Bài giảng không gian Vector
Trang 1BÀI GIẢNG TUẦN 4 KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON
PHẠM XUÂN ĐỒNG
MỞ ĐẦU: Để hiểu được tất cả phương trình Ax = b thì không thể bỏ qua cấu trúc của Ax là gì
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A x
3 2 1
x x x
+
+
=
33 23 13 3 32 22 12 2 31 21 11 1
a a
a x a a
a x a a
a x
Biểu diễn trên đã liên kết từng véc tơ cột riêng rẽ thành toàn bộ “không gian” các véc tơ bởi các số
thực x i tùy ý Mối liên kết đó chính là sự kết hợp 2 phép toán: cộng véc tơ và nhân véc tơ với một số thực Từ đây, ta sẽ nhìn thấy những quan hệ giữa các không gian, như chứa nhau, gắn kết nhau hoặc không gian các phần tử không phải là véc tơ cột nhưng có tính chất tương tự
4.1 KHÔNG GIAN VECTƠ
I KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU
Định nghĩa: Không gian véc tơ thực n-chiều (không gian R n ) là tập hợp các véc tơ v = (v1, ,vn )
có n thành phần là số thực cùng hai phép toán cộng véc tơ, nhân véc tơ với một số thực và thỏa
mãn 8 điều kiện
II HAI PHÉP TOÁN VÀ 8 ĐIỀU KIỆN CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Cho ∀∀∀x, y ∈∈∈V , ∀∀∀c ∈∈R , phép cộng véc tơ: x + y ∈∈ V, phép nhân véc tơ với một vô hướng cx∈∈∈V
(1) x + y = y + x (giao hoán)
(2) x + (y + z) = (x + y) + z (kết hợp)
(3) Tồn tại véc tơ không 0 sao cho x + 0 = x
(4) Tồn tại véc tơ đối duy nhất – x thoả mãn x + (– x) = 0
(5) 1 x = x
(6) (c1c2)x = c1 (c2x) (kết hợp)
(7) c(x + y) = cx + cy (phân phối)
(8) (c1 + c2)x = c1x+ c2y (phân ph ối)
Chú ý :
(1) Ý nghĩa: với ∀∀ x , y ∈∈∈V , ∀∀ c ∈∈ R mà x + y ∈∈ V , cx ∈∈∈V ⇒⇒⇒ có tính đóng trong không gian V, khi
kết hợp với 8 điều kiện ⇒⇒⇒ các véc tơ sẽ lấp đầy không gian
(2) + Tất cả các tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 2 chiều v1 , v2 (không cùng phương) là c1v1 + c2v2
lấp đầy mặt phẳng Oxy
+ Tất cả các tổ hợp tuyến tính của ba véc tơ 3 chiều v1 , v2 , v3 (không đồng phẳng) là c1v1 + c2v2 +
c3v3 lấp đầy không gian Oxyz
Thế nào là lấp đầy? Ta biết một véc tơ 2 chiều tương ứng với 1 điểm trong mặt phẳng Oxy (và
ngược lại), nên nói rằng tất cả véc tơ 2 chiều lấp đầy mặt phẳng Một cách hình dung khác như chú ý (2) Cách này thường được diễn tả sự lấp đầy cho không gian Rn với n > 3
(3) Ngoài tập các véc tơ cột, ta thấy nhiều tập phần tử như ma trận, hàm số thực,… cũng có 2 phép toán và thỏa mãn 8 điều kiện, nên các tập đó được gọi chung là không gian véc tơ
+ R n : không gian véc tơ thực n chiều R n ={(x1, ,x n) | x i∈R i= 1 ,n}
+ M(2××2,R): không gian véc tơ ma trận thực vuông cấp 2
∈
d c
b a
Trang 2Ví dụ 1: Tập hợp V = { (x, 1) | x ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho v = (x, 1) , v’ = (x’, 1) ∈ V ⇒ v+v’ = (x+x’, 2) ∉ V
Kết luận: V không phải là không gian véc tơ
Chú ý: (4) Thường sử dụng điều kiện 3 là sự tồn tại véc tơ-không, để nhận biết nhanh nhất
Ví dụ 2: Tập hợp W = { (x, y,z) | x+y+z= 0 , x,y,z ∈ R} có phải là không gian véc tơ không?
Giải: Cho w = (x, y,z) , w’ = (x’, y’,z’) ∈ W
⇒ w+w’ = (x+x’, y+y’,z+z’) ∈W , cw = (cx, cy,cz) ∈W và kiểm tra 8 điều kiện thấy thỏa mãn
Kết luận: W là không gian véc tơ
Ví dụ 3: Tập hợp
∈
= + +
=
c
b a M
1
4.2 KHÔNG GIAN CON
Ta sẽ gặp nhiều tập hợp các véc tơ n-chiều nhưng không lấp đầy toàn bộ không gian Rn mà chỉ một
phần của nó Đó chính là các không gian con
Ví dụ 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x+y+z = 0 đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) Ký hiệu W là
tập các vectơ nằm trên mặt phẳng này và có gốc là O
(a) W có phải là không gian véc tơ không? (b) W là không gian véc tơ 2 chiều hay 3 chiều?
Giải: (a) Theo ví dụ 2: W là một không gian vectơ
(b) W không phải là R2 vì các vectơ có 3 thành phần, cũng không phải R3 vì không lấp đầy R3
Định nghĩa: Nếu W là một tập con (chứa véc tơ không) của không gian vectơ V và thỏa mãn
hai điều kiện sau, thì W được gọi là một không gian con của V
(a) w + u ∈∈ W với ∀∀ w, u ∈∈ W (b) cw ∈∈ W với ∀∀∀w ∈∈∈W , ∀∀ c∈∈ R
Chú ý:
(5) + Tổ hợp tuyến tính x1v1 của một véc tơ 2 (hoặc 3) chiều thì lấp đầy đường thẳng chứa v1 ⇒⇒⇒
đường thẳng là không gian con trong không gian R 2 (hoặc R 3 )
+ Tổ hợp tuyến tính x1v1 + x2v2 của hai véc tơ 3 chiều lấp đầy mặt phẳng chứa v1 , v2 ⇒⇒⇒ mặt
phẳng là không gian con của không gian R 3
(6) Liệt kê toàn bộ những không gian con của R 3
+ (L): Đường thẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0)
+ (P): Mặt phẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0)
+ (R 3 ): Chính không gian R 3
+ (Z): Chứa duy nhất véc tơ không O = (0 , 0 , 0)
không?
Cho w= (x,y), w′ = (x' ,y' ) ∈W , c ∈ R
W y y x
=
′
+w ( ' , ' )
w vì y+y' = 2 (x+x' ) , c w= (cx,cy) ∈W Vậy W là không gian con của R2
=
=
2
1 ) , (x y x
w lấp đầy đường thẳng chứa véc tơ (1,2) nên là không gian con của R2
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tập tất cả ma trận thực đường chéo cấp 2 là không gian con của không gian
vectơ M( 2 × 2 ,R)
d
d w
∈
=
2
1
,
| 0
0
Trang 3Với D
d
d w d
d
=
=
2 1 2
1
' 0
0 ' ' , 0
0
d d
d d w
+
+
= +
2 2
1 1
' 0
0 '
cd
cd
=
2
1
0 0
Kết luận: D là không gian con của M
4.3 KHÔNG GIAN CỘT CỦA MA TRẬN A
Định nghĩa: Cho A là ma trận m ×× n, có các vectơ cột c j (j = 1, , n)
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột c j g ọi là không gian cột của A
Ký hiệu : C(A) ={ x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + x n c n | x j ∈∈R }
Chú ý:
(6) Có thể hiểu C(A) là tập hợp tất cả những vectơ m chiều, cùng dạng Ax với x ∈∈Rn
(7) Phương trình Ax = b có nghiệm ⇔⇔ b ∈∈ C(A)
(8) Nếu A là ma trận m ×××× n, thì C(A) là một không gian con của R m vì C(A) chỉ là tập con của R m
Ví dụ 7: Mô tả không gian cột của ma trận
= 3 2
3 4
0 1
A Hỏi véc tơ
= 1 5
2
b có thuộc C(A) không
=
2 1
3 2
3 4
0 1
x
x
A x
+
=
3 3 0
2 4
1
2
Do đó C(A) là một mặt phẳng trong R3 với cặp vectơ chỉ phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3)
Giải phương trình Ax = b , có nghiệm x = (2, − 1) nên b ∈ C(A)
Ví dụ 8: Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau:
(a)
= 4 2
2 1
A (b)
=
4 0 0
3 2 1
B
2
1
1
4
2
2
+
=
2
1 ) 2 (x1 x2
Do đó C(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương (1, 2)
+
+
=
+
+
4
3 0
1 ) 2 ( 4
3 0
2 0
1
3 2
1 3
2
Do đó C(B) là mặt phẳng, hay C(B) = R2
4.4 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA A
Định nghĩa: Tập nghiệm của Ax = 0 được gọi là không gian nghiệm của A Ký hiệu N(A)
Chú ý: (9) Tự kiểm tra: ∀∀ x1 , x2 ∈∈ N(A) thì (c1 x1 + c2 x2 ) ∈∈ N(A) và 8 điều kiện thỏa mãn
(10) Nếu A là ma trận m ×××× n, thì N(A) là một không gian con của Rn vì nghiệm x∈∈ R n
= 6 3
2 1
→
⇔
=
0 0 0
0 2 1 0
6 3
0 2 1 0
x
A nên x1+2x2 =0 ⇒x1= − 2x2
Vậy các nghiệm của Ax = 0 là x= (x1,x2) = x2( − 2 , 1 ) hay N(A) = { cs | s = (−2, 1), c∈ R }
Hay N(A) là đường thẳng với vectơ chỉ phương là s = (−2, 1)
Trang 4Ví dụ 10: Tìm không gian nghiệm của
−
−
−
−
=
9 6 3
6 4 2
3 2 1
A
−
−
−
−
0 9 6 3
0 6 4 2
0 3 2 1
→
0 0 0 0
0 0 0 0
0 3 2 1
nên x1= 2x2− 3x3
Vậy :
−
+
=
=
1 0 3
0 1
2 3
2
3 2
3 2
3 2
x x
x x
x x
x Hay N(A) ={x | x=c1( 2 , 1 , 0 ) +c2( − 3 , 0 , 1 ), c1,c2∈R}
Không gian nghiệm N(A) là mặt phẳng có 2 véc tơ chỉ phương là: (2,1,0) và (−3,0,1)
=
4 6 2
2 3 1
A
→
8 0 0
2 3 1
A ⇒x3= 0 ,x1= − 3x2 nên N(A)={x| x=c1(−3,1,0)}
Không gian nghiệm là không gian con của R3 và chứa đường thẳng có véc tơ chỉ phương (−3, 1, 0)
4.5 KHÔNG GIAN HÀNG VÀ KHÔNG GIAN NGHIỆM TRÁI CỦA A
Định nghĩa: Cho A là ma trận thực
Ta gọi C(AT) là không gian hàng của A và N(AT) là không gian nghiệm bên trái của A
Chú ý: (11) Do ATy = 0 ⇔⇔ yTA = 0T nên N(AT) gọi là không gian nghiệm bên trái của A
−
−
=
12 6 3
4 2 1
A Tìm C(A), N(A), C(AT), N(AT)
Giải:
*
+
−
=
+
−
− +
=
3
1 ) 4 2 ( 12
4 6
2 3
1
)
= 3
1 )
C
*
− +
−
=
12 6 3
4 2
1 )
− +
=
4 2
1 ) 2 (y1 y2 hay
−
=
4 2
1 )
(A c2
=
−
−
⇔
=
0
0 12
6 3
4 2 1
0
3 2 1
x x
x
−
−
⇔
0 12 6 3
0 4 2 1
→
0 0 0 0
0 4 2 1
3 2
⇔
−
+
=
=
=
⇒
1 0 4
0 1
2 4
2 )
3 2
3 2
x x
x x
x x x
A
N
*
=
−
−
⇔
=
0 0 0
12 4
6 2
3 1 0
2
1
y
y y
A T
−
−
⇔
0 12 4
0 6 2
0 3 1
→
0 0 0
0 0 0
0 3 1
2
⇔
−
=
=
⇒
3
1 )
CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 4
1 Định nghĩa không gian n chiều, không gian vectơ, không gian con
2 Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A gồm C(A), N(A), C(AT ), N(A T )
3 Mối quan hệ giữa sự có nghiệm của Ax = b và không gian C(A)