Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - Bài 4. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH docx

Dấu hiệu tối ưuNếu là một phương án cực biên của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc sao cho : thì x là phương án tối ưu, và ngược lại... Định lý 2: Nếu tồn tại véctơ ngoài cơ

Chương I

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Bài 4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

1 Giới thiệu chung: Ta xét bài toán

QHTT dạng chính tắc:

1 1

n

ij j i j

Hoặc viết dưới dạng:

0

f x c x

Ax b x

Giả sử bài toán đang xét ta đã biết một phương án cực biên dạng :

Ký hiệu : x j = ( ;x x1 j 2 j ; ; x mj )

Nếu mà ta đã biết được x là phương án tối

ưu nhờ một cách nào đó thì mục đích của ta đã xong

Nếu x không phải là phương án tối ưu thì ta tìm phương án cực biên khác tốt hơn tức là

phương án làm cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ

m j

2 Định lý 1.( Dấu hiệu tối ưu)

Nếu là một phương án cực biên của bài toán Quy

hoạch tuyến tính dạng chính tắc sao cho :

thì x là phương án tối ưu, và ngược lại

A

3 Định lý 2: Nếu tồn tại véctơ ngoài

cơ sở liên kết của phương án cực biên

sao cho và thì bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc không có phương án tối ưu Rõ hơn là hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên tập phương án

với phương án cực biên x=(6,8,0).

Xét xem x có phải là phương án tối ưu hay không ?

Giải: Véctơ x có cơ sở liên kết là:

Ta thấy tất cả các với mọi j Vậy x

là phương án tối ưu và giá trị tối ưu là:

f(x)=1.6+6.8+9.0=54

0

j

∆ ≤

Để dễ thấy ta sắp xếp các phép toán lên

6 8

1 0

0 1

2 1

f(x) 54 ∆ =1 0 ∆ = 2 0 ∆ = − 3 1

Bảng gồm 3 dòng, 6 cột Cột một ghi cơ liên kết của p án x, cột hai ghi hệ số liên kết của x, cột 3 ghi p án x, cột 4; 5; 6 ở dòng hai ghi toàn bộ ma trận A…

với phương án cực biên x=(5,0,7).

Xét xem x có phải là phương án tối ưu hay không ?

Giải: Véctơ x có cơ sở liên kết là:

5 7

1 0

-2 -1

0 1

1 0

∆ = ∆ = 2 3 ∆ = 3 0

Bảng gồm 3 dòng, 6 cột Cột một ghi cơ liên kết của p án x, cột hai ghi hệ số liên kết của x, cột 3 ghi p án x, cột 4; 5; 6 ở dòng hai ghi toàn bộ ma trận A…

Ví dụ 3: Cho bài toán

Chứng minh là phương án cực biên, tối ưu của bài tóan đã cho

Dễ thấy đây là hệ độc lập tuyến tính nên là phương án cực biên

này làm cho hàm mục tiêu nhỏ hơn

phương án x

j

A

10 20 0 ( ; ; ; m ;0;0; ;0)

Cách xây dựng phương án mới như sau:

Thay thế một véctơ trong cơ sở cũ bằng một véctơ nằm ngoài cơ sở cũ

Véctơ đưa vào thay thế ứng với

0

j

∆ >

Và khi đó phương án mới x’ được xác định theo công thức:

x′ = x − θ x x − θ x x − θ x θ

có thỏa định lý 1, hay định lý 2 không

Nếu không ta lại xây dựng một phương

án mới tốt hơn …

Hoặc có thể biểu diễn véctơ b theo cơ

Trước tiên ta xem x có phải p án tối

ưu hay không

Để thuận tiện ta sắp xếp các phần tử lên

6 8

1 0

1 2

0 1

4 5

Véctơ đưa vào thay thế đó là A4

x x

=

theo cơ sở này ta được

6 8

Từ đó ta có p án mới là:

1 3 0,0, ,

có phải là p án tối ưu không

Để tiện theo dõi ta sắp xếp lên bảng:

3/2 1/2

1/4 -5/4

1/4 3/4

0 1

1 0

Ta liên hệ hai bảng này với nhau:

6 8

1 0

1 2

0 1

4 5

3/2 1/2

1/4 -5/4

1/4 3/4

0 1

1 0

5 Phương pháp đơn hình cho bài toán chính tắc có sẵn ma trận đơn vị:

1 2

( , , , ,0,0, ,0) 0m

véctơ cơ sở ở trên

Để thuận tiện cho việc tính toán ta sắp xếp các dữ liệu lên bảng sau mà ta gọi là

bảng đơn hình

bm

1 0

0

0

0 1

0

0

0 0

0

xsn

xmn

f(x) f0 0 0 0 ∆m+1 ∆k ∆n

Nếu mà ứng với j này

thì bài toán không có phương án tối ưu

Nếu không thỏa bước 1 ta sang bước 2.Bước 2:

i) Xác định ,véctơ

ii) Xác định véctơ đưa ra khỏi cơ sở

Bước 4: Tính toán các phần tử trên dòng cuối cùng và quay lại bước 1.

Ví dụ 1: Giải bài toán

0

0 1

0

0 0

1

2 1 3

1 3

1

Bài toán đã có dấu hiệu tối ưu, phương

án tối ưu là , giá trị tối ưu -98

(10,12,15,0,0)

x =

Ví dụ 2: Giải bài toán

-2 -4 1 -1 0 0

cs Hs Pa x1 x2 x3 x4 x5 x6 A5

A6

A4

0 0 -1

4 3

3

1 2

0

3 1

1

0 -1

4

0 0

1

1 0

0

0 1

4/3 5/3 5/3

1/3 5/3 -1/3

1 0

0

0 -1

4

0 0 1

1/3 -1/3 -1/3

0 1

0 f(x) -7 1 0 -5 0 -1 0 A2

A1

A4

-4 -2 -1

1 1

2

0 1

0

1 0

0

1/5 -3/5 19/5

0 0

1

2/5 -1/5 -2/5

-1/5 3/5 1/5

f(x) -8 0 0 -22/5 0 -4/5 -3/5

Ví dụ 3: Giải bài toán

Giải: Đây không phải là bài toán chính tắc,

ta sẽ đưa về bài toán chính tắc bằng cách

thêm vào các ẩn phụ , bài toán

, , 0

-2 3 -1 0 0 0

cs Hs Pa x1 x2 x3 x4 x5 x6 A4

A5

A6

0 0

0

15 20

10

1 3

4

-5 2

0

1 -2

1

1 0

0

0 1

0

0 0

25/2 25/2 5/2

0 0 1

-5 2

0

3/4 -11/4 1/4

1 0 0

0 1 0

-1/4 -3/4 1/4 f(x) -5 0 -3 1/2 0 0 -1/2 A4

A5

A3

0 0 -1

5 40

10

-3

11 4

-5 2

0

0 0

1

1 0

0

0 1 0

-1 2 1

f(x) -10 -2 -3 0 0 0 -1

Đối với bài toán max ta có các kết qủa sau:

f x

Ax b x

Định lý 2 ’: Nếu tồn tại véctơ A j ngoài cơ sở

…,x m0 ,0,0, 0) sao cho và

thì bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng

chính tắc không có phương án tối ưu Rõ

hơn là hàm mục tiêu không bị chặn trên,

Định lý 3 ’ :Nếu tồn tại véctơ A j ngoài cơ

sở liên kết của phương án cực biên

và với mỗi j mà ta luôn tìm được ít nhất một , thì khi đó ta có thể tìm

được một phương án cực biên mới tốt

hơn x, nghĩa là phương án này làm cho

hàm mục tiêu lớn hơn phương án x

Khi chọn véctơ cơ sở đưa vào ta chọn , chọn véctơ đưa ra như trường hợp min

Ví dụ 4: Giải bài toán

Giải: Đây không phải là bài toán chính tắc,

ta sẽ đưa về bài toán chính tắc bằng cách

thêm vào các ẩn phụ vào các bất phương trình thứ hai và thứ ba, bài toán trở thành

4 , 5 0

x x ≥

2 3 1 0 0

cs Hs Pa x1 x2 x3 x4 x5 A3

A4

A5

1 0

0

6 7

5

1 2 -1

-5 2

2

1 0

0

0 1

0

0 0

1

3

37/2 2 5/2

-3/2 3 -1/2

0 0

1

1 0

0

0 1 0

5/2 -1 1/2 f(x) 26 -5 0 0 0 4 A3

A1

A2

1 2 3

39/2 2/3 17/6

0

1 0

0 0

1

1 0

0

1/2 1/3 1/6

2 -1/3 1/3

f(x) 88/3 0 0 0 -5/3 -7/3

Ví dụ 5: Cho bài tóan Quy họach tuyến tính

mà ta gọi là bài tóan (P)

Chứng minh là phương án cực biên, nhưng không phải là phương án

tối ưu của bài tóan (P) Hãy xây dựng một phương án cực biên mới tốt hơn phương án

x nói ở trên, và kiểm tra tính tối ưu của

6 Thuật toán đơn hình cho bài toán

chính tắc không có sẵn ma trận đơn vị:

Giả sử bài toán chính tắc

( ) min

(*) 0

f x

Ax b x

Giả sử ma trận A còn thiếu m véctơ đơn vị

đó bài toán có dạng như sau:

( ) 0

Định lý 4:

a) Nếu bài toán (*) có phương án thì mọi

phương án cực biên tối ưu

của bài toán (M) phải có

b) Nếu bài toán (*) có phương án tối ưu

thì bài toán (M) có phương

án tối ưu và ngược lại

Khi giải bài toán (M) bằng phương pháp

đơn hình thì các biểu thức f và có chứa

tham số M Ở dòng cuối của bảng đơn hình

ta chia làm hai dòng, dòng trên ghi các hệ

số đứng trước M, dòng cuối ghi các hệ số

tự do , vì M là số dương rất lớn nên khi so sánh các số ta có quy ước

0, 0

Giải: Đưa vào các ẩn giả x5, x6, x7 ta có bài toán (M) :

tử lên bảng đơn hình và tính toán ta có bảng sau:

-3 1 3 -1 M M M

CS HS Pa x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7A5

A6

A7

M M M

2 9 6

1 2 1

2 -6 -1

-1 3 1

1 3 -1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

f(x) 17

0

4 3

-5 -1

3 -3

3 1

0 0

0 0

0 0 A1

A6

A7

-3 M M

2 5 4

1 0 0

2 -10 3

-1 5 2

1 1 -2

1 -2 -1

0 1 0

0 0 1

f(x) 9

-6

0 0

-13 -7

7 0

-1 -2

-4 -3

0 0

0 0

A3

A7

-3 3 M

3 1 2

1 0 0

0 -2 1

0 1 0

6/5 1/5 -12/5

3/5 -2/5 -1/5

1/5 1/5 -2/5

0 0 1

f(x) 2

-6

0 0

1 -7

0 0

-12/5 -2

-6/5 -3

-7/5 0

0 0

3 5 2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

6/5 -23/5 12/5

3/5 -4/5 -1/5

1/5 -3/5 -2/5

0 2 1

f(x) 0

8

0 0

0 0

0 0

0 -94/5

-1 -22/5

-1 -14/5

-1 7

Bài tập: Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính

1 -2 2 0 -

Co So CJ Ph.An x1 x2 x3 x4 - A1 1 6 1 1 0 4 A3 2 8 0 2 1 5 -

0 7 0 14 - A4 0 3/2 1/4 1/4 0 1 A3 2 1/2 -5/4 3/4 1 0 - -7/2 7/2 0 0 - A4 0 4/3 2/3 0 -1/3 1 A2 -2 2/3 -5/3 1 4/3 0 - 7/3 0 -14/3 0 - A1 1 2 1 0 -1/2 3/2 A2 -2 4 0 1 1/2 5/2 -

0 0 -7/2 -7/2

1 -7 -2 6 0 0 -M -M

-Co So CJ Ph.An A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

A7 -M 10 1 3 1 1 -1 0 1 0

A8 -M 15 2 5 1 4 0 -1 0 1

(M) -3 -8 -2 -5 1 1 0 0

-1 7 2 -6 0 0 0 0

A7 -M 1 -1/5 0 2/5 -7/5 -1 3/5 1 -3/5 A2 -7 3 2/5 1 1/5 4/5 0 -1/5 0 1/5

(M) 1/5 0 -2/5 7/5 1 -3/5 0 8/5 -19/5 0 3/5 -58/5 0 7/5 0 -7/5

A6 0 5/3 -1/3 0 2/3 -7/3 -5/3 1 5/3 -1

A2 -7 10/3 1/3 1 1/3 1/3 -1/3 0 1/3 0

(M) 0 0 0 0 0 0 1 1

-10/3 0 -1/3 -25/3 7/3 0 -7/3 0

A6 0 25 2 7 3 0 -4 1 4 -1

A4 6 10 1 3 1 1 -1 0 1 0

(M) 0 0 0 0 0 0 1 1

5 25 8 0 -6 0 -6 0

-Bài toán không có phương án tối ưu

xí nghiệp có lần lượt là 57, 88, 30 đơn vị

nguyên liệu Số đơn vị nguyên liệu cần để sản xuất một đơn vị sản phẩm A, B, C được cho ở bảng sau đây

sản phẩm loại A, lãi 40 triệu đồng cho một đơn

vị sản phẩm loại B, lãi 40 triệu đồng cho một

đơn vị sản phẩm loại C.

2) Một gia đình cần ít nhất 1800 đơn vị prôtêin

và 1500 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày

Một kilôgam thịt bò chứa 600 đơn vị prôtêin và

600 đơn vị lipit, một kilôgam thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin và 300 đơn vị lipit, một kilôgam thịt gà chứa 600 đơn vị prôtêin và 600 đơn vị

lipit Giá một kilôgam thịt bò là 82 ngàn đồng, giá một kilôgam thịt heo là 73 ngàn đồng, giá

một kilôgam thịt gà là 90 ngàn đồng

Hỏi một gia đình nên mua bao nhiêu kilôgam

thịt mỗi loại để: bảo đảm tốt khẩu phần ăn trong một ngày và tổng số tiền phải mua là nhỏ nhất?