Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải A TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Phương pháp giải chung Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản 1 Một số công thứ[.]
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ lượng giác cách giải A TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa tích phân Một số công thức cần thiết +) +) du u −a = ln +C u − a 2a u + du a+u = ln a − u 2a a − u + C Kỹ biến đổi tam thức bậc hai b b2 − 4ac +) ax + bx + c = a x + − 2a 4a +) ax + bx + c = ( mx + n ) p 2 Các dạng tốn thường gặp, cơng thức giải nhanh ví dụ minh hoạ dx ax + bx + c 2.1 Dạng 1: Tích phân dạng I1 = Phương pháp giải: dx dx mx + n − p Biến đổi I1 = = = ln ax + bx + c ( mx + n ) − p 2mp mx + n + p a+b 3 ln 13 dx Ví dụ Cho I = , với a,b,c ;c Đặt S = a + b = 4x + 8x + c + c, lúc S có giá trị A S = 20 + 37 B S = 37 + 24 Lời giải Áp dụng toán tổng quát ta có: C S = 57 D S = 61 1 dx dx 2x + − I= = = ln 4x + 8x + 2x + + 2x + − ( ) 0 37 + 20 ln 13 2.1 + − 2.0 + − = − ln ln = 2.1 + + 2.0 + + a = 37,b = 20,c = S = a + b + c = 37 + 20 + = 61 Chọn D mx + n dx ax + bx + c 2.2 Dạng 2: Tính tích phân I2 = Phương pháp giải Cách 1: m mb 2ax + b ) + n − ( mx + n 2a 2a I2 = dx = ax + bx + c ax + bx + c m ( 2ax + b ) dx mb dx = +n − 2 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c m d ( ax + bx + c ) mb = +n − I1 2a ax + bx + c 2a mb m = ln ax + bx + c + n − I1 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng mẫu có nghiệm) * Nếu mẫu số có nghiệm kép x = x tức ax + bx + c = a ( x − x ) ta giả sử mx + n A B = + ax + bx + c x − x ( x − x )2 Quy đồng vế phải đồng hệ số hai vế để tìm A; B B Sau tìm A; B ta có I2 = A.ln x − x − x − x0 * Nếu mẫu số có nghiệm phân biệt x1; x : ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x ) ta giả sử: mx + n A B = + ax + bx + c x − x1 x − x Quy đồng đồng hệ số để tìm A; B Sau tìm A; B ta có I = A ln x − x1 + Bln x − x Ví dụ Cho I = x −2 A ‒35 2x − dx = a ln + bln , a;b − 3x + B ‒2 C Chọn D Lời giải Cách 1: Ta có: 2x − ( 2x − 3) − dx I= dx = x − 3x + x − 3x + −2 −2 0 2x − 6dx = dx − x − 3x + x − 3x + −2 −2 0 = −2 dx ( x − 3x + ) x − 3x + 2 − 6 −2 dx 3 1 x − − 2 2 x− − 2 = ln x − 3x + − 6ln x− + 2 −2 x−2 = ln ( x − 1)( x − ) − 6ln x − −2 a + 2b có giá trị bằng: D = (ln x − + ln x − ) − 6(ln x − − ln x − 1) = ( 7ln x − − 5ln x − ) −2 −2 = (7ln1 − 5ln 2) − ( 7ln − 5ln ) = −7ln3 + 10ln − 5ln = −7ln3 + 5ln Do đó: a = - 7; b = a + 2b = x = Cách 2: Ta thấy x − 3x + = x = Giả sử 2x − A B 2x − ( A + B) x − ( 2A + B) = + = x − 3x + x − x − x − 3x + x − 3x + A + B = A = Đồng hệ số ta có 2A + B = B = −5 Áp dụng cơng thức ta có I = 7 ln x − − 5ln x − −2 = −7 ln + 5ln Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay Trong tốn ta sử dụng chức TABLE để giải quyết, nhiên cách làm mang tính chất “mị” (tức dự đốn khoảng a; b) Ta thấy I = a.ln + b.ln a = I − b.ln ln Lúc ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính gán giá trị cho biến A Tiếp tục sử dụng MODE TABLE để chạy biến giá trị b từ tìm bảng giá trị tương ứng a Ta thấy có trường hợp X = 5;F ( X ) = −7 thỏa mãn số nguyên, ta kết luận a = −7;b = a + 2b = Bài tập tự luyện 1 dx có giá trị x − x − Câu Tích phân I = A 2ln B − 2ln C −2ln a Câu Với < a < 1, giá trị tích phân sau x A ln a−2 2a − B ln a−2 a −1 C ln D 2ln dx dx là: − 3x + a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + x − 3x + Câu Giá trị tích phân I = dx gần với gái trị sau đây? x +x−2 −1 A − ln 2 B ln2 − C − ln D − ln 3 ax + dx = ln + ln Giá trị a là: x + 3x + 5 Câu Tích phân I = A a = B a = C a = D a = dx = ( a − b ) ln + bln Giá trị a + b là: + 2x − x Câu Cho I = A B C D dx x + 4x + Câu Tính: I = A I = ln B I = ln 3 D I = ln 2 C I = − ln 2 dx x − 5x + Câu Tính: I = B I = ln A I = C I = ln2 D I = −ln2 (2x + 5x − 2)dx Câu Tính I = x +2x − 4x − A I = + ln12 B I = + ln C I = − ln + 2ln D I = − ln − 2ln (x − 1) dx x + 4x + Câu Tính: K = A K = B K = C K = −2 D Đáp án khác x + 3x 0 x + 3x + dx = a + bln + cln với a, b, c số hữu tỉ, tính Câu 10 Biết S = 2a + b2 + c2 B S = 164 A S = 515 C S = 436 D S = −9 2x + 1dx = a + bln + cln với a, b, c nguyên 2x + 2x + + Câu 11 Biết I = Tính T = a + b + c A T = B T = C T = D T = (x + 4)dx x + 3x + Câu 12 Tính tích phân I = C 5ln − 2ln3 B 5ln + 2ln3 A 5ln − 3ln D 2ln5 − 2ln3 Đáp án 10 11 12 B B A D B D B B D A C C B TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Một số công thức kĩ biến đổi cos ax + b dx = sin ( ax + b ) + C ( ) a sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C dx = cos2 x ( ax + b ) a tan ( ax + b ) + C dx sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C 2 Các dạng toán hay gặp cách giải b1 b2 2.1 Dạng 1: Tính tích phân: I1 = ( sin x ) dx;I = ( cos x ) dx n a1 n a2 Nếu n chẵn ta sử dụng cơng thức hạ bậc Nếu n = ta sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi theo trường hợp 3 Nếu n n lẻ ( n = 2p + 1) ta thực biến đổi b1 b1 I1 = ( sin x ) dx = ( sin x ) a1 n a1 2p +1 dx b1 b1 = ( sin x ) sin xdx = − (1 − cos x ) d ( cos x ) 2p a1 p a1 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 − cos x ) p Từ ta giải toán I2 = b2 b2 ( cos x ) dx = ( cos x ) n a2 b2 2p +1 dx a2 b2 = ( cos x ) cos x.dx = (1 − sin x ) d ( sin x ) 2p a2 p a2 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 − sin x ) p Từ ta giải dc tốn b 2.2 Dạng 2: Tính tích phân I = sin m x.cos n xdx a Trường hợp 1: m; n số nguyên - Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng - Nếu m chẵn, n lẻ ( n = 2p + 1) biến đổi b I = ( sin x ) m ( cos x ) 2p +1 dx a b = ( sin x ) m ( cos x ) 2p cos xdx a b = ( sin x ) (1 − sin x ) d ( sin x ) m a Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển giải toán - Nếu m lẻ ( m = 2p + 1) , n chẵn ta biến đổi b I = ( sin x ) a 2p +1 ( cos x ) dx n b = ( sin x ) ( cos x ) sin xdx 2p n a b = − (1 − cos x ) ( cos x ) d ( cos x ) p n a Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển giải toán - Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi cho số mũ lẻ bé Trường hợp 2: m; n số hữu tỉ: b I = sin m x.cos n xdx a b = ( sin x ) ( cos x ) m n −1 cos xdx a sin b = u (1 − u ) m n −1 du (*) sin a b1 2.3 Dạng 3: Tính tích phân I1 = ( tan x ) dx;I = n a1 b2 ( cot x ) n dx ( n * ) a2 Sử dụng công thức sau: (1 + tan x ) dx = cos dx x = d ( tan x ) = tan x + C dx + cot x dx = ( ) sin x = − d ( cot x ) = − cot x + C 2 tan xdx = d ( cos x ) sin x dx = − = − ln cos x + C cos x cos x cot xdx = d ( sin x ) cos x dx = = ln sin x + C sin x sin x Đổi biến số với hàm lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x + a , x − a , a − x , ta có cách biến đổi lượng giác sau: Đổi biến Biểu thức có chứa x = a tan t, t − ; 2 x2 + a2 Hoặc x = a cot, t ( 0; ) x2 − a2 x= a , t − ; \ 0 sin t 2 Hoặc x = a , t 0; \ cos t 2 x = a sin t, t − ; 2 a2 − x2 Hoặc x = a cos t, t 0; a+x a−x a−x a+x x = a cos 2t ( x − a )( b − x ) x = a + ( b − a ) sin t, t 0; 2 Ví dụ minh hoạ 10 Ví dụ Cho I = cos 3xdx Đẳng thức sau đúng? 10 1 3 A I = x + sin 6x + sin12x 12 96 8 0 10 1 B I = sin 6x + sin12x 96 12 0 10 1 C I = − x + sin 6x + sin12x 12 96 0 3 10 D I = x − sin12x 96 8 0 Lời giải Ta có 10 10 + cos6x dx = + 2cos6x + cos 6x ) dx ( 0 40 = 10 + cos12x 1 + 2cos6x + dx 0 10 1 3 = x + sin 6x + sin12x 12 96 8 0 Từ ta giải tốn Chọn A Ví dụ Cho: 1 3 I = ( sin 5x ) dx = − cos5x + a cos3 5x + bcos5 5x + ccos 5x + cos 5x 5 0 Đặt S = a + b + c Giá trị S B S = − A S = 74 105 C S = − D S = Lời giải Ta có I = ( sin 5x ) sin 5xdx = − =− − cos 5x d ( cos5x ) ( ) 0 1 − 4cos 5x + 6cos 5x − 4cos 5x + cos8 5x d ( cos5x ) 50 1 3 = − cos5x − cos3 5x + cos5 5x − cos 5x + cos 5x 5 0 74 a = − ;b = ;c = − S = − 105 Chọn B Ví dụ Cho I = ( sin 2x ) ( cos 2x ) dx Đẳng thức sau đúng? 100 ( cos 2x ) A I = 101 ( cos 2x ) 103 101 ( cos 2x ) 105 103 − ( cos 2x ) B I = −2 101 101 + ( cos 2x ) 103 103 + ( cos 2x ) 105 107 − ( cos 2x ) 105 107 105 + ( cos 2x ) 107 + 107 101 103 105 107 3 ( cos 2x ) ( cos 2x ) cos 2x ) ( cos 2x ) ( C I = − − + − 101 103 105 107 ( cos 2x ) D I = 101 101 ( cos 2x ) 103 103 − ( cos 2x ) 105 105 + ( cos 2x ) 107 − 107 Lời giải I = ( cos 2x ) ( sin 2x ) sin 2xdx 100 =− =− 3 100 cos 2x − cos 2x d ( cos 2x ) ( ) ( ) 0 100 ( cos 2x ) (1 − 3cos 2x + 3cos 2x − cos6 2x ) d ( cos 2x ) 20 =− cos100 2x − 3cos102 2x + 3cos104 2x − cos106 2x ) d ( cos 2x ) ( 20 ( cos 2x ) =− 101 101 ( cos 2x ) − 103 103 ( cos 2x ) + 105 105 ( cos 2x ) − 107 107 Chọn C Bài tập tự luyện Câu Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; ] đạt giá trị 0? A f (x) = cos3x B f (x) = sin 3x x C f (x) = cos + 4 2 x D f (x) = sin + 4 2 Câu Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn f (x)dx = Giá trị 2 tích phân f (2sin x)cos xdx A -6 B C -3 D dx có giá trị sin x Câu Tích phân I = A 1 ln B 2ln3 3 Câu Xét tích phân I = C ln sin 2x + cos x dx Thực phép đổi biến t = cosx, ta đưa I dạng sau 4 4 2t A I = − dt + t D 2ln B I = 2t 0 + t dt 1 2t dt 1+ t 2t C I = − dt 1+ t D I = 2 2 cos(3x − Câu Giá trị tích phân A − B − 2 )dx là: C − D − 2 Câu Giá trị tích phân I = cos x cos 2xdx là: A B D C D D ln C Câu Giá trị tích phân J = ( sin x + 1) cos xdx là: A B sin x dx là: + 3cos x Câu Giá trị tích phân I = A ln B ln C ln Câu Tích phân I = sin x tan xdx có giá trị bằng: A ln − B ln2 − C ln − D ln − Câu 10 Cho tích phân I = + 3cos x.sin xdx Đặt u = 3cos x + Khi I bằng: A u 2du 31 Câu 11 Giá trị tích phân I = A 2 B u 2du 30 B 1 − x2 C u D u 2du dx là? C D dx là? + x Câu 12 Giá trị tích phân I = AI = B I = 3 C I = D I = 5 Câu 13 Giá trị tích phân I = (sin x + cos x)(sin x + cos6 x)dx là? A I = 32 128 B I = 33 128 30 128 C I = 31 128 D I = C I = D I = xdx là? sin x + Câu 14 Giá trị tích phân I = A I = B I = Câu 15 Giá trị tích phân cos11 xdx là? A 250 693 B 254 693 C 252 693 D Câu 16 Giá trị tích phân sin10 xdx là? A 67 512 B 61 512 C 63 512 D 65 512 256 693 Câu 17 Với n ,n , tích phân I = (1 − cos x ) sin xdx có giá trị bằng? n A 2n B n −1 C n +1 D n ln(sin x)dx là? sin x Câu 18 Giá trị tích phân I = A − ln + + C − ln − − B ln + − D − ln + − B cos x dx là? + cos 2x Câu 19 Giá trị tích phân I = A 2 C 0 4 D − Câu 20 Cho f ( x ) dx = 2018 Tính tích phân f ( sin 2x ) cos 2xdx ? A 2018 B -1009 C -2018 D 1009 Đáp án 10 A D C D A B D C D C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C B D D C C D A D ... 4)dx x + 3x + Câu 12 Tính tích phân I = C 5ln − 2ln3 B 5ln + 2ln3 A 5ln − 3ln D 2ln5 − 2ln3 Đáp án 10 11 12 B B A D B D B B D A C C B TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Một số công thức kĩ biến đổi... sin x Đổi biến số với hàm lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân hàm số mà biểu thức có chứa dạng x + a , x − a , a − x , ta có cách biến đổi lượng giác sau: Đổi biến Biểu thức có chứa x... 32 128 B I = 33 128 30 128 C I = 31 128 D I = C I = D I = xdx là? sin x + Câu 14 Giá trị tích phân I = A I = B I = Câu 15 Giá trị tích phân cos11 xdx là? A 250 693