Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và ví dụ; Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính; Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở; Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương 3: Ánh xạ tuyến tính Nội dung - I – Định nghĩa ví dụ II – Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính III – Ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng I Định nghĩa ví dụ - Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X Y khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc y để y = f(x) f : X Y x X , ! y Y : y f ( x) Ánh xạ f gọi đơn ánh x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Ánh xạ f gọi toàn ánh y Y , x X : y f ( x) Ánh xạ f gọi song ánh đơn ánh toàn ánh I Định nghĩa ví dụ -Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V W hai không gian véctơ trường số K Ánh xạ tuyến tính f : V W hai không gian véctơ V, W ánh xạ thỏa (v1 , v2 V ) f (v1 v2 ) f (v1 ) f (v2 ) ( K , v V ) f ( v ) f (v ) I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3 R2 cho x ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) ( x1 x2 x3 , x1 x3 ) ánh xạ tuyến tính x ( x1, x2 , x3 ); y ( y1, y2 , y3 ) R3 f ( x y ) f ( x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) f ( x y ) ( x1 y1 x2 y2 x3 y3 , x1 y1 x3 y3 ) f ( x y ) ( x1 x2 3x3 , x1 x3 ) ( y1 y2 y3 , y1 y3 ) f ( x y ) f ( x) f ( y ) Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy f ánh xạ tuyến tính I Định nghĩa ví dụ - Cho f : V W ánh xạ tuyến tính Cho E ={e1, e2, …, en} tập sinh V Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en) x V x x1e1 x2e2 xn en f ( x) f ( x1e1 x2e2 xn en ) f ( x) f ( x1e1 ) f ( x2 e2 ) f ( xn en ) f ( x) x1 f (e1 ) x2 f (e2 ) xn f (en ) Ánh xạ tuyến tính xác định hồn tồn biết ảnh tập sinh V I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (1,1,0) (2, 1), f (1,1,1) (1, 2), f (1, 0,1) (1,1); Tìm f (3,1,5) Tìm f (x) Giả sử (3,1,5) (1,1, 0) (1,1,1) (1, 0,1) f (3,1,5) 2, 3, f ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)) f (3,1,5) f (1,1,0) f (1,1,1) f (1,0,1) f (3,1,5) 2(2, 1) 3(1, 2) 2( 1,1) (3,10) I Định nghĩa ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R , biết f (1,1,0) (2, 1), f (1,1,1) (1, 2), f (1, 0,1) (1,1); Tìm f (3,1,5) Tìm f (x) Giả sử x ( x1 , x2 , x3 ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x1 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 x1 x2 f ( x) f ( x1, x2 , x3 ) f (1,1,0) f (1,1,1) f (1,0,1) f ( x) ( x1 x3 )(2, 1) ( x1 x2 x3 )(1, 2) ( x1 x2 )(1,1) f ( x) (2 x2 x3 , 2 x1 x2 3x3 ) I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ Ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính? f : R2 R2 ; f ( x1, x2 ) ( x1 x2 , x1 ) f : R2 R2 ; f ( x1, x2 ) ( x1 x2 ,0) f : R2 R2 ; f ( x1, x2 ) ( x1 x2 , x1 1) f : R2 R2 ; f ( x1 , x2 ) (1, x1 x2 ) f : R R ; f ( x , x ) ( x x , x 2 2 1) f : R2 R2 ; f ( x1, x2 ) ( x2 , x1 ) II Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa nhân ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : V W Nhân ánh xạ tuyến tính f tập hợp tất vectơ x không gian véctơ V, cho f(x) = Kerf x V | f ( x) 0 V W Kerf II Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 , biết f (1,1,1) (1, 2,1); f (1,1, 2) (2,1, 1); f (1, 2,1) (5, 4, 1); Tìm sở chiều Kerf Cách 1(thường sử dụng) x (x 1, x , x ) R x (x , x , x ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) 2 x1 x2 x3 3x x x x x1 x x1 f (x ) ( 4x 4x x , x 2x x ,5x 2x 2x ) x (x 1, x , x ) K erf f (x ) Hệ x (2 , ,4 ) x (2,1,4) Cơ sở Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = II Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 , biết f (1,1,1) (1, 2,1); f (1,1, 2) (2,1, 1); f (1, 2,1) (5, 4, 1); Tìm sở chiều ảnh Imf Chọn sở R3 E {(1,1,1), (1,1, 2), (1, 2,1)} Ảnh ánh xạ tuyến tính không gian sinh ảnh sở (tập sinh) R3 Im f f (1,1,1), f (1,1, 2), f (1, 2,1) Im f (1, 2,1),(2,1, 1),(5, 4, 1) Lập ma trận, dùng bđsc hàng đưa bậc thang, kết luận: dim(Im f ) Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)} III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : V W E = {e1, e2, …, en} sở V F = {v1, v2, …, vm} sở W Ma trận cở mxn với cột thứ j tọa độ véctơ f (e j ) sở F gọi ma trận f cặp sở E F [ f ]E , F [ f (e1 )]F [ f (e2 )]F [ f (en )]F I Định nghĩa ví dụ - Ví dụ f : R3 R2 cho x ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) ( x1 x2 x3 , x1 x3 ) Ánh xạ Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở E {(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)};F {(1,1),(1,2)} 3 f (1,1,1) (0,3) [f (1,1,1)]F 3 Vậy ma trận cần tìm 7 f (1,0,1) (2,3) [f (1, 0,1)]F 3 7 A 1 4 f (1,1,0) (3,2) [f (1,1,0)]F 1 III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V W Khi tồn ma trận [f]E,F cở mxn cho [ f ( x)]F [ f ]E , F [ x]E với E F hai sở V W tương ứng Cho ma trận A ( aij )mn trường số K Khi tồn ánh xạ tuyến tính f : K n K m thỏa [ f ( x)]F [ f ]E , F [ x]E Chú ý: Mỗi ánh xạ tuyến tính tương ứng ma trận ngược lại Ta coi ánh xạ tuyến tính ma trận Thơng thường không phân biệt hai khái niệm III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R2 , biết ma trận f cặp sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} F = {(1,1); (2,1)} [ f ]E , F 3 Tìm f (3,1,5) 3 Bước Tìm tọa độ (3,1,5) sở E: [(3,1,5)]E 2 Bước Sử dụng công thức [ f ( x)]F [ f ]E , F [ x]E 3 3 14 [ f (3,1,5)]F 2 2 Bước Đổi tọa độ ảnh cần tìm sang sở tắc f (3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12) III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R2 , biết ma trận f cặp sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} F = {(1,1); (2,1)} [ f ]E , F 3 Tìm f (x) x ( x1 , x2 , x3 ) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0) x x x ; x x ; x x x x x [x ]E x x x x III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Theo cơng thức ta có: [f ( x )]F [ f ]E , F [x ]E x x x 3 [f (x )]F x x x x 4x x 5x [f (x )]F x x x 3 f (x ) (4x x 5x )(1,1) (7x 3x 4x )(2,1) f (x ) (10x 5x 3x ,3x 2x x ) III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho f : R R3 ánh xạ tuyến tính Giả sử f ( x) f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ,3 x1 x2 x3 ) Tìm f(2,1,5) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)} Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1) III Ma trận ánh xạ tuyến tính - Ví dụ Cho f : R3 R3 ánh xạ tuyến tính, biết ma trận f sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} 1 1 [ f ]E , E 3 1 Tìm f (2,3,-1) Tìm sở chiều nhân Kerf Cách Để tìm kerf, tìm f(x) làm tiếp Cách x ker f f ( x) Giả sử [ f ( x)]E [ f ]E , E [ x]E x1 [ x]E x2 x 3 III Ma trận ánh xạ tuyến tính - 1 1 x1 6 3 x2 [ x]E 5 x x x1e1 x2e2 x3e3 x 6 (1,1,1) 5 (1,0,1) (1,1,0) x (2 ,7 , ) (2,7,1) Vậy M {(2,7,1)} tập sinh sở Kerf dim( K erf ) =1 III Ma trận chuyển sở, đồng dạng - Cho ánh xạ tuyến tính f :V W ' ' ' ' Cho hai sở V: E {e1,e , ,e n };E {e1 ,e , ,e n } ' ' ' ' Cho hai sở W: F {f 1, f , , f m };F {f , f , , f m } Giả sử P ma trận chuyển sở từ E vào E’ Q ma trận chuyển sở từ F vào F’ [ f ( x )]F [ f ]E ,F [ x ]E Q[ f ( x )] ' [ f ] P[ x ] ' E,F F E [ f ( x )]F' Q 1[ f ]E ,F P[ x ]E' Khi Q 1[ f ]E ,F P ma trận f cặp sở E’ F’ III Ma trận chuyển sở, đồng dạng - Cho ánh xạ tuyến tính f :V V ' ' ' ' Cho hai sở V: E {e1,e , ,e n };E {e1 ,e , ,e n } Giả sử P ma trận chuyển sở từ E vào E’ A ma trận ánh xạ tuyến tính f sở E [f (x )]E ' P 1A P [x ]E ' Khi 1 P AP ma trận f sở E’ III Ma trận chuyển sở, đồng dạng - Ví dụ 3 Cho f : R R ánh xạ tuyến tính, biết ma trận f sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} 1 [ f ]E , E 1 Cơ sở tắc: F 1 4 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sở tắc {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Giả sử ma trận chuyển sở từ E sang F P Ma trận cần tìm B P 1A P Tìm ma trận P lâu Các cột P tọa độ các véctơ F E Ma trận P 1 ma trận chuyển từ F sang E 1 1 P 1 1 1 III Ma trận chuyển sở, đồng dạng - Định nghĩa hai ma trận đồng dạng Cho hai ma trận vuông A B cấp n trường K A B gọi đồng dạng tồn ma trận khả nghịch P cho P-1 A P = B Hệ Cho ánh xạ tuyến tính f :V V A ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở E, E B ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở F, F Khi A B hai ma trận đồng dạng ... f ( x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) f ( x y ) ( x1 y1 x2 y2 x3 y3 , x1 y1 x3 y3 ) f ( x y ) ( x1 x2 3x3 , x1 x3 ) ( y1 y2 y3 , y1 y3 ) f ( x y ) f ( x)... x2 x3 ,3 x1 x2 x3 ) Tìm sở chiều Kerf x ( x1 , x2 , x3 ) Kerf f ( x) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ,3 x1 x2 x3 ) (0, 0, 0) x1 x2 x3 x1 x2 x3 3x x ... Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 , biết x ( x1 , x2 , x3 ) R3 : f ( x) f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ,3 x1 x2 x3 ) Tìm sở chiều ảnh Imf Chọn sở tắc R3 E {(1,