luận văn tốt nghiệp đề tài “một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”

Mục đích nghiên cứu: - Hệ thống một số dạng toán và một số phương pháp cơ bản giải các bài toán về hàm số thường xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia.. Đối tượng, ph

Luận văn tốt nghiệp

Đề tài: “ Một cách tiếp cận bài toán

về hàm số ”

Môc lôc

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Hàm số là một khái niệm cơ bản của toán học Các bài toán về hàm số và phương trình hàm rất phong phú, đa dạng thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi Ôlimpic toán Nhưng do đặc thù của nó là tương đối khó nên chỉ xuất hiện trong các kỳ thi HSG toán Đối với học sinh phổ thông thì ít được tiếp cận chúng Với mục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho HSG của trường, và quan trọng hơn là nhằm mục đích bồi dường chuyên môn cho chính bản thân mình tôi chọn đề tài

“ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ” Trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề quan trọng, cơ bản và sát với nội dung, phân phối chương trình về hàm số được cung cấp cho học sinh phổ thông Các bài tập đưa ra không đòi hỏi những kiến thức cao, xa lạ với học sinh Qua thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh khá giỏi đều tiếp thu được, giải được các bài toán này không quá khó khăn

2 Mục đích nghiên cứu:

- Hệ thống một số dạng toán và một số phương pháp cơ bản giải các bài toán về

hàm số thường xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia

- Rèn luyện ký năng giải toán hàm số cho học sinh

- Giúp học sinh có cái nhìn mới về dạng toán này

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu:

+ Các bài toán về hàm số không quá khó, không phải dùng đến nhiều kiến thức

mở rộng khác: Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số; Hàm tuần hoàn; Tính giá trị của hàm số; Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước;

+ Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán hàm số

- Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình phổ thông, có sự mở

rộng phù hợp với nội dung thi, bồi dường HSG toán trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách không khó khăn, tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán này

- Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải trong bài toán cơ bản, điển hình

5 Nội dung

1 Bài toán về tính chất chẵn, lẻ của hàm số

2 Bài toán về hàm tuần hoàn

3 Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

- Hàm không liên tục

- Hàm liên tục, có đạo hàm

- Hàm đơn điệu

4 Tính giá trị của hàm số

6 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu

- Thực nghiệm sư phạm qua công tác bồi dưỡng HSG ở trường THPT Lê Xoay

7 Kết luận

Với mục đích và nhiệm vụ ở trên, đề tài “ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ” chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản của hàm số Đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu xót trong cấu trúc cũng như nội dung của nó Tôi kính mong các thầy cô đọc và cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Phần 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ

LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ

1.Định nghĩa hàm số Cho một tập hợp khác rỗng D (D  R)

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một

và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) gọi là giá trị của hàm số f tại x

Tập D gọi là tập xác định (miền xác định), x gọi là biến số (đối số) của hàm số f

2 Hàm số hợp

Định nghĩa

Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x) Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x Khi đó, hàm số y = g(x) với

g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u;

hàm u gọi là hàm số trung gian

3 Phép tịnh tiến hệ tọa độ Công thức chuyển đổi hệ tọa độ

Giả sử I là một điểm của mp có tọa độ (x , y ) 0 0

đối với hệ tọa độ Oxy

Gọi IXY là hệ tọa độ mới gốc I và hai trục IX, IY

theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị  i, j

với hai trục Ox, Oy

- Giả sử M là một điểm bất kỳ của mp

Gọi (x, y) là tọa độ của M đối với hệ Oxy

và (X; Y) là tọa độ của M đối với hệ IXY

X Y

I O

M

x y

Chú ý: Các hàm: y  sin x, y  cos x tuần hoàn với chu kỳ là T 2

Các hàm: y  tan x, y  cot x tuần hoàn với chu kỳ là T 

Hàm f(x) thỏa mãn: f(x T)    f(x), x   D là hàm tuần hoàn vì:

- Tổng của các hàm chẵn (lẻ) xác định trên D là một hàm chẵn (lẻ) trên D

6 Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định nghĩa Hàm số f xác định trên K ( khoảng, đoạn, nửa khoảng)

- Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu  x , x1 2 K, x1 x2 f (x )1  f (x ).2

- Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu  x , x1 2 K, x1 x2 f (x )1  f (x ).2

- Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K gọi là hàm đơn điệu trên K

7 Hàm liên tục

Định nghĩa 1 (Hàm liên tục tại một điểm)

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a;b) Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu

xlim f (x) f (x ).x

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0

Định nghĩa 2 (Hàm liên tục trên một khoảng, trên một đoạn)

- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng) Hàm số f được gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó

- Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

x b

xlima f (a), lim f (b).



8 Đạo hàm của hàm số

Định nghĩa 1.( Đạo hàm của hàm số tại một điểm)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 (a;b)

Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số 0

0

f (x) f (x )

x x



 khi x dần đến x0 được gọi là

đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0, kí hiệu f’(x0)

Định nghĩa 2.(Đạo hàm của hàm số trên một khoảng)

- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng) Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J

- Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f’ xác định bởi

Định lí 1 Nếu đa thức có nghiệm x = x0 thì : P xn( )  ( x x  0) Pn1( ) x

Nếu đa thức có nghiệm bội k là x = x0 thì : P xn( )  ( x x  0) k Pn k ( ) x

Định lí 2 Cho hai đa thức P xn( )  a xn n an1xn1  a x a1  0 ( an 0)

(Thực ra kết quả trên chỉ cần đúng với n +1 giá trị phân biệt của x là đủ)

Định lí 3 Hàm đa thức liên tục và có đạo hàm mọi cấp trên R

Phần 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ

1 Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số

Ví dụ 1 Cho f(x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R CMR: f(x)  0

Giải Theo định nghĩa có: f ( x) f (x) f (x), x Rf (x)0, x R

Ví dụ 2 Cho x0R.Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

f (x0x)f (x), x R

Giải Đặt x0

x t,2

f (x) g(x )

2

  , trong đó g(x) là hàm chẵn tùy ý trên R

Ví dụ 3 Biết rằng đồ thị của đa thức P(x) có tâm đối xứng CMR đồ thị của P’(x) có trục đối xứng

Giải Giả sử P(x) có tâm đối xứng là I(x ; y ).0 0 Khi đó qua phép đổi hệ trục tọa độ từ hệ Oxy sang hệ IXY ( IX, IY tương ứng nhận các véc tơ i, j 

Dễ kiểm tra g(x) là hàm chẵn, h(x) là hàm lẻ trên R, và f(x) = g(x) + h(x)

Bài tập 2 Cho a, b  R Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

2 Bài toán về hàm tuần hoàn

f(x) 3 CMR: f(x) là hàm tuần hoàn

Giải Ta cã:

( ) 5

5( 1) 5 ( ) 3 2 ( ) 5( 2)

( ) 5( 1) 3 3 ( ) 2

VËy f(x) tuÇn hoµn

Bài toán tæng qu¸t: Hµm f : RR \ {3}tho¶ m·n:     



f(x) 5f(x a) , x R

g x( 6) f x( 3)  x 3 f x( ) 2   x 2 g x( ) (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: g(x+6) = g(x), x R VËy f(x) tuÇn hoµn

Bài tập tương tự.

Bài tập 1 Hàm số y = f(x) xác định với mọi x  ( ; ),và đồ thị của nó nhận hai đường thẳng

x = a, x = b làm trục đối xứng (b > a) CMR f(x) là hàm số tuần hoàn

HD Giả thiết có: f (ax)f (ax); f (b x) f (b x), x  R

CM hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2b – 2a

Bài tập 2 Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x Biết đồ thị của hàm số đối xứng qua điểm

A(x ; y ) và qua đường thẳng x = b ( b ≠ x0 0 0) CMR f(x) là hàm tuần hoàn

HD Theo giả thiết có: f (x0x) f (x 0x)2y , x0  R

f (b x) f (bx), x R

CM hàm tuần hoàn chu kỳ 4b – 4x0

( Ví dụ hàm y = sinx thỏa mãn điều kiện Bài tập 4)

Bài tập 3 CMR các hàm sau không tuần hoàn:

Bài tập 5 Cho hàm f : RR thỏa mãn: f(x)a.sin(ux) b cos(vx), x  R (a, b, u, vR )*

CMR: f(x) tuần hoàn khi chỉ khi uQ

3 TÌM HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

3.1 Các bài toán không có điều kiện liên tục

3.1.2 Phương trình đa thức

Phương pháp:1 - Tìm một số nghiệm của đa thức: x 1 , x 2 , …,x k

- Biểu diễn P x( )(xx1)(xx2) (xx n) ( )Q x thay vào phương trình

a x( y)3b x( y)2c x( y)d ax3bx2cxday3by2cyd3x y2 3xy2 3ax y2 3axy22bxy d 3x y2 3xy2,x y, R.

3.1.3 Phương trình dạng: u x f g x( ) ( ( ))v x f h x( ) ( ( ))w( ).x (Phương trình hai biến phụ thuộc)

Phương pháp 1: Đặt t = t(x) sao cho: g(x) = h(t); h(x) = g(t)

Khi đó thu được: u t f h t'( ) ( ( ))v t f g t'( ) ( ( ))w'( ).t

1( 1) ( ) (1 ) ( )

Bài tập 1 Tìm tất cả các hàm f : RR thỏa mãn: a.f(x 1) b.f (1 x)   g(x), x R.

(a, b, g(x) cho trước, g(x) xác định trên R, a  ) b

Nếu việc chuyển đổi giữa hai biến gặp khó khăn, ta phải thực hiện chuyển đổi theo ba biến,

hoặc nhiều hơn

3 2

3.1.4 Phương trình hai biến độc lập

Phương pháp: Chọn một biến là một giá trị cụ thể hoặc phụ thuộc vào biến kia và đưa

Ví dụ 3 Tìm hàm f R: R thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Giải Thay x = y = 0 và (2) được: f(0)2 (0)f  f(0)0

Thay x = -1, y= 1 vào (2) được: f(0) f( 1)  f(1) f( 1)  1

( ) ( ) 1 1 2 ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

LÊy (1) + (2) – (3) ®­îc: f t( )sintcost f x( )sinxcosx ( Thö l¹i tho¶ m·n)

Bài toán 2 Tìm hàm f R: R thỏa mãn 3 điều kiện sau:

t f

3.2 Tính giá trị của hàm số tại một điểm xác định.Phương pháp quy nạp

Phương pháp: - Thay trực tiếp các giá trị thích hợp của x, từ đó dẫn đến giá trị cần tính

- Xây dựng hàm số thoả mãn điều kiện, sau đó tính giá trị

- Xây dựng biểu thức truy hồi, lập công thức tổng quát của dãy các giá trị x ( trong trường hợp tính giá trị x nguyên hoặc tự nhiên)

NÕu f(0)=3 chän y = 0 (1) ®­îc: f(x)=x + 3 Thö l¹i thÊy tho¶ m·n

Bài tập 2 Cho hàm f : RR thỏa mãn: f(x) f(y) f(xy) xy 1, x, y   R.

Nếu f(1) = 1 Hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n

HD Trong bài toán này chúng ta phải cố gắng tính giá trị hàm số tại một số điểm, từ đó tìm

ra công thức tổng quát và đi chứng minh công thức đó

Theo (1) có:

( 2)

0 0

1(0) (0) 2 (0) (0) 2 2

3( ) ( ( )), 1

3.3 Các bài toán về hàm đơn điệu

Ví dụ 1 Tìm tất cả các hàm đồng biến f R: R thỏa mãn:

f f x( ( )y) f x( y) 1, x y, R (1)

Giải Từ (1) suy ra: f x(  f y( )) f f y( ( )x) f x( y) 1, x y, R (1')

Trong (1) thay y = 0 ta được: f f x( ( )) f x( ) 1,  x R (2)

Trong (1) thay x bởi f(x) được:

Giải Từ giả thiết suy ra: f f y( ( )x) f x( y) f(0),x y, R

f (f (x)y)f (f (y)x)f (x)yf (y)x, x, y R do f đồng biến

Xét f(x) > x và f(x) < x đều dẫn đến mâu thuấn Vậy f(x) = x

Bài tập 2 Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : RRthỏa mãn:

f x(  f y( )) f x( )y,x y, R

3.4 Các bài toán về hàm liên tục

Sau đây là một số hàm chuyển đỏi các phép toán số học, kết quả của các bài toán này là cơ sở

để chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn

Bài toán 1.(Phương trình Cauchy)

Xác định các hàm f x( )liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f x( y) f x( ) f y( ),x y, R (1)

Giải Từ (1) suy ra f(0)0, (f x) f x( ), (2 )f x 2 ( ),f x  x R

Tương tự ta chứng minh được: f(3 )x 3 ( ), (4 )f x f x 4 ( ), (5 )f x f x 5 ( ) f x

1 Từ đó chúng ta chứng minh quy nạp công thức: f nx( )nf x( ), x R n, N*

- Thật vậy: Giả sử có f kx( )kf x( ), x R,với k nguyên dương

Khi đó có: f k(( 1) )x  f kx( x) f kx( ) f x( )

4 Vậy f x( ) f x( 1)x f (1), x R.Thử lại thấy f x( )ax a,  f(1)thỏa mãn

Kết luận: f x( )ax, x R a, Rtùy ý

Nhận xét – Chỉ cần giả thiết hàm liên tục tại một điểm nào đó là đủ Vì khi đó theo tính chất (1)

hàm sẽ liên tục trên R

- Kết quả bài toán không thhay đổi nếu thay R bằng nửa khoảng [ ;a ), (; ].b

- Nếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện f x( ) có đạo hàm trên R thì bài toán có thể làm đơn giản hơn

Bài toán 1.1 Tìm các hàm f x( ) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện:

f x( y) f x( ) f y( ),x y, R (2)

Giải Lần lượt lấy đạo hàm (2) theo biến x, y ta được

f x'( y) f x'( ),x y, R; f x'( y) f '( ),y x y, R

 f x'( ) f '( ),y x y, R f x'( )const f x( )ax b

Thử lại vào (2) suy ra b = 0 Vậy f x( )ax, x R a, Rtùy ý

Nhận xét Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến

trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự

Bài toán 1.2 Tìm các hàm f x( ) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện:

Vậy f x( ) liên tục tại x = 0, theo bài toán 1 suy ra f x( )ax, x R a, 0tùy ý

Nhận xét Nếu hàm số nghịch biến trên R thì f x( )ax, x R a, 0tùy ý

Bài toán 2 Xác định các hàm f x( )liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

(f xy) f x f y( ) ( ),x y, R (3)

Giải – Nhận thấy: f x ( ) 0thỏa mãn

- Nếu tồn tại f x( 0)0.Khi đó theo (3) có:

g x( y)ln (f xy)ln( ( ) ( )f x f y ln ( ) ln ( )f x  f y g x( )g y( ),x y, R

Theo bài toán 1 thì g x( )bx b, R tùy ý Vậy f x( )e bx a x với a > 0 tùy ý

Bài toán 3 Xác định các hàm f x( )liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

Theo Bài toán 2 suy ra ( )f x a x với a > 0 tùy ý

Bài toán 4 Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : RRthỏa mãn:

Hoàn toàn tương tự, ta giải được bài toán sau

Bài toán 5 Xác định các hàm f(x) liên tục trên R \ {0}thỏa mãn điều kiện:

Tài liệu tham khảo

1 SGK Đại số lớp 10 ( Chương trình phân ban)

2 SGK Đại số lớp 11 ( Chương trình phân ban)

3 SGK Đại số lớp 12 ( Chương trình phân ban)

4 Phương trình hàm – Nguyễn Văn Mậu – 1997

5 Các bài toán thi Olimpic Toán - 2007

6 Bài toán hàm số qua các kỳ thi Olimpic – Nguyễn Trọng Tuấn – 2005

7 Các bài toán về hàm số – Phan huy khải – 2007