Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Định nghĩa ánh xạ tuyến tính; không gian hạt nhân và không gian ảnh; Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương Ánh xạ tuyến tính /46 Nội dung Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Kgian hạt nhân kgian ảnh Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính /46 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X Y khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc y để y = f(x) f : X →Y ∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y : y = f ( x) Ánh xạ f gọi đơn ánh x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Ánh xạ f gọi toàn ánh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f ( x) Ánh xạ f gọi song ánh đơn ánh toàn ánh Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Hàm số mà ta học phổ thơng ví dụ ánh xạ Cho ánh xạ tức qui luật, dựa vào biết ảnh phần tử thuộc X Có nhiều cách cho ánh xạ: đồ thị, biểu đồ, biểu thức đại số, cách liệt kê,… Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V W hai khơng gian véctơ trường số K Ánh xạ tuyến tính f : V → W hai không gian véctơ V, W ánh xạ thỏa (∀v1, v2 ∈V ) f (v1 + v2 ) = f (v1) + f (v2 ) (∀α ∈ K , ∀v ∈V ) f (α v) = α f (v) Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3 → R2 cho ∀x = ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x3 ) ánh xạ tuyến tính ∀x = ( x1, x2 , x3 ); y = ( y1, y2 , y3 ) ∈ R3 f ( x + y ) = f ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 ) f ( x + y ) = ( x1 + y1 + x2 + y2 − x3 − y3 , x1 + y1 + x3 + y3 ) f ( x + y ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x3 ) + ( y1 + y2 − y3 , y1 + y3 ) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy f ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W Cho E ={e1, e2, …, en} tập sinh V Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en) ∀x ∈ V ⇔ x = x1e1 + x2e2 +!+ xn en f (x) = f (x1e1 + x2e2 +!+ xn en ) f (x) = f (x1e1 ) + f (x2e2 ) +!+ f (xn en ) f (x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) +!+ xn f (en ) Ánh xạ tuyến tính xác định hồn tồn biết ảnh tập sinh V Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết f : R3 → R f (1,1,0) = (2, −1), f (1,1,1) = (1,2), f (1,0,1) = (−1,1); Tìm f (3,1,5) Tìm f (x) Giả sử (3,1,5) = α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1) ⎧α + β + γ = ⎪ ⇔⎨ α +β = ⇔ α = −2, β = 3, γ = ⎪ β +γ = ⎩ ⇒ f (3,1,5) = f (α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1)) ⇔ f (3,1,5) = α f (1,1,0) + β f (1,1,1) + γ f (1,0,1) f (3,1,5) = −2(2, −1) + 3(1, 2) + 2(−1,1) = (−3,10) Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính? f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 + 3x2 , x1 ) f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x1 + x2 ,0) f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 − x2 , x1 + 1) f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (1, x1 − x2 ) f : R → R ; f ( x , x ) = ( x + x , x 2 2 1) f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x2 , x1 ) Kgian hạt nhân kgian ảnh Định nghĩa nhân ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W Nhân ánh xạ tuyến tính f tập hợp tất vectơ x không gian véctơ V, cho f(x) Kerf = {x ∈V | f ( x) = 0} = V W Kerf Ma trận biểu diễn axtt Ví dụ f : R3 → R2 , biết ma trận f Cho ánh xạ tuyến tính cặp sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} F = {(1,1); (2,1)} ⎛ −3 ⎞ AE , F = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Tìm f (3,1,5) ⎛ 3⎞ Bước Tọa độ (3,1,5) sở E: [(3,1,5)] E = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ Bước Sử dụng công thức [ f ( x)]F = AE , F [ x]E ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 14 ⎞ [ f (3,1,5)]F = ⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ −2 ⎠ Bước Đổi tọa độ ảnh cần tìm sang sở tắc f (3,1,5) = 14(1,1) − 2(2,1) = (10,12) Ma trận biểu diễn axtt Ví dụ f : R3 → R2 , biết ma trận Cho ánh xạ tuyến tính f cặp sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} F = {(1,1); (2,1)} ⎛ −3 ⎞ AE , F = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Tìm f (x) ∀x = ( x1 , x2 , x3 ) = α (1,1,1) + β (1,0,1) + γ (1,1,0) ⇔ α = −x + x + x ; β = x − x ; γ = x − x ⎛ −x + x + x ⎞ ⇔ [ x ]E = ⎜ x − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x −x ⎟ ⎝ ⎠ 3 Ma trận biểu diễn axtt Theo cơng thức ta có: [f (x )]F = A E ,F [x ]E ⎛ −x + x + x ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ [ f ( x ) ]F = ⎜ x − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ x − x ⎝ ⎠ ⎛ −4x + x + 5x ⎞ ⇔ [ f ( x ) ]F = ⎜ ⎟ x − x − x ⎝ 3⎠ ⇔ f ( x ) = ( −4x + x + 5x )(1,1) + (7x − 3x − 4x )(2,1) ⇔ f ( x ) = (10x − 5x − 3x ,3x − 2x + x ) Ma trận biểu diễn axtt Ví dụ Cho f : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính Giả sử f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 ,2 x1 + x2 − x3 ,3x1 + x2 − x3 ) Tìm f(2,1,5) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)} Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1) Ví dụ Ma trận biểu diễn axtt Cho f : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính, biết ma trận f sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} AE , E Tìm ⎛ 1 −1⎞ = ⎜2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ f (2,3,-1) Tìm sở chiều nhân Kerf Cách Để tìm kerf, tìm f(x) làm tiếp Cách x ∈ ker f ⇔ f ( x) = Giả sử ⇔ [ f ( x)]E = ⎛ x1 ⎞ [ x]E = ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ ⇔ AE , E [ x]E = Ma trận biểu diễn axtt ⎛ 6α ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⇔ ⎜ 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⇔ [ x]E = ⎜ −5α ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜ ⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3 ⇔ x = 6α (1,1,1) − 5α (1,0,1) + α (1,1,0) ⇔ x = (2α ,7α , α ) = α (2,7,1) Vậy E = { (2,7,1)} tập sinh sở Kerf ⇒ dim( K erf ) =1 Ma trận biểu diễn axtt Ví dụ 3 f : R → R Cho ánh xạ tuyến tính, biết ma trận f sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} ⎛1 1⎞ AE , E = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3⎟ ⎝ ⎠ Tính f (4,3, 5) Tìm sở chiều Imf Ma trận chuyển sở v  Mệnh đề: Cho V W không gian véc tơ hữu hạn chiều K; B,B’ C,C’ tương ứng cặp sở V W Khi với ánh xạ tuyến tính f: Và W ta có: ! !! ,! ! = ! → !! !! ! !,! (! → !′) v  Hệ quả: Cho B B’ hai sở không gian véc tơ hữu hạn chiều V trường K Khi với tốn tử tuyến tính f: Và V ta có: ! !! = B → !! !! ! ! (! → !′) v  Ví dụ: Trong R3 cho véc tơ u1=(1,1,0); u2=(0,2,1); u3=(2,3,1) Và ánh xạ tuyến tính f xác định bởi: f(x1,x2,x3)=(2x1+x2-x3,x1+2x2-x3,2x1-x2+3x3) a)  C/m B=(u1,u2,u3) sở R3 b)  Tìm [f]B v  Mệnh đề Cho V, W hai không gian véc tơ n chiều f: Và W axtt Các khẳng định sau tương đương: i)  f đơn ánh ii) f toàn ánh ii)  f song ánh iii)  với sở A V B W, ma trận [f]A,B khả nghịch Hơn nữa, f-1 axtt [f-1]BA=[f]AB-1 ... Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Kgian hạt nhân kgian ảnh Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính /46 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X Y khác rỗng Ánh xạ hai tập... f ( x) Ánh xạ f gọi đơn ánh x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Ánh xạ f gọi toàn ánh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f ( x) Ánh xạ f gọi song ánh đơn ánh toàn ánh 1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Hàm số mà ta... Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W Nhân ánh xạ tuyến tính f V không gian Ảnh ánh xạ tuyến tính f khơng gian W dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Kgian hạt nhân kgian ảnh Mệnh đề Ảnh ánh xạ tuyến tính