NHÌN VẤN ĐỀ THEO QUAN ĐIỂM CỰC TRỊ đề tài ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỦ ĐỀ 5: NHÌN VẤN ĐỀ THEO QUAN ĐIỂM CỰC TRỊ NHĨM 4: ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A PHẦN 1: GIỚI THIỆU CHUNG Nêu tên chủ đề: Ứng dụng phương trình bất phương trình Giới thiệu thành viên nhóm - Phạm Giang Nam – K69C Toán - Nguyễn Danh Thái – K69C Tốn - Nguyễn Thị Ngọc Bích – K69A Toán B PHẦN 2: LÝ THUYẾT CẦN NHỚ I Lý thuyết: Giả sử f  x  hàm số thực xác định miền M Khi : Nếu f ( x) có GTNN M :  Nguyên lý 1: f ( x)  c, x  M  f ( x)  c , nghĩa BPT có nghiệm xM tất x  M  Nguyên lý 2: BPT f ( x)  c có nghiệm thuộc M  f ( x)  c xM Nếu f ( x) có GTLN M :  Ngun lý 3: f ( x)  c, x  M  max f ( x)  c , nghĩa BPT có nghiệm xM tất x  M  Nguyên lý 4: BPT f ( x)  c có nghiệm thuộc M  max f ( x)  c xM Nếu f ( x) có đồng thời GTNN, GTLN M  Nguyên lý 5: Phương trình f ( x)  m có nghiệm  f ( x)  m  max f ( x) xM xM II Chứng minh:  Nguyên lý 2: BPT f ( x)  c có nghiệm thuộc M  f ( x)  c xM (=>) f ( x)  c có nghiệm thuộc M  xo  M : f ( xo )  c  f ( x)  f ( xo )  c xM ( f ( x)  0, x  f ( x)   c  a  b  Nguyên lý => f ( x)  có nghiệm  f(x)   c   a  b  Nguyên lý => f ( x)  0, x  max f(x)   c   a  b  Nguyên lý => f ( x)  có nghiệm  max f(x)   c   a  b  Nguyên lý => f ( x)  có nghiệm  f(x)   max f(x)  c  a  b 2 Xét tính chất hàm f ( x)  ax  bx  c theo quan điểm cực trị b  b  4ac b      a f  x   a  x  Ta có : f  x   a  x      2a  4a 2a    a f  x    Từ ta nhận thấy : a>0 f ( x)  b  4ac 4a a bất phương trình (*) có nghiệm với x   ;     ;   2 2    m  3  m  Vậy với m  bất phương trình x  x  m2  m   có nghiệm với 1 1   x   ;     ;   2 2    Bài Tìm a để : x3  3x  x   a  x3  x  x  Giải    Xét bất phương trình: x3  3x  x   a  x3  x  x  Dễ thấy miền nghiệm  2;3 Như vậy, hệ cho có nghiệm f  x   a  g  x  có nghiệm  2;3 Điều tương đương với f  x   a  max g  x  x 2;3 x 2;3 Vì f  x  g  x  đồng biến miền  2;3 nên: f ( x)  f (2)  5; max g ( x)  g (3)  x[2;3] x[2;3] Vậy 5  a   Ta có : x3  3x  x   a  x3  x  x  với a   5;0 Chứng minh: x0   2;3 cho f  x0   a  g  x  Tập M   x   2;3 : f  x   a , N  x   2;3 : a  g  x  , cần chứng minh M  N  O Ta có : f  x  g  x  x3  7 x  x   h x 2 Ta tìm miền giá trị h  x  đoạn  2;3  5;0  ĐPCM  Bài Cho hàm số f ( x)  cos4 x  sin x  a sin x  a Hãy tìm a f ( x)  0, x  ; bất phương trình f ( x)  có nghiệm Giải Biến đổi f(x) ta được: 3 f ( x)  cos x  sin x  a sin x  a  cos x  a sin x  a   osos cos(4 x   )  a  4 với cos   a 16 Khi ta thấy ngay: f ( x)    a2  a  16 Theo nguyên lý 1: f ( x)  0,  f ( x)   3 1  a2  a    a    a2  a   16 4 16 Theo nguyên lý 2: f ( x)  có nghiệm  f ( x)   3 1  a2  a    a    a2  a   16 4 16  Bài Tìm m để BPT sau có nghiệm: cos3x  5cos x  7cos x   m Giải Ta thấy: f ( x)  cos3x  5cos x  7cos x   m  4cos3 x  10cos x  4cos x  Đặt t  cos x(1  t  1) Khi BPT cho có nghiệm f (t )  4t  10t  4t   m có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] hay max f (t )  m (theo nguyên lý 4) t 1;1 Ta có: f ' (t )  12t  20t    t  Vì t   1;1 nên xét t   13  13 Ta có BBT: t  13 1 f ' (t ) – +   13  f    f (t )    13  1682 104 13 Do max f (t )  f    t 1;1 45   Theo nguyên lý 4, ta suy m  1682 104 13  45  Bài Xác định a để với x 3cos x  5cos3x  36sin x  15cos x  36  24a  Giải Ta có: 3cos x  5cos3x  36sin x  15cos x  36  24a   3cos4 x  5(4cos3 x  3cos x)  36(1  cos2 x)  15cos x  36  24a   3cos x  20cos3 x  36cos x  24a  3cos x  20cos3 x  36cos x a 24 3t  20t  36t  f (t )  a  max f (t ) (nguyên lý 3) Đặt cos x  t , t   1;1  a   t 1;1 24 t  Ta có f '(t )   t  t  3t   t  2( L)  2 t  3( L) Ta có BBT: t 1 f ' (t ) + f (t ) - f (1) f (1) Suy a  max f (t )  f (0)  t 1;1 Vậy với a  với x 3cos x  5cos3x  36sin x  15cos x  36  24a   Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số y  cos x  2sin x  khoảng   ;   2cos x  sin x  Giải Vì 2cos x  sin x   nên y0 thuộc miền giá trị hàm số : cos x  2sin x  2cos x  sin x    y0  1 cos x   y0   sin x  4 y0  (2) y0  (2) có nghiệm   y0  1   y0     y0  3 Giải bất phương trình ta 2 2 2  y0   ;2  Suy y  ;max y  11 11   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x   x  (3  x)(6  x)  m Giải ĐKXĐ: 3  x  Đặt f ( x)   x   x  (3  x)(6  x) Áp dụng nguyên lý 5, phương trình có nghiệm f ( x)  m  max f ( x) x 3;6 x 3;6 Ta có f '( x)  1 2 x   x   x  2x    0 0  x  x (3  x)(6  x) (3  x)(6  x)   x   x   2x    2x  (3  x)  6 x  3 x 3   x x     2  (3  x)   1       6 x  3 x    x   x    x  x  8( L)   9  ; max f ( x)  f ( 3)  f (6)  Vẽ BBT ta suy f ( x)  f    x 3;6 x 3;6 2 Vậy 9   m   Bài 10 Xác định m để phương trình: x  x   m có nghiệm Giải Xét y  f ( x)  x  x  xác định R, ta có: f '( x)  x2   x x2  ; f '( x )   x  1 Ta có BBT : x 1  f ' ( x)  - +   f ( x) 2 Theo NL5 phương trình f  x  có nghiệm f ( x)  m  max f(x) Vậy m  phương trình có nghiệm  x2  y  z   Bài 11 Cho x, y, z nghiệm hệ phương trình:   xy  yz  xz  CMR:  , y, z  Giải  x2  y2   z Ta có :   xy   z ( x  y )   z  ( x  y )2  xy  ( x  y )   z ( x  y )  ( x  y )  z ( x  y )  z  16  x  y  z  4 +) x  y  z  hay x  y   z  Thay vào phương trình ta suy xy  ( z  2) Vậy x , y la nghiệm phương trình X  (4  z) X  ( z  2)2  Ta có   (4  z )  4( z  2)   z (8  3z )    z  (1) +) Với x  y  z  4 hay x  y   z  Thay vào phương trình sau ta suy xy  ( x  2) Vậy x , y nghiệm phương trình: X  (4  z ) X  ( z  2)2     (4  2)  4( z  2)   z (3x  8)     z  (2) 8 Kết hợp (1) (2) ta :   z  3 8 Vì vai trị x, y, z nên ta có   x, y, z  3 Bất đẳng thức nhìn quan điểm cực trị Chứng minh bất đẳng thức đại số f ( x)  a, x f ( x)  a, x nhìn quan điểm cực trị tìm GTLN max f(x) GTNN f(x) chứng minh max f(x)  a f(x)  a Chú ý: Trong việc khảo sát hàm số, cực trị hàm số GTLN, GTNN hàm số lân cận đủ nhỏ n c Ví dụ: Cho hàm số: f ( x)  x  (c  x) , c  0, n  Chứng minh f ( x)    Từ 2 n n n n  ab  a b  chứng minh         n Giải TXĐ: D  f '( x)  n  x n1   c  x   n 1   f '( x)   x n1   c  x n1  Với n chẵn, x  c  x  x  c Mặt khác ta có : f "( x)  n(n  1)  x n2  (c  x ) n2 c c   f "    2n(n  1)   2 2 c c c Suy f ( x) đạt cực tiểu x  f      2 2 n 1  n a n  bn  a  b   ab hay  Chọn x  a, c  a  b; a  b  , ta có a  b     (đpcm)     n n n n Ứng dụng vào tập cực trị hình học Ví dụ: Cho tam giác ABC vng tù Chứng minh R  (  1) r Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: r  R 1 Tức cần chứng minh: cos A  cos B  cos C  Khơng tính tổng qt, giả sử A  max  A; B; C  Ta có: cos A  cos B  cos C   2sin Đặt x  sin Bởi A   A A B C A A  2sin cos  2sin  2sin  2 2 A    x  Xét hàm số f '( x)  4 x    x  với  x 1 2 Lập BBT có:  2     f '( x)  f  ;1  cos A  cos B  cos C  2; x   ;1   2; x         B C  ˆ cos   Bˆ  C  Đẳng thức xảy khi:   A sin   Aˆ    2