Kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh file word image marked

KỸ THUẬT LIÊN HỢP – CƠNG PHÁ MƠN TỐN 2016 (Bản full) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP – Dự đoán nghiệm x  x0 máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC) – Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung  x  x0  bội  x  x0  phương trình nhằm đưa phương trình tích số:  x  x0  g  x   – Các công thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hiệp A B Tích A B A B A3 B A2  AB  B A B A3 B A2  AB  B A B Chú ý: – Khi dùng nhân liên hợp em ý bậc x biểu thức cần liên hợp, bậc cao – bậc thấp – Điểm nhấn phương pháp liên hợp biểu thức cịn lại móc vng ln dương – ln âm ta làm để chứng minh điều viết để thể điều (co thể dùng Đạo hàm – đánh giá) Kĩ Thuật (bài toán chứa hai căn): A , B lấy A – B xem có xuất nhân tử chung hay khơng: BT Mẫu 1: Giải bất Phương trình x    x  x (*) Đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay  Nhận xét: Sử dụng máy tính, ta tìm nghiệm x  , ta đoán nhân tử chung x – ½ x   x    x  1  x  ta có:  nên ta có lời giải sau: 4 x    x  1 x  1 Bài giải tham khảo  Điều kiện: x  *   x  1    x  x     x  1 x  1    x  1 x  1   3x  x   3x  x  3x  x   x  1      x  1  x     1 3x  x  3x  x    1  nên 1  x    x  3x  x   Ta có: x   x    Vậy phương trình có nghiệm x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  0 BT Mẫu 2: Giải bất Phương trình: 2x   x  2x   * Đề thi Đại học khối A năm 2007 Nhẩm nghiệm x  ta đoán x  nhân tử chung  x  3  x  x   Nhận thấy rằng:  nên ta có lời giải sau: 2 x    x  3 Bài giải tham khảo Điều kiện: x    *   x 3     x  3    x  3   2  2x   x  2x   x   x     1  x   x x 3 1  2x   x  1 1  VN  2 2x   x 2x   x  Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 3: Giải bất Phương trình 10 x   x   x   x   * Đề dự bị Đại học khối B năm 2008 Nhẩm x = nghiệm nên đoán x – nhân tử chung  Nhận thấy: 10 x  1   x     x     x    x  nên ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo  Điều kiện: x   *      10 x   x   10 x    x   3x    x   0 10 x   x  3x   x  1     x  3   0 3x   x    10 x   x  Vì x     3x   x   1    nên 1  x  10 x   x  3x   x  So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 4: Giải bất Phương trình x  x   x    x  x  1  x  x   * Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008 Nhẩm nghiệm x = nên suy đoán nhân tử chung x – http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x  x  1   x  x  3  2  x     Nhận thấy  Nên ta có lời giải sau: 2 x   x  x   x        Bài giải tham khảo  *      3x  x   3x  3x   2 x  3x  x   3x  3x    x   x  3x   3x  x   x  3x  0   2   x  2   0 2 x   x  3x    3x  x   3x  3x  x      1 2  x  x   x  x  x   x  3x    0, x xác định  Ta có:  Thay x  vào phương trình *  * thỏa Vậy phương trình có nghiệm x  3x  x   3x  3x  2 x   x  3x  BT Mẫu 5: Giải bất phương trình: 10 x   x   x   x  (Đề dự bị khối B năm 2008) Phân tích: 10 x    x    x    x    x  nên ta có lời giải sau: ĐK: x    lúc BPT   10 x   x    3x   x    x 3 x 3  0 10 x   x  3x   x  1     x  3   0 x3 3x   x    10 x   x  1   Vì:      0x  3x   x    10 x   x  So sánh với điều kiện ta có S  3;   BT Mẫu 6: Giải Phương trình:   x   x   x  (Đề HSG HN – 2010) Phân tích:  x  1   x    x  ta có lời giải ĐK: x  Phương trình cho tương đương:  x  3  L  x3   9  x      x   3x    x   x   * Bình phương hai vế (*) ta có x    x  1 3x    81   x  1 3x    82  x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 82  x   x  TM ÐK   4  x  1 x     82  x   BT Mẫu 7: Giải Phương trình sau: 3x   x   x  x   x     x  1  x  Phân tích:  2 x  x    x  3 x  1 Lời giải: Đk x  / Pt  2x      x  3 x  1   x  3    x  1   3x   x   3x   x    x  /   x  1 (Vơ nghiệm VT < 1, VP > 1) 3x   x  Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm nguyên – thay nghiệm vào ta số a ghép a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8: Giải phương trình: x    x  x  x   *  Nhận xét: Nhẩm thấy x  nghiệm pt, thay x  vào hai ta thu hai số giống a  Bài giải tham khảo  Điều kiện:  x   *       x    x  x  3  x  1  x 3 3 x    x  3 x  1  x  1  x 1 1     x  3    x  1   x 1  x  1   x   1    x  1  x    x 1  Xét hàm số f  x   x  x   2; 4 thấy f  x   x    Xét hàm số g  x   g ' x   x2  1  x   2; 4 x  1  x 1  x  1  4 x   2;4   x 1  g  x  nghịch biến max g  x   g       2  0, x   2; 4 1  3 Từ (2), (3)  hàm số f  x  , g  x  có đồ thị khơng thể cắt Do (1) vơ nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 9: Giải phương trình: x    x  x  14 x   (*) Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), khoảng điều   kiện: x    ;6  Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung  x     bội Thay x  vào thứ 4, thứ Nên ta có lời giải sau:  Điều kiện:   x  *   3x     1   x  5 x 5     x  x  14 x     x  1 x    3x     x     x  5    x  1  1  3x     x       x   Do 1  x  Ta có x    ;6   3x     x    So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 10: Giải phương trình: x  11x  21  3 x   *  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), đó, ta cần phải tách ghép để sau nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung  x  3 bội nó, thay x  vào ta phải ghép với để biểu thức liên hợp *   x      x  11x  15   x   8    x   x  3  3  4x  4  4x     12    x  3   x  5    x  2  x      x   12  2 x    1 3  x   x       Với x   x   , đặt t  x    t  2t   12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   Với x   x   , đặt t  x     t  2t   12   12  tức (2) vô nghiệm t  2t  12  tức (2) vô nghiệm t  2t  Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 11: Giải Phương trình: x2  x   x2  x    x  0 Nhẩm x  nghiệm phương trình, thay vào ta có x  x   3, x  x   Ta có giải sau: x2  x    x2  x     x2  x  x  x  12 0 x2  x   x2  x   x   x  3 x     x  3 x      x2 x4    VN  x2  x   x2  x   2  x  x   x x44 Vì x2 x2  x    x4 x2  x   BT Mẫu 12: Giải Phương trình   0x  x    x  x  x  (HSG Hà Nội – 2012) Phân tích: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x  , thay vào x   2vs  x  nên ta có lời giải sau: ĐK: x   viết lại phương trình dạng   5x 1   x      5x 1     x   x  3x   9  x  2 9 x 4 BT Mẫu 13: Giải Phương trình  x  1 5x 1    x  5  * 1 x  9  x   23  x    x  1 x   Pt (*) vô nghiệm VP  , VT  / x   x   (ĐH 2000D) Phân tích: ta nhẩm nghiệm phương trình x  đem thay vào phương trình dạng sau: ĐK: x   Viết lại phương trình: 6x 1   2x 1     x  4 6x 1    x  4 2x 1  0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x   5; x   ta viết lại x     2x 1   x    * Nhận xét: x   18 x   x   x    x   (*) vơ nghiệm PT cho có nghiệm x  BT Mẫu 14: Giải Phương trình x3  x  3 x    x Viết lại phương trình:  x  1  3 x   Nhẩm x  nghiệm phương trình, thay vào ta ta viết lại pt sau:  x  1   3 x     x  1  x  1   x  1       x 1       x    3        Lại có:  x    3        x    3     3 x    3      x  1  3x  5   3x   x    3   2  x    x  2 x    3  dấu “=” xảy    x     Vậy x  x  2 nghiệm phương trình BT Mẫu 15: Giải Phương trình  x      x2  4x    x  x2    Nhận xét: ĐK để phương trình có nghiệm   x  x   2  x  , phương trình có nghiệm x  1 , từ ta viết lại phương trình cho sau:  x  2     x2  4x     x   x2      x2  4x    x2 1    x  2   x      x  1   x  4x     x   2  x  1   x   x  3  x  x  1    x  1    6    x  5x  x  x  1 2  60 x 3 2   x  4x    x  x   x2   PT (*) vơ nghiệm vì:  *  x2  5x   x2  x  x2  4x    x2  x   x2  x2    0x Kỹ Thuật – Hệ số bất Định Kiểu 1: Dùng hệ số bất định cho hai vế khơng nhẩm nghiệm BT Mẫu 16: phương trình:  x  1 x  x   x  * Bài giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  * Cách giải Nhân lượng liên hiệp  Vì x  1 khơng nghiệm phương trình nên  *     x2  x2   x  x    x  1    x  1 x 1 x 1 2    x  x  1  x  x  2x   x 1 x2  2x    Vậy nghiệm phương trình x    Nhận xét: Vấn đề đặt nhận nhân tử chung  x  x  1 để điền số x  vào hai vế??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số  cho x  x    x      x  x    x    x2  2x    x   1    x  2 x2    x    ,    x 1  x    x    x  1 x 1  1    x         x      x  1      x 1 x2  2x    Đến đây, ta việc xác định  ,  cho 1       2  2        1,   1 3       BT Mẫu 17 Giải phương trình:  x  1 x   x  x  * Bài giải tham khảo Do x   1 khơng nghiệm phương trình, nên với x   , ta được: 3 3x  x  3x  x   x   2x   2x  *  x   3x  3x  x   x 3x  x   x  x   3x  x3   x  1  x  3 x    3x  x2   2x 1  x  x2   2x  1  x  3x   x  1  1  2   1  x   1        x   x   2x    x   x x  1  1 x   x  3x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x  1  x  1  x2   x      x 1 x   x  2x 1 x   Vậy phương trình có hai nghiệm x  1 Nhận xét: Cách Để đặt số 2x vào hai vế, ta xét dạng tổng quát 3x  x    x    sau sử dụng đồng để tìm hai số thực  ,  cho 3x  xuất nhân tử chung giống x    x     Cách Thay x  vào x    x (vì x  ) nghiệm BT Mẫu 18: Giải phương trình: x  x  1  x   x  1 x  x  x    (*) ĐK: x  , thấy x  không nghiệm phương trình nên ta viết lại phương trình: x3  x  x  x3  x  x   x3  x  x    x    x3  x  x   x   x 1 x 1   x3  3x  x3  3x      x3  3x     0 x 1 x3  x  x   x   x3  x  x  x    x 1  x3  3x    x   Vậy x  nghiệm pt  x3  x  x  x   x  1VN  BT Mẫu 19: Giải phương trình: x  x     x  1 x3   x  (*) ĐK: x   3 ta thấy x  1/ không nghiệm phương trình x3  x  x  x3  x  x  3  x 3   x  x3   x PT (*) 5x 1 5x 1 (Việc tìm 2x dùng hệ số bất định trình bày nhé)  x3  x   x3  x  x3  x  3  21     x  1 x   x  43 5x 1 x3   x  x3   x  BT Mẫu 20: Giải phương trình  x3  3 x  x   x3  x  x  (*) Viết lại pt (*) sau: x  x    x  3   x2  x   7x   x2  x3  3x  x  7x   x2  x   x   2 x 3 x 3 7 x  x2  x   x   7 x  x2  x      x2  x   x2  x  x     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Kỹ Thuật 3: Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vơ tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm lẻ ta tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm xem có đẹp khơng, đẹp pt có nhân tử chung x  Sx  p vấn đề làm tìm biểu thức liên hợp: Giả sử nghiệm x1 , x2 , biểu thức liên hợp cần tìm ax  b + Thay x1 vào kết C , thay x2 vào ta kết D a.x  b  C + Giải hệ phương trình   a, b xong em có biểu thức liên hợp b.x2  b  D BT Mẫu 21: Giải phương trình sau: x3  x    x Giải: ĐK: x3  x   Dùng máy tính dị nghiệm ta nghiệm x1  1, 618033989 x2  0, 6180339887 Tổng hai nghiệm 1, tích 1 nên dự đoán nhân tử chung x  x  thay hai nghiệm vào phương trình, ta có C  0,381966; D  2, 618033989 a.x  b  C Giải hệ   a, b ta có a  1, b  biểu thức liên hợp  x a.x2  b  D Ta viết lại pt sau:  x  x  1    x    x    x   x  x   3 4  x  x  1  3x   x     x  x  1  x     đến em tự giải tiếp toán có hai nghiệm  x   x   Ví dụ tiếp nhé: x  x    x   x  x  ĐK:  x  x  1  x    Dùng máy tính nhẩm hai nghiệm x1   2, x2   2 , thay hai nghiệm vào ta số C  D  (dự đốn biểu thức liên hợp số 3) Có tổng tích 7 ta dự đốn pt có nhân tử chung  x  x   Tìm biểu thức liên hợp cách giải hệ sau nháp a.x1  b  C  a, b giải có a  0, b  tới rõ biểu thức liên hợp số – làm  a.x2  b  D em pt  x  x    x     x   x2  2x    x  2  x2  2x  x2  2x   x2  2x    0  x2  2x     x2   x  x   1  0 x2  2x     x  x   x   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tới em tự giải tiếp nhé, pt có hai nghiệm Kỹ thuật 4: Nếu phương trình có hai nghiệm ngun để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sử lượng liên hợp ax  b muốn tìm a, b ta thay hai nghiệm vào pt: ax  b  b………… giải tìm a, Ngồi kỹ thuật nêu em làm theo thủ thuật khác tìm thấy có nghiệm vơ tỷ phương trình BT Mẫu 22: Trong pt sau dùng máy tính ta x  1,390388203 Nếu phương trình có chứa hai căn, thay vào ta có kết sau:  x  x   2,390388203  x    x   2,870776406  x x  lượng cần liên hợp với thứ nhất, 2x lượng liên hợp với thứ Áp Dụng: Giải phương trình sau: 5x2  5x   x   x2  x   Ví dụ: Dùng máy tính thu nghiệm x  4, 236067977 , Nếu phương trình có chứa hai ta đem thay hai  x  2x    nghiệm vào    x  1  5, 236067977 Vậy thứ trừ cho 5, 236067977  x  nên thứ trừ cho x  Áp Dụng: Giải phương trình sau x  x  x   x    x  1 x3  x  x   x x   x  13 15 x  x  x  x   x3  x   x  1 x   Bài tập vận dụng: x3  x  3 x    x (DS: x  2; x  ) x   x  x   (DS: x  1; x   )  x2  x   4x2  x    x   x   x ( x  0; x  )  x  3 x  x   x  x     x   x  x  ( x  3; x  11  )   x    x  2x2  x   ( x  ) x   3x   x  x  24  12  x  ( x  24, x  88 ) x2   x 1  2x  ( x  ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 3 x     x   ( x  2 ) 11 x  x   x   x  x   ( x  2, x  ) 12  32  57  x  16 x  18  x   x   x  1, x     13 x    x  3x  x  ( x  ) 14 x    x  x3  x  10 x  26  ( x  ) 15 3x  x   x   3x  x   x  3x  ( x  ) BT Mẫu 23: Giải bất phương trình:  2x2   2x   x  21 (*) Đại học Mỏ - Địa Chất năm 1999 Bài giải tham khảo  9  x  Điều kiện:     x0 x    x   2x x     *     x  21   2 x    2x   3    2x     x  21  x  21    x   x  x  42   x    x  16  x      7 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x    ;  \ 0  2 BT Mẫu 24 Giải bất phương trình: 1  x2 1 x   x  (*) Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo    Điều kiện:  x   x  1  x  1 Nếu   1  x   (*) Do đó: x   1;  tập nghiệm bất phương x   trình (*) Khi x  : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x    x 1 1 x (*)          x   x          x      x   x  x4     x        x4    x   x    1   x   x  x     x  x   x  x  x      x   4;8    x  1  x  x      x   1;  Vậy tập nghiệm bất phương trình   x   1;8   x   4;8  x  x   x  x   x  x  (*) BT Mẫu 25: Giải bất phương trình: Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo  x  x     x  x    x    x  1  Nhận xét:  Nên ta có lời giải sau: 2  x  x  3   x  x    x   Điều kiện: x   x  (*)      x  3x   x  x    x  1 x  3x   x  x  2   x2  x   x2  5x   x 1 0 x  x   x2  5x      x  1     1 2 x2  x   x2  5x    x  3x   x  x   x  Do  thì: x  x  3x   x  x   x2  x   x2  5x  nên 1  x    x   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x   x  BT Mẫu 26: Giải bất phương trình:  x   x  17 (*) x Bài giải tham khảo  Điều kiện: x  (*)    x  17  x  x  x  x  17  x   x  17  x   x  17  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0 16   x  17  x   x x x  17  x     x  17  x    16 x   x  17  x  1  x  (dạng 3   .x   ;  2   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x   0; 4 x3  x  x  16   x  (*) BT Mẫu 27: Giải bất phương trình: Bài giải tham khảo  Điều kiện: 2  x  (*)       x3  x  x  16  3  x3  x  x  11 x  x  x  16  3  x  1  x  x  11 x3  x  x  16  3   4 x   x 1 0  4 x  x 1 0  4 x    63  2 x      4   0   x  1   x3  x  x  16  3  4 x       x 1   x   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  1; 4  BT Mẫu 28: Giải bất phương trình:  x  1   x    x   (*) Bài giải tham khảo  Điều kiện: x    (*)   x  1  x    1    x  1 2      3x     3x   3x        3x   x  1 x    x    1    x  1  x   2  Khi x  1  1 :   3x     x  1 4   Khi     x  1  1   x   3  x     x  1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AB)    Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x    ; 1   BT Mẫu 29: Giải bất phương trình:   x   x (1) x Bài giải tham khảo 1  2  x   x   x2 2x2  x2  x2   x (2) x x x x  x2  x   2  x  Điều kiện:   x    x   x    x   Với: 2  x  : (2)  Với: x  :    x2  2x   x x       x  2  2x   2x  x x  2x   x2 1 x 2x    x2  x   x   , (do:  4 x   x x2 x  2x  x    0, x  )  x   2x2  4x  x  x   x  2x2  4x  16 x  32  x  16 x  x    x  x  x  x  x  x     x2  2x   x2  2x     x2  2x   0  x2  2x    x2  2x    x    Do x   x    Vậy tập nghiệm bất phương trình x   2;0      BT Mẫu 30: Giải bất phương trình:  x  1 x  x   x x    x  1 (*) Bài giải tham khảo     (*)   x  1  x  x   x x   x  x       x  1  x  x   x  x  1 x  1 x2   x2  2x  0   x  x  1   x  1   x  x   0 x2   x2  2x      http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chuyên đề thi – tài liệu file word tới em tự giải tiếp nhé, pt có hai nghiệm Kỹ thuật 4: Nếu phương trình có hai nghiệm nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sử lượng liên hợp ax  b muốn tìm... liệu file word  Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 9: Giải phương trình: x    x  x  14 x   (*) Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình. ..  x  Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm ngun – thay nghiệm vào ta số a ghép a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8: Giải phương trình: x 