Công thức tích phân đầy đủ, chính xác nhất I Lý thuyết Tích phân 1 Tích phân là gì? Là phép lấy tích phân là cách ta muốn biểu diễn quy trình ngược lại của phép lấy đạo hàm Ví dụ Nếu ta biết rằng và t[.]
Cơng thức tích phân đầy đủ, xác I Lý thuyết Tích phân Tích phân gì? Là phép lấy tích phân cách ta muốn biểu diễn quy trình ngược lại phép lấy đạo hàm Ví dụ: Nếu ta biết rằng: này? Ta có ta muốn biết hàm số đạo hàm hàm số nguyên hàm Ngoài ta cịn vơ số ngun hàm khác, chẳng hạn như: Tổng qt, ta nói tích phân bất định (hay nguyên hàm) gọi số tích phân Con số 𝐾 Dấu tích phân Ký hiệu ∫ hình thành kéo dài ký tự “𝑆” viết tắt chữ “sum” (tổng) (Người Đức, Anh thời xưa viết chữ “𝑆” giống với ký hiệu tích phân bây giờ) ∑ ký hiệu “tổng” Nó dùng cho tổng hữu hạn hay vô hạn ∫ ký hiệu tổng hữu hạn diện tích vơ nhỏ (hoặc biến vô nhỏ khác) Ký hiệu chữ “𝑆” dài Lebniz giới thiệu ông phát triển số khái niệm tích phân Tích phân số (𝑘 𝐾 số) Tích phân lũy thừa 𝒙 Cơng thức 𝑛 ≠ −1 Khi tích phân lũy thừa 𝑥, ta thêm vào lũy thừa chia biến lũy thừa cho giá trị lũy thừa II Bảng tích phân Tích phân Tích phân phần Cơng thức tính tích phân phần: Theo qui tắc lấy đạo hàm tích: Lấy tích phân hai vế ta được: Từ ta có cơng thức sau: Tích phân lượng giác Giả sử ta cần tính tích phân R hàm hữu tỉ hai đối số Ta hữu tỉ hố tích phân cách đặt Thật vậy: Do đó, đưa tích phân I dạng: Tích phân xác định Cách tính tích phân xác định: 𝐹(𝑥) nguyên hàm 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑏) giá trị nguyên hàm ứng với cận 𝑥 = 𝑏 𝐹(𝑎) giá trị nguyên hàm ứng với cận 𝑥 = 𝑎 Biểu thức gọi tích phân xác định Tích phân khơng xác định Họ tất ngun hàm hàm f khoảng I gọi tích phân khơng xác định hàm khoảng I kí hiệu f (x) dx: A số Tích phân hàm số hữu tỉ Các phân thức hữu tỉ đơn giản phân thức có dạng A,M,N,p,q số thực, k = 2,3,4…, cịn tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực, tức Bây ta khảo sát tích phân phân thức hữu tỉ trên: a) Dạng I: b) Dạng II: c) Dạng III: Ta xét tích phân thứ hai vế phải Đặt Ta có: d) Dạng IV: III Ứng dụng tích phân Ứng dụng Cơng Trong vật lý, cơng hình thành lực tác động vào vật gây dịch chuyển, ví dụ lái xe đạp Nếu có lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính cơng sinh lực Ta dùng: với F(x) lực 2 Ứng dụng giá trị trung bình Giá trị trung bình hàm 𝑓(𝑥) miền 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 xác định bởi: Trung bình = Ứng dụng quãng đường Nếu ta biết biểu thức vận tốc 𝑣 theo thời gian 𝑡, ta biết quãng đường 𝑠 vật thể từ thời gian 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 tích phân sau: Chú ý: Bạn thấy từ ứng dụng tích phân cơng, tính giá trị trung bình, tính qng đường, tích phân xác định khơng đơn dùng để tích diện tích đường cong IV Bài tập tích phân Câu 1: Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Tìm mệnh đề mệnh đề sau Câu 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục khoàng K a, b, c \in K Mệnh đề sau sai? Câu 3: Cho hàm số f(t) liên tục K a, , F(t) nguyên hàm f(t) K Chọn khẳng định sai khẳng định sau Câu 4: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là: A m-n B n-m C m+n D Khơng thể xác định Câu 5: Cho tích phân có giá trị là: A m+n B m-n C -m-n Tích phân D Khơng thể xác định Câu 6: Tích phân được phân tích thành: Câu 7: Cho Tính tích phân A -9 B -3 C D