Kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh file word

KỸ THUẬT LIÊN HỢP – CƠNG PHÁ MƠN TỐN 2016 (Bản full) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP – Dự đoán nghiệm x = x0 máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC) – Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung ( x − x0 ) bội ( x − x0 ) phương trình nhằm đưa phương trình tích số: ( x − x0 ) g ( x ) = – Các công thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hiệp A B Tích A B A− B A+ B A2 − AB + B A+ B A−3 B A2 + AB + B A− B Chú ý: – Khi dùng nhân liên hợp em ý bậc x biểu thức cần liên hợp, bậc cao – bậc thấp – Điểm nhấn phương pháp liên hợp biểu thức lại móc vng ln dương – ln âm ta làm để chứng minh điều viết để thể điều (co thể dùng Đạo hàm – đánh giá) Kĩ Thuật (bài toán chứa hai căn): A , B lấy A – B xem có xuất nhân tử chung hay khơng: BT Mẫu 1: Giải bất Phương trình x + + = x + 3x (*) Đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay  Nhận xét: Sử dụng máy tính, ta tìm nghiệm x = , ta đoán nhân tử chung x – ½ x −1  ( 3x ) − ( x + 1) = x − ta có:  nên ta có lời giải sau:  4 x − = ( x − 1)( x + 1) Bài giải tham khảo • Điều kiện: x  (*)  ( x2 − 1) + ( ) 3x − x + =  ( x − 1)( x + 1) +  ( x − 1)( x + 1) + ( 3x − x + )( 3x + x + 3x + x + ( x − 1)   =  ( x − 1)  x + +  = (1) 3x + x + 3x + x +   1  nên (1)  x − =  x = 3x + x + • Ta có: x   x + + • Vậy phương trình có nghiệm x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ) =0 BT Mẫu 2: Giải bất Phương trình: 2x − − x = 2x − (*) Đề thi Đại học khối A năm 2007 Nhẩm nghiệm x = ta đoán x − nhân tử chung ( x − 3) − x = x −  Nhận thấy rằng:  nên ta có lời giải sau: 2 x − = ( x − 3) Bài giải tham khảo Điều kiện: x  • (*)  ( x −3   − ( x − 3) =  ( x − 3)  − 2 = 2x − + x  2x − + x  ) x =   = (1)  x − + x x 3 1  2x − + x  1 1 = (VN ) 2 2x − + x 2x − + x • Vậy phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 3: Giải bất Phương trình 10 x + + 3x − = x + + x − (*) Đề dự bị Đại học khối B năm 2008 Nhẩm x = nghiệm nên đoán x – nhân tử chung  Nhận thấy: (10 x + 1) − ( x + 4) = (3x − 5) − ( x − ) = x − nên ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo • Điều kiện: x  ( *)  (  ) ( 10 x + − x + + 10 x + − ( x + ) 3x − − ( x − ) =0 10 x + + x + 3x − + x − 1    ( x − 3)  + =0 3x − + x −   10 x + + x + Vì x  • + ) 3x − − x − = 1  +  nên (1)  x = 10 x + + x + 3x − + x − So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 4: Giải bất Phương trình 3x2 − 5x + − x2 − = ( x2 − x − 1) − x − 3x + (*) Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008 Nhẩm nghiệm x = nên suy đoán nhân tử chung x – http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( 3x − x + 1) − ( 3x − 3x − 3) = −2 ( x − )   Nhận thấy  Nên ta có lời giải sau: 2 x − − x − x + = x − ) ( ) ( ) ( Bài giải tham khảo ( *)  (  ) ( 3x − x + − 3x − 3x − − −2 x + 3x − x + + 3x − 3x − − ) x − − x − 3x + = 3x − x − + x − 3x + =0   −2  ( x − 2)  − =0 2 x − + x − 3x +   3x − x + + 3x − 3x − x =   + = (1) 2  3x − x + + x − x − x − + x − 3x + • Ta có: • Thay x = vào phương trình (*)  (*) thỏa Vậy phương trình có nghiệm x = 3x − x + + 3x − 3x − 2 + x − + x − 3x +  0, x xác định BT Mẫu 5: Giải bất phương trình: 10 x + + 3x −  x + + x − (Đề dự bị khối B năm 2008) Phân tích: 10 x + − ( x + 4) = 3x − − ( x − 2) = x − nên ta có lời giải sau: ĐK: x   ( lúc BPT ) ( 10 x + − x + + ) 3x − − x −   x −3 x −3 + 0 10 x + + x + 3x − + x + 1    ( x − 3)  + 0 x3 3x − + x −   10 x + + x + 1   + Vì:     0x  3x − + x −   10 x + + x + So sánh với điều kiện ta có S = 3; + ) BT Mẫu 6: Giải Phương trình: ( ) x + − 3x − = x + (Đề HSG HN – 2010) Phân tích: ( x + 1) − ( 3x − 2) = x + ta có lời giải ĐK: x  Phương trình cho tương đương:  x = −3 ( L ) x+3   9 = x +     x + + 3x −   x + + 3x − = (*) Bình phương hai vế (*) ta có x − + ( 4x + 1)(3x − 2) = 81  ( x + 1)(3x − 2) = 82 − x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 82  x   x = (TM ÐK )  4 ( x + 1)( 3x − ) = (82 − x )2  BT Mẫu 7: Giải Phương trình sau: 3x − − x + = x − x − ( 3x − ) − ( x + 1) = x − Phân tích:  2 x − x − = ( x − 3)( x + 1) Lời giải: Đk x  / Pt  2x −   = ( x − 3)( x + 1)  ( x − 3)  − ( x + 1)  = 3x − + x +  3x − + x +   x = 3/ = ( x + 1) (Vơ nghiệm VT < 1, VP > 1) 3x − + x + Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm nguyên – thay nghiệm vào ta số a ghép − a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8: Giải phương trình: x − + − x = x − x − 1(*)  Nhận xét: Nhẩm thấy x = nghiệm pt, thay x = vào hai ta thu hai số giống a = Bài giải tham khảo • Điều kiện:  x  ( *)  ( ) ( ) − x − − ( x − x − 3) = x − −1 + x−3 3− x + − ( x − 3)( x + 1) = x − +1 − x +1 1    ( x − 3)  − − x − 1 = − x +1  x − +1   x =  1  − = x + (1)  x − + − x +1 • Xét hàm số f ( x ) = x + x   2;4 thấy f ( x ) = x +  • Xét hàm số g ( x ) = g '( x) = − x−2 ( 1 − x   2;4 x − +1 − x +1 ) x − +1 − 4− x ( 2;4 ) − x +1  g ( x ) nghịch biến max g ( x ) = g ( ) = − • ( 2)  0, x   2; 4 +1 ( 3) Từ (2), (3)  hàm số f ( x ) , g ( x ) có đồ thị khơng thể cắt Do (1) vơ nghiệm http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word • Vậy phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 9: Giải phương trình: 3x + − − x + 3x − 14 x − = (*) Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x = (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), khoảng điều   kiện: x   − ;  Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung ( x − 5)   bội Thay x = vào thứ 4, thứ Nên ta có lời giải sau: • Điều kiện: −  x  (*)  ( 3x + − ) + (1 − ( x − 5) x −5  + ) − x + x − 14 x − = + ( 3x + 1)( x − ) = 3x + + + − x    ( x − 5)  + + 3x + 1 = (1)  3x + + + − x  •   + + x +  Do (1)  x = Ta có x   − ;6   3x + + + − x   • So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 10: Giải phương trình: x − 11x + 21 = 3 x − (*)  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x = (SHIFT – SOLVE hay ALPHA – CALC), đó, ta cần phải tách ghép để sau nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung ( x − 3) bội nó, thay x = vào ta phải ghép với để biểu thức liên hợp (*)  ( x − − ) − ( x − 11x + 15 ) = ( x − − 8)  − ( x − )( x − 3) = 3 ( 4x − 4) + 4x − +   12   ( x − 3) − ( x − 5) =  ( x − )2 + x − +    x =  12  2 x − − = (1) 3  x − + x − + ( )  • Với x   2x −  , đặt t = x −   t + 2t +  12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  • Với x   2x −  1, đặt t = x −    t + 2t +  12  • 12  tức (2) vô nghiệm t + 2t + 12  tức (2) vô nghiệm t + 2t + Vậy phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 11: Giải Phương trình: x2 − x + + x2 + x + = ( x  0) Nhẩm x = nghiệm phương trình, thay vào ta có x − x + = 3, x + x + = Ta có giải sau: x2 − x + − + x2 + x + − =  x2 − x − + x + x − 12 =0 x2 − x + + x2 + x + + x = ( x − 3)( x + ) + ( x − 3)( x + ) =   x+2 x+4  + = (VN ) x2 − x + + x2 + x + +  x − x + + x2 + x + + Vì x+2 x2 − x + + + x+4 x2 + x + + BT Mẫu 12: Giải Phương trình  0x  x − + − x = x + 3x − (HSG Hà Nội – 2012) Phân tích: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x = , thay vào x − = 2vs − x = nên ta có lời giải sau: ĐK: x  ( viết lại phương trình dạng ) ( 5x − − + x =   =  5x −1 +  ) − x − = x + 3x −  (9 − x ) +2 9− x +4 BT Mẫu 13: Giải Phương trình ( x − 1) 5x −1 + + ( x + 5) ( *) 1− x + (9 − x ) + 23 − x + = ( x − 1)( x + ) Pt (*) vơ nghiệm VP  , VT  / x + − x + = (ĐH 2000D) Phân tích: ta nhẩm nghiệm phương trình x = đem thay vào phương trình dạng sau: ĐK: x  − Viết lại phương trình: 6x −1 − − x + + =  ( x − 4) 6x +1 + − ( x − 4) 2x +1 + =0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x + = 5; x + = ta viết lại x =   =  x + + 2x +1 + ( *) Nhận xét: x + = 18 x +  x +  x + +  x + + (*) vô nghiệm PT cho có nghiệm x = BT Mẫu 14: Giải Phương trình x3 + 3x − 3 3x + = − 3x Viết lại phương trình: ( x + 1) = 3 x + + Nhẩm x = nghiệm phương trình, thay vào ta ta viết lại pt sau: ( x + 1) − = 3 x + −  ( x − 1) ( x + 1) + ( x + 1) +  =    x −1 =     ( x + ) + 3 =        ( x + ) + 3     3 x + + + 3  ( ) ( Lại có: ( x + ) + 3     ( ( x − 1) ( 3x + 5) ) + 3x + + x + + + 3 =  2  x + =  x = −2 3x + + + 3  dấu “=” xảy    x + + = ) Vậy x = x = −2 nghiệm phương trình BT Mẫu 15: Giải Phương trình ( x + ) ) ( ( x2 + 4x + + + x ) x2 + + = Nhận xét: ĐK để phương trình có nghiệm ( + x ) x   −2  x  , phương trình có nghiệm x = −1 , từ ta viết lại phương trình cho sau: ( x + 2) (( ) ) (( x2 + 4x + − + + x ) ) x2 + − + =  x2 − 4x +   x2 −1   ( x + 2)  + x    + ( x + 1) =  x + 4x + +   x + + 2  x = −1  ( x + )( x + 3)  x ( x − 1)   ( x + 1)  + + 6 =   x + 5x + x ( x − 1) 2 + +6=0 x +3 +2   x + 4x + +  x + x + + x2 + + PT (*) vơ nghiệm vì: (*)  x2 + 5x + + x2 + x + x2 + x + + + x2 − x + + x2 + x2 + +  0x Kỹ Thuật – Hệ số bất Định Kiểu 1: Dùng hệ số bất định cho hai vế không nhẩm nghiệm BT Mẫu 16: phương trình: ( x + 1) x2 − x + = x2 + (*) Bài giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( *) Cách giải Nhân lượng liên hiệp • Vì x = −1 khơng nghiệm phương trình nên ( *)   • ( x2 + x2 +  x − x + − ( x − 1) = − ( x + 1) x +1 x +1 2 =  ( x − x − 1) = x + x − 2x + + x −1 x2 − 2x + = ) Vậy nghiệm phương trình x =   Nhận xét: Vấn đề đặt nhận nhân tử chung ( x − x − 1) để điền số x −1 vào hai vế??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số  cho x − x + − ( x +  ) =  x − x + − ( x +  ) x2 − x + +  x +  (1 −  ) x  x2 + − (  x +  ) , (  ) x +1 = x + − ( x +  )( x + 1) x +1 − (1 +  ) x + ( −  ) x2 − x + +  = (1 −  ) x − ( +  ) x + (1 −  ) x +1 Đến đây, ta việc xác định  ,  cho 1 −  = −   2 + 2 =  +    = 1,  = −1 3 −  = −   BT Mẫu 17 Giải phương trình: ( 3x + 1) x2 + = 3x + x + (*) Bài giải tham khảo Do x = − 1 không nghiệm phương trình, nên với x  − , ta được: 3 3x + x + 3x + x +  x + − 2x = − 2x ( *)  x + = 3x + 3x + x + − x 3x + x + − x − x  = 3x + x3 + + x  (1 − x ) −3 x + =  3x + x2 + + x (1 − x ) x2 + + 2x = (1 − x ) 3x +  x = 1  1  2   1 − x  − 1   =    = x +  x + + 2x    x + + x x + (1)  (1) x + + x = 3x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x  −1  x  −1  x2 + = x +     x =1 x + = x + 2x + x = • Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 Nhận xét: Cách Để đặt số −2x vào hai vế, ta xét dạng tổng quát 3x + x + − ( x +  ) sau sử dụng đồng để tìm hai số thực  ,  cho 3x + xuất nhân tử chung giống x + − ( x +  ) = Cách Thay x = vào x2 + = = x (vì x = ) nghiệm BT Mẫu 18: Giải phương trình: x ( x − 1) + x = ( x − 1) x ( x − x + ) + (*) ĐK: x  , thấy x = không nghiệm phương trình nên ta viết lại phương trình: x3 − x + x − x3 − x + x − = x3 − x + x  − ( x + ) = x3 − x + x − ( x + ) x −1 x −1   x3 − 3x − x3 − 3x −  =  ( x3 − 3x − )  − =0 x −1 x3 − x + x + ( x + ) x3 − x + x + x +   x −1  x3 − 3x − =  x = Vậy x = nghiệm pt   x3 − x + x + x + = x − 1(VN ) BT Mẫu 19: Giải phương trình: x2 ( x + 6) = ( 5x − 1) x3 + + x − (*) ĐK: x  − 3 ta thấy x = 1/ khơng nghiệm phương trình x3 + x − x + x3 + x − x + 3 = x +3  − x = x3 + − x PT (*) 5x −1 5x −1 (Việc tìm −2x dùng hệ số bất định trình bày nhé)  x3 − x + = x3 − x + x3 − x + 3 + 21  =   x = 1 x =  x = 4+3 5x −1 x3 + + x  x3 + = 3x − BT Mẫu 20: Giải phương trình ( x3 + 3) x − x + = x3 + 3x − x + (*) Viết lại pt (*) sau: x − x + − ( x + 3) = − x2 − x + = 7x +  x2 + x3 + 3x − x + 7x +  x2 − x + = x + − 2 x +3 x +3 −7 x − x2 − x + + x + = −7 x − x2 + x = −    x2 − x + = x2 − x  x =  +  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Kỹ Thuật 3: Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vơ tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm lẻ ta tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm xem có đẹp khơng, đẹp pt có nhân tử chung x − Sx + p vấn đề làm tìm biểu thức liên hợp: Giả sử nghiệm x1 , x2 , biểu thức liên hợp cần tìm ax + b + Thay x1 vào kết C , thay x2 vào ta kết D a.x + b = C + Giải hệ phương trình   a, b xong em có biểu thức liên hợp b.x2 + b = D BT Mẫu 21: Giải phương trình sau: x3 − 3x + = − 3x2 Giải: ĐK: x3 − 3x +  Dùng máy tính dò nghiệm ta nghiệm x1 = 1, 618033989 x2 = −0, 6180339887 Tổng hai nghiệm 1, tích −1 nên dự đốn nhân tử chung x − x − thay hai nghiệm vào phương trình, ta có C = 0,381966; D = 2, 618033989 a.x + b = C Giải hệ   a, b ta có a = −1, b = biểu thức liên hợp − x a.x2 + b = D Ta viết lại pt sau: ( x − 3x + 1) − ( − x ) = − 3x − ( − x )  x − x − = 3 −4 ( x − x − 1) − 3x + − x    ( x − x − 1)  x − +  = đến em tự giải tiếp tốn có hai nghiệm − x + − x   Ví dụ tiếp nhé: x2 + x − = ( x + ) x − x + ĐK: ( x + x − 1) ( x + )  Dùng máy tính nhẩm hai nghiệm x1 = − 2, x2 = + 2 , thay hai nghiệm vào ta số C = D = (dự đoán biểu thức liên hợp số 3) Có tổng tích −7 ta dự đốn pt có nhân tử chung ( x − x − ) Tìm biểu thức liên hợp cách giải hệ sau nháp a.x1 + b = C  a, b giải có a = 0, b = tới rõ biểu thức liên hợp số – làm  a.x2 + b = D em pt  x + x − − ( x + ) = ( x + ) x2 − x − − ( x + 2) ( x2 − x − x2 − x + + x2 − 2x + − ) =0  x2 − x − =   x+2  ( x − x − ) 1 − =0 x2 − x + +   x − x + = x −  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word tới em tự giải tiếp nhé, pt có hai nghiệm Kỹ thuật 4: Nếu phương trình có hai nghiệm ngun để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sử lượng liên hợp ax + b muốn tìm a, b ta thay hai nghiệm vào pt: ax + b = b………… giải tìm a, Ngồi kỹ thuật nêu em làm theo thủ thuật khác tìm thấy có nghiệm vơ tỷ phương trình BT Mẫu 22: Trong pt sau dùng máy tính ta x = 1,390388203 Nếu phương trình có chứa hai căn, thay vào ta có kết sau:   x − x +  2,390388203  x +    x −  2,870776406  x x + lượng cần liên hợp với thứ nhất, 2x lượng liên hợp với thứ Áp Dụng: Giải phương trình sau: 5x2 − 5x + − x − + x2 − x + = Ví dụ: Dùng máy tính thu nghiệm x = 4, 236067977 , Nếu phương trình có chứa hai ta đem thay hai  x − 2x + =  nghiệm vào   ( 3x + 1)  5, 236067977 Vậy thứ trừ cho 5, 236067977 = x + nên thứ trừ cho x + Áp Dụng: Giải phương trình sau x + x − x + = 3x + + ( x + 1) x3 + x + x + = x x + + x + 13 15 x = x + x + x + + x3 + x = ( x + 1) x + + Bài tập vận dụng: x3 + 3x − 3 3x + = − 3x (DS: x = −2; x = ) x − + x − 3x + = (DS: x = 1; x = − ) ( x2 + x + + x2 + x + )( ) x + − x + = x ( x = 0; x = ) ( x + 3) x2 + x + = x2 + 3x + ( ) + x − = x + x + ( x = 3; x = 11 − ) ( ) x − + − x − 2x2 + x + = ( x = ) x + − 3x − = x + x + 24 + 12 − x = ( x = −24, x = −88 ) x2 + = x − + x − ( x = ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 3x − + − − x − = ( x = −2 ) 11 x − 3x − = x − ( x − x − ) ( x = 2, x = ) 12  −32 + 57  x2 + 16 x + 18 + x2 − = x +  x = 1, x =    13 x − + = x + 3x + x − ( x = ) 14 3x + − − x − x3 + 3x + 10 x − 26 = ( x = ) 15 3x − x + − x − = x − x − − x − x + ( x = ) BT Mẫu 23: Giải bất phương trình: ( x2 − + 2x )  x + 21 (*) Đại học Mỏ - Địa Chất năm 1999 Bài giải tham khảo • 9 + x  −  x0 Điều kiện:  x  (  x + + 2x x    ( *)     x + 21   −2 x  − + 2x   (3 +  + 2x )    x + 21  x + 21  + + x + + x  x + 42  + x   + x  16  x  • )   7 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x   − ;  \ 0  2 BT Mẫu 24 Giải bất phương trình: (1 + x2 1+ x )  x − (*) Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo • • • Điều kiện: + x   x  −1  x  −1  −1  x   (*) Do đó: x  −1;4) tập nghiệm bất phương Nếu  x −  trình (*) Khi x  : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x  x       x 1− 1+ x (*)      x − + x    x−4       + + x − + x    − − x x   x     1 − + x + + x  x −  − + x  x −  x  x  x      x   4;8 )  + x  1 + x  x  ( ( ( • )( ) ( ) )    x−4   )  x   −1; ) Vậy tập nghiệm bất phương trình   x   −1;8)  x   4;8 ) x2 − 3x + + x2 − x +  x2 − 5x + (*) BT Mẫu 25: Giải bất phương trình: Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo ( x − 3x + ) − ( x − x + ) = x − = ( x − 1)  Nhận xét:  Nên ta có lời giải sau: 2 ( x − x + 3) − ( x − x + ) = x − • Điều kiện: x  1 x  (*)   ( ) ( x − 3x + − x − x + + ( x − 1) x − 3x + + x − x + 2 + ) x2 − x + − x2 − 5x +  x −1 x − x + + x2 − 5x + 0    ( x − 1)  +   (1) 2 x2 − x + + x2 − 5x +   x − 3x + + x − x + • x  Do  thì: x  x − 3x + + x − x + 2 + x − x + + x2 − 5x + nên (1)  x −   x  • Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x   x = BT Mẫu 26: Giải bất phương trình: + x +  x + 17 (*) x Bài giải tham khảo • Điều kiện: x  (*)    x + 17 − x + x  x ( x + 17 − x + )( x + 17 + x + ) x + 17 + x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0 16   x + 17 + x +  x x x + 17 + x +   ( ) 2 x + 17 + x +  16 x  ( x + 17 )( x + 1)  x − (dạng 3   .x   ;  2  • Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  ( 0;4 x3 + 3x2 + x + 16 − − x  (*) BT Mẫu 27: Giải bất phương trình: Bài giải tham khảo • Điều kiện: −2  x  (*)    ) ( ( x + 3x + x + 16 − 3 + x + 3x + x − 11 x + 3x + x + 16 + 3 ( x − 1) ( x + x + 11) x + 3x + x + 16 + 3 ) 3− 4− x  + x −1 0 3+ 4− x + x −1 0 3+ 4− x    63  2 x +  +   4   0  ( x − 1) +  x3 + x + x + 16 + 3 3+ 4− x       x −1   x  • Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  (1; 4 ( BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: ( x + 1)  ( 3x + ) − 3x + ) (*) Bài giải tham khảo • Điều kiện: x  − ( (*)  ( x + 1) + x + (  1+ (  ( x + 1) 2 ( )( )  ( 3x + )  − 3x + + 3x +    )  (3x + )( x + 1) 3x + ) − 3x −   (1)   ( x + 1) + x + ) 2 • Khi x = −1  (1) : ln •  3x +    x  −1 4    −  x  −1 Khi   (1)   x  − 3  x  −   x  −1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A  B) •   Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x   − ; −1   BT Mẫu 29: Giải bất phương trình: − + x −  x (1) x Bài giải tham khảo ( x − )( x + ) x−2 2x2 − x−2 + x2 +  x (2) (1)  x x x x • x−2  x   −2  x  Điều kiện:   x   ( x − )( x + )   x • Với: −2  x  : (2) ln • Với: x  : ( )  x−2 + 2x +  x x ( ( ) )( )  x − 2 + 2x + − 2x + x x − 2x +  x−2 1 x 2x + −  x−2  x ( ) x + − , (do: ( −4 x )  x x−2 x − 2x + x + −  0, x  )  x −  x2 + x − x  x − + x  x + x  16 x − 32 + x + 16 x ( x − )  x + x  x − x − x − x +   ( x2 − 2x ) − x2 − 2x +   ( x2 − 2x − ) 0  x2 − x − =  x2 − x − =  x =  • Do x   x = + • Vậy tập nghiệm bất phương trình x   −2;0 )  +   BT Mẫu 30: Giải bất phương trình: ( x − 1) x2 − x + − x x2 +  ( x + 1) (*) Bài giải tham khảo ) ( ( ) (*)  ( x + 1) + x − x + + x x + − x − x +  ) (  ( x + 1) + x − x + + x ( x + 1)( x − 1) x2 + + x2 − 2x + 0   x ( 3x − 1)  ( x + 1)  + x − x + + 0 x2 + + x2 − x +   ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x + + x − x + + ( x + 1)( x − x + ) + x − x +  0  ( x + 1)  2  x +1 + x − 2x +     31  Do x − x + =  x −  +  nên phương trình  x +   x  −1 7  Vậy tập nghiệm bất phương trình x  ( −; −1 • KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp phương trình vơ tỷ, ta biết phương trình giải phương pháp liên hợp, dùng MODE ta biết phương trình có nghiệm – Nhưng sau liên hợp xong biểu thức lại cồng kềnh phức tạp khó chứng minh phương trình vơ nghiệm lúc ta làm Tất có viết với phân tích bình luận đơn giản thơng qua 20 ví dụ Hi vọng sức mạnh giúp em giải triệt để lớp toán BT Mẫu 31 Giải phương trình: x − 5x − = x − + − x (*) Nhận xét: Dùng máy tính ta kiểm tra phương trình có nghiệm x = , thay nghiệm vào x − = 1; − x = thông thường ta liên hợp sau: − ( x − 3)  1 − x − =  1+ x −  1 − − x = x −  1+ − x (1) ta nhận thấy không đồng dấu??? ( 2) Tới cách tự nhiên ta tìm ý tưởng để hai mang dấu “+” “−” truy ngược dấu cho (1) cụ thể sau: ĐK  x  ( ) (*)  − − x + x −  ( ) x − −1 + x2 − x = ( x − 3) x − + x x − =  x −  + x − + x  = x −3 + ( ) ( )  1+ − x 1+ x − 1 + − x + x −  x =   x−2 + + x  0; x   2; 4 1 + − x + x − Tới em hình dung phần lợi phương pháp chứ, kết thu thật tuyệt với không em – tiếp tục thầy qua ví dụ khác nhé…… BT Mẫu 32 Giải phương trình: x + = − x + 3x + (*) Nhận xét: dùng máy tính ta biết x = nghiệm phương trình, thay nghiệm vào ta có biểu thức liên hợp thơng thường sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x −1  1 − − x = + − x (1)  rõ ràng trái dấu, ta truy ngược dấu (2) sau  − x − ( ) 2 − 3x + = ( 2)  + 3x + Bài Giải: ĐK −  x  ( ) (*)  − − x + 3x + ( ) 3x + − + x − =  ( x − 1) x −1 + 3x + + x −1 = 1+ − x + 3x + x =   3x +  ( x − 1)  + + 1 =   3x + + +1 = 1 + − x + x +  1 + − x + 3x + ( 3) (3) dương nên vô nghiệm, x = nghiệm BT Mẫu 33: Giải phương trình x + x = 3x + + x − (*) Nhận xét: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x = giống ta truy ngược dấu nhiên ta truy ngược hai biểu thức liên hợp, ta có lời giải sau: ĐK x  3x +  3x + ( ) 3x + − + x − ( ) x −1 −1 + x2 − x =  3x +  x −1 x −1 2x −1 + 2x −1 + x ( x − 1) =  ( x − 1)  + + x = 3x + + 2x −1 +1 2x −1 +1   3x + + x = phương trình (1) ln dương Đk x = !   3x + 2 x −1 + + x = (1)  3x + + 2x −1 + BT Mẫu 34: Giải phương trình ( x + 1) ( x − 1) + − x + x − = (*) ĐK: x  , Nhẩm x = nghiệm phương trình 5− x −2 = 1− x 0 5− x + Do ta tiến hành truy ngược dấu biểu thức này, viết lại phương trình sau: (x ( ) ( + 1) ( x − 1) + − x − − x +  ( x + 1) ( x − 1) + − x x −1 + 2+ 5− x  5− x  ( x − 1)  x + +  2+ 5− x  ) 2x −1 −1 + 1− x = ( x − 1) ( x − 1) + x − + +1− x = x =   =0 5− x x + +  3 x − + x − +  ( ) 2+ 5− x   2 ( x − 1) + 2x −1 +1 (1) dương tập nên vơ nghiệm, x = nghiệm phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word = (1) BT Mẫu 35: Giải phương trình 10 x + = x + + 3x + (*) Nhận xét: Dùng casio ta biết hai phương trình có nghiệm x = , thay hai nghiệm vào hai kết 1, liên hợp thơng thường hai bị mang dấu trái dấu so với phần lại Do ta truy ngược dấu hai biểu thức Ta có lời giải ĐK: x  − Viết lại pt: 10 x + − x + − 3x + =  x + ( ) x + − + 3x + x = ( 3x + ) 3x 3x + + 3x =   4 x + 4x 4x +1  +  + x + + ( 3x + )4 + ( x + )2 +  4x +1 +1  ( (3x + 1) ) − + 3x = ( 3x + ) 3x + + = (1) ( 3x + 1) + ( 3x + 1) + (1) ln dương nên phương trình cho có nghiệm x = Điểm nhấn toán nằm chỗ em thấy chưa??? Đó kỹ truy ngược dấu cho hàm bậc – ta tới mẫu sau nhé: BT Mẫu 36: Giải phương trình sau x + 3x − − x − = x − (*) ĐK: x  Dùng Casio biết x = nghiệm phương trình, thay vào hai cho kết = PT (*)  x + 3x − − x − − x − =  x −  ( x − 2) 2x − 2x + +1 x =    2x − +  2x − +1  x ( x − 2) + ( x − 1) + ( x − 1) + x ( x − 1) + ( x − 1) + ( ) 2x − −1 + x −1 ( ( x − 1) ) −1 + x2 − = + ( x − )( x + ) = + x + = (1) Với x  (1) ln dương, pt có nghiệm x = BT Mẫu 37: Giải phương trình x + x + − 3x + = 3x + (*) ĐK: x  −1 Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = nghiệm phương trình, ta có lời giải sau (*)  3x +  ( ( x − 1) 3x + 3x + + ) 3x + − + 3x + + 3 ( 3x + 5) ) − + x2 + x − = 3x + ( 3x + ) − 64    ( 3x + 5)  3x +  ( x − 1)  +  3x + +  ( + 64 ( 3x + ) + 642 + ( x − 1)( x + ) =  ( 3x + 13) 3x + + ( x + ) =  ( 3x + 5) + 64 ( 3x + 5) + 642  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x =    3x + +  3x + +  ( 3x + 13) 3x + + ( x + ) = (1) 2 3 ( 3x + 5) + 64 ( 3x + ) + 64 nghiệm x = đọc độc giả thắc mắc 2, ( 3x + ) 3 (1) dương nên pt có ( 3x + ) lại liên hợp với mà 3x + Thêm điều trình giải trước đưa biểu thức liên hợp để đảm bảo tính cân hệ số tơi nhân hai vế phương trình cho ) ( BT Mẫu 38 Giải phương trình sau: x + − ( x + 1) x + − x − 3x + = (*) TXĐ: D = (*)  5x + + ( x + 1) x2 − ( x + 1) x2 + − 3x + =  ( x + 1) x +  ( x + 1) x + ( ) ( x2 −1 ) x + − + x + − 3x + + x − = x2 + + + ( x + 1) ( x + 1) + ( x + 1) 3 − ( 3x + 5) ( 3x + 5) + ( 3x + 5) + x +1 =   x + 1) x + ( x2 + x +   ( x − 1) + + 1 = 2  2 x +3 +2 ( x + 1) + ( x + 1) ( 3x + 5) + 3x +     x + 1) x + ( x2 + x +   ( x − 1) =  + + 1 = 2  2 x +3 +2 ( x + 1) + ( x + 1) ( 3x + 5) + 3x +   Vậy phương trình có nghiệm x = ) ( Điều làm bạn thấy khó hiểu nhất? có lẽ việc xuất biểu thức liên hợp x + − 3 x + số 2, liên hợp với số dù truy ngược dấu kết liên hợp bất lợi việc chứng minh phương trình có nghiệm ta giả thiết có ax + b thỏa mãn mà = +1 = x +1 (vì x = nghiệm mà) Vậy ta có kết tốn thành cơng‼! BT Mẫu 40: Giải phương trình x3 + x2 + x −1 − x x2 + x + + x + = (*) Bài giải (*)  x x + x + (  x 2x2 + x +  x + x + − + x + − =  ( x + 1) +  x2 + x + +  ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  =0 + x + + 1 3 ( 2x + 2)  x = −   x x2 + x + +   x + x + + 1 ( 2x + 2) + 2x + +1 = (VN ) pt có nghiệm x = −1/ ( BT Mẫu 41: Giải Phương trình 3x − + x + = (1 − x ) x − x + ĐK x  −3 ) (*) Dùng casio ta biết pt có nghiệm x = −1 , biểu thức cần truy ngược dấu (1 − x ) x + (1 − x ) chưa xác định dấu, ta có ý tưởng làm xuất x + (1 − x ) Ta có lời giải sau: (*)  ( ) ( ) x + − + (1 − x ) x + − x + =  2 ( x + 1) (1 − x ) (1 + x ) + 2x + +1 x2 + + x2 + =0  x = −1  − x ) x2 +   ( 2 =0  ( x + 1)  + − x ) x2 + ( 2 = (1)  x + + + x +   2x + +1 + + x2 +  Thấy (1) vơ nghiệm (1) ln  pt có nghiệm x = −1 Qua số ví dụ vừa ta thấy có biểu thức ta cần truy ngược để xác định cụ thể dấu biểu thức đứng phía trước thức, điều cần ý làm BT Mẫu 42: Giải phương trình: x3 − 5x2 + 13x − = ( x − 2) x2 − 3x + + 3x + (*) Nhận xét: Bài giống với ta cần truy ngược để ( x − ) , đồng thời liên hợp 3x + với số ta thu kết ( − ) cần truy ngược dấu Dùng casio biết x = nghiệm phương trình thay vào x − 3x + = 1, 3x + = (Các em ý dựa vào nghiệm để tìm biểu thức liên hợp nhé) ĐK: x  −1 Ta có lời giải: (*)  x − x + 13 x − − ( x − ) x − x + − x + =  ( x − ) x − 3x +  ( x − ) x − 3x + ( ) x − 3x + − + 3x + (x − 3x + ) x − 3x + + + ( ) 3x + − + x − = ( x − 1) x + 3x + + + x −1 = x =  ( x − )2 x − 3x +   3x +  ( x − 1)  + + 1 =   ( x − )2 x − 3x + 3 3x + 3x + +  + + = (1)  x − 3x + +  3x + + x − 3x + +  (1) ( + ) nên phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 43: Giải phương trình sau x + 14 x + 14 = ( x + 1) x + + ( x + 5) x + (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nhận xét: phương trình có nghiệm x = , ta thấy cần truy ngược hai biểu thức liên hợp biểu thức chứa ( x + 1) chưa rõ dấu, biểu thức liên hợp cho dấu âm Thay x = o x + = 3; x + = truy ngược biểu thức ( x + 1) x + ( ) 4x + − = ( x + 1) x + ( x − 1) 4x + + rõ ràng không làm xuất ( x + 1) Vậy ta làm nào??? Có thể biểu thức liên hợp hàm bậc chăng? Thế hệ số bất định lên tiếng Nhắc lại ta cần truy ngược để làm xuất ( x + 1) ( x − 1) , giả sử ta có ax + b = x + , thay x = vào ta a + b = đâu phương trình nữa??? ta cần xuất ( x + 1) thay x = −1 vào ta có −a + b = a = 1, b = (Các em đốn nhanh biểu thức x + x + = = x + ) tới coi xong phần phân tích, làm ta có x = nghiệm mà thay x = vào thôi‼! ĐK x  −5 ( ) (*)  ( x + 1) x + − x + + ( x + ) x +  ( x + 1) (x − 1) x + + 4x + + ( x + 5) x + ( ) x + − + 3x − ( x − 1) x+3 +2 + ( x − 1) =  x + 1) ( ( x + ) x + + 3 =  ( x − 1)  +  x+3 +2  x + + x +   x + 1) ( ( x + 5) x + + 3 = ta thấy (1) dương nên vô nghiệm  ( x − 1) =   +  () x+3 +2  x + + x +  BT Mẫu 44: Giải phương trình sau: x + ( 3x + 1) − x − ( x − 13) x − = x + 28 (*) ĐK:  x  giống ( x − 13) chưa xác định dấu với đk x ta cần làm xuất ( x − 13) ( x − 1) với x = nghiệm pt ta nhẩm được, kiểm tra liên hợp thông thường truy ngược dấu với việc thay x = vào với sức mạnh kinh khủng giúp bạn‼! x − = ta không thu kết mong đợi, hệ số bất định Giả sử biểu thức cần liên hợp ax + b ta tìm a, b cho ax + b = x − thay x = x = 13 vào ta thu a = 1/ 3; b = / Lúc ta có: ( ) ( ) (*)  ( x + 1) − x − − x + ( x − 13) x + − x − + x − x = ( x − 13) ( x − 1) + x x − = x −1 + ( ) 1+ − x x + + 2x −1 x =  ( 3x + 1) − x  x − 13) (   ( x − 1)  + + x  =   ( x + 1) − x x − 13) ( x + + 2x −1  + − x   + − x + x + + x − + x = (1)  ( x + 1) − x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Rõ ràng x = nghiệm phương trình (1) dương tập xác định BT Mẫu 45: Giải phương trình: ( x + x + 1) = ( x + 1) x + + ( x + 1) x + (*) ĐK x  −1 Nhận xét: ( 3x + 1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm trên, giả sử biểu thức cần liên hợp với x + ax + b , tìm a b cho ax + b = x + , thay x = (nghiệm nhẩm được) ta có a + 2b = thay x = −1/ vào cho số xấu, phải đây??? Thơi ta chọn a, b phù hợp với phương trình a + 2b = vậy, chọn a = 2, b = Nhân vế (*) cho ta có pt sau: (*)  ( x + x + 1) − ( x + 1) x + − ( x + 1) x + =  ( x + 1) x + ( ) ( ) x + − + ( 3x + 1) x + − x + + x + x − =   x2 −1  2x −1   ( x + 1) x +  + x + ( )   + ( x − 1)( x + 3) =   2x + +   2x +1+ 4x +   ( x + 1) x + ( x + x + 1)   ( x − 1)  + + x + 3 = 2x +1+ 4x +  x + +   x =     5 1 x +    +   12  24   ( x + 1) x + +   + x + = (1)  x + + 2x +1+ 4x + (1) dương nên x = 1/ nghiệm BT Mẫu 46: Giải phương trình sau (8 x + 13) x + 17 = 12 x + 35 + ( x + ) x + (*) ĐK x  −3 Đặt t = x + ( t  ) → x = t2 − thay vào phương trình (*) ta có: (*)  t + 6t + t + 17 − ( 4t + 1) 2t + = (1) nhẩm thấy t = nghiệm phương trình, ta giả sử biểu thức liên hợp at + b , phải tìm a b để at + b = 2t + , với t = ta có 2a + b = , việc tìm thêm pt lại gặp khó khăn 4t + = vơ nghiệm Ta chọn cặp a, b phù hợp a = 1, b = (1)  t + 6t + t + 17 + ( 4t + 1) t + − 2t +  − ( 4t + 1) ( t + 1) =   t ( 4t + 1) ( t − )  −t + 2t   −3t + 2t + 16 + ( 4t + 1)  =0  =  ( t − ) ( −3t − 4t − ) − t + + 2t +  t + + 2t +  2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t =   t ( 4t + 1) =0  −3t − 4t − − t + + 2t +  ( 2) PT có nghiệm t = (2) ln dương với t  BT Mẫu 47: Giải phương trình x + 12 = ( 3x + 8) x + − ( x + 13) x + (*) Lời giải: Đặt t = x + 2, t  → x = t − thay vào (*) ta có (*)  4t + 4t + 5t + − ( 3t + ) t + = ( )    t − 2t + 3t + ( 3t + ) ( t + ) t + − t + =  t t − 2t + + ( 3t + ) ( t + ) =0 t + + t2 +      t =  t − 2t + + ( 3t + ) ( t + )  = (1) t +2+ t +4  (1) vơ nghiệm ln dương, pt có nghiệm t = hay x = −2 Qua hai ví dụ có lẽ bạn đọc thắc mắc lại phải dùng tới ẩn phụ - Lí bậc x biểu thức không chứa thấp so với bậc x biểu thức chứa nên ta dùng ẩn phụ để hóa giải tốn Tới có lẽ tác giả xin dừng viết đây, với kỹ thuật nêu ví dụ phân tích nhận xét cách tỷ mỉ, lối trình bày định hướng tư cho lời giải rõ ràng hy vọng viết hành trang bổ trợ cho em công cụ “mạnh mẽ” việc chinh phục tốn phương trình chứa Trong viết tác giả trình bày vài công cụ “mạnh mẽ” khác giúp em công phá đề thi quốc gia cách nhẹ nhàng Xin chân thành cảm ơn bạn sử dụng tài liệu Mọi góp ý tác giả xin ghi nhận http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... tập nghiệm bất phương trình x  ( −; −1 • KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp phương trình vơ tỷ, ta biết phương trình giải phương pháp liên hợp, dùng MODE ta biết phương trình có nghiệm... chuyên đề thi – tài liệu file word tới em tự giải tiếp nhé, pt có hai nghiệm Kỹ thuật 4: Nếu phương trình có hai nghiệm nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sử lượng liên hợp ax + b muốn tìm... + x + Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm ngun – thay nghiệm vào ta số a ghép − a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8: Giải phương trình: x