PHƯƠNG TRÌNH một số PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HOẶC bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải  Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ  Phương trình dạng f (x ) = g(x ) ta giải cách biến đổi tương đương sau é f (x ) = g(x ) f (x ) = g(x ) Û êê f (x ) = g(x ) Û f (x ) = g (x ) f ( x ) = g ( x ) êë Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2x + = x - 3x - A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 3x - = - 2x A.1 nghiệm c) x - 4x - = 4x - 17 A.1 nghiệm d) 2x - + 2x - 7x + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: é ê x = ± 45 é 2x + = x - 3x - é x - 5x - = ê Û ê a) Phương trình Û êê Û êê 2 x x = x + = x x ( ) ê ± 13 êë ëê êx = êë Vậy phương trình có nghiệm x = b) Cách 1: Với - 2x < Û x > 5± 45 ± 13 ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm 115 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với - 2x ³ Û x £ hai vế phương trình khơng âm suy Phương trình Û 3x - = ( - 2x ) Û 9x - 12x + = 4x - 12x + 2 Û 5x = Û x = ±1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 Cách 2: Với 3x - ³ Û x ³ : Phương trình tương đương với 3x - = - 2x Û 5x = Û x = (thỏa mãn) Với 3x - < Û x < : Phương trình tương đương với - ( 3x - ) = - 2x Û x = -1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 c) Với 4x - 17 < Û x < Với 4x - 17 ³ Û x ³ 17 ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm 17 hai vế phương trình khơng âm suy Phương trình Û x - 4x - = ( 4x - 17 ) Û ( x - 4x - ) = ( 4x - 17 ) 2 é ê é x - 8x + 12 = ê Û ( x - 8x + 12 )( x - 22 ) = Û êê Û ê x 22 = êx êë êë Đối chiếu với điều kiện x ³ 17 thấy có x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = éx = ê êx = êë = ± 22 22 thỏa mãn 22 d) Ta có 2x - ³ 0, 2x - 7x + ³ suy 2x - + 2x - 7x + ³ 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ïï x = ïï ìï 2x - = Dấu xảy ïí Û ïí éê x = Û x = ïï 2x - 7x + = ïï ỵ ïï êê ïïỵ êë x = Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x ) = g(x ) (*) ta biến đổi tương đương sau ì g(x ) ³ ï ï ì g ( x ) ³ ï ï ï ï f (x ) = g(x ) Û í Û í éê f (x ) = g(x ) ï ï f ( x ) = g ( x ) ï ï ê f (x ) = -g(x ) ỵ ï ï î ëê é ìï f (x ) = g(x ) ê ïí ê ï f (x ) ³ Hoặc f (x ) = g(x ) Û êê ỵï ì ê ïï -f (x ) = g(x ) ê íï f (x ) < êï ëỵ Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) ( x + ) - x + + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.8 nghiệm D.10 nghiệm b) 4x ( x - ) = 2x - + A.1 nghiệm c) x + ( x - 1) + = 2x + A.4 nghiệm x - 2x - x -1 B.6 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x + , t ³ ét = Phương trình trở thành t - 3t + = Û êê êë t = 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é x =0 Với t = ta có x + = Û x + = ±1 Û êê êë x = -2 é x =1 Với t = ta có x + = Û x + = ±2 Û êê êë x = -3 Vậy phương trình có nghiệm x = -3, x = -2, x = x = b) Phương trình tương đương với 4x - 4x - 2x - - = Đặt t = 2x - , t ³ Þ t = 4x - 4x + Þ 4x - 4x = t - é t = -1 Phương trình trở thành t - - t - = Û t - t - = Û êê êë t = é ê x = é 2x - = 2 Û êê Vì t ³ Þ t = nên 2x - = Û êê x = êx = -1 êë êë Vậy phương trình có nghiệm x = x = - 2 c) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình tương đương ( x - ) + Đặt t = x - - ( x - 1) = x -1- x -1 x -1 Suy t = ( x - ) + ( x - 1) - Þ ( x - 1) + ( x - 1) = t2 + ét = Phương trình trở thành t + = 7t Û t - 7t + = Û êê êë t = Với t = ta có x - - x - 2x - x - 2x - =1Û =1Û = ±1 x -1 x -1 x -1 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é é ê ê x = ± 13 ê x - 3x - = ê Û ê Û ê (thỏa mãn) x x = ê ê ± 13 ê êx = êë ëê Với t = ta có x - - x - 2x - x - 2x - =6Û =6Û = ±6 x -1 x -1 x -1 é x - 8x + = é x = 4±2 Û êê Û êê (thỏa mãn) êë x + 4x - = êë x = -2 ± Vậy phương trình có nghiệm x = ± 13 ± 13 ,x = , x = ± x = -2 ± 2 Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau a) mx + 2m = mx + x + (*) A m = B m ¹ - phương trình (*) nghiệm với x phương trình (*) có hai nghiệm x = -1 x = 2m - C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) mx + 2x - = x - (**) A m = -1 phương trình (*) nghiệm với x B m = -3 phương trình (*) có nghiệm x = C m ¹ -1 m ¹ -3 phương trình (*) có nghiệm x = x = m+3 D Cả A, B, C Lời giải: é mx + 2m = mx + x + a) Ta có mx + 2m = mx + x + Û êê êë mx + 2m = - ( mx + x + ) 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é x = 2m - Û êê êë ( 2m + ) x = -2m - (1) Giải (1) Với 2m + = Û m = - x phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với Với 2m + ¹ Û m ¹ - phương trình tương đương với x = -1 Kết luận m =- phương trình (*) nghiệm với x m ¹- phương trình (*) có hai nghiệm x = -1 x = 2m - é mx + 2x - = x - b) Ta có mx + 2x - = x - Û êê êë mx + 2x - = - ( x - ) é (m + 1)x = (2) Û êê êë (m + 3)x = (3) Với phương trình (2) ta có m = -1 phương trình (2) nghiệm với x m ¹ -1 phương trình (2) có nghiệm x = Với phương trình (3) ta có m = -3 phương trình (3) vơ nghiệm m ¹ -3 phương trình (3) có nghiệm x = m+3 Kết luận m = -1 phương trình (*) nghiệm với x m = -3 phương trình (*) có nghiệm x = 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải m ¹ -1 m ¹ -3 phương trình (*) có nghiệm x = x = m+3 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x + x = mx - (m + 1)x - 2m - có ba nghiệm phân biệt ìï üï A m Ỵ ïí -1; - ; - ; 0;1ùý ùợù ùỵù ỡù ỹù B m Ï ïí -1; - ; - ïý ïỵï ùỵù C m = ỡù ỹù D m Ï ïí -1; - ; - ; 0;1ùý ùợù ùỵù Li gii: Phng trỡnh tng đương với x ( x + 1) = ( x + )( mx - 2m - ) Û x + éë x - mx - 2m - ùû = é x = -1 Û êê êë x = mx - 2m - (*) é mx - 2m - = x é (m - 1)x = + 2m (1) Ta có (*) Û êê Û êê êë mx - 2m - = -x êë (m + 1)x = + 2m (2) Nếu m = phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m = -1 phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt é + 2m êx = m -1 Nếu m ¹ ±1 (*) Û êê ê x = + 2m ê m +1 ë Suy để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt ìï + 2m ìï m ¹ ïï ¹ -1 ïï ïï m - ïï ïï + 2m Û ïí m ¹ - ¹ -1 í ïï m + ïï ïï + 2m ïï + 2m m ùù ù ùợ m +1 ỵï m - 1 ïì ïü Vậy với m Ï ïí -1; - ; - ; 0;1ïý phương trình có ba nghiệm phân biệt ïỵï ùỵù 121 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải Bài tập luyện tập Bài 3.24: Tìm số nghiệm phương trình sau a) | 3x  | x  2x  A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x3   x  x  A.1 nghiệm Lời giải:  3x  x  Bài 3.24: a) Ta có: | 3x  |  3x  x   * Nếu x  ÞPTÛ 3x   x  2x   x  x   pt vô nghiệm * Nếu x  ÞPTÛ 3x   x  2x   x  5x   Ûx  5  21 hai nghiệm thỏa mãn x  Vậy nghiệm pt cho x  5  21 b) x  1, x  1  Bài 3.25: Tìm số nghiệm phương trình sau a) ( 2x - ) - 2x - - = A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x4  6x2  x2   x2 x 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.25: a) Đặt t = 2x - , t ³ é t = -1(l ) Phương trình trở thành t - 3t - = Û êê êë t = Với t = ta có 2x - = Û 2x - = ±4 Û x = Vậy phương trình có nghiệm x   b) ĐKXĐ: x ¹ Đặt t = x   2 x = 2 x2 - ,t ³0 x é t = -1 Phương trình trở thành t - t - = Û êê êë t = Với t = ta có é x = -1 ± x2 - = Û êê x êë x = ± Vậy phương trình có nghiệm x = -1 ± x = ± Bài 3.26: Cho phương trình x  x  x   m   a) Tìm số nghiệm phương trình m  2 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C m  3 D m  1 b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm A m  B m  2 Lời giải: Bài 3.26: Phương trình   x  1  x   m   Đặt t  x  , t  ta có phương trình: t  2t  m   (1) t  t  a) Khi m  2 ta có t  2t    123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy nghiệm phương trình x  1, x  3, x  1 b) Phương trình cho có nghiệm  phương trình (1) có nghiệm t   m  t  2t  có nghiệm t   Đồ thị hàm số f  t   t  2t  với t   0;   cắt trục hoành  m  2 Bài 3.27: Giải biện luận phương trình sau a) mx + 2m = x + é m =1 -3 A êê phương trình có nghiệm x = êë m = -1 ì m ¹1 ï -2m - 1 - 2m B ï phương trình có nghiệm x = x = í ï m -1 m +1 m -1 ù ợ C.C A, B D.Cả A, B sai b) mx + 2x = mx - A m = -1 phương trình có nghiệm x = - B m ¹ -1 phương trình có nghiệm x = - 1 x = 2m + 2 C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: é mx + 2m = x + Bài 2.37: a) Ta có PT Û êê Û êë mx + 2m = - ( x + ) é ( m - ) x = - 2m ê ê ( m + ) x = -2m - êë (1) (2) Giải (1): Với m = phương trình trở thành 0x = -1 phương trình vơ nghiệm Với m ¹ phương trình tương đương với x = - 2m m -1 Giải (2): Với m = -1 phương trình trở thành 0x = phương trình vơ nghiệm 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với m ¹ -1 phương trình tương đương với x = -2m - m +1 é m =1 -3 Kết luận: êê phương trình có nghiệm x = êë m = -1 ì m ¹1 ï -2m - 1 - 2m Với ï phương trình có nghiệm x = x = í ï m ¹ -1 m +1 m -1 ï î é mx + 2x = mx - Û b) Ta có mx + 2x = mx - Û êê êë mx + 2x = - ( mx - ) é ê x =ê ê (2m + 2)x = (*) ëê Với phương trình (*) ta có m = -1 phương trình (*) vơ nghiệm m ¹ -1 phương trình (*) có nghiệm x = 2m + Kết luận: m = -1 phương trình có nghiệm x = - m ¹ -1 phương trình có nghiệm x = - 1 x = 2m + 2  DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2x + x +1 = 3x + x -2 A.1 nghiệm b) + B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 10 50 = x -2 x + (2 - x )(x + 3) A.1 nghiệm B.2 nghiệm 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) x +3 4x - = (x + 1) (2x - 1)2 A.1 nghiệm d) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x +1 x -1 2x + + = x +2 x -2 x +1 A.1 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với ( 2x + )( x - ) = ( x + )( 3x + ) Û 2x - 4x + x - = 3x + 2x + 3x + Û x + 8x + = Û x = -4 ± (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 ± b) ĐKXĐ: x ¹ -3 x ¹ Phương trình tương đương với ( - x )( x + ) - ( x + ) = 10 ( - x ) - 50 é x = 10 Û x - 7x - 30 = Û êê êë x = -3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 c) ĐKXĐ: x ¹ -1 x ¹ Phương trình tương đương với x +3 = Û x + x = x + ( )( ) ( ) 2x - (x + 1)2 Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = 126 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải d) ĐKXĐ: x ¹ ±2 x ¹ -1 Phương trình tương đương với ( x + ) ( x - ) + ( x - )( x + )( x + ) = ( 2x + )( x - )( x + ) Û ( x + 2x + ) ( x - ) + ( x - ) ( x + ) = ( 2x + ) ( x - ) Û x - 2x + 2x - 4x + x - + x + 2x - x - = 2x - 8x + x - é x =0 Û x + 4x = Û êê (thỏa mãn điều kiện) x = êë Vậy phương trình có nghiệm x = -4 x = Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) + = + 2x + 2x + 2x + 2x + A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 + + = 4x - x + 5x + x + 11x + 28 x + 17x + 70 A.1 nghiệm c) + (2 - x ) = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x2 Lời giải: ìï üï a) ĐKXĐ: x Ï ïí -2; - ; -1; - ùý ùợù 2 ùỵù Phương trình tương đương với 4x + 10 -4x - 10 = Û = 2x + 2x + 2x + 2x + 4x + 8x + 4x + 12x + 1     x  10    0  x  x  x  12 x     x  10   x  x   x  12 x    127 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  x  10    x  10   x  20 x  11    8 x  20 x  11    x2 (thỏa mãn điều kiện)  5    x  Vậy phương trình có nghiệm x  5  x = ïü ïì b) Điều kiện: x Ï ïí -10; -7; -4; -1; ùý ùợù ùỵù Phng trỡnh tng ng với 1 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - ổỗ ỗ çè x 1æ Û çç çè x Û +1 x +1 x ửữ ổỗ 1 ửữ ổỗ 1 ửữ ữ+ ỗ ữ+ ỗ ữ= ữ ữ ữ ỗ ỗ + ø è x + x + ø è x + x + 10 ø 4x - é x = -3 ư÷ Û x + 7x + 12 = Û êê ÷÷ = + 10 ø 4x - êë x = -4 Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x = -3 c) ĐKXĐ: x ¹ x ¹ Phương trình tương đương với x + Û x2 - 4x (2 - x ) 4x 4x 4x + + -5 = - x ( - x )2 - x =5 ỉ x ư÷ ỉ 2x ư÷ 4x 4x ỗ ỗx - = ỗỗ -5 = ữữ + ữ + ỗố - x ứ - x ữứ 2-x 2-x ốỗ t t = x2 , phương trình trở thành 2-x é t =1 t + 4t - = Û êê êë t = -5 128 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với t = ta có é x =1 x2 = Û x + x - = Û êê (thỏa mãn) 2-x êë x = -2 Với t = -5 ta có x2 = -5 Û x - 5x + 10 = (vơ nghiệm) 2-x Vậy phương trình có nghiệm x = -2 x = Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) x -m = (1) x +1 A m ¹ -1 phương trình (1) có nghiệm x = -m - B m = -1 phương trình (1) vơ nghiệm C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) x + mx + = (2) x2 - A m Ỵ { -3; 0; } phương trình (2) vơ nghiệm B m Ï { -3; 0; } phương trình (2) có nghiệm x = -3 m C.Cả A, B D.Cả A, B sai c) x + mx + = 2m + (3) 3-x A m = - phương trình (3) có nghiệm x = -2 B m ¹ - phương trình có nghiệm x = x = -3m - C.Cả A, B D.Cả A, B sai 129 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải d) 3x + mx + x +1 = m (4) A m < phương trình (4) vơ nghiệm B m ³ phương trình (4) có hai nghiệm x = -m - m -1 x = 2m + C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: a) ĐKXĐ: x ¹ -1 Phương trình tương đương với x - m = ( x + ) Û x = -m - Đối chiếu với điều kiện ta xét -m - ¹ -1 Û m ¹ -1 Kết luận m ¹ -1 phương trình (1) có nghiệm x = -m - m = -1 phương trình (1) vơ nghiệm b) ĐKXĐ: x - ¹ Û x ¹ ±1 Phương trình (2) Û x + mx + = x - Û mx = -3 (2') Với m = : Phương trình (2') trở thành 0x = -3 suy phương trình (2') vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm Với m ¹ phương trình (2') tương đương với x = -3 m -3 -3 ¹ ±1 Û m ¹ ±3 suy m ¹ ±3 phương trình (2') có nghiệm x = m m nghiệm phương trình (2) Cịn m = phương trình (2') có nghiệm x = -1 , m = -3 Đối chiếu điều kiện xét phương trình (2') có nghiệm x = phương trình (2) vơ nghiệm 130 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Kết luận m Ỵ { -3; 0; } phương trình (2) vơ nghiệm m Ï { -3; 0; } phương trình (2) có nghiệm x = -3 m c) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình (3) Û x + mx + = ( - x )( 2m + ) Û x + ( 3m + ) x - 6m - 16 = é x =2 Û ( x - )( x + 3m + ) = Û êê êë x = -3m - Đối chiếu điều kiện ta xét -3m - ¹ Û m ¹ - Kết luận m =- phương trình (3) có nghiệm x = -2 m ¹- phương trình có nghiệm x = x = -3m - d) ĐKXĐ: x ¹ -1 TH1: Nếu m < ta có VP (4) ³ 0, VT (4) < suy phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu m ³ phương trình tương đương với é 3x + mx + = m ( x + ) 3x + mx + = m x + Û êê êë 3x + mx + = -m ( x + ) é m -1 é m -2 ê x = ê x = Û ê Û êê -m - ê 2m + x = -m - ê ) êë ( ê x = 2m + ë m -1 m -1 ¹ -1 Û m ¹ -1 (ln đúng) với m ³ phương trình (4) ta xét 2 m -1 nhận x = nghiệm  Với x = 131 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải -m - -m - ¹ -1 Û m ¹ -1 (ln đúng) với m ³ phương trình ta xét 2m + 2m + -m - (4) nhận x = nghiệm 2m + Kết luận  Với x = m < phương trình (4) vơ nghiệm m ³ phương trình (4) có hai nghiệm x = -m - m -1 x = 2m + Ví dụ 4: Tìm điều kiện tham số a b để phương trình a b a - b2 (*) = x -a x -b x - (a + b ) x + ab a) Có nghiệm ïìï 2a ¹ b ï A ïí a ¹ ùù ùùợ b ỡa b ù ï ï B ïía ¹ ï ï b¹0 ï ù ợ ỡa b ù ù ù C ùớa ¹ ï ï b ¹1 ï ï ỵ ïìïa ¹ 2b ï D ïí a ¹ ïï ïïỵ b ¹ b) Có nghiệm ìa ¹ ï ï ï A ïí b ¹ a  2b ù ù a ạb ù ù ợ ỡa ¹ ï ï ï B ïí b ¹ 2a  b ï ï a ¹b ï ù ợ ỡù a ùù C ùớb hoc 2a b ùù ùùợ 3a b ì a ¹0 ï ï ï ï D í b ¹ a  b ï ï a ạb ù ù ợ Li gii: KX: x a x ¹ b Phương trình tương đương với a (x - b ) - b (x - a ) ( x - a )( x - b ) = a - b2 x - (a + b ) x + ab Û (a - b ) x = a - b (**) 132 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a ì a -b ¹ ï ï ì a ¹b ìa ¹ b ï ï ï ï ï ï a - b2 ï ï ï ï ï ¹ a Û ía + b ¹ a Û ï b Û í a -b ía ¹ ï ï ï 2 ï ï ï a + b ¹ b a b ï ï ïb ¹ ï ï ï ỵ ỵ ¹ b ï ù ợ a -b ỡa b ù ù ù Vậy phương trình (*) có nghiệm ïía ¹ ï ï b¹0 ï ï ỵ b) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a b Với a = b phương trình (**) trở thành 0x = suy phương trình (**) có nghiệm với x phương trình (*) có nghiệm Với a ¹ b phương trình (**) tương đương với x = a - b2 = a +b a -b ìa + b ¹ a ìa ¹ ï ï Suy phương trình (*) có nghiệm ï Ûï í í ï ï b¹0 ïa + b b ù ợ ợ ỡa ù ï ï Vậy phương trình (*) có nghiệm ïí b ¹ a  b ï ï a ạb ù ù ợ Bi luyn Bài 3.28: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 13 + = 2x + x - 21 2x + x2 - A.1 nghiệm b) C.3 nghiệm D.4 nghiệm 1    2 x  x  x  12 x  x  x  x  A.1 nghiệm c) B.2 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x +1 x -2 x -3 x + + + + =4 x -1 x + x + x - 133 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.28: a) ĐKXĐ: x ¹ ±3; x ¹ - PT Û 13 + = ( x - )( 2x + ) 2x + ( x - )( x + ) éx = Û x + x - 12 = Û ( x - )( x + ) = Û êê êë x = -4 Vậy phương trình có nghiệm x  4 b) x  1, x  c) Điều kiện: x Ï { -3; -2;1; } +1+1+1+ =4 x -1 x +2 x +3 x -4 5x - 5x + 12 Û =0 (x - 1)(x - 4) (x + 2)(x + 3) 16 1æ 69 ư÷ ÷÷ Û x2 + x = Û x = ỗỗỗ -1 ốỗ ữứ PT Û + 1æ Đối chiếu với điều kiện phng trỡnh cú nghim l x = ỗỗỗ -1 ỗố 69 ữử ữữ ữứ Bi 3.29: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2x 13x + =6 3x - 5x + 3x + x + 2 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x + 3x + =3 x3 + x2 - x A.1 nghiệm 134 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) 1 + = 15 x (x + 1)2 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ïì ïü Bài 3.29: a) Điều kiện: x ẽ ùớ1; ùý ùợù ùỵù Vi x khơng nghiệm phương trình Với x  ta có PT Û Đặt t  x  2 3x - + x + 13 3x + + x =6 13 + =6 phương trình trở thành PT Û x t -5 t +1 Từ ta tìm nghiệm phương trình x = ; x = ì ï -1 ± ü ï ï b) Điều kiện: x Ï ï í 0; ý ï ù ù ù ợ ỵ x + 3x + 1 x2 + + x PT Û x =3Û =3 x +x -x x - +1 x x2 Đặt t = x - t2 + =3 phương trình trở thành t +1 x Từ phương trình có nghiệm x = 1± ;x = ± c) Điều kiện: x ¹ -1; x ¹ ỉ1 ỉ ư÷ ÷ư 2 PT ỗỗ = 15 ỗỗ - 15 = ữ + ữ + ữ ỗố x x + ữứ ỗ x ( x + 1) x (x + 1) è x (x + 1) ø Đặt = t ta phương trình t + 2t - 15 = Û t = 3; t = -5 x (x + 1) 135 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải +) t = Û -3 ± 21 = Û 3x + 3x - = Û x = x (x + 1) +) t = -5 Û -5 ± = -5 Û 5x + 5x + = Û x = x (x + 1) 10 Đối chiếu với điều kiện (*) phương trình có bốn nghiệm x = -3 ± 21 -5 ± ;x = 10 Bài 3.30: Tìm số nghiệm phương trình sau x 1  x 1   x2 a)   12      x 2 x 3  x 3 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 2( x  1) 13( x  1)  6 3x  x 3x  x  A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.30: a) Điều kiện: x  2; x  Đặt u  x 1 x2 ;v  ta u  uv  12v  (u  3v)(u  4v)   u  3v; u  4v x2 x3 +) u  3v  x 1 x2  46 3  x  x   x  12 x  12  x  16 x    x  x2 x3 +) u  4v  x 1 x2  4  x  x   4 x  16 x  16  x  12 x  19   x x2 x3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  b) ĐKXĐ: x  0, x   46 1 Đặt u  x  x, v  x  1, u  0, v  Khi phương trình trở thành 2u 13u    4u  7uv  2v  v v  6u 136 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  4u  v  (4u  v)(u  2v)     u  2v  1  Từ ta tìm nghiệm pt x   ;   3 a ( x + 1) ax - Bài 3.31: Giải biện luận phương trình sau + = x -1 x +1 x2 - A Với a  1 a  2 phương trình có nghiệm x = a +3 a +1 B Với a  1 a  2 phương trình vơ nghiệm C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: Bài 3.31: ĐKXĐ: x ¹ ±1 PT Û (ax - )( x + ) + ( x - ) = a ( x + ) Û ax + ax - x - + 2x - = ax + a Û (a + ) x = a +  Nếu a ¹ -1 x = a +3 a +3 a +3 ¹ , xét ¹ -1 Û a ¹ -2 Ta có a +1 a +1 a +1  Nếu a = -1 phương trình vơ nghiệm Vậy: -Với a  1 a  2 phương trình có nghiệm x = a +3 a +1 -Với a  1 a  2 phương trình vơ nghiệm Bài 3.32: Tìm điều kiện a, b để phương trình a b   có hai nghiệm phân biệt xb xa A a  2b; a  0, b  C 3a  b; a  0, b  B 2a  b; a  0, b  D a  b; a  0, b  Lời giải: Bài 3.32: Điều kiện: x  a, x  b : 137 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có: PT  2( x  a )( x  b)  a ( x  a )  b( x  b)  x  3(a  b) x  a  b  2ab   x  3(a  b) x  (a  b)  Phương trình có hai nghiệm x1  a  b x  ab Ta có x1  a  b  , x1  b  a  , x  a  x  b  a  b x1  x2  a  b  ab  a  b Vậy với a  b; a  0, b  pt có hai nghiệm phân biệt 138 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... 1 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - ổỗ ç çè x 1æ Û çç çè x Û +1 x +1 x ư÷ ổỗ 1 ửữ ổỗ 1 ửữ ? ?+ ỗ ? ?+ ỗ ữ= ữ ữ ữ ỗ ỗ + ø è x + x + ø è x + x + 10 ø 4x - é x = -3 ư÷ Û x + 7x... liệu file word có lời giải d) ĐKXĐ: x ¹ ±2 x ¹ -1 Phương trình tương đương với ( x + ) ( x - ) + ( x - )( x + )( x + ) = ( 2x + )( x - )( x + ) Û ( x + 2x + ) ( x - ) + ( x - ) ( x + ) = ( 2x +. .. giải: Bài 3.31: ĐKXĐ: x ¹ ±1 PT Û (ax - )( x + ) + ( x - ) = a ( x + ) Û ax + ax - x - + 2x - = ax + a Û (a + ) x = a +  Nếu a ¹ -1 x = a +3 a +3 a +3 ¹ , xét ¹ -1 Û a ¹ -2 Ta có a +1 a +1 a +1