BAI 5 GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn PHỤ

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 Vấn đề 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ dùng nhiều tỏ hiệu giải hệ phương trình Việc phát ẩn phụ, đặt ẩn phụ, xác định điều kiện cho ẩn phụ định việc giải hay không giải được, giải tốt hay giải khơng tốt hệ phương trình Dạng 1: Đặt ẩn phụ dạng đại số Một số lưu ý + Phương pháp chung cho kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số tìm nhân tử chung hai phương trình hệ + Các dấu hiệu thường gặp để đặt ẩn phụ: - Hệ đối xứng loại I - Hệ có nhân tử lặp lại hai phương trình hệ - Hệ chứa tổng, hiệu x+ y x− y ; - Một số hệ sau đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại I; II - Đôi ta phải nhân chia hai vế phương trình hệ với biểu thức biến ta hệ dễ dàng nhìn ẩn phụ Bài tập ví dụ Câu 1: Giải hệ phương trình  = 10 ( x + y ) + ( 2x − y )    x + 2y =  x − y Lời giải 2x − y ≠ Điều kiện: Đặt u = x + y   v = x − y  Khi hệ cho trở thành: Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta u + v = 10  uv =  u = 1; v =  u = 3; v =  u = −1; v = −3  u = −3; v = −1 Với Với Với Với  x + 2y =1  u = 1; v = ⇔  1⇔x=y= 2 x − y = x + y = u = 3; v = ⇔  ⇔ x = y =1  2x − y =  x + y = −1  u = −1; v = −3 ⇔  1⇔x= y=− 2 x − y = −  x + y = −3 u = −3; v = −1 ⇔  ⇔ x = y = −1  x − y = −1 1 1 ( 1;1) ( −1; −1)  ; ÷ Vậy hệ cho có nghiệm phân biệt là: ; ; ; Câu Giải hệ phương trình  x4 − x2 + y − y + =  2  x y + x + y − 22 =  1 − ;− ÷  3 Lời giải Hệ cho tương đương với Đặt u = x −   v = y −3 ( x − ) + ( y − ) =    ( x + ) ( y + 1) = 24 Với Với u =  v = u =  v = 2  u + v2 =  u + v = ⇔  ( u + ) ( v + ) = 24 uv + ( u + v ) = Khi hệ cho trở thành: Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta ta ta  u =  v =  u =    v =  x2 − =  x = ±2 ⇔   y=3  y −3 =  x = ±  x2 − = ⇔   y −3 =  y = ( ±2;3) Vậy hệ cho có nghiệm phân biệt là: ;   x + y + x y + xy + xy = −   x + y + xy (1 + x) = −  Câu Giải hệ phương trình (± 2;5 ) (1) ( 2) Lời giải ( x + y ) + xy = − ( 2) Nhận xét: phụ có dạng Hệ phương trình cho tương đương với  u + v(u + 1) = −  u + v = −  ( I) Hệ TH1: TH2: trở thành u =   v = −  u = −   v = −  ta có ta có ( 1) nên ta biến đổi ( x + y ) xy có chứa ; dùng ẩn  2  x + y + xy (x + y + 1) = −   x + y ) + xy = −   u =   v = − 5   v = − − u  ⇔ ⇔   u=−1 u + u + u =      v = −    5  x = xy = −   ⇔   x2 + y =  y = − 25   16  2 x + x − = xy = − x =    ⇔ ⇔  3 y = − xy = − x + y = −     Nghiệm hệ phương trình  3  25   ( x ; y ) = 1; − ÷;  ; − ÷ 2  16 ÷    (I ) Đặt:  xy = v  x + y = u 8   x + 3x − 13x − 15 = y − y   y + = y ( x + x + 2)  Câu Giải hệ phương trình (2) Lời giải y ≠ Điều kiện: ( 2) 2  =b y x +1 = a  Đặt: cho biến đổi ( II ) Hệ trở thành Thế vào ta TH1: TH2: TH3: suy a = 4b b = −3a ta hệ 3 3 a − 16a = b − 4b a − b = ( 4a − b ) ⇔  2 b − 5a = b + = 5(a + 1) a = a − b = ( b − 5a ) ( 4a − b ) ⇔ 7a = 4b b = −3a a=0 ( 1) y2 Chia hai vế  2 2 ( x + 1) − 16 ( x + 1) =  ÷ −  ÷   y  y   2 ( 3) 1 +  y ÷ = ( x + 1) + 1    x +1 = 2 ( 3) vào x +1 = y = ±1 ta 8y suy 124 ( ) 49 y + = vào x +1 = suy −2 3y vô nghiệm y=± ( 3) vào ta ( −1; ±1) ,  −2; Nghiệm hệ phương trình có nghiệm Bài tập tự luyện Câu Giải hệ phương trình HD: Đặt  2  2 ÷,  0; − ÷ 3  3 ( x − y ) + ( y + xy ) + ( x − y ) ( y + xy ) = 13   2 ( x − y ) ( y + xy ) ( x − y + y + xy ) = −12  u = x − 2y  v = y + xy ( II ) u + v + uv = 13   uv ( u + v ) = −12 Hệ cho trở thành Hệ cho có  −3 + 21 + 21  ;  ÷ 5 ÷   ( 2; −1) ( −1;1) ; Đây hệ đối xứng loại I nghiệm  −3 − 21 − 21  ;  ÷ 5 ÷   ; ;  12 − 11 −4 − 11  ;  ÷ ÷ 5   ( x + y ) + y =  2 3 ( x + y ) − 22 xy + 21 = 11x + 12 y ( x + y) = t HD: Đặt Hệ cho theo ẩn Câu Giải hệ phương trình Kết 2 2 81x y − 81x y + 33 xy − 29 y =  3  25 y + x y − xy − y = 24 ( 1) HD: Chia hai vế phương trình 2  =b y 3 x − = a  Câu Giải hệ phương trình ( x ; y ) = ( 1;1) t, y ( 2) y2 cho , phương trình ( x ; y ) = ( 1;1) nghiệm hệ ( x + 1) ( y + 1) = 10  ( x + y ) + ( xy − 1) = Lời giải Có ( x + 1) ( y + 1) = 10  ( x + y ) ( xy − 1) = 2 ( x + y ) + ( xy − 1) = 10 ⇔  ( x + y ) ( xy − 1) = x + y = u; xy − = v, Đặt hệ trở trành y3 cho  −9 − 29 − 29  ;  ÷ 5 ÷   ;  14   13   ;− ÷ − ; ÷  5  5 ; ; Câu Giải hệ phương trình Đặt ẩn phụ là:  −9 + 29 + 29  ;  ÷ 5 ÷   ; ;  12 + 11 −4 + 11  ;  ÷ ÷ 5    u + v =  u + v =  ( u + v ) = 16  uv = ⇔ ⇔   u + v = −4 ⇔   u + v = −4 uv = uv =    uv = u + v = 10  uv = + TH 1: Với Với u =  v = u =  v = + TH 2: Với Với  u =  u + v = v = ⇔   u = uv =   v = thì  x =  x + y = x + y = y =1 ⇔ ⇔   x =  xy − =  xy =    y = x + y = x + y = ⇔ ( VN )   xy − =  xy =   u = −3  u + v = −4 uv = −1 ⇔   u + v = −1 uv =   uv = −3 u = −3  uv = −1 u + v = −1  uv = −3   x = −3   x + y = −3  x + y = −3 y = ⇔ ⇔   x =  xy − = −1  xy =    y = −3   x = −2   x + y = −1  x + y = −1   y = ⇔ ⇔   x =  xy − = −3  xy = −2    y = −2 ( 2;1) , ( 1; ) , ( −3;0 ) , ( 0;3) , ( −2;1) , ( 1; −2 ) Vậy hệ cho có ngiệm Dạng 2: Đặt ẩn phụ dạng tổng- hiệu Nội dung phương pháp: Đặt  u+v  u = x + y  x = ⇒  v = x − y  y = u −v   ( u ;v) thay vào hệ cho để chuyển hệ cho hệ ẩn Dấu hiệu nhận biết: Phương trình hệ có chứa đại lượng đối xứng nửa đối xứng đây: x − y = ( x + y ) ( x − y ) = u.v +) x + y = ( x + y ) − xy = u − u − v2 x + y = ( x + y ) ( x − xy + y )  ( x − y ) + ( x + y )  = ( x + y)   = u ( 3v + u )   x − y = ( x − y ) ( x + xy + y )  ( x + y ) + ( x − y )  = ( x − y)   = v ( 3u + v )   +) 3 +) 3 +) x −y =(x − y 4 2 )(x +y ) +) x4 + y = ( x2 + y ) 2 − 2x2 y ( x + y) + ( x − y)  = ( x − y) ( x + y)   = uv ( u + v )   (u = +) Tổng quát ta đặt: u = mx + ny   v = px + qy + v2 ) − 2 u + 6u v + v (u −v ) = 8 m,n, p,q ∈¡ với Bài tập ví dụ Câu Giải hệ phương trình sau:  x + y = xy + x + y  2 x − y = Lời giải Ta có: Đặt: ( x + y ) − 3xy = x + y  x + y = xy + x + y ⇔  2 x − y = ( x − y ) ( x + y ) =  u+v  u = x + y  x = u − v2 ⇒ ⇒ xy =   v = x − y  y = u − v    Khi hệ phương trình trở thành: u + 3v − 4u =  u − v2 =u u −  ⇔  u.v = v = u   ( u=0 khơng thỏa mãn hệ phương trình )  u −3 =  27 ( u − 3) ( u + 2u + 3) =    u + − u = u − u + 27 =     u + 2u + = u ⇔ ⇔ ⇔ ⇒  3 v = v = v = v = u  u    u u u =  x + y =  x = ⇒ ⇔ ⇔  y =1 x − y =1  v = ( x ; y ) = ( 2;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu Giải hệ phương trình sau :  x + y =  ( x + y ) = x Lời giải Ta có hệ phương trình tương đương Đặt u = x + y  v = x − y ( x + y ) + ( x − y ) − ( x + y ) ( x − y ) =   ( x + y ) = ( x + y ) + ( x − y ) Phương trình trở thành Ta giải phương trình 2u = u + v u + v − u.v =    2u = u + v (*) ⇔ 2u = ( u + v ) ⇔ 2u = ( u + v ) ( u + v − uv ) ⇔ 2u = u + v ⇔ u = v ⇔ u = v Khi hệ (*) tương đương : Do x + y = x = ⇔  x − y = y = u + v − u.v = u = ⇔ ⇔  u = v u = v Hoặc  x + y = −1  x = −1 ⇔   x − y = −1 y = ( 1;0 ) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Câu Giải hệ phương trình sau: u = v =  u = v = −1  ( −1;0 )   x2 + x + = y +  2   x + xy + y = Lời giải y ≥ −1 Điều kiện: Khi hệ tương đương vớ  x2 + x + = y + y +  ( x − y ) ( x + y ) + ( x − y ) + = ⇔ 1 2 2  ( x − y ) + ( x + y ) = 28  ( x − y ) + ( x + y )  =  4 Đặt u = x + y  v = x − y +) Với +) Với Với Với v=0 v≠0 hệ trở thành: uv + 2v + =  2  3u + v = 28 (1) khơng thỏa mãn hệ phương trình (1) hệ (1) tương đương với:  v = −1    u = −2 − v  u = −2 − u =3 ⇔ ⇒ v   3  +  + v = 28 v − 16v + 60v + 75 =  v = −5 ÷    v  u = −1  v = −1  x+ y =3  x =1 ⇔ ⇔  u =3  x − y = −1  y =  v = −5  x + y = −1  x = −3 ⇔ ⇔  u = −1  x − y = −5  y = ( thỏa mãn điều kiện) ( thỏa mãn điều kiện) ( x ; y ) = ( 1; ) , ( x ; y ) = ( −3; ) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: Câu Giải hệ phương trình sau : ( x − 1) + ( y + 1) + xy = 16  2 2 x − x + y = Lời giải Hệ phương trình tương đương  x − x + + y + y + + xy = 16  2 x − ( x − y ) ( x + y ) = 21 ( x + y ) − ( x − y ) = 14 ⇔  x − ( x + y ) ( x − y ) = Đặt u = x + y  v = x − y Hệ phương trình trở thành  u − 14 v =  u − 2v = 14 ⇔  2 u + v − u.v = u + u − 14 − u u − 14 =  2  u − 14 v =   u − 14  u − 14  u − 14 v = v = v =   u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 u − u − 16u + 16 = u ( u − 1) − 16 ( u − 1) = ( u − 1) ( u − 16 ) =  u =      u = −4 u =  ⇔ −13 v = + + u =  v = −11  x= u =     −13 =>  v =  y = 15   x= u =  ⇒  v = y =  u = −4  v = Đặt u = x + y u = x + y ⇔  v = x + y v = x + y (với ) x − y = mu + nv m, n Ta cần tìm hai số u, v ≥ cho ⇔ x− y= m( 2x+ 3y) + n( x+ y) ⇔ x− y= ( 2m+ n) x+ ( 3m+ n) y ∀x, y 2m+ n=  m= −2 ⇔ ⇔ 3m+ n= −1  n= Khi đó, hệ phương trình trở thành u= 1− v u+ v= u= 1− v ⇔ ⇔    2 2 −2u + 5v + v= −2 −2 ( 1− v) + 5v + v+ = 3v + 5v= u = − v  u =  v=0 ⇔   ⇔ v = v = −    2x+ 3y = 2x+ 3y=  x= −1 ⇔ ⇔ ⇔  x+ y=  y= u, v ≥  x+ y = (vì ) (nhận) S= Vậy tập nghiệm hệ phương trình { ( −1; 1) } Câu 4: Giải hệ phương trình 2x + y t = 2x + y Phân tích: Ta thấy thức xuất tới lần nên ta nghĩ tới việc đặt ẩn để đồng thời giảm số thức đơn giản biểu thức, sau ta chọn tùy ý đặt ẩn thức lại (vì biểu diễn thức cuối theo thức đặt ẩn phụ) Lời giải Điều kiện:  2x+ y ≥  7x+ y ≥  −8  x≥  Đặt t = 2x+ y (I )  u= 5x+ 7x + y = u2 + t2 − t, u ≥ Hệ phương trình ban đầu viết lại dạng  u + t − − t =  u + t − = + t u = 8t + 24 u = 4(u + 2) + 24 u = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( II )     t = t − u = 2 t = u +  2t − u = 2t − u =   ( I ) , ( II ) Từ ta suy 56   x = 2 x + y = 25 ⇔  5 x + = 64  y = 13  Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm thỏa mãn Vậy hệ phương trình có tập nghiệm  56 13   S =  ; ÷  5   Câu Giải hệ phương trình sau: Phân tích: Ta để ý phương trình thứ hệ gồm tồn thức, ta nghĩ đến việc đặt ẩn thức để khử tìm cách biểu diễn phương trình thứ theo ẩn phụ vừa đặt Lời giải Điều kiện xác định:  y u = x + x   v = y + x  y  Đặt   x ≠ 0, y ≠  y  9 x + ≥ x  2x  y + y ≥  (I ) u, v ≥ Ta khai triển phương trình thứ nhất:  2x   y 18 x y 18 x y  − − = 18 ⇔ − − − = ⇔ − − − xy =  ÷ ÷ xy y x y x  y  x Lại ý u2 v2 = 18x2 y2 18x2 y2 + + 9xy+ ⇔ − − − 9xy= − u2 v2 = ⇔ uv= ( uv≥ ) y x y x u, v Vậy ta có hệ phương trình theo Giải hệ ta u = 2v = ( u, v ) = ( 2,1) hay (I ) Thay lại vào hệ u + 2v =  uv = ta hệ sau: 9 x + y = x  y = x − x ⇒  2 2  y + x = y ( x − x ) + x = x − x ( 1) Khai triển phương trình (1) ta 81x − 72 x + 25 x − x = ⇔ x(9 x − 1) ( x − x + ) = ⇒ x = x= Thay y = 4x − 9x vào phương trình y= ta giải 1 ; ÷ 9 3 (loại ( x; y ) =  Thử lại ta kết luận thỏa mãn hệ phương trình Bài tập tự luyện ( Câu 1: Giải hệ phương trình Câu 2: Giải hệ phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình )  4x2 + x+ ( y− 3) − y =  2x+ y2 − 5y = −5 ( 23− 3x) − x + ( 3y− 20 ) − y =   2x+ y+ − −3x+ y+ + 3x2 − 14x− =  11x− y − y− x =  7 y− x + y− 26x= x=0 điều kiện) Câu 4: Giải hệ phương trình Câu 5: Giải hệ phương trình Câu 6: Giải hệ phương trình  x + y + x + y =   x + y + x + y = 10 ( x − y + ) ( x + y ) + x − y + =   x + + y − =  x + y − x − y =  2 2  x + y + + x − y = Lời giải ( Câu 1: Giải hệ phương trình )  4x2 + x+ ( y− 3) − y =  2x+ y − 5y = −5 − y≥ ⇔ y≤ Điều kiện: m, n Cần tìm hai số cho  m= −  −2m=  y− = m( − y) + n, ∀y⇔ y− = −2my+ 5m+ n, ∀y⇔  ⇔ 5m+ n= −3  n= −  Khi đó, phương trình đầu hệ trở thành ( 4x + 1) x− 12 ( − y) + 1 Đặt u= 2x  v= − y ≥ − y = ⇔ ( 2x) + 1 ( 2x) − ( − y) + 1 − y =   ta ( u + 1) u− ( v +1) v= ⇔ u − v + u− v= ⇔ ( u− v) ( u + uv+ v + 1) = 2 3 u = v u = v  ⇔ ⇔  ⇔u =v v  3v 2 u + uv + v + = u+ ÷ + + = ( !)    2 2 u= v⇔ − y = 2x x≥ Với ( − y + y2 − 5y+ = ⇔ ( 2x= − y ) Thay 2x+ y2 − 5y= −5 (*) vào phương trình ) − y −1 + y2 − 5y+ = ⇔ −2 ( y− ) 5− 2y+1 ta + ( y− ) ( y− 3) =  y=   −2  −2 ⇔ ( y− )  + ( y− 3)  = ⇔  + ( y− 3) =  − y +   − y +1 y≤ Vì ⇔ y− ≤ − 2 −2 5− 2y+1 nên Vậy tập nghiệm hệ Câu 2: Giải hệ phương trình Điều kiện:    S =  ; ÷    (*) + y− < y= 2⇒ x= Do ( 23− 3x) − x + ( 3y− 20) − y =   2x+ y+ − −3x+ y+ + 3x2 − 14x− =  x≤   y≤  2x+ y+ ≥ −3x+ y+ ≥ 23− 3x= m( − x) + n, ∀x m n Cần tìm hai số cho  −m= −3  m= ⇔ 23− 3x= −mx+ 7m+ n,∀x⇔  ⇔  7m+ n= 23  n= Suy ( 23− 3x) Tương tự, ta có − x = 3( − x) +  − x ( 3y− 20) − y = − 3( − y) +  − y Khi đó, hệ phương trình viết lại thành (nhận)  3( − x) +  − x − 3( − y) +  − y =       2x+ y+ − −3x+ y+ + 3x2 − 14x− = Đặt u= − x  v= − y u v≥ , phương trình đầu hệ trở thành với ( 3u + 2) u− ( 3v + 2) v= ⇔ 3( u − v ) + 2( u− v) = 2 ( ) ⇔ ( u− v) 3u2 + 3v2 + 3uv+ = ⇔ u= v (vì 3u2 + 3v2 + 3uv+ > u,v≥ với ) ⇔ − x = − y ⇔ y= x−1 y= x−1 Thay vào phương trình số 3x+1 − −x+ + 3x2 −14x− = ⇔ ( ) ( hệ ta với 1  x∈  ;6  3  ) 3x+ − + 1− −x+ + 3x2 − 14x− = ⇔ 3( x− 5) Vì nên + + 3x + > 3x + + + − x + x = ⇒ y= Do (nhận) { S = ( 5;4 ) Vậy tập nghiệm hệ phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình Điều kiện  11x− y − y− x =  7 y− x + y− 26x= 11x− y≥   y− x≥ } x− 3x+ + 1+ −x+  x= ⇔  + + 3x+ =  3x+ + 1+ −x+ 1  x∈  ;6  3  + + ( x− 5) ( 3x+1) = Đặt u= 11x− y u2 = 11x− y ⇔ (u,v≥ 0)  v = y− x  v= y− x   ( ) ( ) −26x+ y= mu2 + nv2 ⇔ −26x+ y= m11x− y + n y− x mn Cần tìm hai số , cho ⇔ −26x+ y= ( 11m− n) x+ ( −m+ n) y, ∀x, y 11m− n= −26  m= −2 ⇔ ⇔ −m+ n=  n= Khi đó, hệ phương trình trở thành u= 1+ v u− v= u= 1+ v ⇔ ⇔    2 2 7v− 2u + 4v = 7v− ( 1+ v) + 4v2 = 2v + 3v− = u= 1+ v  u=   v= ⇔  ⇔ v=   v= −     11x− y = 11x− y=  x= ⇔ ⇔ ⇔  y− x=  y− x =  y=  u v≥ (do , ) (nhận) Vậy tập nghiệm hệ Câu 4: Giải hệ phương trình Điều kiện: Đặt    S =   ; ÷  2    x + y + x + y =   x + y + x + y = 10 x + 3y ≥  4 x + y ≥ t = x + y  u = x + y t, u ≥ Hệ phương trình cho thành Từ cách đặt ta suy u + t =  (I )  3u − t 4t − u + = 10 t +  11 11  3u − t x =  11  2  y = 4t − u  11 u = − t u + t = u = − t u = − =   ⇔  ( − t ) + 3t ⇔ ⇔ ( I ) ⇔  2u + 3t = 10 = 10 5t − 17t − 12 = t = (do t ≥ 0) t + t +  11  11 Vậy ta có  x + y =  x + y = 16  x = ⇒ ⇔  y =  x + y = 4 x + y = Thử lại điều kiện kết hợp với ngược lại vào hệ ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình ( x; y ) = ( 1;5) có nghiệm Câu Giải hệ phương trình Điều kiện: Đặt −1  x ≥   y ≥1 u = x +  v = y − ( x − y + ) ( x + y ) + x − y + =   x + + y − = u, v ≥  u2 −1 x =    y = v2 +  Hệ phương trình cho viết lại thành  u2 −1 2 − ( v − 1) + = ( u − − v − + ) ( u − + v + 1) +  u + v =  ( u − v ) ( u + v ) + ( u − v ) = ( u − v ) ( u + v + ) = ⇔ ⇔ u + v = u + v = Do u + v2 + > Do nên ta suy 2 = 2x+  x = ⇔  2 = y−  y= u− v= ( u+ v= ≠ ) (thỏa mãn điều kiện) ( x; y ) =  Vậy hệ cho có nghiệm  ;5 ÷ 2  Vậy ta giải u=v=2 Câu Giải hệ phương trình  x + y − x − y =  2 2  x + y + + x − y = x≥ y Điều kiện: Đặt u = x + y  v = x − y u, v ≥ Hệ phương trình cho thành:   x + y + =   2  x − y = u.v (u + v4 ) +1 u − v =   ( u + v4 ) + + uv =   Ta có biến đổi sau: 2 2 2 ( u + v ) = ( uv ) + ( u − v ) = ( uv ) + ( u + v ) = ( uv ) + ( u − v ) + 4uv  = ( uv ) + 32uv + 32   Do hệ phương trình u − v = u − v =  4 ⇔  (u +v )  + + uv =  ( uv ) + 8uv + + + uv =   u − v =  u − v = ⇒ 3 − uv ≥ ⇒ uv = ( thoa man − uv ≥ )  2 uv + u v + = uv − uv + ( ) ( ) ( u; v ) = ( 2; ) u, v ≥ Do nên ta giải Suy x + y = ⇒x= y=2  x = y x= y=2 Vậy hệ phương trình có nghiệm Dạng 4: Sử dụng hình giải tích Một số lưu ý Các bất đẳng thức hay gặp + MA + MB ≥ AB = , dấu “ ” xảy ba điểm M , A, B thẳng hàng + MA − MB ≤ AB M , A, B = , dấu “ ” xảy ba điểm rr r r u.v ≤ u v thẳng hàng r r u, v = , dấu “ ” xảy hai vectơ phương rr r r r r u.v ≥ − u v u, v = + , dấu “ ” xảy hai vectơ phương + Bài tập ví dụ Câu Tìm m để hệ phương trình  x + y = ( 1)   x + y = m ( ) có nghiệm phân biệt Lời giải ( 1) O ( 0;0 ) Nhận thấy phương trình có dạng phương trình đường trịn có tâm x + y − m = ( ∆) ( 2) Phương trình có dạng phương trình đường thẳng ; bán kính R=2 ; Hệ phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng đường tròn có điểm chung Khi d ( O; ∆ ) < ⇔ −m