Chương II Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất 1 Định nghĩa mặt cầu Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r ( )r[.]
Chương II Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Cơng thức tìm tâm, bán kính mặt cầu chi tiết Định nghĩa mặt cầu - Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r ( r ) gọi mặt cầu tâm O bán kính r Đoạn OM bán kính mặt cầu - Người ta kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r S(O; r) hay (S) - Nếu hai điểm C, D nằm (S) đoạn CD gọi dây cung mặt cầu - Dây cung AB qua O gọi đường kính mặt cầu Khi độ dài đường kính 2r - Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính Xác định tâm bán kính mặt cầu - Phương pháp: + Tập hợp tất điểm M không gian cách O cố định khoảng r cho trước mặt cầu tâm O bán kính r + Tập hợp tất điểm M nhìn đoạn AB cố định góc vng mặt cầu đường kính AB + Tập hợp tất điểm M cho tổng bình phương khoảng cách tứ M tới A, B cố định số k mặt cầu có tâm trung điểm O đoạn 2k − AB2 AB bán kính r = + Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp khối lăng trụ có tâm nằm trục đa giác đáy (qua tâm đường trịn ngoại tiếp vng góc với đa giác đáy) + Mặt cầu giao mặt phẳng theo đường trịn có bán kính r khoảng cách từ tâm O mặt cầu tới mặt phẳng d Khi bán kính mặt cầu R = d + r Các ví dụ VD1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau đây: a Đi qua đỉnh hình lập phương b Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương Lời giải: a Gọi O trung điểm đường chéo AC’ Khi O cách đỉnh hình lập phương tâm mặt cầu qua đỉnh O Bán kính r = OA = AC' Ta có tam giác AA’C vng A’ có AA' = a;A'C' = a AC' = a Vậy r = a b Ta thấy khoảng cách từ O tới cách cạnh hình lập phương Gọi H trung điểm AA’ r = OH a Mà OH đường trung bình tam giác AA’C’ nên OH = A 'C' = 2 a 2 Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương mặt cầu O; c Ta thấy O cách mặt bên hình lập phương d ( O; ( ABCD ) ) = OI (I tâm hình vng) a Do r = OI = AA' = 2 a Vậy mặt cầu tiếp xúc với mặt bên hình lập phương mặt cầu O; 2 VD2 Cho điểm A B cố định AB = Một điểm M thay đổi không gian thỏa mãn MA + MB2 = 40 Chứng minh M thuộc mặt cầu cố định Xác định tâm bán kính mặt cầu Lời giải: Gọi I trung điểm AB (I cố định) IA = IB = ( ) ( Ta có: MA + MB2 = MI + IA + MI + IB ) 40 = 2MI + 2MI IA + IB + IA + IB2 =0 40 = 2MI2 + 32 + 32 MI = 11 Vậy M thuộc mặt cầu tâm I bán kính r = 11 VD3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B, SC = 2a Biết SA vuông góc với đáy Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải: Ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC vng B nên tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm D AC Từ D ta kẻ đường thẳng d vng góc với đáy d // SA Gọi O giao d với SC O trung điểm SC Ta thấy O thuộc trục đáy nên OA = OB = OC Mặt khác O trung điểm SC nên OC = OS Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính r = SC = a VD4 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh a Cạnh bên SA = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải: 2a a Do S.ABC nên trục đường cao SH O SH a a 33 SH = SA − AH = 3 Kẻ đường trung trực d SA Khi O = d SH Tam giác SIO SHA đồng dạng nên: Ta có H trọng tâm tam giác ABC nên AH = SO SI SA SA 2a 33 = = SO = = SA SH 2SH 2SH 11 2a 33 Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC O; 11 VD5 Cho mặt cầu (S) tâm O Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có diện tích 36π Biết d ( O,(P) ) = Tính bán kính R (S) Lời giải: Bán kính đường trịn thiết diện là: r = Khi bán kính (S) R = d + r = 42 + 62 = 13 ... ngoại tiếp vng góc với đa giác đáy) + Mặt cầu giao mặt phẳng theo đường trịn có bán kính r khoảng cách từ tâm O mặt cầu tới mặt phẳng d Khi bán kính mặt cầu R = d + r Các ví dụ VD1 Cho hình lập... OC Mặt khác O trung điểm SC nên OC = OS Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính r = SC = a VD4 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh a Cạnh bên SA = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu. .. 33 Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC O; 11 VD5 Cho mặt cầu (S) tâm O Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có diện tích 36π Biết d ( O,(P) ) = Tính bán kính R (S)