Bài giảng không gian Vector

Bài giảng không gian Vector

1 BÀI GIẢNG TUẦN 4 KHƠNG GIAN VECTƠ VÀ KHƠNG GIAN CON PHẠM XN ĐỒNG MỞ ĐẦU: Để hiểu được tất cả phương trình Ax = b thì khơng thể bỏ qua cấu trúc của Ax là gì. =333231232221131211aaaaaaaaaAx321xxx++=332313332221223121111aaaxaaaxaaax Biểu diễn trên đã liên kết từng véc tơ cột riêng rẽ thành tồn bộ “khơng gian” các véc tơ bởi các số thực xi tùy ý. Mối liên kết đó chính là sự kết hợp 2 phép tốn: cộng véc tơ và nhân véc tơ với một số thực. Từ đây, ta sẽ nhìn thấy những quan hệ giữa các khơng gian, như chứa nhau, gắn kết nhau hoặc khơng gian các phần tử khơng phải là véc tơ cột nhưng có tính chất tương tự. 4.1 KHƠNG GIAN VECTƠ I. KHƠNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU. Định nghĩa: Khơng gian véc tơ thực n-chiều (khơng gian Rn ) là tập hợp các véc tơ v = (v1, .,vn) có n thành phần là số thực cùng hai phép tốn cộng véc tơ, nhân véc tơ với một số thực và thỏa mãn 8 điều kiện. II. HAI PHÉP TỐN VÀ 8 ĐIỀU KIỆN CỦA KHƠNG GIAN VÉC TƠ. Cho ∀∀∀∀x, y ∈∈∈∈V , ∀∀∀∀c ∈∈∈∈R , phép cộng véc tơ: x + y ∈∈∈∈ V, phép nhân véc tơ với một vơ hướng cx∈∈∈∈V (1) x + y = y + x (giao hốn) (2) x + (y + z) = (x + y) + z (kết hợp) (3) Tồn tại véc tơ khơng 0 sao cho x + 0 = x (4) Tồn tại véc tơ đối duy nhất – x thoả mãn x + (– x) = 0 (5) 1. x = x (6) (c1c2)x = c1 (c2x) (kết hợp) (7) c(x + y) = cx + cy (phân phối) (8) (c1 + c2)x = c1x+ c2y (phân phối) Chú ý : (1) Ý nghĩa: với ∀∀∀∀ x , y ∈∈∈∈V , ∀∀∀∀ c ∈∈∈∈ R mà x + y ∈∈∈∈ V , cx ∈∈∈∈V ⇒⇒⇒⇒ có tính đóng trong khơng gian V, khi kết hợp với 8 điều kiện ⇒⇒⇒⇒ các véc tơ sẽ lấp đầy khơng gian. (2) + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 2 chiều v1 , v2 (khơng cùng phương) là c1v1 + c2v2 lấp đầy mặt phẳng Oxy + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba véc tơ 3 chiều v1 , v2 , v3 (khơng đồng phẳng) là c1v1 + c2v2 + c3v3 lấp đầy khơng gian Oxyz. Thế nào là lấp đầy? Ta biết một véc tơ 2 chiều tương ứng với 1 điểm trong mặt phẳng Oxy (và ngược lại), nên nói rằng tất cả véc tơ 2 chiều lấp đầy mặt phẳng. Một cách hình dung khác như chú ý (2). Cách này thường được diễn tả sự lấp đầy cho khơng gian Rn với n > 3. (3) Ngồi tập các véc tơ cột, ta thấy nhiều tập phần tử như ma trận, hàm số thực,… cũng có 2 phép tốn và thỏa mãn 8 điều kiện, nên các tập đó được gọi chung là khơng gian véc tơ. + Rn : khơng gian véc tơ thực n chiều { }niRxxxRinn,1|), .,(1=∈= + M(2××××2,R): khơng gian véc tơ ma trận thực vng cấp 2. ∈= RdcbadcbaM ,,,| 2 Ví dụ 1: Tập hợp V = { (x, 1) | x ∈ R} có phải là không gian véc tơ không? Giải: Cho v = (x, 1) , v’ = (x’, 1) ∈ V ⇒ v+v’ = (x+x’, 2) ∉ V Kết luận: V không phải là không gian véc tơ Chú ý: (4) Thường sử dụng điều kiện 3 là sự tồn tại véc tơ-không, để nhận biết nhanh nhất. Ví dụ 2: Tập hợp W = { (x, y,z) | x+y+z= 0 , x,y,z ∈ R} có phải là không gian véc tơ không? Giải: Cho w = (x, y,z) , w’ = (x’, y’,z’) ∈ W ⇒ w+w’ = (x+x’, y+y’,z+z’) ∈W , cw = (cx, cy,cz) ∈W và kiểm tra 8 điều kiện thấy thỏa mãn. Kết luận: W là không gian véc tơ. Ví dụ 3: Tập hợp ∈=++== RcbavàcbacbaMW ,,0,11 có phải là không gian véc tơ không? Giải: Tập W không có ma trận-không O∈W thỏa mãn M1 + O = M1 nên không phải là không gian véc tơ 4.2 KHÔNG GIAN CON Ta sẽ gặp nhiều tập hợp các véc tơ n-chiều nhưng không lấp đầy toàn bộ không gian Rn mà chỉ một phần của nó. Đó chính là các không gian con. Ví dụ 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x+y+z = 0 đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) . Ký hiệu W là tập các vectơ nằm trên mặt phẳng này và có gốc là O. (a) W có phải là không gian véc tơ không? (b) W là không gian véc tơ 2 chiều hay 3 chiều? Giải: (a) Theo ví dụ 2: W là một không gian vectơ (b) W không phải là R2 vì các vectơ có 3 thành phần, cũng không phải R3 vì không lấp đầy R3. Định nghĩa: Nếu W là một tập con (chứa véc tơ không) của không gian vectơ V và thỏa mãn hai điều kiện sau, thì W được gọi là một không gian con của V. (a) w + u ∈∈∈∈ W với ∀∀∀∀ w, u ∈∈∈∈ W (b) cw ∈∈∈∈ W với ∀∀∀∀w ∈∈∈∈W , ∀∀∀∀ c∈∈∈∈ R Chú ý: (5) + Tổ hợp tuyến tính x1v1 của một véc tơ 2 (hoặc 3) chiều thì lấp đầy đường thẳng chứa v1 ⇒⇒⇒⇒ đường thẳng là không gian con trong không gian R2 (hoặc R3) + Tổ hợp tuyến tính x1v1 + x2v2 của hai véc tơ 3 chiều lấp đầy mặt phẳng chứa v1 , v2 ⇒⇒⇒⇒ mặt phẳng là không gian con của không gian R3. (6) Liệt kê toàn bộ những không gian con của R3. + (L): Đường thẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0). + (P): Mặt phẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0). + (R3): Chính không gian R3. + (Z): Chứa duy nhất véc tơ không O = (0 , 0 , 0) Ví dụ 5: Cho W = {(x, y)| y = 2x}. Hỏi W có phải là không gian con của R2 không? Giải: Cách 1: Ta thấy W⊂ R2 . Cho Wyxyx ∈=′= )','(),,( ww , Rc ∈ Wyyxx ∈++=′+ )','(ww vì )'(2' xxyy +=+ , Wcycxc ∈= ),(w. Vậy W là không gian con của R2. Cách 2: ==21),( xyxw lấp đầy đường thẳng chứa véc tơ (1,2) nên là không gian con của R2. Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập tất cả ma trận thực đường chéo cấp 2 là không gian con của không gian vectơ ),22( RM × . Giải: Tập tất cả ma trận đường chéo cấp 2 là MRddddwD ∈∈==2121,|00 3 Với Dddwddw ∈==2121'00'',00 thì Dddddww ∈++=+2211'00'' , Dcdcdcw ∈=2100 Kết luận: D là không gian con của M. 4.3 KHÔNG GIAN CỘT CỦA MA TRẬN A Định nghĩa: Cho A là ma trận m ×××× n, có các vectơ cột cj (j = 1, ., n). Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột cj gọi là không gian cột của A. Ký hiệu : C(A) ={ x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + xncn | xj ∈∈∈∈R } Chú ý: (6) Có thể hiểu C(A) là tập hợp tất cả những vectơ m chiều, cùng dạng Ax với x ∈∈∈∈Rn. (7) Phương trình Ax = b có nghiệm ⇔⇔⇔⇔ b ∈∈∈∈ C(A). (8) Nếu A là ma trận m ×××× n, thì C(A) là một không gian con của Rm vì C(A) chỉ là tập con của Rm Ví dụ 7: Mô tả không gian cột của ma trận =323401A . Hỏi véc tơ =152b có thuộc C(A) không Giải: Ta có tổ hợp tuyến tính các cột là =21323401xxAx+=33024121xx Do đó C(A) là một mặt phẳng trong R3 với cặp vectơ chỉ phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3). Giải phương trình Ax = b , có nghiệm x = (2, − 1) nên b ∈ C(A). Ví dụ 8: Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau: (a) =4221A (b) =400321B Giải: (a) C(A) gồm tất cả các vectơ có dạng 211x + 422x+=21)2(21xx. Do đó C(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương (1, 2). (b) C(B) gồm tất cả các vectơ có dạng ++=++4301)2(430201321321xxxxxx. Do đó C(B) là mặt phẳng, hay C(B) = R2. 4.4 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA A . Định nghĩa: Tập nghiệm của Ax = 0 được gọi là không gian nghiệm của A . Ký hiệu N(A). Chú ý: (9) Tự kiểm tra: ∀∀∀∀ x1 , x2 ∈∈∈∈ N(A) thì (c1 x1 + c2 x2 ) ∈∈∈∈ N(A) và 8 điều kiện thỏa mãn. (10) Nếu A là ma trận m ×××× n, thì N(A) là một không gian con của Rn vì nghiệm x∈∈∈∈ Rn. Ví dụ 9: Tìm không gian nghiệm của =6321A . Giải: →⇔=0000210630210xA nên 2121202 xxxx −=⇒=+ Vậy các nghiệm của Ax = 0 là )1,2(),(221−== xxxx hay N(A) = { cs | s = (−2, 1), c ∈ R } Hay N(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương là s = (−2, 1). 4 Ví dụ 10: Tìm không gian nghiệm của −−−−=963642321A Giải: ⇔= 0xA[ ]=0|A−−−−096306420321−→000000000321 nên 32132 xxx −= Vậy : −+=−=10301232323232xxxxxxx . Hay { }RccccAN ∈−+==2121,),1,0,3()0,1,2()( x|x. Không gian nghiệm N(A) là mặt phẳng có 2 véc tơ chỉ phương là: (2,1,0) và (−3,0,1) Ví dụ 11: Tìm không gian nghiệm của −=462231A Giải: −→800231A2133,0 xxx −==⇒ nên { })0,1,3(|)(1−== cAN xx Không gian nghiệm là không gian con của R3 và chứa đường thẳng có véc tơ chỉ phương (−3, 1, 0) 4.5 KHÔNG GIAN HÀNG VÀ KHÔNG GIAN NGHIỆM TRÁI CỦA A Định nghĩa: Cho A là ma trận thực. Ta gọi C(AT) là không gian hàng của A và N(AT) là không gian nghiệm bên trái của A. Chú ý: (11) Do ATy = 0 ⇔⇔⇔⇔ yTA = 0T nên N(AT) gọi là không gian nghiệm bên trái của A. Ví dụ 12: Cho−−=1263421A . Tìm C(A), N(A), C(AT), N(AT) Giải: * +−=+−−+=31)42(1246231)(321321xxxxxxAC hay =31)(1cAC * −+−=1263421)(21yyACT −+=421)2(21yy hay −=421)(2cACT *=−−⇔=0012634210321xxxAx−−⇔012630421−→0000042132142 xxx −=⇔ −+=−==⇒10401242)(323232xxxxxxxAN *=−−⇔=0001246231021yyyAT−−⇔0124062031→000000031213yy −=⇔−==⇒31)(2yyANT CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 4 1. Định nghĩa không gian n chiều, không gian vectơ, không gian con. 2. Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A gồm C(A), N(A), C(AT), N(AT). 3. Mối quan hệ giữa sự có nghiệm của Ax = b và không gian C(A). . −=⇔−==⇒31)(2yyANT CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 4 1. Định nghĩa không gian n chiều, không gian vectơ, không gian con. 2. Bốn không gian con chủ yếu của một ma. })0,1,3(|)(1−== cAN xx Không gian nghiệm là không gian con của R3 và chứa đường thẳng có véc tơ chỉ phương (−3, 1, 0) 4.5 KHÔNG GIAN HÀNG VÀ KHÔNG GIAN NGHIỆM