BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH_ Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính ppsx

Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc có vế phải không âm và mỗi phương trình đều có một biến số với hệ số bằng 1 đồng thời không có trong các phương trình khác gọi là biến cô l

Trường Đại học kinh tế kỹ thuật công

nghiệp

Bộ môn khoa học cơ bản

BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 1: Bài toán quy hoạch

tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG

QUY HO CH TUY N T NH ẠCH TUYẾN TÍNH ẾN TÍNH ÍNH

Chương I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG I:

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

i j

ij

1 i

n

1 j

j ij

n

1 j

j j

Ii

bx

a

Ii

b

xa

(max)min

xcx

f

■ Một số khái niệm :

Phương án: Vectơ x = (x1, x2, , xn) thoả mãn mọi điều

kiện ràng buộc của bài toán gọi là một phương án.

-Nếu thì ràng buộc i gọi là “chặt” đối với phương án x, hoặc phương án x thoả mãn chặt ràng buộc i

i j

ijx ba

-Nếu thì ràng buộc i gọi là “lỏng” đối với phương án x, hoặc phương án x thoả mãn lỏng ràng buộc i

i j

ijx ( )ba

Phương án tối ưu: Một phương án mà tại đó trị số hàm

mục tiêu đạt cực tiểu (hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu

Phương án cực biên: Một phương án thỏa mãn chặt n ràng

buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên

0 x

) m 1, (i

b x

a

(max) min

x c x

j ij

n

1 j

j j

Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương

án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia

●Cách đưa bài toán về dạng chính tắc

-Nếu xj ≤ 0 thì đổi biến xj’= −xj ≥ 0.

-Nếu một ràng buộc có dạng thì có thể thay bằng với và hệ số của

trong f(x) bằng 0 Các biến gọi là biến phụ.

-Nếu một ràng buộc có dạng thì thay bằng ,

i j

i

p i j

i j

ijx b a







n

1 j

i

p i j

i 

Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:f(x) = –2x1 + x2 + 3x3 + 5x4  min

x1 – 3x2 + 5x3 – x4  16 2x1 – x2 – 2x3 + 2x4 ≥ – 4

Các biến phụ sẽ được đánh số tiếp là x5, x6.

1.3 Bài toán dạng chuẩn

 





















































































) n 1, (j

0 x

b x

a

x a x a x

b x a

x a x a x b x a

x

a x

a x

(max) min

x c x

f

j

m n

mn 2

m 2

mm 1

m 1 mm m

2 n

2n 2

m 2

2m 1

m 1

2m 2

1 n

1n 2

m 2

1m 1

m 1 1m 1

n

1 j

j j

Trong đó: b  0, (i  1, m )

Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc có vế phải không âm và mỗi phương trình đều có một biến số với hệ số bằng 1 đồng thời không có trong các phương trình khác (gọi

là biến cô lập với hệ số bằng 1)

Từ hệ phương trình ràng buộc của bài toán dễ dàng suy ra một phương án đầu tiên: x0 = (b1, b2, …,bm, 0, 0,…, 0), với

cơ sở là {A1, A2,…Am} = E, đó là phương án cực biên

1.4 Các tính chất chung

1 Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên:

Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n thì bài toán có phương án cực biên

Hạng của ma trận hệ ràng buộc của bài toán dạng chính tắc luôn luôn bằng n nên nếu bài toán chính tắc có phương

án thì phải có phương án cực biên

2 Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu:

Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn

trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

3 Tính chất 3: Tính hữu hạn của số phương án cực biên:

tính đều hữu hạn

1.5 Phương pháp đơn hình

1 Nội dung của phương pháp:

Xuất phát từ một phương án cực biên đầu tiên, tìm cách đánh giá phương án cực biên ấy, nếu nó chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn, quá trình được lặp lại vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn hoặc sẽ tìm được phương án tối ưu

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho những bài toán

có phương án cực biên, tuy nhiên mọi bài toán QHTTT đều

có thể đưa về bài toán dạng chính tắc, và khi nó đã có

phương án thì sẽ có phương án cực biên

Do đó không làm mất tính chất tổng quát từ đây ta sẽ chỉ xét bài toán dạng chính tắc

2 Cơ sở của phương án cực biên:

hàm hệ thống các vectơ tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x gọi là cơ sở của phương án cực

biên ấy

Ký hiệu: J, trong đó: J = {j, Aj nằm trong cơ sở}

Một phương án cực biên không suy biến có đúng m thành phần dương, có một cơ sở duy nhất, đó chính là các vectơ

tương ứng với các thành phần dương, còn phương án cực biên suy biến thì có nhiều cơ sở khác nhau, phần chung của chúng

là các vectơ tương ứng với các thành phần dương

3 Thuật toán của phương pháp đơn hình

Giả sử đã biết phương án cực biên x0, cơ sở J0 Lập

bảng đơn hình tương ứng:

Hệ số

cJ

Cơ sở J

Phương án: xJ cx1 c2 … cr … cm cm+1 … ck … cs … cn

Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

Tính các ước lượng ∆k theo công thức:

-Nếu ∆k ≤ 0, (k  J0) thì x0 là phương án tối ưu

-Nếu ∆k > 0 thì x0 không phải là phương án tối ưu, chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra tính không giải được của bài toán:

-Nếu tồn tại một ∆k > 0 mà xjk ≤ 0 (j  J0) thì bài toán không có phương án tối ưu

-Nếu với mỗi ∆k > 0 đều có ít nhất một xjk > 0 thì chuyển sang bước 3

k jk

j

Δ

Bước 3: Chọn vectơ đưa vào cơ sở và xác định vectơ loại khỏi cơ sở:

-Giả sử , vectơ As được đưa vào cơ sở,

0

x

xmin

Vectơ Ar bị loại khỏi cơ sở

Phần tử xrs gọi là phần tử xoay của phép biến đổi

Lập bảng đơn hình mới, thay xs vào vị trí xr, và cs vào

vị trí cr Chuyển sang bước 4

Bước 4: Biến đổi bảng: Thực hiện phép biến đổi cơ sở tổng

quát cho toàn bộ bảng (bao gồm cả hàng ước lượng k)

-Để tính hàng vectơ đưa vào (xs) trong bảng mới ta lấy hàng vectơ loại ra (xr) trong bảng cũ chia cho phần tử xoay -Để tính hàng xj trong bảng mới, ta lấy hàng xj trong

bảng cũ trừ đi hàng xs vừa mới tính được sau khi nhân nó

với xjs

Kết quả của quá trình biến đổi sẽ cho ta bảng đơn hình

ứng với phương án cực biên mới x1, tốt hơn x0

Đối với x1 quay trở lại bước 1 và quá trình lặp lại sau một

số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu hoặc kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn

Ví dụ 1: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:

Trước hết đưa bài toán về dạng chính tắc bằng cách cộng vào ràng buộc hai và ba hai biến phụ x5 và x6 Ta có:

f(x) = 2x1 + 3x2 – x3 – 1/2x4  min

x1 – x2 + x3 + 1/2x4 = 18

x2 – 4x3 + 8x4 + x5 = 8 –2x2 + 2x3 – 3x4 + x6 = 20

Bài toán có dạng chuẩn, các biến cô lập là x1, x5, x6 nên phương án cực biên tương ứng x0 = (18, 0, 0, 0, 8, 20), cơ

sở là {A1, A5, A6}, do đó ta có thể lập ngay được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên x0:

Ở bước 1 ta thấy phương án tương ứng chưa tối ưu Vectơ đưa vào cơ

sở là A3 ứng với 3 = 3, θ0 = 20/2 nên vectơ A6 bị loại khỏi cơ sở, phần

tử xoay là [2].

01

10

4 Các chú ý khi áp dụng thuật toán:

1) Đối với bài toán có hàm f(x)  max thì có thể chuyển về giải bài toán với hàm g(x) = −f(x)  min

chú ý là fmax = −gmin

hoặc cũng có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu là k ≥ 0, dấu hiệu để điều chỉnh phương án là k < 0, còn các yếu tố

khác của thuật toán không đổi

2) Chọn vectơ đưa vào cơ sở ứng với là với hy vọng làm trị số hàm mục tiêu giảm nhiều nhất sau mỗi bước biến đổi, tuy nhiên vectơ đưa vào cơ sở thực sự làm trị số hàm

mục tiêu giảm nhiều nhất phải ứng với nhưng trên nguyên tắc thì đưa bất kỳ vectơ nào ứng với k > 0 vào

cơ sở cũng cải tiến được phương án

Δ θ Δ max

k 

3) Trường hợp bài toán suy biến thì θ0 có thể bằng 0, khi

θ0 = 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường, nghĩa là vectơ ứng với θ0 vẫn bị loại khỏi cơ sở

Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến là θ0đạt tại nhiều chỉ số, khi đó vectơ loại khỏi cơ sở được chọn trong số những vectơ ứng với θ0 theo quy tắc ngẫu nhiên.

Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý hai trường hợp:

-Phương án cực biên x0 có cơ sở J0 là cơ sở đơn vị, lúc

đó ma trận hệ số phân tích của [ A | b] theo cơ sở đơn vị là

chính nó nên ta có thể lập ngay được bảng đơn hình

Bài toán dạng chuẩn là bài toán cho ngay một phương

án cực biên với cơ sở là đơn vị, nên từ bài toán ta có thể lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ấy

-Nếu J0 không phải là cơ sở đơn vị thì để lập bảng đơn hình trước hết cần phải tìm ma trận hệ số phân tích theo J0

Để làm điều này ta viết ma trận mở rộng [A | b] sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận, biến đổi sao cho các vectơ cơ sở trở thành các vectơ đơn vị khác nhau Khi đó ma trận mở rộng sẽ trở thành ma trận hệ

số phân tích

Ví dụ 2: Cho bài toán:

f(x) = −2x1 − 6x2 + 8x3 – 5x4  min

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 8

Dễ thấy rằng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán,

các ràng buộc là độc lập tuyến tính, vậy x0 là phương án cực biên không suy biến

Để giải bài toán bằng phương pháp đơn hình trước hết phải đưa bài toán về dạng chính tắc

Từ x0 suy ra phương án cực biên không suy biến của bài toán dạng chính tắc: = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với cơ sở là J0

= {A1, A5, A6} không phải là cơ sở đơn vị

Vì vậy để lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ta phải tìm ma trận hệ số phân tích của ma trận

điều kiện của bài toán dạng chính tắc qua cơ sở J0

Chú ý rằng vế phải của ma trận hệ số phân tích phải

trùng với các thành phần cơ sở của phương án cực biên

0

x

0

x

Quá trình biến đổi thực hiện trên các ma trận sau:

Trên cơ sở ma trận hệ số phân tích, lập bảng đơn hình

8

1 0

2

0 1

3

0 0

1

4 1

0

5 5

0

3 2

1 20

2

8

1 0

2

0 1

5

0 0

1

8 7

4

1 1

2

3 2

1

4) Bài toán dạng chính tắc nhưng không phải dạng chuẩn đồng thời không biết phương án cực biên, muốn áp dụng thuật toán cần phải tìm một phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

Không làm mất tính tổng quát có thể giả thiết

Từ bài toán đã cho xây dựng một bài toán phụ, ký hiệu là P bằng cách cộng vào vế trái phương trình ràng buộc i một

biến giả với hàm mục tiêu là tổng các biến giả đã thêm vào và hàm mục tiêu này phải đạt cực tiểu

Ký hiệu xg  Rm là vectơ các biến giả, hàm mục tiêu của bài toán phụ là P(x, xg)

Khi đó bài toán phụ có dạng:

0 x

), n 1, (j

0 x

) m 1, (i

b x

x a

min x

x x, P

g i j

i

g i

n

1 j

j ij

m

1 i

g i g

Bài toán P là bài toán dạng chuẩn và hàm mục tiêu bị chặn dưới nên luôn luôn giải được Dùng thuật toán giải bài toán

P, sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án tối ưu

, ký hiệu P = Pmin

Có hai trường hợp xảy ra:

a) Pmin > 0, khi đó bài toán xuất phát không có phương án

b) Pmin = 0, khi đó , = 0,

phương án tối ưu có dạng:

suy ra là phương án cực biên của bài toán xuất phát

) x

xig   xg

0) x

, x ( g 

x

Để áp dụng được thuật toán cho phương án cực biên cần phải biết cơ sở của nó Hai trường hợp có thể xảy ra:

-Trong cơ sở của phương án cực biên tối ưu

không có các vectơ tương ứng với các biến giả, khi đó cơ

sở của phương án cực biên này cũng là cơ sở của phương

án cực biên , để có bảng đơn hình tương ứng chỉ cần tính lại hàng ước lượng k theo hàm f và tiếp tục thuật toán

x

0)x

,x

x

-Trong cơ sở của phương án cực biên tối ưu có

ít nhất một vectơ biến giả, thành phần tương ứng , phương án cực biên là suy biến Trường hợp này để tiếp

tục tính toán, trước hết ta loại các cột ứng với k(P) < 0 (và các cột xg

i phi cơ sở), sau đó tính lại các ước lượng k theo hàm f và tiếp tục thuật toán

0)x

,x

0

xgi 

Khi giải bài toán P cần chú ý một số đặc điểm sau:

- Khi xây dựng bài toán phụ chỉ cộng thêm biến giả vào

những phương trình cần thiết (nhằm tạo ma trận điều kiện của bài toán phụ có đủ m vectơ đơn vị)

- Một biến giả đã bị loại khỏi cơ sở thì cột tương ứng không cần tính ở các bước tiếp sau

- Chỉ được áp dụng công thức đổi cơ sở cho hàng ước

lượng khi hai bảng kế tiếp có cùng tên hàm mục tiêu

Ví dụ 3: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình:

Đưa bài toán về dạng chính tắc:

P(x, xg) = xg

1 + xg

3  min

01

10

5

11

−5/21/2 1/2

f(x) k  0 (kJ), phương án tương ứng là tối ưu:

x* = (11, 3, 0, 0, 5) và f* = 45

1.6 Phương pháp đơn hình đối ngẫu

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

Bài toán đối ngẫu của bài toán (I) có dạng sau:

1 i

j i

ij

m

1 i

i i

n 1, j

c y

a

max y

b y

f

~

) I

~ (

Quy tắc thành lập bài toán đối ngẫu:

- Nếu f(x)  min thì và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng “  ”

- Nếu f(x)  max thì và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng “ ≥ ”

- Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến số trong bài toán kia, nghĩa là tương ứng với một ràng buộc của bài toán này là một biến số của bài toán kia

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia

- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của

nhau

- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc

về dấu

Định nghĩa: Cặp ràng buộc đối ngẫu: 2 ràng buộc bất đẳng

thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu

Trong bài toán (I) và có n cặp ràng buộc đối ngẫu:(~I )

j i

ij

x

Cách viết bài toán đối ngẫu:

Trừ các ràng buộc về dấu, ta cho tương ứng với mỗi

phương trình ràng buộc i của bài toán gốc một biến của bài toán đối ngẫu , thực hiện phép nhân vô hướng vectơ y lần lượt với vectơ b và các vectơ ta

sẽ được hàm mục tiêu và toàn bộ hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu

Ví dụ 1: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

f(x) = −3x1 + 5x2 + 4x3 – 2x4 + x5  max

2x1 − 3x2 − x3 + 6x4 – 2x5 + 2x6 = –14 −x1 + 2x2 + 5x3 + 3x5 − 4x6 = 8

Bài toán đối ngẫu có 3 biến số y1, y2, y3

Theo cách viết trên ta có:

= – 14y1 + 8y2 + 12y3  min

Đối với bài toán bất kỳ thì đưa bài toán về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫu của bài toán này và gọi nó

là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho

Xét bài toán sau gọi là bài toán (II):

0x

)m1,(i

bx

a

minx

cx

j ij

n

1 j

j j

(II)

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II’):

1,(j

0x

)m1,(i

bx

xa

minx

cx

f

j

i i

n

n

1 j

j ij

n

1 j

j j

(II’)

Bài toán đối ngẫu của (II’) và cũng là bài toán đối ngẫu của (II) có dạng:

0 y

) n 1, (j

c y

a

max y

b y

i ij

m

1 i

i i

j i

ij

j 0 a y c j 1, nx

i 1, m

0 y

b x

a i i

n

1 j

Lược đồ tổng quát xây dựng bài toán đối ngẫu:

xj không có ràng buộc dấu

j ij

1

n

1 j

i j

ij

n

1 j

j j

I i

b x

a

I i

b x

a

min x

c x

i i

i ij

m

1 i

1 j

i ij

2 i

Jj

cy

a

Jj

cy

a

Ii

0y

Ví dụ 2: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

f(x) = −4x1 + x2 + 5x3 + 3x5  min

3x1 − 6x2 − x3 + 2x4 + 4x5 ≥ –15

−2x1 + 3x2 + 4x3 − 5x4 + x5  8 − 6x2 + 3x3 + 8x4 − 4x5 = 9

3x1 + 2x2 − 3x4 + x5 ≥ 24  x1, x3, x5 ≥ 0

Quy về bài toán chính tắc:

f(x) = −4x1 + x2 + 5x3 + 3x5  min

3x1 − 6x2 − x3 + 2x4 + 4x5 − x6 = –15

−2x1 + 3x2 + 4x3 − 5x4 + x5 + x7 = 8

− 6x2 + 3x3 + 8x4 − 4x5 = 9 3x1 + 2x2 − 3x4 + x5 − x8 = 24