BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH_ Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính ppsx

Trường Đại học kinh tế kỹ thuật công nghiệp Bộ môn khoa học cơ bản BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG QUY HO CH TUY N Ạ Ế T NHÍ Chương I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương II: BÀI TOÁN VẬN TẢI Chương III: MÔ HÌNH SƠ ĐỒ MẠNG LƯỚI CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.2. Bài toán dạng chính tắc 1.3. Bài toán dạng chuẩn 1.4. Các tính chất chung 1.5. Phương pháp đơn hình 1.6. Phương pháp đơn hình đối ngẫu 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu Mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện gọi là một ràng buộc. ( ) ( ) ( ) ( )        ∈≤≥ ∈= →= ∑ ∑ ∑ = = = 2 n 1j ijij 1i n 1j jij n 1j jj Ii bxa Ii bxa (max)min xcxf ■ Một số khái niệm : Phương án Phương án : : Vectơ x = (x Vectơ x = (x 1 1 , x , x 2 2 , , x , , x n n ) thoả mãn mọi điều ) thoả mãn mọi điều kiện ràng buộc của bài toán gọi là một phương án kiện ràng buộc của bài toán gọi là một phương án . . -Nếu thì ràng buộc i gọi là “chặt” đối với phương án x, hoặc phương án x thoả mãn chặt ràng buộc i. ∑ = = n 1j ijij bxa -Nếu thì ràng buộc i gọi là “lỏng” đối với phương án x, hoặc phương án x thoả mãn lỏng ràng buộc i. ∑ = <> n 1j ijij )b(xa Phương án tối ưu: Một phương án mà tại đó trị số hàm mục tiêu đạt cực tiểu (hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu. Phương án cực biên: Một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên. 1.2. Bài toán dạng chính tắc: ( )        =≥ == →= ∑ ∑ = = )n1,(j0x )m1,(ibxa (max)min xcxf j i n 1j jij n 1j jj Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia ●Cách đưa bài toán về dạng chính tắc -Nếu x j ≤ 0 thì đổi biến x j ’= −x j ≥ 0. -Nếu một ràng buộc có dạng thì có thể thay bằng với và hệ số của trong f(x) bằng 0. Các biến gọi là biến phụ. -Nếu một ràng buộc có dạng thì thay bằng , -Nếu x j không có ràng buộc dấu thì đặt x j = x j ’− x j ’’, với x j ’, x j ’’≥ 0. ∑ = ≤ n 1j ijij bxa ∑ = =+ n 1j i p ijij bxxa 0x p i ≥ p i x p i x ∑ = ≥ n 1j ijij bxa ∑ = =− n 1j i p ijij bxxa 0x p i ≥ Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc: f(x) = –2x 1 + x 2 + 3x 3 + 5x 4 ⇒ min x 1 – 3x 2 + 5x 3 – x 4 ≤ 16 2x 1 – x 2 – 2x 3 + 2x 4 ≥ – 4 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 9 x 1 , x 2 ≥ 0, x 3 ≤ 0          Các biến phụ sẽ được đánh số tiếp là x 5 , x 6 . Đặt x 3 ’= – x 3 ≥ 0, x 4 = x 4 ’ – x 4 ’’, x 4 ’, x 4 ’’ ≥ 0. Ta được bài toán chính tắc tương đương sau: f(x) = –2x 1 + x 2 – 3x 3 ’ + 5x 4 ’ – 5x 4 ’’ ⇒ min x 1 – 3x 2 – 5x 3 ’ – x 4 ’ + x 4 ’’ + x 5 = 16 2x 1 – x 2 + 2x 3 ’ + 2x 4 ’ – 2x 4 ’’ – x 6 = –4 4x 1 + 3x 2 – x 3 ’ + x 4 ’ – x 4 ’’ = 9 x 1 , x 2 , x 3 ’, x 4 ’, x 4 ’’, x 5 , x 6 ≥ 0          [...]... của bài toán dễ dàng suy ra một phương án đầu tiên: x0 = (b1, b2, …,bm, 0, 0,…, 0), với cơ sở là {A1, A2,…Am} = E, đó là phương án cực biên 1.4 Các tính chất chung 1 Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên: Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n thì bài toán có phương án cực biên Hạng của ma trận hệ ràng buộc của bài toán dạng chính tắc luôn luôn bằng n nên nếu bài toán. .. nên nếu bài toán chính tắc có phương án thì phải có phương án cực biên 2 Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu: Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu 3 Tính chất 3: Tính hữu hạn của số phương án cực biên: Số phương án cực biên của mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều hữu hạn 1.5 Phương pháp đơn hình 1 Nội dung của phương pháp:... bước hoặc sẽ kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn hoặc sẽ tìm được phương án tối ưu Phương pháp này chỉ áp dụng được cho những bài toán có phương án cực biên, tuy nhiên mọi bài toán QHTTT đều có thể đưa về bài toán dạng chính tắc, và khi nó đã có phương án thì sẽ có phương án cực biên Do đó không làm mất tính chất tổng quát từ đây ta sẽ chỉ xét bài toán dạng chính tắc 2... nhưng xj3 < 0 (∀j ∈ J), bài toán không có phương án tối ưu 4) Bài toán dạng chính tắc nhưng không phải dạng chuẩn đồng thời không biết phương án cực biên, muốn áp dụng thuật toán cần phải tìm một phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc Xét bài toán dạng chính tắc: n f ( x ) = ∑ c j x j → min j=1 n ∑ a ij x j = b i (i = 1, m)  j=1  x ≥ 0 (j = 1, n )  j  Không làm mất tính tổng quát có thể... = 1, m) ∑  j=1  x ≥ 0 (j = 1, n ), x g ≥ 0 i = 1, m i  j  ( ) Bài toán P là bài toán dạng chuẩn và hàm mục tiêu bị chặn dưới nên luôn luôn giải được Dùng thuật toán giải bài toán P, sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án tối ưu ( x, x g ) ( x, x g ) , ký hiệu P = Pmin Có hai trường hợp xảy ra: a) Pmin > 0, khi đó bài toán xuất phát không có phương án ( ) g x = 0 i = 1, m , x= 0, g phương... thể giả thiết ( b i ≥ 0, i = 1, m ) Từ bài toán đã cho xây dựng một bài toán phụ, ký hiệu là P bằng cách g cộng vào vế trái phương trình ràng buộc i một x i ≥ 0, i = 1, m biến giả với hàm mục tiêu là tổng các biến giả đã thêm vào và hàm mục tiêu này phải đạt cực tiểu Ký hiệu xg ∈ Rm là vectơ các biến giả, hàm mục tiêu của bài ( ) toán phụ là P(x, xg) Khi đó bài toán phụ có dạng: P( x, x ) = ∑ x ig →... phân tích Ví dụ 2: Cho bài toán: f(x) = −2x1 − 6x2 + 8x3 – 5x4 ⇒ min x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 8          −2x1 + x2 + x3 − 5x4 ≤ 2 4x1 + 7x2 − 8x3 + 2x4 ≥ 20 xj ≥ 0 (j = 1…4) và vectơ x0 = (8, 0, 0, 0) Chứng tỏ x0 là phương án cực biên, lợi dụng x0 giải bài toán bằng phương pháp đơn hình Dễ thấy rằng x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán, các ràng buộc là độc lập tuyến tính, vậy x0 là phương... xmn 0 0 … 0 … 0 ∆m+1 … ∆k … ∆s … ∆n Bước 1: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu: Tính các ước lượng ∆k theo công thức: Δ = k ∑c x j∈J j jk − ck -Nếu ∆k ≤ 0, (∀k ∉ J0) thì x0 là phương án tối ưu -Nếu ∆k > 0 thì x0 không phải là phương án tối ưu, chuyển sang bước 2 Bước 2: Kiểm tra tính không giải được của bài toán: -Nếu tồn tại một ∆k > 0 mà xjk ≤ 0 (∀j ∈ J0) thì bài toán không có phương án tối ưu -Nếu với mỗi... tính, vậy x0 là phương án cực biên không suy biến Để giải bài toán bằng phương pháp đơn hình trước hết phải đưa bài toán về dạng chính tắc f(x) = −2x1 − 6x2 + 8x3 – 5x4 ⇒ min          x1 + 2x2 − 3x3 + x4 −2x1 + x2 + x3 − 5x4 + x5 4x1 + 7x2 − 8x3 + 2x4 xj ≥ 0 (j = 1…6) = 8 = 2 – x6 = 20 Từ x0 suy ra phương án cực biên không suy biến của bài toán dạng chính tắc: x 0 = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với cơ... tối ưu của hàm mục tiêu là: f* = –18 4 Các chú ý khi áp dụng thuật toán: 1) Đối với bài toán có hàm f(x) ⇒ max thì có thể chuyển về giải bài toán với hàm g(x) = −f(x) ⇒ min chú ý là fmax = −gmin hoặc cũng có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu là ∆k ≥ 0, dấu hiệu để điều chỉnh phương án là ∆k < 0, còn các yếu tố khác của thuật toán không đổi 2) Chọn vectơ đưa vào cơ sở ứng với max ∆ k là với hy . Chương I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương II: BÀI TOÁN VẬN TẢI Chương III: MÔ HÌNH SƠ ĐỒ MẠNG LƯỚI CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng. bản BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG QUY HO CH TUY N Ạ Ế T NHÍ Chương. tổng quát 1.2. Bài toán dạng chính tắc 1.3. Bài toán dạng chuẩn 1.4. Các tính chất chung 1.5. Phương pháp đơn hình 1.6. Phương pháp đơn hình đối ngẫu 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Hàm