toanmath com kĩ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình và bất phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh

phương pháp đạt ẩn phụ giải phương trình bất phương trình nguyễn tiến chinh cực hayyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN CƠNG PHÁ MƠN TỐN THPT NGUY N TI N CHINH K K Đ Đ THU T Đ T M T N PH THU T Đ T HAI N PH Đ A V PT Đ NG C P T HAI N PH Đ A V H PT Đ I X NG T N PH KHƠNG HỒN TỒN VÍ D PHÂN TÍCH CHI TI T T D Đ N KHÓ TÀI LI U S P PHÁT HÀNH TUY N T P PH NG TRÌNH Đ C S C NHI U CÁCH GI I M I CÁC EM ĐÓN T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN II GI I PH CƠNG PHÁ MƠN TỐN NG TRÌNH B T PH NG TRÌNH B NG Đ T N S PH  KI N TH C C B N Đ t m t n ph Tìm m i liên h gi a bi n đ đ t n ph thích h p M t s d ng c b n th g p ng  t  f x , t  a.f  x   b f x   c     at  bt  c    PP Xin nh c l i h u h t đ s không cho m i quan h đ nhìn th y cách đ t n ph ta c n bi t phán đoán h ng c a toán d a c s phân tích h p lý CÁC VÍ D Đ T M T N PH BT M u Gi i Ph ĐK x  Đ tt x   x  3x   ng trình 2 x  1; t   x  t2 1 thay vào ph ng trình ta có  t2 1   t 1   t        t  4t  4t        t     t  1 t  1  t  4t  1   t  1 t  nên t  t    t thay vào Khi t 2 ta có x V y ph ta có x 13  ng trình cho có hai nghi m x ho c x 13  t 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN BT M u ng trình x  x  14  x  x  10 Gi i Ph Bài Gi i Đ t t CƠNG PHÁ MƠN TỐN x  x  10  x  3x  t  10 thay vào ph ng trình ta có t   t  2t     t    t  2t      t  2t   0(VN ) ta có x  x  18   x  V it ng trình x  x   x  x      Gi i ph BT M u 3  17 TM Nh n xét Tho t đ u nhìn th y ta th ng nghĩ s đ t t b ng nhiên bình tĩnh phân tích ta th y r ng có u b t n n u ta đ t nh v y vi c th theo t h i khó khăn m t chút ta s hóa gi i u b ng cách chia c hai v cho x xem L i gi i ĐK x  Xét th y x không nghi m c a ph x2  x2  2  1 h x x Th y r ng ch c n quan sát m b t th Gi i ph ng trình ng c a toán va b ng m t đ ng tác ta hóa gi i pt r i x  x   4 x   3(*) Đ thi th S GD Vĩnh Phúc x x    ĐK  x     x  1 Đ thu n ti n cho l i gi i ta s chia toán làm tr x c pt m i nh sau ng L i Gi i TH đ x2  , t  thay vào pt ta có t  t   Vô nghi m x Đ tt BT M u ng trình ta chia c hai v cho x chia c hai v cho x ta có pt   ng h p sau 1   4   1 x x x x Đ t t  2 3  (t  0)    t  x x x x thay vào ta có t  t   t  t    t  2( L)  t  3(TM ) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN 3  37  37 V it (tm)  x  ( L)      x  3x    x  x x 14 14 TH Khi x chia hai v cho x ta có   1     2 x x x x Đ t t  2 3  (t  0)    t  x x x x thay vào ta có t   t  t  t    t  2(N)  t  3(L) V it  2 3  17  17    x2  3x    x  (L)  x  (N) x x 4 K t h p Đk tốn ta có hai nghiêm x  BT M u Gi i ph  37  17 x 14 ng trình x  x  11  14  Chuyên Hùng V x2 ng ĐK  x  Vi t l i pt nh sau  x    x   Vì x x ta đ nên chia c hai v cho t t 14 7x   x  2  x  x2 x2 c x2 x 5  x Đ tt x2 x2 thay vào pt có x 2t  5t  7     t  0 t 1 t  x2   x  x   0(do x  0)  x  x TH Khi t TH x2     x 2 x  x    x  4  x   t 0     12  x  x   x    x  0  x V y t p nghi m c a BPT S BT M u ĐK Gi i BPT sau v 3x 1 x 1      x2 x Vi t l i pt nh sau 3x  x2 1   x  x2 x2 3x   20 2 1 x 1 x  x2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN x Đ tt ta có t  3t    t   t  2 1 x TH x  t Khi 1 x x   x   x ( a) a ln  x  1, (a)  x   x    TH Khi t CƠNG PHÁ MƠN TỐN 1 x K t h p ĐK ta có 2 x x    x   x2   x 2 1 x  x  4(1  x ) x     V y t p nghi m c a BPT S   1; ;    2    BT M u x 1  x  (*) x 1   x Gi i BPT Nh n xét Nhìn vào ph ti p xem ng trình ta th y có d u hi u Nhân l ng liên h p r i v y ta th L i gi i ĐK x   1;3 \ 1    x 1  x 1   x 2( x  1)   x   x 1 Đ toán đ n gi n h n ta s chia tr TH x2  2x   x  1 2( x  1) ng h p r i quy đ ng b m u 1  x  a ta có  x    x  x   x  x     x  x  3   x  x    0(2) Đăt t  x  x  3, t   t   x  x  lúc 2t  t    2  t  tr thành t  nên   x2  x   2 2  0t    1  x    x3 2 2   x  2x    K t h p ĐK a ta có 1  x  TH 2 x  1  x    x  x   x  3x     x  x  3   x  x    T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN  x  x  3, t   t   x  x  lúc Đăt t 2t  t    t  2 2 2  x k t h p v i b ta có  x  2 2 V y t p nghi m c a BPT 1  x  Gi i BPT BT M u tr thành 2 2  1 x  2 x2 2  x2  x     x  2   Thi th THPT Qu c Gia Lý T Tr ng Nh n Xét Ta th y BPT có chút mang ý t ng c a Nhân liên h p nh ng n u liên h p BT s c ng k nh ph c t p th ta ko v i theo ý t ng  x  x  4   x    Nh n th y 2x2  4x   x  2x  4   x  2  0x  2 V i u toán s d dàng h n m t chút r i làm em ĐK x  2 Vi t l i 2 x     x  x     x    x    x      x     x       ĐK x  ph Đ tt x ng trình tr thành 2t  t   t  2t   1 T i có hai h ng H ng Bình ph H ng xét th y t ng v r i đ a tốn v b c khơng nghi m c a ph bình ph ng l n b n đ c t gi i ng trình chia c v cho t ta có      2 t      t  t     t i ch c em nhìn ý t t    Đ tu t ng r i ko 2u    u  t   4;    2u    u     2 t t 4u  8u   6u  12 u  1  u2 t    t  t    t   3( N )  t   3( L) t 2  u    V i BT M u t    t    x   3(TM ) V y BPT cho có nghi m nh t   Gi i BPT sau x  x   x  x  x   THPT Chuyên ĐH Vinh T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN Nh n Xét CƠNG PHÁ MƠN TỐN Tho t nhìn ta ch a th y d u hi u đ t n ph n u ti n hành đ t theo nh th ng l s th y toán vào ngõ c t b i bi u th c b c b c v y ta nh n đ nh r ng có th m i quan h s xu t hi n phân tích bi u th c  x  x  x  x  x  x   Phân tích  2  x  x   x  x  x  ta th y đ u m i c a toán xu t hi n có v nh n đ nh hoàn toàn đ n gi i th ĐK x  x  x   1   x   x  1   x  x  x    x  x   x  x  x    x  x  x  4(1) Khi TH TH x  1  chia c hai v c a cho x ta có 1  x2  2x  x2  2x   3 x x Đ tt x2  x  , t  0,    t  4t     t  x V y 1 1  17 x2  x  x2  x   65  x  x    1 9  x x x 2  x  x   1   x   x  x   V y t p nghi m c a BPT S Gi i ph BT M u    1  5; 0   1  17 ;  65     2   ng trình x2  x   x     ĐK x     x  1    x 1 Đ t t x  1, t  tao có t  Pt  t    t   4 t     t   t  t  4t  t  t t3  t  4    t  t   BT M u Gi i ph x Đk    V ix ng trình 1  2 x   x x x  x2 ph 0 x  x  2 Ph ( x  ) x ng trình  x   2 x  x  ng trình  x2  x  2( x2  x)  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN t  Đ t t  x  x ta có 2t  t     t   (L)   x  1  (L) t   x2  x   x  x     x  1  (Tm) 2 V i x  2 có Ph ng trình   x2  x  2( x  x)  t  1 (L) Đ t t  x  x ph ng trình tr thành 2t  t     t    4  52 x  3 t   x  x   4( x  x )   x  x     2  4  52 (L) x   4  52 K t lu n Ph ng trình có nghi m x  ; x  1  2 BT M u Gi i Ph TXĐ ng trình sau x  x   x  x   3x  3x  19 ĐH DL Tôn Đ c Th ng D R x  x  2, t  lúc vi t l i pt nh sau Đ tt    t   t  3t  13  2t   2t t   3t  13  4t  t     t    3t  4t  64   t   t   BT M u Gi i ph ng trình sau 16 ( L) V i t   x  x    x   x  2(TM ) x  x   x   x    Nh n xét Bài tốn có t i b c Đ tt câu h i đ t lúc đ t t x   x  t  em s gi i ph    x  1 có hai ý t ng nh sau ng trình b c Bi n đ i m t chút đ tìm l i gi i đ p h n bày nhi u tr c r i 2 ta s theo cách cách m t đ   x  1   x  1  x    x  1 x 1   2 x 1 7 x 1 2x 1 thay vào ta có x 1 t    t   2         t  2 t t     2 t    2t   3t  28t  44  Đ tt c trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN  2x 1 x  ta có  2  x    x   x 1 4  x  1  1  x  V it CƠNG PHÁ MƠN TỐN  x   x 4 x  x   Qua ví d ta th y r ng n u ch u khó quan sát bi n đ i s cho ta m t l i gi i đ p m t toán s c m nh c a h s l i phát huy tác d ng  PP f x   g  x   f  x  g x   h x    t  f  x   g x  Thông th ng v i d ng tốn ta quan sát s th y có hai nh m t l n m t cách t nhiên ta s suy nghĩ t i vi c phân tích bi u th c l n xem có m i quan h v i hai nh hay khơng N u có m i vi c đ c d tính ta gi i theo ph ng pháp n u khơng có m i quan h ta th bi n đ i ho c t toán theo m t h ng khác Gi i ph BT M u x    x  3x  23  2 x  x  12  ng trình Nh n th y bi u th c l n tích c a hai bi u th c nh th ta gi i theo ph ng pháp ĐK Đk 3  x4 2x    x, t   t2  x   Đ tt  x    x   3t  3x  21  2 x  x  12 11 ( L) V i t ta có x  x    x   x  2 x  x  12   3x    2 8 x  20 x  48  81  54 x  x 17 x  74 x  33  37  202 (TM ) X 17   3t  t  44   t  4( N ), t   MT M u Gi i Ph ng trình sau x    x  4  x  10  3x  ĐH L i gi i ĐK 2  x  Đ tt  x    x  t   x    36   x   36  x  10  3x  4  x   t  9t   t   t  Khi t ta có  x   x    x   x   x    36   x   x  Khi t ta có  x   x    x    x  x  15  12  x 1 K t h p ĐK 2  x  th y r ng x V y tốn cho có m t nghi m x BT M u ĐK x  Gi i ph ng trình sau pt vơ nghi m x   x  2 x  x  x  26   L iG i  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN x   x  t  0  t  3x   2 x2  x Đ tt     Vi t L i pt cho ta có x   2 x  x  x   x  28  lúc pt tr thành 2t  t  28   t   t   ( L) Khi t 15  x   x   x   2 x  x  15  3x   2 4  x  x   15  3x  x    x  47  31 TMĐK  x  94 x  225  ng trình 20 x  11  12 x  x   Gi i ph BT M u  x 1  x   L i gi i ĐK x  1 Đ tt Vi t l i ph  x   x   t    t  10 x  37  ng trình  ta có 10 x  37   x  1 x    x  1 x       x   x   63  1  x   x     x  1 x    12  10 x  1  2t  5t  63   t  7( N )  t    L  V it  x  1 x     x  6  x  x    x  TM   2 9  x  x      x   16 x  105 x  BT M u Gi i ph ĐK 5  x  Đ tt ng trình sau 1  x   3 x  14 x   x    x   L i Gi i  x  x  5,  t    t   x  3 x  14 x  Vi t l i pt cho ta có 6  2x    3x  14 x     x  x   24  t  2t  24   t   t  6( L) ta có  x  x    t   x  3 x  14 x   3x  14 x    x  x  5  x  5    x  1  x  5 TMĐK  2 4 x  24 x  20  3x  14 x     x  V it BT M u Gi i ph ĐK 2  x  Đ tt Vi t l i ph ng trình 24  x  22 x   33  x  14 x  8(*) L i gi i x    x , t   t  44  14 x  24  x ng trình   5t  11t  36   t  4( N )  t   ( L) V it  ta có 5(44  14 x  24  x )  11 x    x  36 14 x  28  ta có  x    x  24  x  14 x  28   2 576(8  x )  14 x  28  10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN  x  12 /   478  x  TMĐK 1348  784  3824       x x x x  337 V y ph ng trình ch có m t nghi m x BT M u Gi i ph ng trình CƠNG PHÁ MƠN TỐN  2x   x   3x  2x  5x   16 Đ ih cM Đ a Ch t năm L i gi i 2x    x    x  1 Đi u ki n   2x  5x   x  12x  3   Đ t t  2x   x  1,  t  0  t2  3x   2x  5x    t  t   16  t2  t  20   t  N  t  4 L  V i t   25  3x   2x  5x   2x2  5x   21  3x x  21  3x  x        x   x  4 2x  5x   21  3x  x  146x  429      x  143    So v i u ki n ph BT M u Gi i ph ng trình ng trình có nghi m nh t x     x  x Đ thi th ĐH tr x 1   x ng THPT L ng Ng c Quy n t2  Đ t t  x 1   x , t    2x  x  Thay vào pt ta có 2 t  2t    t   x    x   x  1  x  3(TM ) BT M u Gi i ph ng trình 9 x  x   x3  x  x   Nh n Xét Tr c h t ta phân tích th bi u th c xem dùng casio th y có m t nghi m x s d ng s đ hoocner ta có bi u th c  x  1  x  x  1 Trong 9 x  x   7( x  1)  9( x  x  1) Vì phân tích đ tơi m n s c m nh c a đ ng nh t h s c th nh sau c nh Cho 9 x  x     x  1    x  x  1   x      x     đ ng nh t v i VT ta có 11 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN   9    9 th sau em c làm v y       2   Bài Gi i ĐK x  1 Vi t l i pt ta có  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 1 chia hai v cho 1  x 1 x 1 9 2   2 Đ t t x  x 1 x  x 1  7t  2t    t  1( L)  t  V it x  x   ta có x 1 ,t  x  x 1 (N ) x 1   49 x  49  81x  81x  81  81x  32 x  32  0(VN ) x  x 1 ta có V y pt cho vô nghi m BT M u Gi i ph ng trình 5 x  x   x  x  x   L i Gi i Đk x   phân tích tốn gi ng vd ta có pt m i nh sau 2x   2x 1   1 3 2 x 1  x 1     x  1   x  1   x  1  x2  1    Đ tt V it 2x 1 ; t  0, 1  2t  3t    t  1( L)  t  (TM ) x 1  2x 1   x   25 x  25  25 x  x  21  0(VN ) x 1 V y pt cho vô nghi m BT M u Gi i b t ph ng trình 7x   7x   49x  7x  42  181  14x 1 Đ i h c An Ninh kh i A năm Bài gi i tham kh o 7x    7x   Đi u ki n  x  49x  7x  42   12 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN 1  7x   7x   7x  7x  6  7x    7x  6  182     CƠNG PHÁ MƠN TỐN  7x    7x   7x   7x  7x  6     2 7x    7x   7x   182    7x   7x   182  2 Đ t t  7x   7x  Do x  6 6  t  t        13  t  13 7     t  13 t  13     t2  t  182  14  t  13  13  t  13     7x   7x   13, x     14x   7x  7x  6  169   7x   7x   13  84  7x    7x  77x  6  84  7x  7x  7x  6   7x  7x  6  84  7x 2  x  12  6    x  1  x   x  ; 1   ; 6    x   K t h p v i u ki n t p nghi m c a b t ph BT M u Gi i ph ng trình sau 6  ng trình x   ; 6   2x 12x   2x  3x   x   Nh n xét Tho t nhìn ta th y ph ng trình khơng có m i liên h h t nhiên n u đ ý b n s th y v trái xu t hi n anh b n th ba theo kinh nghi m c có s xu t hi n ta s chia c hai v cho anh b n Ý t ng v y th c hi n ĐK x  Xét th y x không nghi m c a ph ng trình chia c hai v cho x x   12  x    1 Đ t t x x 1  t  12  t    2t   2x  ta có pt m i nh sau ta có x  t  12  t  3  64   t  12  t  3  55  2t 13 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN 55  55  3169 3  t  3  t    t 256   t  12  t  3   55  2t  256t  3169   2x  BT M u CÔNG PHÁ MƠN TỐN 3169 3169  7421121   512 x  3169 x  1280   x  x 256 1024 Gi i b t ph ng trình x  x  2x  7 2x 1 Đ i h c Thái Nguyên kh i A B năm Bài gi i tham kh o Đi u ki n x        1    1  x  4x   Đ t t x  x x Ta có t  x      x   t2  x  x 1 1  x   t2  4x 4x Cauchy  2 x x t t  t  t         t3 2   2 t   3t   2t  3t   t    t        x  3 x     2  x   2x  x         x x4  x        K t h p v i u ki n t p nghi m c a h x  0;    4  7;   2    BT M u Gi i b t ph ng trình x   x  4x   x  Tài li u th y LÊ VĂN ĐOÀN Đ thi Đ i h c kh i B năm Bài gi i tham kh o x   Đi u ki n   x  4x   0  x     x    14 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN V i x    :   x  : nghi m b t ph V i x  : chia hai v c a  cho   x x  x Đ t t x  x 4 3 x Cauchy  c 1  t2  x  2 x 2 1  3  t     t t    t  3  t   2 t   3  t  2  x x   x 2  V y t p nghi m c a b t ph Gi i ph BT M u x, ta đ CÔNG PHÁ MÔN TỐN ng trình x 1 0x  x4  1 ng trình x  0;    4;     4 ng trình sau 3x    x   ĐH A Nh n xét toán ph bi n nhi u cách gi i ph m vi vi t ch xin đ c p t i ph ng pháp đ t n ph theo hai cách sau ĐK x  Cách Đ tt 3x   x  t3  thay vào ph ng trình ta có t  t3   5t  pt  2t   8     2t     5t  3 9      2t     t  t     t  2  x  2 TMĐK  2 15t  4t  32t  40   t   15t  26t  20   Cách Đ tt 3  5x  x  t2 , t  pt cho t ng đ ng   3t  t2 3   3t         3t   135t  1104t  2880t  2496  5   t   135t  564t  624  0(VN ) v i t x 15 TMĐK T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN Đ t hai n ph Thơng th ng ta tìm m i liên h gi a bi n đ đ t n ph đ a v ph ng trình đ ng c p đ ng b c ho c h ph ng trình đ i x ng lo i đ ng c p Ta th ng g p m t s d ng c b n sau  u  n a  f  x  n m   a  f x   b  f x  c   đ t  v  m b  f x    n n n a A  b AB  c B   PP  a.A  x  b.B  x  c A x .B x    đ t u, v  PT : u2  uv  v2   2 .A  .B  mA  nB  PP PP  y  n bx  a  x n  a  b n bx  a  x n  by  a    n y  bx  a   đ a v h đ i x ng lo i II  ax  b  cx  dx  e  PP     đ t a  0, c  0, a   c ax  b  2cy  d đ a v h đ i x ng lo i II N u pt có d ng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b thu t đ t n ph đ i x ng n  C n l u ý m t s khai tri n bi n đ i sau     x    x  1 x  x  hay t ng quát h n x  a   x  a  x  ax  b        x  x   x  2x   x  x   x  x  x  x  x       x   x  2.x  x  2.x   4x   2x  2x  2x  2x  u  v   uv  u  1v  1  Các t p m u minh h a BT M u Gi i ph ng trình sau 56  x  x  41  H c vi n B u Vi n Thơng Nh n Xét Đây ki u tốn đ c tr ng cho ph b c c a l n ta có l i gi i nh sau ĐK 41  x  56 16 ng pháp đ t hai n ph đ đ a v hpt tốn có T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN Đ t u  56  x , u  0; v  x  41  1  u  v  5(a ) v y cịn m t ph CƠNG PHÁ MƠN TỐN ng trình n a l y đâu Pt s đ c l y t vi c em nâng lũy th a phép đ t n phu rơi sau ta tìm phép tốn phù h p đ làm m t x c ng tr nh sau u  v  97(b) K t h p a b ta có hpt u  v  u  v   u  v     4  2 2 2  uv   100uv  528   uv   uv  44 u  v  97   u  v   2uv   2u v  97 TH u  v  u  u  lúc u v nghi m c a pt X  X    X   X      uv  v   v  u  56  x  16  56  x     x  40(TM )  4 v   x  41  81  x  41  u   56  x  56  x  81    x  25(TM )  v   x  41  16  x  41  TH u  v  lúc u v nghi m c a pt X  X  44  0(VN )  uv  44 V y pt cho có hai nghi m x ho c x ng trình sau x  3x   x    BT M u Gi i ph Phân tích  x    x  1  x  x  1   2  x  3x     x  1    x  x  1   x      x         1,   Vi t l i pt cho  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 1 x  1, v  x  x  1; u  0, v  lúc ta có pt Đ tu u u 2u  v  uv  2u  v  uv          0(vn) v v BT M u Gi i ph 2 ng trình sau  x   x    ĐH Tài Chính k toán ĐK x  Đ t u   x , v  x  1, v  lúc ph ph ng trình n a ta có u  v  ng trình đ c vi t l i nh sau u v c n tìm thêm m t v   u u  v  v   u u  u  u  2      V y ta có hpt  2 v   v  v  u  v  u  1  u   u  u  2u  17 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN   x  u  TH    x  2(n) v   x   CƠNG PHÁ MƠN TỐN TH   x  u    x  1(n)  v   x   TH u  2   x  2   x  10   v   x   BT M u Gi i ph ng trình  x   x   Đây ki u quen thu c có nhi u cách gi i khác ph m vi ch n u cách đ t hai n ph Đ t u   x , u  0; v   x ta có hpt u   v u   v u  v      2 3 3u  2v  19 2v  3v  18v    v   v  4  v  3   v   2v  19 ĐK x  1  3 v    3x  13 TH   x u    2x    2 TH   3x  4 v     x  23  u    x  TH   3x  v    x  1(tm)   u    x  V y pt cho có nghi m BT M u Gi i ph ng trình x  3x    x   x   1   Đ t u  x  1; v  x  ta có v  u  thay vào ta có u  v uv(u  v )  v  u  uv  u  v    u  v   u  uv  v     u  v  u  v     u  v  x 1  x  x   x    x  BT M u Gi i ph ng trình x   x   x  x    18 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN ĐK x  CƠNG PHÁ MƠN TỐN Nh n xét B ng kinh nghi m ta nghĩ t i vi c phân tích bi u th c l n k t qu nh sau    x   Đ tu 3x    x  1   x   1 u  0; v  3x  2; v  thay vào x ta có u  v  2u  2v  u  2uv  v  2u  2v   u  v    u  v 2 2 2  x   3x   x  x   3x   x  x    x  1(n)  x  (n) x2   x  x   x  x    Gi i BPT BT M u Xin nh c l i v i ki u tốn đ t n ph u quan tr ng nh t tìm đ hàm s cóa m t t đ a gi i pháp g n đ p nh t ta vi t l i ph T đay cho ta ý t x   x  x    x  x  3  ( x  1)  ng trình nh sau ng Đ t u c m i quan h gi a x  1; u  0; v  x  x  3; v  Thay vào pt ta có u  2v  2v  u  10u  4uv  14v    u  v 10u  14v    u  v Vì u v v i moi u v v i u v  x   x  x   x  1 v y t p nghi m c a BPT S BT M u Gi i ph ng trình sau x x   (; 1]  15  x  x  15  15 x  x3  x   ĐK  x  15 Vi t l i pt 15  x   x 15  x  x  Đ t u  15  x , v  x (u , v  0) thay vào U v u   15  x  x  1 ta có u  3uv  4v  2(v  u )  cho v ta có v V y u  2v  15  x  x  x  x  15   x  2  19(n)  x  2  19(l ) V iu v  15  x  x  2(2) v i  x  15  15  x  x   BT M u Gi i Ph 15   16   0(vn) ng trình sau x   x  x    x  x   1 HSG Vĩnh Phúc ĐK  x  19 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN   x    x  x     x  x  1 (1) ta có v  2u  2v  uv   u  v  v     u  v  v   x , v  x  1, u; v  thay vào Đ tu CƠNG PHÁ MƠN TỐN TH u  v   x  x   x  4(Tm) TH v   x    x  Tm N u pt có d ng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b thu t đ t n ph đ i x ng n BT M u Gi i ph ng trình 2x 1  27x  27x 13x  HSG H i Phòng Nh n xét Nhìn qua ta th y tốn có th theo h ng quen thu c Hàm s ho c nhân liên h p nhiên ta s ch bàn t i làm th đ đ t n ph b ng cách ch m i quan h ng trình 2x 1   3x 1  4x 1 tốn có d ng s Vi t l i ph Ta có h ph L y ta đ t 2x 1  3y 1 2  y  1   3x  13  x  1(1) ng trình  2 x    y  1 (2) ta có 3 2  y  1   x  1   3x  1   y  1  x    x  y  6   3x  1   3x  1 y  1   y  1       x  y   2       x  1   x  1 y  1   y  1    x  1   y  1    y  1  0(VN )      V i x y thay vào ta có 2x 1   3x 1  27x  27x  7x   x  27x  27x     x  BT M u ng trình x  3x  3 3x   1 3x  Đ thi olympic Gi i ph Vi t l i pt nh sau x  3x  3x 1  3 3x    x 1   3 3x  Đ t 3x   y 1  3x    y 1 ta có hpt  x  13   3( y  1)(1) 3 2   x  1   y  1   y  x    x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  3      y  1  3x  5(2) x  y     2  x x y y x y y                0x, y                          V i x y ta có 3x   y   3x    x  1  x3  x    x   x  2 20 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN Th l i pt th y th a mãn nghi m c n tìm Gi i ph BT M u Vi t l i pt ng trình sau CƠNG PHÁ MƠN TOÁN 3x   x  3x  x    3x   x   ( x  1)3 Đ t 3x   y   x    y  1 3 x    y  13 (1) 2 (1)  (2) Ta có hpt     x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  1     y  x    x  1 (2)  x  y  x   3 x   ( x  1)3  3x    x  1 x     x   x  2        x  1   y  1    y  1  1  0x, y (vn)     Th l i th y th a mãn nghi m c a pt x ho c x em nh ph i th l i nâng lũy th a khơng có đk pt h qu mà Chú ý ta có th tìm phép đăt 3x   y 1  3x    y 1 b ng cách sau Xét y x  3x  x   y '  3x  6x 1  y ''  6(x 1) nhiên không ph i lúc dùng đ cách em c Đ t n ph khơng hồn tồn Đ t n s ph khơng hồn tồn m t hình th c phân tích thành nhân t Khi đ t n ph t bi n x v n t n t i ta xem x tham s Thông th ng ph ng trình b c hai theo t tham s x gi i b ng cách l p BT M u gi i ph ng trình sau x  3x    x  3 x    Nh n xét Nhìn vào ph ng trình ta s nghĩ t i vi c đ t t x  nhiên khó ch sau đ t n ph xong tốn khơng rút đ c v theo n t tri t đ mà v n ch a n x làm th bây gi Đ ng v i lo n i dung c a ph ng pháp mà mu n trình bày cho b n Đ T N PH KHƠNG HỒN TỒN L i Gi i Đ tt Ta đ c ph x   x  t  1, t  tham s ko c n tìm xác u ki n em ng trình m i t   x  3 t  3x  ta có hai cách sau gi i ph tính đ c    x  3 th y dùng Li t kê h ng t ch a x xt D dàng có hai nghi m t ng trình x t t x 21 r i phân tích theo s đ hoocner ho c casio T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN V it ta có x 2 t x vơ nghi m CƠNG PHÁ MƠN TỐN Th t d dàng không em nhiên th c t khơng gi ng nh v y đâu có nh ng ph ng trình n u khơng khéo léo ta s khơng có l i gi i đ p xét ví d sau coi nh m t t ng quát BT M u ng trình  x  1 x   x  Gi i ph 1 x 2 ĐK x   x  1, t   x  Đ tt x 3 t 1 Vi t l i ph x    x  1 x   x  ng trình ta có 3 x    2t   x  1 t  x  x   2 Có    x  3  t  x   t  x  2 t x  x   2x 1  x 1    x  1(tm) 2  x  2x     x  2  2x2 1  x     x  1  x   x  4x   t x Đi u làm b n c m th y băn khoăn nh t l i gi i có l vi c t i l i khơng th nh bình th ng mà mà l i ph i tách x  x  x làm th đ bi t ph i tách nh v y ph Th t đ n gi n làm toán b ng ph ng pháp ta hi v ng r ng dellta s m t s ng dó c n tìm h sơ a th t đ p T ng quát ta tìm m th a mãn pt sau mt   x  1 t    2m  x  m       8m  20m   x    6m  x  12m  4m  L uý s p x p l i dellta v ph Đ dellta ph Vi c tìm m ng ta cho  x    6m    8m  20m   4m2  12m  1   m  2 nhanh nh t dùng mode casio em không nên ng i gi i pt Th xong ph BT M u ng trình n x ng pháp t ng quát r i ví d sau tơi s ko nh c l i thêm n a Gi i ph ng trình sau x  12 x x   27  x  1  ĐK x  1 Đ t t x   x  t  1   27t  12 xt  x  PT đ ng b c cho x ta có t x t 22 x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN x  2  t  x  x 1  x    x3 3   x x  t BT M u Đ tt CÔNG PHÁ MÔN TOÁN x  81  97   x x  x   81 x Gi i ph ng trình x  x  10   x   x    x 1 ta có    6t   x   t  x  4x      25  x   t i d r i Chú ý toán s d ng ph ng pháp h s b t đ nh ví d t ng qt đ tìm pt đ p Nói Tóm l i n ph ph ng pháp làm cho toán tr nên nh nhàng h n nh ng d ng ph ng trình đ c bi t k ch mang tính ch t gi i thi u ta không nên ph thu c nhi u vào d ng mà xin nh r ng mu n ph ng pháp đ t hi u qu cao u quan tr ng nh t phân tích tìm m i quan h t n t i ph ng trình đ t đ t n ph m t cách h p lý sáng t o nh t 23