Chuong 1 TCN tong quan bai toan quy hoach tuyen tinh

Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics CHƯƠNG TỔNG QUAN BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Giới thiệu tổng quan quy hoạch tuyến tính 1.1.1 Tổng quan a) Giới thiệu tốn quy hoạch tuyến tính - Quản lý tốt sử dụng hiệu nguồn lực công ty tạo nên lợi nhuận tối ưu cho công ty Nguồn lực thơng thường bao gồm: máy móc, thiết bị, lao động, tiền, thời gian, không gian (kho bãi) nguyên vật liệu Các tài nguyên để sản xuất tạo sản phẩm (ví dụ máy móc, vật liệu trang trí nội thất, thức ăn hay quần áo) tạo dịch vụ - Làm để tạo lợi nhuận tối ưu cho công ty? - Chúng ta phải sử dụng hình thức quản lý hiệu quả, xây dựng mơ hình quản lý mơ hình tốn số - Quy hoạch tuyến tính (QHTT) gì? QHTT phương pháp toán sử dụng rộng rãi giúp cho người quản lý công việc hoạch định định liên quan đến việc phân bổ nguồn lực cách hiệu Nó phương pháp quy hoạch toán học thường sử dụng máy tính nhiều toán thực tế thường lớn phức tạp nên giải tay b) Lịch sử phát triển quy hoạch tuyến tính - QHTT phát minh trước chiến thứ II nhà toán học Liên Xơ tên A.N Kolmogorow Sau nhà toán học, Leonid Knatorovich, đạt giải thưởng Nobel kinh tế 1975 với Tjalling Koopmas đặt tảng cho khái niệm toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu nghiên cứu họ năm 1940 Và ứng dụng QHTT, phát minh vào năm 1945 Stigler, dựa giải thuật kinh nghiệm để tìm lời giải tối ưu thời chưa có phương pháp để tìm lời giải tối ưu - Sự phát triển QHTT thực bùng nổ sau Geogre D.Dantzig, mệnh danh cha đẻ QHTT, phát triển thủ tục để giải toán QHTT thường gọi phương pháp đơn hình Mặc dù ban đầu ứng dụng quân sự, QHTT phát triển vơ nhanh chóng lĩnh vực cơng nghiệp quản lý có đời máy tính kinh doanh - Hiện với phát triển khoa học máy tính sử dụng phần mềm Excel, LINGO, vv để giải toán QHTT c) Các bước nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu Lập mơ hình tốn Xây dựng thuật tốn Tính tốn thử điều chỉnh mơ hình cần Áp dụng giải tốn thực tế Hình 1.1 Các bước nghiên cứu ứng dụng toán QHTT 1.1.2 Thành phần toán QHTT Dù đa dạng, tốn QHTT có thành phần đặc điểm sau Hàm mục tiêu Các ràng buộc Các phương án lựa chọn Hàm mục tiêu ràng buộc tuyến tính a) Hàm mục tiêu Tất tốn nhằm để cực đại hóa cực tiểu hóa đại lượng đó, ví dụ cực đại hóa lợi nhuận cực tiểu hóa chi phí: - Chuyên gia phân tích tài muốn đưa định lựa chọn danh mục đầu tư cho số tiền thu nhiều - Người quản lý sản xuất muốn lập kế hoạch sản xuất đưa sách tồn kho đáp ứng đáp ứng đáp ứng nhu cầu khách hàng cho chi phí sản xuất tồn kho - Giám đốc tiếp thị muốn xác định phân bổ ngân sách việc quảng cáo phương tiện truyền thông khác đài, tivi, báo, hay tạp chí … cho mang lại hiệu cao - Người quản lý muốn xác định số lượng sản phẩm cần phải tính từ nhà máy vận chuyển đến nơi tiêu thụ cho chi phí vận tải thấp Chúng ta gọi thành phần gọi hàm mục tiêu toán QHTT Ví dụ như: - Mục tiêu nhà sản xuất thơng thường cực đại hóa lợi nhuận ( Maximization) - Với hệ thống phân phối mục tiêu cực tiểu hóa chi phí vận chuyển (Minimization) Trong trường hợp nào, mục tiêu cần phải định nghĩa cách rõ ràng GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics xác định cơng thức tốn Khơng quan tâm đến lợi nhuận hay chi phí đo đơn vị tiền tệ gì, USD, VND, TWD, … Min(3x  y  3z ) Ví dụ: Max( x  y  z) b) Các ràng buộc Các ràng buộc thường hàm hạn chế tài nguyên tổ chức Nó giới hạn mức độ đạt mục tiêu Bài toán đặt cho cực đại hóa cực tiểu hóa số đại lượng với ràng buộc cho Ví dụ như: - Số lượng sản phẩm sản xuất cơng ty bị giới hạn máy móc nhân huy động công ty nhu cầu khác hàng - Việc lựa chọn sách quảng cáo hay tập danh mục đầu tư bị giới hạn tổng tiền sẵn có để đầu tư - Lựa chọn phương án thi công công trình cho tổng chi phí khơng vượt q giới hạn - Trong toán vận tải, việc cực tiểu hóa chi phí vận tải bị ràng buộc khả cung cấp nhà máy nhu cầu nơi tiêu thụ Do đó, thường cực đại hóa hay cực tiểu hóa đại lượng ( hàm mục tiêu) điều kiện giới hạn tài nguyên (các điều kiện ràng buộc) Min(3x  y  3z ) Ví dụ:  x  y  z  10 Ràng buộc   x, y  c) Phải có phương án lựa chọn Có cơng ty sản xuất loại sản phẩm khác Có thể cơng ty tập trung sản xuất chủ yếu sản phẩm hay sản xuất loại sản phẩm, phân bổ tỷ lệ đó? Nhà quản lý sử dụng QHTT để xác định tỷ lệ phân bổ chúng điều kiện giới hạn tài ngun sản xuất (máy móc, cơng nhân, …) để cực đại lợi nhuận Nếu phương án khơng cần QHTT Ví dụ: Bảng 1.1 Dữ liệu tốn nơng trại Thành phần dinh dưỡng/ kG A Thức ăn B1 Thức ăn B2 Thức ăn B3 10 12 Yêu cầu tối thiểu 90 B 56 C 0.5 0.2 1.5 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Chi phí (USD/kG) Trong ví dụ ta có phương án lựa chọn B1, B2, B3 Do ta cần lập quy hoạch tuyến tính cho chi phí chi trả cho việc mua thức ăn nhỏ d) Hàm mục tiêu ràng buộc tuyến tính Dạng ràng buộc ó thể là: + Bất phương trình có dạng " ≤ " " ≥ " + Phương trình " = " Hàm tuyến tính có nghĩa số mũ biến định phải dạng bậc ( không bậc 2, bậc hay bậc khác 1) Ví dụ: Phương trình: x  y  10 phương trình tuyến tính, x  y  3xy  20 phương trình tuyến tính biến x có bậc Hàm mục tiêu Z  10 x  y hàm tuyến tính, Z  10 x  y hàm tuyến tính 1.1.3 Các giả thiết QHTT Thơng thường mơ hình tốn ứng dụng kinh tế có giả thiết kèm Có giả thiết/ yêu cầu cần nắm giải tốn QHTT Tính chắn: Các số hàm mục tiêu điều kiện ràng buộc biết đến chắn không thay đổi suốt q trình nghiên cứu Tính tỷ lệ: Chúng ta phải giả thiết có tính tỷ lệ tồn hàm mục tiêu ràng buộc Nghĩa đóng góp với hàm mục tiêu giá trị tài nguyên ràng buộc phải tỷ lệ với giá trị biến định Tính cộng dồn: Giá trị hàm mục tiêu tổng tài ngun sử dụng tính tốn cách lấy tổng hàm mục tiêu đóng góp tài nguyên sử dụng tất biến định Nghĩa tổng hoạt động kết cộng dồn hoạt động riêng lẻ Tính chia được: Biến định biến liên tục Giả thiết chấp nhận nghiệm dạng thập phân (Lời giải khơng thiết phải số ngun) Tính khơng âm: Tất biến phải không âm Sử dụng số âm để đếm Bảng 1.2Các đặc điểm giả thiết toán QHTT Đặc điểm QHTT Hàm mục tiêu Các ràng buộc Các phương án lựa chọn Hàm mục tiêu ràng GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Các giải thiết Tính chắn Tính tỷ lệ Tính cộng dồn Tính chia Bài Giảng Tốn Chuyên Ngành – Specialized Mathematics buộc hàm tuyến tính Tính khơng âm 1.1.4 Thành lập tốn QHTT Thành lập toán QHTT liên quan đến việc xây dựng mơ hình tốn để diễn tả vấn đề quản lý Vì vậy, để thành lập toán QHTT, cần phải hiểu cách sâu sắc vấn đề quản lý phải đối mặt Khi nắm rõ, bắt đầu xây dựng mơ hình tốn cho vấn đề Quy trình lập tốn quy hoạch tuyến tính sau: Hiểu rõ vấn đề quản lý phải đối mặt Xác định hàm mục tiêu ràng buộc Định nghĩa biến định Sử dụng biến định để viết mơ hình tốn cho hàm mục tiêu ràng buộc Hình 1.2 Các bước thành lập tốn QHTT Ví dụ 1: Cơng ty Nam Việt sản xuất loại bàn ghế gỗ Quy trình sản xuất sản phẩm có điểm chung trải qua hai cơng đoạn đóng mộc sơn, đánh bóng: • Mỗi bàn cần đóng mộc, sơn đánh bóng • Mỗi ghế cần đóng mộc, sơn đánh bóng Trong giai đoạn sản xuất tại, chu kỳ tuần, với lực lượng cơng nhân lao động có, cơng ty Nam Việt có tổng cộng 240 đóng mộc 100 sơn, đánh bóng (được ước tính số cơng nhân x công ngày) Mỗi bàn ghế công ty đem bán đem lại lợi nhuận tưng ứng 70 USD 50 USD Vấn đề đặt cho công ty giới hạn đóng mộc sơn trên, cơng ty cần sản xuất bàn ghế đem lại lợi nhuận cao Đầu tiên tóm tắt qua bảng Bảng 1.3Dữ liệu công ty Nam Việt Thời gian (giờ) Công đoạn Đóng mộc Sơn đánh bóng Lợi nhuận (USD) Số lượng cần sx Số cần thiết để sản xuất Bàn Ghế 70 50 x1 x2 Tổng thời gian có tuần 240 100 Từ bảng số liệu ta có: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Tốn Chun Ngành – Specialized Mathematics • Biến: x1 số lượng bàn sản xuất tuần x2 số lượng bàn sản xuất tuần • Hàm mục tiêu: Z  70 x1  50 x2 • Các ràng buộc Tổng số tài nguyên (số giờ) sử dụng ≤ Tổng số tài nguyên (số giờ) sẵn có: Giờ đóng mộc: x1  3x2  240 Giờ sơn đánh bóng: x1  1x2  100 • Điều kiện biên (hay gọi ràng buộc mặc định): Để tốn có ý nghĩa x1 x2 phải số không âm nghĩa  x1  ( Số lượng bàn, ghế tuần)   x2  Tóm lại ta có mơ hình tốn học vấn đề lập kế hoạch sản xuất cho công ty Nam Việt sau: Z  70 x1  50 x2  Max 4 x1  3x2  240  Ràng buộc 2 x1  1x2  100  x  0; x   Ví dụ 2: Để sảnxuất kẹo bánh cần thứngun liệu chínhlàđườngvà bột mì, với trữlượng cólà 0,9kgđường và1,1 kg bột mì 1kg kẹocần 0,5 kgđường và0,3kgbột mì; 1kgbánh cần 0,2kg đường 0,4 kgbột mì.Giá1kg kẹo 10000đ;1kg bánhlà 20000đ.Hãy lập kế hoạch sản xuất cho tổng giá trị sản phẩm lớn Bảng 1.4Dữ liệu cơng ty bánh mì Thời gian (giờ) Cơng đoạn Đường Bột mì Lợi nhuận (VND) Số lượng Số lượng đường bột mì để sản xuất Kẹo Bánh 0.5 0.2 0.3 0.4 10000 20000 x1 x2 Giới hạn (kg) 0.9 1.1 Gọi x1 số kg kẹo sản xuất; x2 số kg bánh sản xuất Ta có mơ hình tốn học: f ( x)  10000 x1  20000 x2  max GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics 0.5 x1  0.2 x2  0.9  Ràng buộc 0.3x1  0.4 x2  1.1 x , x   1.2 Phương pháp giải toán 1.2.1 Phương pháp đồ thị Một phương pháp để giải tốn quy hoạch tuyến tính đơn giản dùng phương pháp đồ thị Phương pháp sử dụng toán QHTT đơn giản có hai biến định Ví dụ số lượng bàn sản xuất x1 số lượng ghế sản xuất x2 vấn đề lập kế hoạch sản xuất cơng ty Nam Việt Khi tốn QHTT có nhiều hai biến, biểu diễn lời giải đồ thị hệ tọa độ phẳng hai chiều mà phải sử dụng phương pháp khác (Phương pháp đơn hình) Tuy nhiên, phương pháp đồ thị phương pháp giúp hiểu rõ chất toán QHTT sở nghiên cứu phương pháp giải khác Các bước giải toán QHTT phương pháp đồ thị Bước 1: Biểu diễn ràng buộc lên đồ thị Bước 2: Tìm nghiệm tối ưu, áp dụng hai phương pháp sau ✓ Phương pháp đường đẳng trị ✓ Phương pháp điểm góc 1.2.1.1 Biểu diễn lên đồ thị Để tìm lời giải tối ưu cho toán QHTT, trước tiên phải xác định miền nghiệm khả thi, gọi miền thỏa mãn điều kiện ràng buộc (miền ràng buộc) Để thực điều này, bước ta biểu diễn điều kiện ràng buộc lên đồ thị Trong ví dụ cơng ty Nam Việt, biến x1 (số lượng bàn sản xuất tuần) thể trục hoành đồ thị biến x2 ( số lượng ghế sản xuất tuần) thể trục tung đồ thị Không thiết quy định làm ngược lại (x1 trục tung, x2 trục hồnh) Để tốn có ý nghĩa giá trị x1 x2 phải số không âm  x1   Chúng ta làm việc góc phần tư thứ I đồ thị Xem Hình 1.3   x2  A Ràng buộc thứ nhất: x1  3x2  240 • Cách biểu diễn: - Chuyển ràng buộc bất phương trình thành dạng phương trình: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics x1  3x2  240 Tìm điểm A B thỏa mãn phương trình vẽ đường thẳng nối hai điểm đó:  x1   *  3* x2  240  x2  80  A( x1  0, x2  80)   x2   * x1  3*  240  x1  60  B( x1  60, x2  0) x2 Số l-ợng ghế x2 Trục tung biểu diễn ràng buộc x1>=0 Trơc hoµnh biĨu diƠn rµng bc x2>=0 x1 Hình 1.3.Góc phầ n tư thứ I chỉ gồ m các giá tri ̣không âm Xác đinh ̣ miề n nghiê ̣m của ràng buô ̣c thứ nhấ t: Vùng phiá dưới đường thẳngAB, phầ n gạch chéo của Hình 1.4 x2 Sè l-ỵng ghÕ x2 A(x1=0; x2 =80) 4*x1 + 3*x2=240 B(x1=60; x2 =0) x1 Số l-ợng bàn x1 Hỡnh 1.4.Biể u diễn đồ thi ̣cho ràng buô ̣c thứ nhấ t (Giới ̣n về giờ đóng mô ̣c) B Ràng buộc thứ hai: x1  1x2  100 • Cách biểu diễn: - Chuyển ràng buộc bất phương trình thành dạng phương trình: x1  1x2  100 Tìm điểm C D thỏa mãn phương trình vẽ đường thẳng nối hai điểm đó: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics  x1   *  1* x2  100  x2  50  C ( x1  0, x2  100)   x2   * x1  1*  100  x1  50  D( x1  50, x2  0) Xác đinh ̣ miề n nghiê ̣m của ràng buô ̣c thứ hai: Vùng phiá dưới đường thẳng CD, phầ n gạch chéo củaHình 1.5 x2 Sè l-ỵng ghÕ x2 C(x1=0; x2 =100) 2*x1 + 1*x2=100 D(x1=50; x2 =0) x1 Số l-ợng bàn x1 Hỡnh 1.5.Biờ u diờn ụ thi ̣cho ràng buô ̣c (Giới ̣n về giờ sơn và đánh bóng) C Xác đinh ̣ miề n nghiê ̣m khả thi thỏa mañ cả ràng buô ̣c: Phầ n tô đâ ̣m Chúng ta biế t rằ ng để sản xuấ t bàn hoă ̣c ghế thì đề u phải trải qua công đoa ̣n đóng mô ̣c và sơn, đánh bóng Với bài toán QHTT, chúng ta cầ n phải tìm tâ ̣p hơ ̣p các điể m lời giải đồ ng thời thỏa mañ tấ t cả các ràng buô ̣c cùng mô ̣t lúc Vì vâ ̣y, đường giới ̣n phải vẽ cùng mô ̣t đồ thi ̣ (xem Hình 1.6) Vùng tơ đâ ̣m thể hiê ̣n các sự kế t hơ ̣p của lươ ̣ng bàn và ghế sản xuấ t đồ ng thời thỏa mañ cả điề u kiê ̣n ràng buô ̣c về thời gian đóng mô ̣c và sơn, đánh bóng Ta go ̣i đó là miề n nghiê ̣m khả thi hay go ̣i tắ t là miề n khả thi của bài toán Miề n khả thi của bài toán QHTT là tâ ̣p hơ ̣p các điể m thỏa mañ tấ t cả các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c của bài toán, vì vâ ̣y nó cũng chính là phầ n trùng lă ̣p của tấ t cả các điề u kiê ̣n ràng buô ̣c GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Tốn Chun Ngành – Specialized Mathematics x2 Sè l-ỵng ghế x2 Giới hạn sơn đánh bóng Giới hạn đóng mộc x1 Số l-ợng bàn x1 Hỡnh 1.6.Miề n nghiê ̣m khả thi cho vấ n đề của công ty Nam Viê ̣t - Bấ t cứ điể m nào nằ m bên miề n khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m khả thi - Bấ t cứ điể m nào nằ m ngoài miề n khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m không khả thi Ta xét điể m sau để minh ho ̣a + Điể m M (x1 = 30, x2 = 20), nghiã là sản xuấ t 30 cái bàn và 20 cái ghế tuầ n Ta có: • Thời gian đóng mơ ̣c là: 4*30 + 3*20 = 180 giờ < 240 giờ nên thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thứ nhấ t: • Thời gian sơn và đánh bóng: 2*30 + 1*20 = 80 giờ < 100 giờ nên thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thứ hai: + Điể m N (x1 = 70, x2 = 40), nghiã là sản xuấ t 70 cái bàn và 40 cái ghế tuầ n Ta có: • Thời gian đóng mô ̣c là: 4*70 + 3*40 = 400 giờ > 240 giờ nên không thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng b ̣c thứ nhấ t: • Thời gian sơn và đánh bóng: 2*70 + 1*40 = 180 giờ > 100 giờ nên không thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thứ 2: + Điể m P (x1 = 50, x2 = 5), nghiã là sản xuấ t 50 cái bàn và cái ghế t̀ n Ta có: • Thời gian đóng mơ ̣c là: 4*50 + 3*5 = 215 giờ < 240 giờ nên thoải mañ điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thứ nhấ t: • Thời gian sơn và đánh bóng: 2*50 + 1*5 = 105 giờ > 100 giờ nên không thỏa mañ điề u kiê ̣n ràng buô ̣c thứ hai: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 10 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics nh ̣n x2 A NghiƯm tèi -u lµ tập hợp điểm nằm đoạn thẳng AB + x1 6* 24 =< x2 4* B MiỊn nghiƯm x1 = s2 = 40 c) Biế n nhân tạo Khi làm viê ̣c với ràng buô ̣c loa ̣i đẳ ng thức “ = ” hoă ̣c bấ t đẳ ng thức “ ≥ “, từ ban đầ u có GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 24 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics thể chưa có biế n bản, chúng ta cầ n biế n nhân ta ̣o để bổ sung vào tâ ̣p biế n bản Lý biế n nhân ta ̣o đươ ̣c thêm vào ràng buô ̣c loa ̣i “=” để dễ dàng tim ̀ đươ ̣c nghiê ̣m khả thi ban đầ u của bài toán, đă ̣c biê ̣t bài toán có nhiề u ràng buô ̣c và nhiề u biế n Không giố ng biế n thiế u hoă ̣c biế n thừa, biế n nhân ta ̣o không hề mang mô ̣t ý nghiã vâ ̣t lý nào mà chỉ đơn giản là mô ̣t công cu ̣ tiń h toán nhằ m giúp chúng ta tìm nghiê ̣m ban đầ u của bài toán QHTT Nế u mô ̣t biế n nhân ta ̣o có giá thi ̣ dương thì ràng buô ̣c ban đầ u (nơi biế n nhân ta ̣o đươ ̣c thêm vào) sẽ không thỏa mañ Nghiê ̣m chấ p nhâ ̣n đươ ̣c của bài toán sẽ tim ̀ thấ y tấ t cả các biế n nhân ta ̣o đề u có giá tri ̣ = Trước nghiê ̣m cuố i cùng của phương pháp đơn hin ̀ h đa ̣t đươ ̣c, biế n nhân ta ̣o sẽ đươ ̣c loa ̣i bỏ cô ̣t nghiê ̣m trước bảng đơn hiǹ h cuố i cùng Ví du ̣: Xét la ̣i ràng buô ̣c 5x1 + 10x2 + 8x3≥ 210 ở Chúng ta sẽ gă ̣p mô ̣t vấ n đề khó khăn nhỏ nế u sử du ̣ng ràng buô ̣c này bản đơn hình ban đầ u Bởi vì tấ t cả các biế n số thực tế x1, x2 và x3 đề u có giá tri ̣ = bảng đơn hình ban đầ u nên s sẽ mang giá tri ̣âm: 5*0 + 10*0 + 8*0 – s2 = 210 s2 = - 210 Trong đó, theo giả thiế t bản của bài toán QHTT, tấ t cả các biế n (biế n thực tế , biế n thiế u hay biế n thừa) phaĩ không âm Như vâ ̣y nế u s2 = - 210 thì sẽ mâu thuẫn với giả thiế t này Để giải quyế t tiǹ h huố ng này, chúng ta sẽ thêm biế n nhân ta ̣o (Aritifical Variable) vào ràng buô ̣c sau: 5x1 + 10x2 + 8x3 – s2 + A1 = 210 Khi đó, không chỉ các biế n x1, x2 và x3 đươ ̣c gán = bảng đơn hiǹ h ban đầ u mà biế n s2 cũng vâ ̣y sẽ cho ta kế t quả A1 = 210 1.2.2.3 Thuật toán Đơn hình • Dạng tắc dạng chuẩn tắc Trongthực tế,đa sốcácbài tốncóđiềukiện khơng âmcủa ẩn.Từ đócó địnhnghĩadạng chínhtắc làbài toán(d,f) sau: n f ( x )   c j x j  (1) j 1  n   aij x j  bi (i  m)  j 1  x  0( j  n )  j (2) (3) (2)gọilàràngbuộccưỡngbức, (3)gọilàràngbuộctự nhiên.Vớibàitốn(d,f) chínhtắc,có thểgiảsử m≤n Mộttrường hợp đặcbiệt củadạng tắclà matrận sốliệuA=(aij)mxncóchứađủm vectơcộtlà m vectơ đơn vị khơng gian Rmvàbi≥0 (i=1 m)gọi dạng chuẩntắc Khơng mấttính tổngqt,cóthể định nghĩa bàitoán (d,f)chuẩntắcnhư sau: GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 25 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics n f ( x)   c j x j  j 1 n  x   i  aij x j  bi (i  m) j  m 1   x  ( j  n )  j Trong bi  0(i  m) • Các phép biến đổi Cácphép biến đổisauđểđưabài tốn(d,f)bấtkỳ vềdạngchínhtắctương đươngđểgiải, từ suy nghiệmcủa bàitốnban đầu a/ b/  • f(x) → max g(x) = -f(x) → min n n j 1 j 1 n n j 1 j 1  aij x j  bi   aij x j  xni  bi với xni     aij x j  bi   aij x j  xn i  bi với xn i  Thuật tốn Để giải bìa tốn QHTT (G) phương pháp đơn hình ta thực bước Bước chuẩn bị: Đưa (G) dạng tắc chuẩn (N) cần Bước 1: Xác định Phương Án Cơ Bản (PACB) xo xuất phát, biến hệ số sở (Nếu toán dạng (N) PACB tìm dễ dàng từ ma trận sơ cấp A – bảng đơn hình bước 2, ma trận sơ cấp giả định ma trận đơn vị cấp m tạo thành từ m dòng m cột đầu tiên, PACB xuất phát x0 = (b1, b2, …, bm, 0, …, 0)) Bước 2: Lập bảng đơn hình, tính giá trị hàm mục tiêu số ước lượng j Hệ số sở c1 c2 cm Biến sở x1 x2 xm Bảng Ở PA CB b1 b2 bm x1 c1 x2 c2 …… xm …… cm …… …… …… …… …… …… f (x0) 0 …… xm+1 cm+1 a1,m+1 a2,m+1 am,m+1 …… …… …… …… …… …… …… …… xn cn a1n a2n amn i m+1…… n f(x0) = c1b1 + c2b2 + … + cmbm; GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 26 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics j = (j=1,…, m); j = m c a i 1 i ij  c j ; m 1  j  n Bước 3: Kiểm tra điều kiện tối ưu (Đối với toán MIN) a) Nếu  j  phương án xét tối ưu  STOP b) Nếu tồn  j  mà aij  hàm mục tiêu khơng bị chặn, tốn cho vơ nghiệm  STOP c) Nếu tồn  j  với  j  có aij  phương án xét chưa tối ưu  Làm tiếp bước Bước 4: Cải tiến PACB xét để PACB tốt (Đối với toánMIN) a) Chọn biến xv cho v  max{ j  0} đểđưa vào b) Chọn biến cũ xr cho r  min{i  bi / aiv  0} đểđưa aiv c) Tiếp theo chọn dòng thứ r làm dòng xoay, cột thứ v làm cột xoay, phần tử arv làm phần tử xoay biến đổi sơ cấp để bảng đơn hình với PACB tốt Cách biế n đổ i bảng đơn hin ̀ h để nhận bảng PACB tốt * Đổ i cô ̣t biế n sở: biế n sở mới là xv thay cho biế n sở cũ là xrở dòng r * Đổ i cô ̣t ̣ số sở: ̣ số cv thay cho ̣ số crở dòng r * Biế n đổ i dòng xoay: Dòng mới = dòng cũ / phầ n tử xoay, * Nghiã là chia mỗi phầ n tử ở dòng xoay cho phầ n tử xoay (arv> 0) Kế t quả nhâ ̣n đươ ̣c go ̣i là dòng chính (số xuấ t hiê ̣n ở vi ̣trí của arv cũ) * Biế n đổ i các dòng khác theo qui tắ c hiǹ h chữ nhâ ̣t: a'  a  b*d c Sau lặp lại bước 2, 3, P.A.C.B tối ưu dừng kết luận đáp số toán cho GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 27 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ví du ̣ Giải bài toán qui hoa ̣ch tuyế n tiń h (N) sau f = x1– x2 – 2x4 + 2x5 – 3x6 → min, với các điề u kiê ̣n x1 + x4 + x5- x6 = 2, x2 + x4 + x6 = 12, x3 + 2x4 + 4x5 + 3x6 = 9, xj ≥ 0, j = 1, 2, , Cho x4 = x5 = x6 = ta được phương án cực biên ban đầ u x0 = (2; 12; 9; 0; 0; 0) với tri mu ̣ ̣c tiêu f0 = -10 Cơ sở của x là {A1, A2, A3}, tức J0 = {1, 2, 3} Các biế n sở là x1, x2, x3 Các biế n phi sở là x4, x5, x6 Các hệ số sở c1= 1, c2 = – 1, c3 = Bảng đơn hiǹ h đầ u tiên sau: Hê ̣ số sở sở x1 –1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 -3 0 1 –1 x2 12 1 12 x3 0 9/2 -10 0 –1 Biế n Bảng PACB i Trong dòng mu ̣c tiêu (dòng cuố i) còn  = > 0,  = 1> cột chứa số ước lượn dương có hệ số dương nên phương án x0 ở bảng này chưa tố i ưu Ta cần biến đổi bảng để dược PACB tốt • Biế n sở cần đưa vào x4 (ứng với  = lớn nhấ t) • Biế n loa ̣i khỏi sở là x1 (ứng với 1 = min{2, 12, 9/2} = nhỏ nhấ t) • Phầ n tử xoay là a14 = (trong ô đươ ̣c tô bóng mờ) Biế n đổ i bảng theo các qui tắ c đã nêu ta nhâ ̣n đươ ̣c bảng Hê ̣ số sở Biến sở PACB –2 x4 –1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 –1 –2 –3 0 1 –1 x2 10 –1 0 –1 x3 –2 –14 –2 0 –3 Bảng GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc i 28 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Trong dòng cuố i của bảng này còn phầ n tử 6 = > cột chứa có hai hệ số dương nên phương án ở bảng này chưa tố i ưu Ta cần biến đổi bảng để dược PACB tốt • Biế n sở cần đưa vào x6 (ứng với  = lớn nhấ t) • Biế n loa ̣i khỏi sở là x3 (ứng với tỉ số nhỏ nhấ t 3 = min{5, 1} = 1) • Phầ n tử xoay là a36 = Biế n đổ i bảng ta nhâ ̣n đươ ̣c bảng x1 x2 x3 x4 x5 x6 –1 –2 –3 3/5 1/5 7/5 x2 –1/5 –2/5 –9/5 x6 –2/5 1/5 2/5 –17 –4/5 –3/5 –21/5 Hệ số sở Biến sở PACB –2 x4 –1 –3 Bảng i Trong bảng này mo ̣i  k ≤ 0, nên phương án x* = (0; 8; 0; 3; 0; 1) là PATU với fmin = f(x*) = – 17 Ví du ̣ Ví du ̣ sau cho thấ y bài toán không có phương án tố i ưu f= x2 – 3x3 → min, + 2x5 x1 + x2 – x3 – 4x2 + 4x3 + x4 –5x2 + 3x3 + x5 = 7, = 12, + x5 + x6 = 10, xj ≥ 0, j = 1, 2, , Ta giải bài toán bằ ng phương pháp đơn hình, xuấ t phát từ phương án cực biên x0 = (7, 0, 0, 12, 0, 10) với sở là các véctơ cô ̣t đơn vi ̣A1, A4, A6, tức là J0 = {1, 4, 6} Lâ ̣p bảng đơn hình thự tính tốn biến đổi theo thuật tốn đơn hình ta được: Biế n sở Hê ̣ số CB Phương án x1 x2 x3 -3 x4 x5 x6 x1 1 -1 x4 12 -4 0 x6 10 -5 1 10/3 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc i 29 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Bảng 0 -1 -2 x1 10 0 1/4 x3 -3 -1 1/4 0 x6 -2 -3/4 1 -9 -3/4 -2 Bảng Trong bảng có  = > mo ̣i phầ n tử ai2 ≤ (i = 1, 2, 3) nên bài toán không có PATU (vì hàm mu ̣c tiêu của bài toán giảm vô ̣n miề n ràng buô ̣c của nó) Nói cách khác, tốn QHTT cho khơng có lời giải Chú ý: Bài toán tìm g → max đươ ̣c thay bằ ng bài toán tìm f = – g → Ví du ̣ Giải bài toán qui hoa ̣ch tuyế n tính sau f = 3x1 – x2 – 2x3 → max, –x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7, 3x1 – 4x2 + 8x3 + x5= 10, 4x1 – 2x2 + x6= 12, xj ≥ 0, j = 1, 2, , Ta thay f bằ ng g = – f = – 3x1 + x2 + 2x3 → với cùng các điề u kiê ̣n Xuấ t phát từ phương án cực biên x0 = (0, 0, 0, 7, 10, 12), ta giải bài toán bằ ng phương pháp đơn hiǹ h (các Bảng - 3) Lời giải thu đươ ̣c là x* = (5, 4, 0, 0, 11, 0) với gmin = –11 Từ đó fmax = 11 Biế n sở Hê ̣ số CB Phương án x1 -3 x2 x3 x4 x5 x6 x4 -1 1 0 x5 10 -4 10/3 x6 12 -2 0 Bảng x4 x5 x1 -3 -1 -2 0 10 0 5/2 -5/2 -1/2 0 1/4 -3/4 1/4 Bảng x2 x5 x1 -3 -9 1/2 -2 0 -3/4 11 0 1 0 2/5 1/5 2/5 1/5 1/10 -1/2 3/10 Bảng -11 0 -11/5 -1/5 -4/5 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc i 30 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ví du ̣ Giả toán (C) : f(x) = 3x1 – 3x2 + x3 – x4 → min, –x1 + x2 + 2x3 + x4 x1 + x2 – x3 – x4 = 6, 3x1+ 2x2 – 6x3 + 3x4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ = 2, = 9, Đưa vào ba biế n giả x5, x6, x7 ≥ với hệ số giả M > (đủ lớn) ta bài toán (N) F = 3x1 – 3x2 + x3 – x4 + M (x5 + x6 + x7) → min, –x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 2, x1 + x2 – x3 – x4 + x6 = 6, 3x1 + 2x2 – 6x3 + 3x4 + x7 = 9, xj ≥ (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta giải bài toán (N) bằ ng phương pháp đơn hiǹ h, xuấ t phát từ phương án cực biên x0 = (0, 0, 0, 0, 2, 6, 9) Quá trình giải bài toán (N) đươ ̣c ghi tóm tắ t các bảng sau (Bảng - 4) Biế n sở x5 x6 x7 CB Phương án M M M Bảng 17M x2 -3 x6 M x7 M Bảng x2 -3 x6 M x1 Bảng x2 -3 x3 x1 9M-6 2M-6 Bảng x1 -1 3M3 -1 x2 -3 1 x3 -1 -6 4M +3