta nhận đợc X(θ) là các p.á tối u.

Ví dụ 2 Giải bài toán vận tải:

[35]

7 [50]

2 = 6