Đang tải... (xem toàn văn)
tìm cực trị của 2 hàm đa biến dạng chính tắc của dạng toàn phương phương pháp lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc phương pháp jacobi đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp jacobi đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp lagrange tìm ma trận của dạng toàn phương
CHƯƠNG � ến T y u T ố Đại S nh Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Khi tìm cực trị hàm biến toán dẫn đến việc xác định dấu vi phân cấp hàm f, nghĩa ta cần xác định dấu của: d f ( x0 , y0 ) f xx'' ( x0 , y0 )dx f xy "( x0 , y0 )dxdy f yy "( x0 , y0 )dy Adx Bdxdy Cdy Khi xét hàm biến ta cần xác định dấu vi phân cấp 2: d f a11dx 2a12 dxdy 2a13dxdz a22 dy 2a23dydz a33dz Giảng viên: Phan §øc Tn §7: Dạng Tồn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Tổng quát cho hàm nhiều biến việc tìm dấu vi phân cấp không đơn giản, “Dạng toàn phương” lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu vi phân cấp hàm nhiều bin Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng � ến T y u T ố Đại S í nh Định nghĩa: Cho V không gian vector n chiều R, hàm :V � R xác định sau: với x ( x1 , x2 , , xn ) V Giảng viên: Phan Đức Tn §7: Dạng Tồn phương � ến T y u T ố Đại S í nh ( x) a x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn 11 a22 x22 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn a x 2a3n x3 xn 33 a x nn n gọi dạng toàn phương V Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng � ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Cho dạng toàn phương: : R � R, x ( x1 , x2 , x3 ) ( x) x x1 x2 x1 x3 x x2 x3 2 8x x x1 x2 x1 x3 x x2 x3 x a11 2 2a12 2a13 a22 Giảng 2a23viên: Phan a33 Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phương � ến T y u T ố Đại S í nh Định nghĩa: Cho dạng tồn phương ( x) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn a x 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn 22 a x 2a3n x3 xn 33 đó, ma trận sau: a x nn n Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng � a11 � � a 12 � A � � a1n � a12 a22 a2 n ến T y u T ố Đại S í nh a1n � � a2 n � � � an n � Gọi ma trận ca dng ton phng Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Cho dạng tồn phương : R � R, x ( x1 , x2 , x3 ) ( x) x x1 x2 x1 x3 x x2 x3 x 2 Khi đó, ma trận dạng toàn phương là: �2 3� � � A �2 1 � � 3 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phương � ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận dạng toàn phương sau: ( x1 , x2 , x3 ) x x1 x2 3x x2 x3 x 2 2 �1 3 � � � A � 3 � � �0 5� � Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Tìm ma trận dạng tồn phương sau: ( x) x x x x1 x2 10 x1 x3 x2 x3 2 2 �3 5 � � � A �4 7 4 � � 5 4 � � � Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Cho dạng tồn phương có ma trận: �1 2 � � � A � 2 � � �3 5� � Khi đó, dạng tồn phương tương ứng là: ( x) x x x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 Giảng viên: Phan Đức Tn §7: Dạng Tồn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Nhận xét: Xác định dấu dạng toàn phương sau: 2 2 1 ( x) x x x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 2 ( x) 3x x x 3 ( x) x12 3x22 x32 2 2 4 ( x) x x x Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S Dạng tắc dạng tồn phương Khi ma trận dạng toàn phương ma trận chéo a11 0 0 í nh a22 0 an n Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng � Hay 11 22 ến T y u T ố Đại S í nh nn n ( x) a x a x a x Thì ta gọi dạng tắc dạng tồn phương Gi¶ng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phng ến T y u T ố Đại S í nh Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ( x) x x 10 x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 Giảng viên: Phan Đức TuÊn ến T y u T ố Đại S � í nh (a b) a 2ab b a b 2ab (a b) a 2ab b a b 2ab (a b c) a b c 2ab 2ac 2bc 2 2 (a b c) a b c 2ab 2ac 2bc 2 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh ( x) x x 10 x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 ( x1 x2 x3 ) x x x2 x3 2 2 ( x1 x2 x3 ) ( x2 x3 ) x32 Đặt y1 x1 x2 x3 y2 x2 x3 y3 x3 � ( y) y y y 2 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phương � ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Đưa DT phương sau dạng tắc: ( x) x x 13x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 ( x1 2x2 3x3 ) 2x22 4x32 10x2 x3 ( x1 x2 x3 ) 2[ x22 x32 x2 x3 ] 2 17 ( x1 x2 3x3 ) 2[( x2 x3 ) x3 ] 17 2 ( x1 x2 x3 ) 2( x2 x3 ) x3 2 17 2 Gi¶ng viên: Phan Đức y1 y2 y3 Tn §7: Dạng Tồn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Ví dụ: Đưa DT phương sau dạng tắc: ( x ) x x x x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 2 ( x1 2x2 x3 ) 5x2 x3 Đặt y1 x1 x2 x3 x x3 x3 x2 y2 , y3 2 ( y ) y12 y22 y32 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phương � ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange: ( x) x12 x22 10 x32 x1 x2 x1 x3 x2 x3 (x1 )2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Đưa dạng tồn phương dạng tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ( x) x12 3x22 x32 x1 x2 x1 x3 x2 x3 2 A 3 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dng Ton phương � ến T y u T ố Đại S í nh 2 2 A 3 Đặt D0 1, D1 a11 2, D2 a11 D3 a21 a12 a22 a13 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 5, 2 3 35, Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dạng Toàn phương � Nếu ến T y u T ố Đại S í nh Di 0, i thì 1,2dạng , tồn phương có dạng tắc là: D0 D1 D2 ( y ) y1 y2 y3 D1 D2 D3 2 35 ( y ) y1 y2 y3 Giảng viên: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phương pháp Jacobi: ( x) x12 x22 3x32 x1 x2 x1 x3 x2 x3 A 2 4 Giảng viên: Phan Đức Tuấn ... viên: Phan Đức Tuấn §7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Đưa dạng tồn phương dạng tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc ( x) x12 ... ( y ) y12 y22 y32 Giảng viên: Phan Đức Tuấn Đ7: Dạng Toàn phương � ến T y u T ố Đại S í nh Bài tập: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange: ( x) x12 x22 10 x32 ... 2 2 4 ( x) x x x Giảng viên: Phan Đức Tn §7: Dạng Tồn phương � ến T y u T ố Đại S Dạng tắc dạng toàn phương Khi ma trận dạng toàn phương ma trận chéo a11 0 0 í nh a22