Bài giảng SKKN Toan - Phuong Thao

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ I. Đặt vấn đề: Trong môn toán chúng ta không cần tìm ra những bài toán gốc, mà chỉ cần nhìn ra các dạng toán cơ bản bổ trợ cho mảng kiến thức trọng tâm. Qua thời gian giảng dạy -Bồi dỡng -Phụ đạo-Ôn thi vào 10 tôi phát hiện rất nhiều vấn đề về hằng đẳng thức đáng nhớ, Thiết nghĩ đây là một khối kiến thức khổng lồ, là nề tảng cho học sinh từ khi tiếp cận cho tới những chặng đờng tiếp theo. Tôi đã khai thác, vận dụng một phần nhỏ vào công tác giảng dạy, ôn cho học sinh trong đơn vị. Tôi thấy có hiệu quả rõ rệt và đặc biệt là khơi dậy trong tâm hồn học sinh niềm đam mê tìm tòi, khám phá trong lĩnh vực toán học. Với thời lợng truyền thụ tìm hiểu đối với mảng kiến thức này trên lớp quá ít cho nên tôi đã mạnh dạn viết lại các vấn đề ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Để học sinh và giáo viên,đồng nghiệp tham khảo, áp dụng vào công tác học tập, ôn tập, bồi dỡng học sinh trong đơn vị . II. Giải quyết vấn đề: A. Lý thuyết: I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2AB 2. (A - B) 2 = A 2 + B 2 - 2AB 3. A 2 B 2 = (A + B) (A B) 4. (A 3 + B 3 ) = (A + B) (A 2 AB + B 2 ) 5. (A 3 - B 3 ) = (A - B) (A 2 + AB + B 2 ) 6. (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 2 7. (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 2 II. Một số dạng hằng đẳng thức tổng quát: 1. (a 1 + a 1 + a 3 + .+ a n ) = a 1 2 + a 2 2 + . + 2(a 1 a 2 + a 1 a 3 + .+ a n-1 a n ) 2. a n b n = (a b) (a n-1 + a n- 2 b + . + ab n-2 + b n-1 ) 3. a n + b n = (a + b) (a n-1 - a n- 2 b + . - ab n-2 + b n-1 ) (n: lẽ) 4. (a + b) 2 = a n + c 1 n a n-1 b + . + c n-2 n a n-3 b n-1 + b n B. Các dạng bài toán vận dụng ứng dụng của hằng đẳng thức: Dạng 1:Phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ 1: (a 2 + 4ab 5) 2 16 (ab + 1) 2 Ta có: (a 2 + 4ab 5) 2 16 (ab + 1) 2 = (a 2 + 4ab 5) 2 (4(ab + 1) 2 ) = ((a 2 + 4ab 5) 2 4( ab+1)) (a 2 + 4ab 5) 2 + 4 (ab + 1) = (a- 2b 3) (a 2b + 3) (a+ 2b + 1) (a + 2b + 1) Ví dụ 2: 4x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 Ta có: 4x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = (2xy x 2 y 2 ) (2xy + x 2 + y 2 ) = - (x y) 2 (x + y) 2 Năm học: 2007 - 2008 1 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ 3: (x + y + z ) 2 + (x + y - z ) 2 4z. Ta có: (x + y + z ) 2 + (x + y - z ) 2 4z = (x + y + z ) 2 + ((x + y z) 2z) ((x + y z) + 2z) = (x + y + z ) 2 (x + y 3z) ( x + y + z) = 2( x + y + z) ( x + y - z) Ví dụ 4: x 2 25 + 2xy + y 3 = (x 2 + 2xy + y 2 ) 5 2 = ( x + y 5) (x + y + 5) Dạng 2:Chứng minh bất đẳng thức ví dụ 1: Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 z) y x( ++ ab + cd + ca (1) Ta có: a 2 + b 2 + c 2 z) y x( ++ ab + cd + ca = a 2 + b 2 + c 2 (ab + bc + ca) 0 <=> 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2(ab + cd + ca) 0 <=> (a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 0 ( đúng) => Ta có đpcm. Ví dụ 2: Cho x > 0, y > 0, x > 0 ( x, y, x: Là ba cạnh của tam giác) Chứng minh rằng: (x + y z) (x + z y) (y + z x) xyz. Ta có: x 2 (y z) 2 x 2 (1) Do đó (x - y + z) (x + y z) x 2 Tơng tự ta có: (x + y z) (x - y + z) y 2 (2) (x + y z) (y + z - x) z 2 (3) Nhân vế với vế ta có: ((x + y z) (x + z y) (y + z x)) 2 (xyz) 2 . Do x. y. z: Là ba cạnh của tam giác nên ta có: x + y z > 0; y + z x > 0; z + x y > 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Cho a b = 1. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 2 1 Thật vậy ta có: a = b + 1 Nên a 2 + b 2 = (1+ b) 2 + b 2 = 2b 2 + 2b + 1 = 2(b 2 + b + 4 1 ) + 2 1 2 1 do đó ta có điều phải chứng minh. Dạng 3:Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Ví dụ 1: Cho A = 2009 6 - 2007 6 Chứng minh A chia hết cho 8024 Ta có: A = 2009 6 - 2007 6 = (2009 2 ) 3 - (2007 2 ) 3 A = (2009 2 - 2007 2 ) (2009 4 + 2009 2 . 2007 2 + 2007 4 ) A = (2009 + 2007). (2009 2007). B A = 8032 . B Vậy A chia hết cho 8023. Ví dụ 2: Cho A = 25 12 + 25 6 Chứng minh rằng: A chia hết cho 16250 Năm học: 2007 - 2008 2 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Ta có: A = (25 4 ) 3 + (25 2 ) 3 = (25 4 + 25 2 ) (25 8 25 4 . 25 2 + 25 4 ) A = 16250 . B Vậy A chia hết cho 16250. Ví dụ 3: Cho hai số nguyên tố lớn hơn ba. Chứng minh rằng hiệu bình phơng của hai số nguyên tố đó chia hết cho 24. Giải: Gọi hai số nguyên tố đó là: p, q (p > 3, q > 3) (p > q) Theo bài ra ta có: p 2 q 2 24 Thật vậy: p 2 q 2 = (p 2 1) (q 2 1) = (p 1 ) (p + 1) (q 1) (q + 1) Xét: (p 1) (p + 1) Ta có (p 1) p (P + 1) 3 do p > 3. p: nguyên tố nên ta có (p 1) (P + 1) 3 (1) Đặt p 1 = 2k, p + 1 = 2k + 2 khi đó (P 1) (P + 1) = 4k (k + 1) 8 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (p 1) (q + 1) 24 ( vì (3, 8 = 1) Tơng tự ta có: (q 1) (q + 1) 24 ( q nguyên tố lớn hơn 3) Vậy ta có: p 2 q 2 24. Dạng 4: Giải ph ơng trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x + 5) 4 + (x + 7) 4 = 16. Ta thấy đây là một dạng toán khó, học sinh thờng bế tắc về phơng pháp giải nhng ta đơn giản bài toán một tý ta sẽ thấy rõ đợc vấn đề. Ta thấy: x + 5 và x + 7 có mối quan hệ với x + 6. Đặt x + 6 = T Ta có phơng trình trở thành (T 1) 4 + (T + 1) 4 = 16. <=> 2T 2 + 12T 2 + 2 = 16. <=> T 4 + 6T 2 7 = 0 <=> T 2 = 1 T 2 = - 7 Ta có T 2 = 1 thoả mãn vậy ta có nghiệm của phơng trình là S = (- 5; -7) Ví dụ 2: Giải phơng trình y 3 + y 2 + y + 1 = 0 Do 1 + 1 + 1 0 Nên phơng trình không có nghiệm là - 1 Do đó ta nhân hai vế của phơng trình với y 1 ta có (y - 1) (y 3 + y 2 + y + 1) = 0 <=> y 4 = 1 <=> y = - 1. Ví dụ 3: Giải phơng trình: y 4 + 3y 3 + 4y 2 + 3y + 1 = 0 Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của phơng trình đã cho Năm học: 2007 - 2008 3 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Do đó ta chia cả hai vế của phơng trình cho y 2 ta có (y 2 + 2 1 y ) + 3(y + y 1 ) + 4 = 0 Đặt y + y 1 = T Khi đó ta có phơng trình: T 2 + 3T + 2 = o <=> T = -1 T = - 2 Với T = -1 phơng trình vô nghiệm Với T = -2 ta có y + y 1 = - 2 <=> (y- 1) 2 = 0 <=> y = -1 Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là: - 1 Dạng 5:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ví dụ 1: Cho A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Ta có: 1 + 8 = 4 + 5 Do đó A = (x + 1) (x + 4) (x + 5) (x + 8) = (x 2 + 9x + 14 6) (x 2 + 9x + 14 + 6) = (T 6) (T + 6) A 2 = T 2 36 - 36 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là - 36 đạt đợc khi x = - 7 hoặc x = 2. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + xy + y 2 -3x 3y + 2007 Ta có: A = (x 2 2x + 1) + (y 2 2y + 1) + ( x - 1) (y - 1) + 2004 A= 2 2 1 )1( + y x + 4 3 (y - 1) 2 + 2004 2004 Vậy A nhỏ nhất là 2004 đạt đợc khi x = 1 và y = 1. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của C = 2007 x 2 + 2x 4y 2 4y Ta có: C = -(x 2 2x + 1) (4y 4 - 4y + 1) + 2005 Do đó C 2005 Vậy giá trị nhỏ nhất là: 2005 đạt đợc khi x = 1 và y = 2 1 Dạng 6:Rút gọn biểu thức, chứng minh đẵng thức, giá trị biểu thức, so sánh Ví dụ 1: Rút gọn A = 88 2 44 3 22 84211 ba a ba a ba a baba + + + + + + + + Năm học: 2007 - 2008 4 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Ta có: 222222 22 , 211 ba a ba a ba a baba + = + + = 44 3 4 ba a , 44 3 4 ba a + 44 3 4 ba a + = 88 3 8 ba a 1616 15 88 7 88 7 1688 ba a ba a ba a = + + Vậy A = 1616 15 16 ba a Ví dụ 2: Cho a + b = c Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab ac bc) = 0 Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab ac bc) = (a 2 + 2ab + b 2 ) (2ac + bc) + c 2 = (a+b) 2 2(a + b). c + c 2 = (a+b+c) 2 = (c c) 2 = 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0, a 2 + b 2 + c 2 = 1 Tìm S = a 4 + b 4 + c 4 Từ giải thiết ta suy ra: a 2 + b 2 + c 2 = (a + b+ c) 2(ab + bc + ca) = 1. Suy ra ab + bc + ca = - 1/2 Do đó S = (a 2 + b 2 ) 2(ab) 2 + c 4 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 2(ab) 2 2(cb) 2 2(ac) 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 2((ac + cd + ac) 2 2abc (a+b+c)= 1 2/4 = -1/2 Ví dụ 4: So sánh A = 2007 + 2009 với B = 2 2008 Ta có: A 2 = 2007 + 2009 + 2 2009.2007 B 2 = 2008 + 2008 + 2 2008.2008 Do đó ta có A < B Dạng 7: Tìm nghiệm nguyên, giải hệ ph ơng trình ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x(x + 1) (x + 7) (x + 8) = y 2 Ta có: x(x + 1) (x + 7) (x + 8) = (x 2 + 8x) (x 2 + 8x + 7) = t 2 + 7t (t = x 2 + 8x) Ta có nếu t > 9 thì (t + 3) 2 = t 2 + 6t + 9 < t 2 + 7t = y 2 < t 2 + 8t + 16 = (t + 4) 2 Vậy y 2 gồm giữa hai bình phơng hai số tự nhiên liên tiếp đó là điều vô lý cho nên t 9 hay 9 1 x , (y = x 2 + 8x 9 có cực tiểu là: - 5/ = a cắt ox tại x= - 9 và x = 1 do đó y = x 2 + 8x 9 0 <=> - 9 1 x ) Do x, y thuộc z nên ta có x = - 9, - 8, - 7, - 6, .1 Vậy nghiệm (x, y) = }{ )12,1)(12,1)(0,0)(0,1)(12,4)(12,4)(10,7)(10,8)(12,9)(12,9( Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình Năm học: 2007 - 2008 5 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ =+ +=++ )2(6 )1(232 22 yx yỹx Ta có: Nhân hai vế của (1) với 2 rồi cộng (1) Với (2) vế theo vế ta có: x 2 + 2xy + y 2 + 2(x + y) = (x + y) 2 + 2 (x + y) = 10 + 6 2 (x + y + 1) 2 = (3 + 2 ) 2 x + y + 1 = 3 + 2 hoặc x + y + 1 = - 3 - 2 Nếu x + y = -4 2 thì xy = 6 + 4 2 và (x y) 2 = (x + y) 2 4xy = -6 - 8 2 < 0 Vô lý Do đó x + y = 2 + 2 và xy = 2 2 vậy ta có nghiệm (2, 2 ); ( 2 , 2) Dạng 8: Tính hợp lý Ví dụ1: Tính 999 3 Ta có 999 3 = (1000 1) 3 = . ví dụ 2: A= 521028521028 +++ ta tính A 2 =( 521028521028 +++ ) 2 = =20-4 5 vậy ta có A=( A ) 2 Dạng 9.tìm hai số khi biết tổng và tích ví dụ:Tìm x,y biết x, y thoả mãn: x 2 +xy+y 2 =19(1) và x-xy+y=1(2) lấy (1)-(2) ta có (x+y) 2 -(x+y)=20 Đặt x+y=T ta có x+y=5 hoặc x+y=-4 vậy ta có x+y=5 và xy=6 hoặc x+y=-4 và xy=-5 vậy ta có x=2,y=3 hoặc x=3,y=2 hoặc x=-2+ 7 ,y=-2- 7 , hoặc y=-2+ 7 ,x=-2- 7 Dạng 10. Giải ph ơng trình bậc hai Ví dụ : cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng phơng trình bậc hai sau vô nghiệm :b 2 x 2 +(b 2 +c 2 -a 2 )x+ c 2 =0 ta có = (b 2 +c 2 -a 2 ) 2 -4 b 2 c 2 =(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0 (vì b-c-a<0) vậy phong trình vô nghiệm C. Một số dạng bài toán áp dụng: Bài 1: Chứng minh rằng nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc thì a + b + c = o hoặc a = b = c Bài 2: So Sánh A = (2008 + 1) (2008 2 + 1) (2008 4 + 1) (2008 8 + 1) với B = 2008 16 . 2007 -1 Bài 3: Cho x > 0; y > 0; z > 0. Chứng minh rằng: 2 222 xyx yx z xz y zy x ++ + + + + + Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: A = (x + y) (x + 2y) (3 + 3y) (x + 4y) + y 4 là một số chính phơng. Bài 5: Chứng minh rằng: n 3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 210. Bài 6: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a 3 + b 3 + ab. Tìm nghiệm nguyên: y 3 x 3 = 91 Năm học: 2007 - 2008 6 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ Bài 7: Tính nhẩm: 9999 3 Bài 8: Giải phơng trình 15 x - 23 x = 1 x Bài 9: cho a+b=1 chứng minh rằng a 4 + b 4 >1/8 III. Kết luận: Trên đây là một số vấn đề mà tôi đã suy nghĩ, tìm tòi trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dỡng học sinh về ứng dụng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Bài viết này của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự góp ý, bổ sung của quí thầy cô giáo và các đồng nghiệp nhằm phục vụ và đa chất lợng giáo dục của ngành ngày một đi lên ./. Năm học: 2007 - 2008 7 . .+ a n-1 a n ) 2. a n b n = (a b) (a n-1 + a n- 2 b + . + ab n-2 + b n-1 ) 3. a n + b n = (a + b) (a n-1 - a n- 2 b + . - ab n-2 + b n-1 ) (n:. 2 -a 2 )x+ c 2 =0 ta có = (b 2 +c 2 -a 2 ) 2 -4 b 2 c 2 =(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0 (vì b-c-a<0) vậy phong trình vô nghiệm C. Một số dạng bài