PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn TRONG căn bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ➢ DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Phân tích thành tích – Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Loại 1: Bình phương hai vế phương trình Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x2 + x + = 2- x A.1 nghiệm b) x - B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 2x - = A.1 nghiệm Lời giải: ìï x + x + ³ Û x£ a) ĐKXĐ: ïí ïï x ³ ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với éx = - x + x + = - x Û x + 3x + = Û ê êx = - ë Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - x = - b) ĐKXĐ: x - ³ Û x ³ x- 2x - = Û 2 x - = x - (*) TH1: Với x - < Û x < ta có VT(*) ³ 0, VP(*) < suy phương trình vơ nghiệm TH2: Với x - ³ Û x ³ ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tường đương với http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải éx = 2 x - = (x - 4) Û x2 - 10 x + 21 = Û ê êx = ë Đối chiếu với điều kiện x ³ điều kiện xác định suy có x = nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Từ lời giải toán ta suy dạng phương trình sau ta giải cách thực phép biến đổi tương đương: ìï f ( x) = g( x) g( x) Û ïí ïïỵ f ( x) ³ ( hay g( x) ³ 0) ìï f ( x) = ég( x)ù2 ë û • f ( x) = g( x)  ïí ïï g( x) ³ ïỵ Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau • f ( x) = a) x = 3x + - A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x - + x2 - 3x + = A.1 nghiệm Lời giải: a) Phương trình tương đương với ìï x ³ ï Û í ïï x = 3x + - ỵ ìï x ³ ï í ïï 3x + = x + ỵ ìï x ³ ì ïíï x ³ Û ïí Û Û ïï 3x + = ( x2 + 1)2 ïï x4 - x2 = ỵ ỵ ìï x ³ ïï Û ïí é x = Û ïï ê ïïỵ êëx = ± éx = ê êx = ë ìï x ³ ï í 2 ï x x - 1) = ïỵï ( http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình có nghiệm x = x = b) Ta có x - + x - 3x + = Û x - = - x + 3x - ìï - x + 3x - ³ ìï - x + 3x - ³ ïï ïí Û í Û ïï x - = (- x + 3x - 1) ïï ( x - 1)2 ( x - x + 2) = ỵ ïỵ ìï - x + 3x - ³ ìïï ïï ï Û ïí é Û íï x= ïï ê ïï ïï êëx - x + = ïï î î x + 3x - ³ é x= ê é x= Û êx = - ê êë êx = ± êë Vậy phương trình có nghiệm x = x = Ví dụ 3: Tìm m để phương trình A m ³ B m ³ - x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm phân biệt C m ³ D m ³ - Lời giải: ìï ïï x ³ - Phương trình Û í ïï ïïỵ 3x + (4 - m)x - = (*) Phương trình cho có hai nghiệm Û (*) có hai nghiệm phân biệt lớn 1 Û đồ thị hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - [ - ; + ¥ ) cắt trục hồnh 2 hai điểm phân biệt - Xét hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - [ - b m- = ; + ¥ ) Ta có 2a m- £ - Û m £ hàm số đồng biến [ - ; + ¥ ) nên m £ không thỏa mãn yêu cầu toán + TH1: Nếu + TH2: Nếu m- > - Û m> : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có bảng biến thiên m- +¥ x - ỉ 1ử y ỗỗ- ữ ữ ỗố ứữ +Ơ y ổm y ỗỗ ỗố 4ữ ữ ữ ứ Suy đồ thị hàm số y = 3x2 + (4 - m)x - [ - ỉ 1ư ổm > y ỗỗ im phõn bit y ỗỗ- ữ ữ ữ ỗố ứ ốỗ ; + ¥ ) cắt trục hồnh hai 4ư 2m - ÷ Û ³ 0> - m2 + 8m - 28) (1) ÷ ( ÷ ø 12 Vì - m2 + 8m - 28 = - (m - 4) - 12 < 0, " m nên (1) Û 2m - ³ Û m ³ Vậy m ³ (thỏa mãn m> ) giá trị cần tìm Loại 2: Phân tích thành tích cách nhân liên hợp Để trục thức ta nhân với đại lượng liên hợp; · A- B= ( A- B )( A+ A+ B B )= A- B A+ B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải · A- B= ( A- ổ B ỗỗ A + ỗố )( ) ( A) + A 3 3 B+ ( B ) ø÷÷÷ A3 B+ ( B) A- B = ( A) + 3 A3 B+ ( B) Với A, B khơng đồng thời khơng Ví dụ 4: Tìm số nghiệm phương trình a) (x - 1) (3 - + 2x ) = x + 20 A.1 nghiệm b) 3x - + C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x= A.1 nghiệm c) 3 x + B.2 nghiệm x2 + = x2 + 15 + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: ìï ìï + x ³ ïï x ³ - ï Û í a) ĐKXĐ: í ïï ¹ + x ùù ợ ùợ x Phng trỡnh ( 3- ( + 2x ) + x ) (3 + + x ) (x - 1) + 2 = x + 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û ( (x - 1) 10 + x + + x (2 - 2 x) ) = x + 20 Û 10 + x + + x = (x + 20) Û + x = Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ngjiệm x = b) ĐKXĐ: x ³ Nhẩm ta thấy x = nghiệm phương trình nên ta tách sau Phương trình Û ( Û ( )( 3x - - ) ( 3x - - + )+ ( 3x - + 3x - + 3x - Û 3x - + + 3 ) x- = )( x- 3 x2 + x2 + 3 x2 + )= x+ x+ æ + = Û (x - 1)ỗỗỗ ỗố x - + x+ x- x2 + Do ổ 1ử x + = ỗỗ x + ữ ữ + > nờn ỗố 2ữ ø 3x - + + x2 + ÷ ÷ = (*) ÷ ÷ x + 1ø x + >0 x+ Phương trình (*) Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = c) Phương trình viết lại sau: 3 x - = Vì x2 + 15 - x> 27 x2 + x2 + > nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 3 x - hay Ta có phương trình tương đương với: 33 x - = x2 + 15 - x2 + 15 - + - x2 + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x- Û 3 x + x+ x + x + x + 15 + x+ + x+ x+ - - ) = (**) x + 8+ x2 + + x2 + + x2 + + - x+ x+ x2 - - x+ + suy 27 x2 - 1 Û ( x - 1)( Vì x > = x + 15 + x+ x + 15 + x+ x2 + 15 + > nên >0 Phương trình (**) Û x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 5: Tìm số nghiệm phương trình a) ( x + 3) x2 + = x2 + x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) (3x + 1) x2 + = 3x2 + x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) Ta thấy x = - không nghiệm phương trình Xét x ¹ - , phương trình Û Û x2 + - = x2 Û x+ Phương trình (*) Û 2x2 + = 2x2 x2 + + = x2 + x + x+ x2 Û x+ x2 + = x + ìï ìï 5 ïï ïï x³ x³ Û í Û í 2 ïï ïï 2 x + = x + 25 + 20 x x + 10 x + 12 = ïỵ ïỵ é x= ê ê êë2 (x + 3) = x + + (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ïï x³ Û í Û x = + 13 (thỏa mãn) ïï ïïỵ x = - ± 13 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = - + 13 b) Ta thấy x = - Xét x ¹ - khơng nghiệm phương trình , phương trình cho Û x2 + = 3x2 + x + 3x + 1 Đến đây, ý 3x2 + x + = 3( x + )2 + > 3 Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn x > - Do phương trình cho Û Û Û x2 + - x = Þ x2 + + x > 3x2 + x + - 2x 3x + x2 + - 4x2 3x + x + - x - x = 3x + x2 + + 2x é x2 = 3(1 - x ) 3(1 - x ) ê = Û ê 3x + êë x + + x = 3x + x2 + + 2x * TH1: x2 = Û x = ± Nhưng x = - không thoả mãn x > * TH2: x + + x = 3x + Û nên phương trình có nghiệm x = x2 + = x + ìï x³ - Û ïí Û x = (thỏa mãn) ïïỵ x + = x2 + + x Vậy phương trình có nghiệm x = Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm số nghiệm phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) x2 + x2 + 11 = 31 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) ( x + 5)(2 - x) = x2 + 3x A.1 nghiệm c) x2 + x + x2 - x + =3 x A.1 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x2 + 11, t ³ Khi phương trình cho trở thành: ét = t + t - 42 = Û ê êt = - ë Vì t ³ Þ t = , thay vào ta có x2 + 11 = x2 + 11 = 36 Û x = ± Vậy phương trình có nghiệm x = ± b) Phương trình Û x2 + 3x + x2 + 3x - 10 = Đặt t = x2 + 3x , t ³ Phương trình cho trở thành ét = t + 3t - 10 = Û ê êt = - ë Vì t ³ Þ t = , thay vào ta có x + 3x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải éx= Û x2 + 3x - = Û ê êx = - ë Vậy phương trình có nghiệm x = x = - c) ĐKXĐ: x ³ Dễ thấy x = nghiệm phương trình Xét x > , phương trình Û x2 + x + = x x2 - x + Û x + + Đặt t = x - 1+ 1 = x - 1+ x x 1 , t ³ Þ x + = t2 + x x ét = Phương trình trở thành t + = 3t Û t - 3t + = Û ê êt = ë · Với t = ta có x - 1+ = Û x - x + = x Û x = (thỏa mãn) x · Với t = ta có x - 1+ ± 21 = Û x - 5x + = Û x = x Vậy phương trình có nghiệm x = 5± 21 x = Nhận xét: Phương trình có dạng af (x)+ b f (x) + c = ta đặt f (x) = t Ví dụ 7: Tìm số nghiệm phương trình a) 4x - + 4x2 - 6x + = A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm 3x - x + + x - x + = C.3 nghiệm D.4 nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình có nghiệm x Ỵ { - 2± 2+ ; 2± 32 } 2 Nhận xét: Đây phương trình đưa dạng (x2 + a ) = a (x + b ) Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x3 - (2m + 5)x2 + (m2 + 6m + 7)x - 3m2 - = (*) có ba nghiệm dương phân biệt A m< B m > C m < D m> Lời giải: Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình ln có nghiệm x = dùng lược đồ hoócne ta có é x= ê (*) Û (x - 3)éêx - (m + 1)x + m2 + 1ù Û ú ë û êx - (m + 1)x + m2 + = (**) êë Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt phương trình (**) có ìï D ' > ïï ïï P > hai nghiệm dương phân biệt khác Û ïí ïï S > ïï ïïỵ - (m + 1).3 + m - ¹ ìï ïï (m + 1) - m - > ìï m > ïï ïï m + 1)> Û ïí ( Û ïí m > - Û m > ïï m2 + > ï ïï ïïỵï m ¹ - ïï m ¹ - ïỵ Vậy m > thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập luyện tập Bài 3.39: Tìm số nghiệm phương trình: a) 2x4 + 5x3 - 3x2 - 8x + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) - 12 + 20x + 19x2 - 21x3 - 4x4 + 4x5 = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.5 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm c) - + x - 5x2 + x3 + x4 = A.1 nghiệm B.2 nghiệm d) x5 - 2x4 + 3x3 - 6x2 + 2x - = A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.39: a) PT Û ( x - 1)(2 x - 1)( x + 2)( x + 2) = b) PT Û ( x - 2)(2 x - 3)( x + 2)( x + 1)(2 x - 1) = c) PT Û ( x + 1)( x - 2)( x + 3) = d) PT Û ( x + 1)( x + 2)( x - 2) = Bài 3.40: Tìm số nghiệm phương trình a) x4 - 2x2 - 2x + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x4 - x2 - 2x - = A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.40: a) ( x2 - x + 1)2 - 3x2 = Û x = 1- b) PT Û ( x2 - x - 1)( x2 + x + 1) = Û x = 12 + 1± x = 1- 12 + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.41: Tìm m để phương trình x3 - (2m + 1)x2 + (m2 + m + 1)x - m2 + m - = có ba nghiệm dương phân biệt A ¹ m > - C ¹ m > - B ¹ m > D ¹ m > Lời giải: Bài 3.41: PT Û (x - 1)(x2 - 2mx + m2 - m + 1) = Từ suy ¹ m > Loại 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Điểm quan trọng phương trình dạng phát ẩn phụ t = f (x) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình a) 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm b) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 2( x2 + 1 ) - 5( x + ) + = x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Đặt t = x + 1 , Þ x + = ( x + )2 - = t - x x x ét = ê Ta có phương trình: 2(t - 2) - 5t + = Û 2t - 5t + = Û ê êt = êë 2 * t= Þ x+ * t = Þ x+ 1 = Û 2x2 - x + = (vô nghiệm) x = Û x2 - 2x + = Û x = x Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta thấy x = nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: x2 - 21x + 74 - Đặt t = x + 105 50 25 + = Û 2( x2 + ) - 21( x + ) + 74 = x x x x 25 5 , Þ x2 + = ( x + )2 - 10 = t - 10 x x x ét = ê Ta có phương trình: 2(t - 10) - 21t + 74 = Û 2t - 21t + 54 = Û ê êt = êë 2 * t= Þ 2 x + = Û x - x + 10 = Û x * t = Þ x+ = Û x2 - 6x + = Û x éx = ê ê (thỏa mãn) êx = êë éx = ê (thỏa mãn) êx = ë ìï ü ï Vậy phương trình có nghiệm x Ỵ ïí 1; 2; ; 5ùý ùùợ ùùỵ Chỳ ý: Các phương trình có dạng tổng qt ax4 + bx3 + cx2 + dx ± e = vi e = a ổd ỗỗ ữ = k Tức có dạng ax4 + bx3 + cx2 ± bkx + ak = ữ ữ ỗố b ứ http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải Cách giải: Xét x = xem có phải nghiệm phương trình khơng Với x ¹ ta chia hai vế phương trình cho x ta có pt: a( x + Đặt t = x ± k2 k ) + b( x ± ) + c = x x k2 k k , ta có x2 + = ( x ± )2 m k = t m k thay vào phương trình ta quy x x x phương trình bậc hai a(t m k ) + bt + c = Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình a) x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm b) (x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = x A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) Phương rình tương đương với ( x + 3x)( x + 3x + 2) = 24 Đặt t = x2 + 3x , phương trình trở thành ét = - t(t + 2) = 24 Û t + 2t - 24 = Û ê êt = ë * t = - Þ x2 + 3x = - Û x2 + 3x + = (Phương trình vơ nghiệm) éx= * t = Þ x + 3x = Û x + 3x - = Û ê êx = - ë Vậy phương rình có nghiệm x = - x = b) Phương trình tương đương với (x2 + 17 x + 60)(x2 + 16 x + 60) = 3x2 (*) Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Xét x ¹ , chia hai vế cho x ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải (*) Û ỉ 60 ửổ ỗỗx + 16 + 60 ữ ççx + 17 + ÷ ÷ ÷ ÷ç ÷= çè x øè xø Đặt y = x + 16 + 60 phương trình trở thành x é êy= ê (y + 1) y = Û y + y - = Û ê ê êy = êë éx = - ê 60 1 = Û x + 31x + 120 = Û ê Với y = ta có x + 16 + êx = - 15 x 2 êë Với y = - 60 - 35 ± 265 ta có x + 16 + = - Û x2 + 35x + 120 = Û x = x Vậy phương trình có nghiệm x = - 8, x = - - 35 ± 265 15 x = Chú ý: • Phương trình có dạng ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = e a + b = c + d Cách giải: Đặt t = x + ( a + b)x ta quy phương trình bậc hai (t + ab)(t + cd) = e • Phương trình có dạng (x + a)(x + b)( x + c)( x + d) = mx ab = cd Cách giải: Kiểm tra xem x = có nghiệm phương trình hay khơng ỉ ab ưỉ cd Xét x ¹ chia hai vế cho x ta ççx + a + b + ÷ ÷ççx + c + d + ữ ữ= m ỗố ữỗ ữ x øè xø Đặt t = x + ab ta quy phương trình bậc hai (t + a + b)(t + c + d) = m x Ví dụ 3: Tìm số nghiệm phương trình a) ( x + 1)4 + ( x + 3)4 = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) 3( x - x + 1)2 - 2( x + 1)2 = 5( x + 1) A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D nghiệm Lời giải: a) Đặt x = t - phương trình trở thành (t - 1)4 + (t + 1)4 = Û t + 6t = Û t (t + 6) = Û t = Suy x = - Vậy phương trình có nghiệm x = - b) Vì x = - khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x3 + ta được: x2 - x + x+ - 2 = x+ x - x+ x2 - x + , phương trình trở thành x+ Đặt t = ét= ê 3t - = Û 3t - 5t - = Û ê êt = - t êë * t= 2Þ * t= - x2 - x + ± 13 = Û x - 3x - = Û x = x+ x2 - x + 1 Þ = - Û x - x + = phương trình vơ nghiệm x+ Vậy phương trình có nghiệm x = ± 13 Chú ý: Phương trình câu a) có dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c Cách giải: Đặt x = t - a+ b ta đưa phương trình trùng phương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Phương trình có nghiệm Û c ³ 2( a- b ) Ví dụ 4: Cho phương trình (m + 1)x - x + = (*) Tìm m để a) Phương trình (*) có nghiệm A m ³ B m £ C m > D m < C - < m D m < b) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt A - < m < B - £ m £ Lời giải: Đặt t = x2 , t ³ , phương trình trở thành (m + 1)t - 4t + = (*) a) Với m = - phương trình (*) trở thành - 4x2 + = Û x = ± suy m = - phương trình (*) có nghiệm Với m ¹ - phương trình (**) phương trình bậc hai Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khơng âm • TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm khơng âm ìï - (m + 1) ³ ï ìï D ' ³ ïï ïï ïï ìï m £ Û ïí S ³ Û ïí m + ³ ïí Û - 1< m £ ïï ïï ïïỵ m > - ïïỵ P ³ ïï ³ ïï ïỵ m + 1 < Û m< - m+ • TH3: Phương trình (**) có nghiệm khơng nghiệm âm(khơng xảy x = khơng nghiệm phương trình (**) với m ) Vậy phương trình (*) có nghiệm m £ • TH2: Phương trình (**) có hai nghiệm trái dấu Û P < Û http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Với m = - phương trình (*) trở thành - 4x2 + = Û x = ± suy m = - khơng thỏa mãn Với m ¹ - phương trình (**) phương trình bậc hai Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt ìï - (m + 1)> ï ìï D ' > ïï ïï ïï Û ïí S > Û ïí m + > ïï ï ïïỵ P > ïïï >0 ïï ïỵ m + ì ïíï m < Û - < m < ïïỵ m > - Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt - < m < Ví dụ 5: Cho phương trình x4 + 4x3 - 3x2 - 14x + m = a) Tìm số nghiệm phương trình m = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C m £ D m £ b) Tìm m để phương trình có nghiệm A m £ - B m £ Lời giải: Phương trình tương đương (x4 + x3 + x2 )- (7 x2 + 14x)+ m = Û (x2 + x) - (x2 + x)+ m = Đặt t = x2 + 2x , x + x = (x + 1) - ³ - suy t ³ - Phương trình trở thành t - 7t + m = (*) ét = a) Khi m = ta có t - 7t + = Û ê êt = ë http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với t = x2 + 2x = Û x2 + 2x - = Û x = - ± Với t = x2 + 2x = Û x2 + 2x - = Û x = - ± Vậy phương trình có nghiệm x = - ± x = - ± b) Phương trình ban đầu có nghiệm phương trình (*) có nghiệm t³ - Û Đồ thị hàm số y = t - 7t + m [ - 1; + ¥ ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt Xét hàm số y = t - 7t + m [ - 1; + ¥ ) Ta có bảng biến thiên x - +¥ +¥ 8+ m y m Suy để phương trình có nghiệm m £ Chú ý: Phương trình phương trình đưa dạng A (x2 + ax) + B (x + ax)+ C = cách giải đặt t = x2 + ax đưa phương trình bậc hai At + Bt + C = Bài tập luyện tập Bài 3.42: Tìm số nghiệm phương trình a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x6 + 3x5 - 6x4 - 21x3 - 6x2 + 3x + = A.1 nghiệm 4 b) (x + 3) + (x - 5) = 1312 A.1 nghiệm c) (2 x - 1)(4 x + 5)(8 x + 3)(16 x - 15) = 99 x A.1 nghiệm d) x4 - 9x2 - 2x + 15 = A.1 nghiệm 2 e) (x2 - x + 1) + (x + 1) = 11(x + 1) A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.42: a) Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình Với x ¹ ta có PT Û x2 + 3x - 16 + Đặt y = x + 1 y - = x2 + x x æ 1ö æ 1ö + = ỗỗx + ữ ữ+ ỗỗx + ữ ữ- 16 = ỗố ữ ốỗ ữ x x xø x ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Phương trình trở thành: (y - 2)+ y - 16 = Û y + y - 20 = Phương trình có nghiệm y1 = - 4, y2 = Vì x + 1 = - x + = tức x2 + 4x + = 2x2 - 5x + = x x Từ ta tìm đuợc nghiệm là: x = - ± 3, x = ,x = a) Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x , ta được: x3 + Đặt t = x + 1 + 3( x2 + ) - 6( x + ) - 21 = x x x 1 , |t |³ Ta có : x2 + = t - 2; x3 + = t(t - 3) x x x Nên phương trình trở thành : t(t - 3) + 3(t - 2) - 6t - 21 = ét = Û t + 3t - 9t - 27 = Û (t + 3)2 (t - 3) = Û ê êt = - ë * t = Û x+ 3± = Û x - 3x + = Û x = x * t = - Û x + 3x + = Û x = - 3± Vậy phương trình có bốn nghiệm x = - 3± 3± ; x= 2 b) Đặt x = t + , ta có: (t + 4) + (t - 4) = 1312 Û t + 96t - 400 = Û t = Û t = ± Suy x = 3, x = - nghiệm phương trình cho c) Ta thấy x = không nghiệm phương trình nên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Phương trình Û (32 x2 + 52 x + 15)(32 x2 - 46 x + 15)- 99 x2 = ỉ 15 ửổ ỗỗ32 x - 46 + 15 ữ ỗỗ36 x + 52 + ữ ữ ữ ữỗ ữ- 99 = ỗố x ứố xứ t t = 32 x + 15 Ta có: (t + 52)(t - 46)- 99 = Û t + 6t - 2491 = Û t = 47, t = - 53 x • t = 47 Û 32x2 - 47 x + 15 = Û x = 1, x = • t = - 53 Û 32 x2 - 53x + 15 = Û x = 15 32 53 ± 889 64 ìï 15 53 ± 889 ü ïï Vậy tập nghiệm phương trình cho là: ùớ 1, , ý ùù 32 ùù 64 ợ ỵ d) Phương trình Û (x2 - m) + (2m - 9)x2 - x + 15 - m2 = Ta chọn m cho  ' = - (15 - m2 )(2m - 9) = ta tìm m = 2 Nên ta có: (x2 - 4) - (x - 1) = Û (x2 + x - 5)(x - x - 3) = é - ± 21 ê éx + x - = êx = Û êê Û ê ê êëx - x - = êx = ± 13 êë 2 ìï - ± 21 ± 13 ü ïï ; Vậy tập nghiệm phương trình là: ïí ý ïï ùù 2 ợ ỵ e) Ta thy x = - khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x3 + ta x2 - x + x+ +5 = 11 được: x+ x - x+ Đặt t = x2 - x + Þ 2t + = 11 Û 2t - 11t + = Û t = 5, t = x+ t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải · t= 5Û x2 - x + = Û x2 - 6x - = Û x = ± x+ • t= 5Û x2 - x + 1 = Û x - x + = Û x = 1, x = x+ 2 13 Bài 3.43: Tìm m để phương trình : ( x - 1)( x + 3)( x + 5) = m có nghiệm B m ³ - 16 A m < - 16 D m ³ - C m ³ - Lời giải: Bài 3.43:Phương trình Û ( x - 1)( x + 5)( x + 1)( x + 3) = m Û ( x + x - 5)( x + x + 3) = m Đặt t = x + x = ( x + 2)2 - ³ - ,ta có phương trình : Û (t - 5)(t + 3) = m Û t - 2t - 15 = m (2) Phương trình (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm t ³ - Với t ³ - Þ t - 2t - 15 = (t - 1)2 - 16 ³ - 16 Þ (2) có nghiệm t ³ - Û m ³ - 16 Bài 3.44: Tìm m để phương trình : x4 - 4x3 + 8x = m có bốn nghiệm phân biệt A - < m B m < D m £ C - < m < Lời giải: Bài 3.44: Phương trình Û ( x - x)2 - 4( x - x) = m Đặt t = x - x = ( x - 1)2 - ³ - Phương trình trở thành: t - 2t = m (*) Phương trình có bốn nghiệm phương trình Û (*) có hai nghiệm phân biệt t > - Xét hàm số : f (t) = t - 2t với t ³ - , ta có bảng biến thiên: t -1 +¥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải +¥ f (t) = t - 2t -1 Dựa vào bảng biến thiên Þ - < m < ... liệu file word có lời giải x- Û 3 x + x+ x + x + x + 15 + x+ + x+ x+ - - ) = (**) x + 8+ x2 + + x2 + + x2 + + - x+ x+ x2 - - x+ + suy 27 x2 - 1 Û ( x - 1)( Vì x > = x + 15 + x+ x + 15 + x+ x2 +. .. x2 + 12 + x2 + - æ x+ Û (x - 2)ỗỗỗ ỗố x + 12 + ộx = ê Û êê x + ê êë x + 12 + Do x2 - = (x - 2 )+ x + 12 + x2 + + ÷ - 3÷ =0 ÷ ÷ ÷ ø x2 + + x+ x+ 2 - = 0(*) x + 5+ < x2 + + Þ x+ x + 12 + - x+ x2 +. .. x+ + x - + x2 - = Û ( x + - 2) + ( x - - 1) + ( x2 - 4) = (1) Ta có " x ³ : ( x + 6)2 + x + + = ( x + + 1)2 + > & x - + > Do PT Û x- ( x + 6) + x + + é Û ( x - 2) êê + êë3 ( x + 6)2 + x + + +