BAI 4 HE PHUONG TRINH PP THE

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 Vấn đề 4: GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Dạng Phương pháp ẩn y x 1.1 Phương pháp giải: Từ hai phương trình, rút theo (hoặc ngược lại) vào phương y x x trình cịn lại Giải phương trình ẩn để tìm , sau tìm tương ứng 1.2 Bài tập ví dụ: Câu Giải hệ phương trình x + y =  3  x + y = 26 Lời giải Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb: Mỹ Đinh Biến đổi hệ dạng:  y = − x  3  x + ( − x )   x = −1 y = 2− x  y = 2− x  y = ⇔ ⇔   x = −1 ⇔   x = = 26 x − 2x − =  x =     y = −1 ( −1;3) ( 3; −1) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x − y − m =   y + x − 2m − = Câu Cho hệ phương trình a Giải hệ phương trình với b Tìm m m =1 để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt ( x1; y1 ) Lời giải ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x12 + y12 = x22 + y22 ( *) Tác giả: Bùi Phùng Đức Anh; Fb: Anh Bùi a Biến đổi hệ dạng:  y = x − m y = x − m ⇔  2 ( x − m ) + x − 2m − =  x − ( m − 1) x + m − 2m − = Với m =1 , ta được:  x =   y = x −1  y = x −1  y = ⇔ ⇔    x = −2 x − =  x = ±2    y = −3 b Biến đổi tiếp hệ dạng:   x1 = m + y = x − m   y = x − m   y1 = ⇔  x − m − = ⇔    ( x − m − 1) ( x − m + ) =   x − m + −   x2 = m −     y2 = −3 m Hay, với hệ ln có hai cặp nghiệm 2 ( *) ( m + 1) + = ( m − 3) + ⇔ 8m − 16 = ⇔ m = Điều kiện trở thành Câu Giải hệ phương trình ( x − y ) ( x − y ) =   2 ( x + y ) ( x + y ) = 15 Lời giải Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb: Mỹ Đinh Biến đổi hệ phương trình dạng:   ( x + y ) − xy  ( x + y ) = ( *) x − y x + y = ( ) ( )    ⇔  2 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ( x + y ) ( x + y ) − xy  = 15     Trừ hai vế phương trình cho ta được: xy ( x + y ) = 12 ⇒ x + y = ( xy ≠ ) xy x+ y Thay vào (*) ta     ÷ − xy  = ⇔ xy = ⇒ x + y =  xy   xy Khi hệ phương trình tương đương với: x + y =   xy = Suy x, y nghiệm phương trình:  x =  t = y = 2 t − 3t + = ⇔  ⇔  x = t =    y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: Câu Giải hệ phương trình ( 1; ) 2 x y + y = x + x  ( x + ) y + = ( x + 1) ( 2;1) Lời giải Tác giả: Đặng Tấn Khoa, Fb: Đặng Tấn Khoa 2 x y + y = x + x (1)  ( x + ) y + = ( x + 1) (2) y ≥ −1 Điều kiện: (1) ⇔ x ( y − x ) + ( y − x ) = ⇔ x ( y − x ) + ( y − x )( y + yx + x ) =  y − x2 = ⇔ ( y − x )(2 x + y + yx + x ) = ⇔  2  x + y + yx + x = +) y − x2 = ta có y = x2 : Thế vào phương trình (2) ta được: ( x + 2) x + = ( x + 1) ⇔ ( x x + − x) + (2 x + − ( x + 1)) = ⇔ x( x + − 2) + x + 1(2 − x + 1) =  x + − = (3) ⇔ ( x + − 2)( x − x + 1) = ⇔   x − x + = (4) 2 Giải phương trình (3) hai nghiệm Với Với x1 = tính x2 = − y1 = x1,2 = ± ( thỏa mãn) y2 = tính ( thỏa mãn) x ≥  (4) ⇔ x + = x ⇔  2 x +1 = x vô nghiệm x =   x + y + yx + x = ⇔ x +  y + x ÷ + x = ⇔    y = +) 2 Vậy hệ có hai nghiệm ( ;3) (− ;3) thay vào (2) không thỏa mãn 1.3 Bài tập rèn luyện Bài Giải hệ phương trình 2 x − y =  2 3x − y − y = (1) (2) Lời giải x= Từ phương trình (1) ta + 3y  y = −1 ⇔ 23 y + 82 y + 59 = ⇔   + 3y   y = − 59 3 − y − y = ÷ 23    2 Thế vào phương trình (2): Với y = −1 ⇒ x = y=− Với 59 62 ⇒x=− 23 23 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài Giải hệ phương trình ( 1; − 1)  62 59  − ;− ÷  23 23   x − y + y + x − y + =   x y + y x + = x + y + (1) (2) Lời giải Điều kiện  x ≥ −1  y ≥ Từ phương trình (1) ⇔  x − ( y − 1)  + x − y + =   ⇔ ( x − y + 1)  x + x ( y − 1) + ( y − 1) + 1 =   ⇔ x − y +1 = ⇔ x = y −1 x + x ( y − 1) + ( y − 1) + > 0, ∀x ∈ ¡ (Vì Thế x = y −1 ) vào phương trình (2) ta được: ⇔ 2y y − 2y − y − = ⇔ ( )( ( y − 1) y + y y = 2y + ) y − 2y + y + = ⇔ y −2= 0⇔ y = Với y=4 suy x=3 ( x; y ) = ( 3; ) Vậy hệ phương trình có nghiệm  y x + = +2  y  x x 2 y − y + = xy  Bài Giải hệ phương trình Lời giải Tác giả: Bùi Phùng Đức Anh; Fb: Anh Bùi Điều kiện xác định: x > 0, y ≠ Phương trình thứ hệ tương đương với y x + = + ⇔ y x + y = x x + xy ⇔ y + y ( x − x) − x x = y x x Xem phương trình bậc hai theo biến y, ta có ∆ x = ( x − x) + x x = x + x x + x = ( x + x) > Do đó, phương trình có hai nghiệm y= (2 x − x ) − ( x + x) =− x y= (2 x − x ) + ( x + x ) = 2x Suy hệ phương trình tương đương với  y = − x ( 3)  2 y − y + = xy  y = 2x ( 4)  2 y − y + = xy y = − x ( 3) ⇔  Ta có 2  y + ( y − 1) = −3 x x y + ( y − 1) > 0, −3 x x < (vơ nghiệm    y = 2x  y = 2x  y = 2x  (4) ⇔  ⇔ ⇔ 2± 2 2(2 x) − 2(2 x) + = x(2 x) 2 x − x + = x =     2+ x = ⇔ y = +   2− x =  y = 2−  Dạng Phương pháp biểu thức ) 2.1 Phương pháp giải: Từ hai phương trình, rút biểu thức phương trình cịn lại u ( x, y ) theo v( x , y) vào 2.2 Bài tập ví dụ Câu 1: Giải hệ phương trình 3  x − x = y + y  2  x − = 3( y + 1) (1) (2) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb: Cỏ Vơ Ưu Từ phương trình (2) ⇒ x = 3( y + 2) (3) thay vào phương trình (1) ta được:  x = 3( y + 2) 2  x = 3( y + 2)   x = 3( y + 2) ⇔ ⇔    x 2  x − x = y( y + 2)  x(3x − xy − 24) =  x − x = y   x = 3( y + 2)   x = ⇔  x − 24    y = x * Với * Với x=0 thay vào (3) ta có: x − 24 y= x y2 + = vô nghiệm  x − 24  x = 3 ÷ +6 x   thay vào (3) ta được:  x = ±3 ⇒ y = ±1  x2 =  ⇔ 96 ⇔   x = ± 96 ⇒ y = m 78 x =   13 13 13 ⇔ 13 x − 213 x + 864 = Vậy tập nghiệm hệ phương trình Câu Giải hệ phương trình  96 78   96 78    S = (3;1);( −3; −1);  ; ; − ; − ÷  ÷ ÷ 13 ÷   14 13   14    x + y + x + y = (1)  (2)  x + y + x − y = Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb: Cỏ Vô Ưu Điều kiện: 7 x + y ≥  2 x + y ≥ 2x + y = − x + y ≥ Từ (2) suy vào (1) ta hệ phương trình: 7x + y = x − y + ≥ Do ta có −3 ≤ x − y ≤  −3 ≤ x − y ≤    x + y = x − y + ⇔ 7 x + y = ( x − y + 3)  2 x + y = ( − x + y + 2)   2x + y = − x + y +  −3 ≤ x − y ≤  −3 ≤ x − y ≤   ⇔ 7 x + y = x + y + x − y − xy + ⇔  x + y − xy = x + y − 2 x + y = x + y − x + y − xy +  x + y − xy = x − y −   −3 ≤ x − y ≤ x = y −1   ⇔ x = y −1 ⇔   y = (n)  y − 11 y + 10 =   y = 10 (l)   Vậy x = y =1 nghiệm hệ phương trình  x + y − 2 x + − 2 y + − xy =  ( x + y ) ( x + y ) + x + y = ( ) Câu Giải hệ phương trình ( 1) Lời giải Tác giả: Trương Thúy ; Fb: Thúy Trương Điều kiện  x≥−    y ≥ −   ( *) ( ) ⇔ x + ( y + 3) x + y + y − = , ta xét phương trình ẩn ∆ y = ( y + 3) − ( y + y − ) = y + 10 y + 25 = ( y + ) x , có x = 1− y ⇒  x = −2 y − Với x = −2 y − ⇔ x + y + = Lại có Trường hợp loại đk 1 x≥− ;y≥− 2 ( 1) ⇔ ( ) 2x +1 + y +1 = ( x − y ) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + xy + + = ( x + y ) − xy    Với x = 1− y ⇔ x + y = ( 3) , vào (3) ta xy + = ( − xy ) − 16 ⇔ xy + = ( xy + 3) ( xy − ) ⇔ xy + ( xy − ) xy + − 8 = x + y = ⇒ = ( x + y ) ≥ xy ⇒ xy − ≤ −4 < ⇒ ( xy − ) xy + − < Vì Nên −3 xy + ( xy − ) xy + − 8 = ⇔ xy + = ⇔ xy = Từ ta có hệ    x = −    x + y =  y =   tm ( *)  −3 ⇔  xy =    x=     y = −   Vậy hệ cho có nghiệm  x =− ;y =  3 ÷ 2 1   x = ; y = − ÷ 2  1.3 Bài tập rèn luyện Bài Giải hệ phương trình  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x +   xy + x + = x Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương  x ( y + 1) ( x + y + 1) = x − x +   xy + x + = x Ta thấy Với x=0 x≠0 ( 1) ( 2) khơng thỏa mãn phương trình (2) từ (2) có x2 −1 y +1 = x , thay vào (1) ta x2 −1  x2 −1  2 x x+ ÷ = 3x − x + ⇒ ( x − 1) ( x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) x  x  ⇔ ( x − 1) ( x3 + x − x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x3 + x − x ) = ⇔ x ( x − 1) ⇔ x =1 Với Với x =1 x = −2 ( x + 2) = x = −2 ( x ≠ ) y = −1 y=− Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Bài Giải hệ phương trình ( x ; y) 5  −2 ; − ÷  ( 1; − 1) ,  2  x2 + y 2  xy + x + y = xy    x2 + y − = − x2 + x  x+ y Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương  x2 + y2  xy + x + y = xy    x2 + y − = − x2 + x  x+ y Điều kiện : ( 1) ( 2) x + y ≠   xy ≠ x + y ≠   xy ≠ ( 1) ( x + y) ⇔ − xy xy ( x + y ) −1 + − = + − =0⇔ x + y xy xy x+ y Với ( x + y − 1) ( x + y + 1) + ( − x − y ) ⇔ xy x + y = ⇔ 2 x + y + x + y = x+ y ( x + y − 1) ( x + y + x + y ) =0⇔ xy ( x + y ) =0 x + y =1 Với thay vào (2) ta được:  2+ 1− ⇒y= x = 3 x + ( − x ) − = − x + x ⇔ 3x − x − = ⇔   2− 1+ ⇒ y= x = 3  − ( x + y ) = x2 + y2 Với thay vào (2) ta được: ( x − 1) ≤ x = x = 1 1− x + 2x = x + y + ≥ ⇔ ⇔ ⇔   2 2 x +y x + y =  y =  x + y = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y) ( Loại )  + 1−   − 1+  ; ;  ÷,  ÷ ÷ ÷     Dạng Phương pháp số 3.1 Bài tập ví dụ: Câu Giải hệ phương trình  y + y x + ( x − y ) =   x + xy = ( ) ( 1) Lời giải Tác giả: Trương Thúy ; Fb: Thúy Trương Từ (2) = x + xy vào (1) ta y + y x + ( x + xy ) ( x − y ) = ⇔ y − y x + x3 − x y = ⇔ y2 ( y − x ) + x2 ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x2 − y ) = ⇔ ( x − y) Với Với x= y x = y x = −y ( x + y) = ⇔  x2 = ⇔ x = ± thay vào (2) ta x = −y thay vào (2) ta Vậy hệ cho có hai nghiệm 0=3 6 ⇒ y=± 2 Phương trình (2) vơ nghiệm  6 ;  ÷ ÷  2   6 ;−  − ÷ ÷   Câu Giải hệ phương trình  x − y + + y − x + =   y ( y − x + 2) = 3x + Lời giải Tác giả: Ngô Gia Khánh; Fb: Khánh Ngô Gia Xét hệ  x − y + + y − x + =   y ( y − x + 2) = x + (1) (2) y − 7x + ≥ Điều kiện: ⇔ y + (2 − x) y − x − = Ta có: (2) ∆ = ( x + 4) xem phương trình bậc hai theo ẩn y có x−2−x−4  = −3 y =  y = x − + x + = x +1  Phương trình có hai nghiệm: y = −3 x + 18 + 13 − x = * Trường hợp 1: thay vào (1), ta (vô nghiệm) * Trường hợp 2: y = x +1 x − 5x + Giải (3): Đặt t = t + 6t − = ⇔   t = −7 Với t =1 (ko t/m) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: Câu Giải hệ phương trình sau: (3) t ≥ = , điều kiện t Khi đó, (3) trở thành: (t/m) x = ⇒ y =  x − 5x + = ⇔ x − 5x + = ⇔  x = ⇒ y = ta có: thay vào (1), ta x − 5x − + x2 − 5x + = (1;2) (4;5) (thỏa mãn) 2   x + 2x y + x y − 2x − =    x + xy = x + Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh; Fb: Thanhh Thanhh Ta có : ( x + xy ) = x +  2   x + 2x y + x y − 2x − = ⇔    xy = − x + x + x + xy = x +    2  2 1  x + 12 x + x + 16 x =  x − x + x + ÷ = x +     ⇔  ⇔ 4  xy = − x + 3x +  xy = − x + 3x +   2   x = 1   x = −4  x ( x + ) = 0 y = ( )   ⇔ ⇔ ⇔ 17 y= x = −   xy = − x + 3x +       −4 y = −17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: Câu Giải hệ phương trình sau: 17    −4; ÷ 4  2 x + y = − x − y 3  x + + − y = (1) (2) Lời giải Tác giả: Trần Minh Lộc; Fb: Trần Lộc Điều kiện xác định Ta có: x + y ≥ 0; y ≤ (1) ⇔ (2 x + y ) + 2 x + y − = ⇔ ( x + y − 1)( x + y + 3) =  2x + y −1 = ⇔ ⇔ y = 1− 2x  x + y + = (vn) (2) ⇔ x + + x = ⇔ ( x + − 2) + ( x − 2) = Thay vào phương trình thứ ta có x = x−2  1 ⇔ + =0⇔ + = 0(vn) 3 ( x + 6) + x + + + x  ( x + 6)2 + x + + + x x−2 Vậy hệ có nghiệm ta có Câu Giải hệ phương trình sau: x = 2; y = −3  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y Lời giải Tác giả: Kim Oanh; Fb: Kim Oanh  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y Ta có : (1) x( y + 1) = y − Từ ta có (1) (2) Xét y = −1 (1) ⇔ x = không thỏa mãn hệ phương trình, với y −1 y +1 y ≠ −1 : (*), (*) vào (2) ta phương trình:  y −1  y −1 y + = 13 y  ÷ y + y +1 ⇔ (7 y − 1) y + y.(7 y − 1)( y + 11) + ( y + 1) = 13 y ( y + 1)  y +1  ⇔ 36 y − 33 y − y + y + = ⇔ ( y − 1).(3 y − 1).(12 y + y + 1) =  y −1 =  y =1  ⇔  3y −1 = ⇔ y = 12 y + y + =  Với y =1 y= Với vào (*) ta vào (*) ta x=3 x =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: ( 3.1 Bài tập rèn luyện: Bài Giải hệ phương trình  1 (3;1);  1; ÷  3  x + x y + x y − x − =   x + xy = x + Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thanh; Fb: Thanhh Thanhh ( x + xy ) = x +   x + x y + x y − x − = ⇔    xy = − x + 3x + x + xy = x +   Ta có :  2 1  x + 12 x + x + 16 x =  x − x + x + ÷ = x +     ⇔  ⇔ 4  xy = − x + x +  xy = − x + 3x +   2   x = 1  x x + =  x = −4 )  ( 0 y = ( )   ⇔ ⇔ ⇔ 17 y= x = −   xy = − x + x +       −4 y = −17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Bài Giải hệ phương trình 2 x + y = − x − y 3  x + + − y = 17    −4; ÷ 4  (1) (2) Lời giải Tác giả: Trần Minh Lộc; Fb: Trần Lộc Điều kiện xác định Ta có: x + y ≥ 0; y ≤ (1) ⇔ (2 x + y ) + 2 x + y − = ⇔ ( x + y − 1)( x + y + 3) =  2x + y −1 = ⇔ ⇔ y = − 2x  x + y + = (vn) (2) ⇔ x + + x = ⇔ ( x + − 2) + ( x − 2) = Thay vào phương trình thứ ta có x = x−2  1 ⇔ + =0⇔ + = 0(vn ) ( x + 6) + x + + + x 3  ( x + 6) + x + + + x x−2 Vậy hệ có nghiệm ta có Bài Giải hệ phương trình x = 2; y = −3  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y Lời giải Tác giả: Kim Oanh; Fb: Kim Oanh  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y (1) (2) Ta có : (1) x( y + 1) = y − Từ ta có Xét y = −1 (1) ⇔ x = không thỏa mãn hệ phương trình, với y −1 y +1 y ≠ −1 : (*), (*) vào (2) ta phương trình:  y −1  y −1 y + = 13 y  ÷ y + y + y + ⇔ (7 y − 1) y + y.(7 y − 1)( y + 11) + ( y + 1)2 = 13 y ( y + 1)   ⇔ 36 y − 33 y − y + y + = ⇔ ( y − 1) ( y − 1) ( 12 y + y + 1) =  y −1 =  y =1  ⇔  y −1 = ⇔ y =  12 y + y + = Với y =1 y= Với vào (*) ta vào (*) ta x=3 x =1 ( 3;1) ,  1; Vậy hệ phương trình có nghiệm:  1 ÷ 3 ... y( y + 2)  x(3x − xy − 24) =  x − x = y   x = 3( y + 2)   x = ⇔  x − 24    y = x * Với * Với x=0 thay vào (3) ta có: x − 24 y= x y2 + = vô nghiệm  x − 24  x = 3 ÷ +6 x   thay... (2) y − 7x + ≥ Điều kiện: ⇔ y + (2 − x) y − x − = Ta có: (2) ∆ = ( x + 4) xem phương trình bậc hai theo ẩn y có x−2−x? ?4  = −3 y =  y = x − + x + = x +1  Phương trình có hai nghiệm: y =... ⇔ 13 x − 213 x + 8 64 = Vậy tập nghiệm hệ phương trình Câu Giải hệ phương trình  96 78   96 78    S = (3;1);( −3; −1);  ; ; − ; − ÷  ÷ ÷ 13 ÷   14 13   14    x + y +