PHƯƠNG TRÌNH một số PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HOẶC bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải • Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ • Phương trình dạng f (x) = g(x) ta giải cách biến đổi tương đương sau éf (x) = g(x) 2 f (x) = g(x) Û ê êf (x) = - g(x) f (x) = g(x) Û f (x) = g (x) ê ë Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2x + = x2 - 3x - A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 3x - = - 2x A.1 nghiệm c) x2 - 4x - = 4x - 17 A.1 nghiệm d) 2x - + 2x2 - 7x + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: é êx = ± 45 é 2x + = x2 - 3x - éx2 - 5x - = ê ê a) Phương trình Û ê ê2x + = - ( x2 - 3x - 4) Û êx2 - x - = Û ê ê ± 13 ê ê ë ë êx = ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = b) Cách 1: Với - 2x < Û x > ± 45 ± 13 2 ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm 115 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải Với - 2x ³ Û x £ hai vế phương trình khơng âm suy 2 Phương trình Û 3x - = ( - 2x ) Û 9x2 - 12x + = 4x2 - 12x + Û 5x2 = Û x = ±1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 : Phương trình tương đương với Cách 2: Với 3x - ³ Û x ³ 3x - = - 2x Û 5x = Û x = (thỏa mãn) Với 3x - < Û x < : Phương trình tương đương với - ( 3x - 2) = - 2x Û x = - (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 c) Với 4x - 17 < Û x < Với 4x - 17 ³ Û x ³ 17 ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm 17 hai vế phương trình khơng âm suy 2 Phương trình Û x2 - 4x - = ( 4x - 17) Û ( x2 - éx2 - 8x + 12 = 2 Û ( x - 8x + 12) ( x - 22) = Û ê ê x2 - 22 = Û ê ë Đối chiếu với điều kiện x ³ 4x - 5) = ( 4x - 17) é ê ê ê êx ê ë éx = ê êx = ê ë = ± 22 17 thấy có x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = 22 thỏa mãn 22 d) Ta có 2x - ³ 0, 2x - 7x + ³ suy 2x - + 2x2 - 7x + ³ 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ïï ïï ìï 2x - = Û ïí Dấu xảy ïí ïï 2x - 7x + = ïï ỵ ïï ïïỵ Vậy phương trình có nghiệm x = éx = Û x = ê ê êx = ê ë x= Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x) = g(x) (*) ta biến đổi tương đương sau ïìï g(x) ³ ìï g(x) ³ ï f (x) = g(x) f (x) = g(x) Û ïí Û ïí é ïï f (x) = g (x) ïï ê êf (x) = - g(x) ỵ ïïỵ ë ê éìï f (x) = g(x) êïí êï f (x) ³ ỵï Hoặc f (x) = g(x) Û ê êìï - f (x) = g(x) êï êíï f (x) < ê ëỵï Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) ( x + 1) - x + + = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.8 nghiệm D.10 nghiệm b) 4x ( x - 1) = 2x - + A.1 nghiệm B.2 nghiệm x2 - 2x - + = 2x + c) x + x- ( x - 1) A.4 nghiệm B.6 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x + ,t ³ ét = Phương trình trở thành t2 - 3t + = Û ê êt = ê ë 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải éx = Với t = ta có x + = Û x + = ±1 Û ê êx = - ê ë éx = Với t = ta có x + = Û x + = ±2 Û ê êx = - ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = - 3, x = - 2, x = x = b) Phương trình tương đương với 4x2 - 4x - 2x - - = 2 2 Đặt t = 2x - , t ³ Þ t = 4x - 4x + Þ 4x - 4x = t - ét = - Phương trình trở thành t2 - - t - = Û t2 - t - = Û ê êt = ê ë é 2x - = Vì t ³ Þ t = nên 2x - = Û ê ê2x - = - Û ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = é êx = ê ê êx = - ê ë x = 2 c) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình tương đương ( x - 1) + Đặt t = x - - ( x - 1) = x - 1- x- x- 2 Suy t = ( x - 1) + ( x - 1) - 6Þ ( x - 1) + ( x - 1) = t2 + ét = Phương trình trở thành t2 + = 7t Û t2 - 7t + = Û ê êt = ê ë Với t = ta có x - 1- x2 - 2x - x2 - 2x - =1Û =1Û = ±1 x- x- x- 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é ê2 êx - 3x - = Û ê Û êx - x - = ê ê ë é êx = ± 13 ê ê (thỏa mãn) ê ± 13 êx = ê ë Với t = ta có x - 1éx2 - 8x + = Û ê êx2 + 4x - = Û ê ë x2 - 2x - x2 - 2x - =6Û =6Û = ±6 x- x- x- éx = ± ê (thỏa mãn) ê x = - 2± ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = ± 13 ± 13 , x= , x = ± x = - ± 2 Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau a) mx + 2m = mx + x + (*) A m = - phương trình (*) nghiệm với x B m ¹ - phương trình (*) có hai nghiệm x = - x = 2m - C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) mx + 2x - = x - (**) A m = - phương trình (*) nghiệm với x B m = - phương trình (*) có nghiệm x = C m ¹ - m ¹ - phương trình (*) có nghiệm x = x = m+3 D Cả A, B, C Lời giải: é mx + 2m = mx + x + a) Ta có mx + 2m = mx + x + Û ê êmx + 2m = - ( mx + x + 1) ê ë é x = 2m - Û ê ê( 2m + 1) x = - 2m - (1) ê ë 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Giải (1) Với 2m + = Û m = - phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x Với 2m + ¹ Û m ¹ - phương trình tương đương với x = - Kết luận m=- phương trình (*) nghiệm với x m¹ - phương trình (*) có hai nghiệm x = - x = 2m - é mx + 2x - = x - b) Ta có mx + 2x - = x - Û ê êmx + 2x - = - ( x - 1) ê ë é(m + 1)x = (2) Û ê ê(m + 3)x = (3) ê ë Với phương trình (2) ta có m = - phương trình (2) nghiệm với x m ¹ - phương trình (2) có nghiệm x = Với phương trình (3) ta có m = - phương trình (3) vơ nghiệm m ¹ - phương trình (3) có nghiệm x = m+3 Kết luận m = - phương trình (*) nghiệm với x m = - phương trình (*) có nghiệm x = m ¹ - m ¹ - phương trình (*) có nghiệm x = x = m+3 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x2 + x = mx2 - (m + 1)x - 2m - có ba nghiệm phân biệt 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï ü ù A m ẻ ùớ - 1;- ;- ;0;1ùý ùợù ùùỵ ỡù 2ỹ ù B m ẽ ùớ - 1;- ;- ùý ùợù 3ùùỵ C m = ¡ ìï ü ï D m Ï ùớ - 1;- ;- ;0;1ùý ùợù ùùỵ Li giải: Phương trình tương đương với ù x ( x + 1) = ( x + 1) ( mx - 2m - 1) Û x + é ëx - mx - 2m - û= é x =- Û ê êx = mx - 2m - (*) ê ë émx - 2m - = x é(m - 1)x = + 2m (1) ê Û Ta có (*) Û ê êmx - 2m - = - x ê(m + 1)x = + 2m (2) ê ê ë ë Nếu m = phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m = - phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt é + 2m êx = ê m- Nếu m ¹ ±1 (*) Û ê êx = + 2m ê m+1 ë Suy để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt ìï + 2m ïï ïìï m ¹ ¹ - ïï ïï m- ïï + 2m ï Û íï m ¹ - ¹ - í ïï m + ïï ïï + 2m + 2m ïï ïï ùùợ m - ùợ m - m+1 ìï ü ï Vậy với m Ï ïí - 1;- ;- ;0;1ïý phương trình có ba nghim phõn bit ùợù ùùỵ 3 Bi luyện tập Bài 3.24: Tìm số nghiệm phương trình sau a) | 3x − |= x + 2x + 121 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x − = x − x + A.1 nghiệm Lời giải:  3x − x ≥ Bài 3.24: a) Ta có: | 3x − |=   −3x + x <  * Nếu x ≥ PT 3x − = x + 2x + ⇔ x − x + = pt vô nghiệm * Nếu x < PT −3x + = x + 2x + ⇔ x + 5x + = x = −5 ± 21 hai nghiệm thỏa mãn x < Vậy nghiệm pt cho x = −5 ± 21 b) x = 1, x = −1 ± Bài 3.25: Tìm số nghiệm phương trình sau a) ( 2x - 1) - 2x - - = A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x4 − x2 + x2 − = x2 x A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.25: a) Đặt t = 2x - ,t ³ 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ét = - 1(l ) Phương trình trở thành t2 - 3t - = Û ê ê t=4 ê ë Với t = ta có 2x - = Û 2x - = ±4 Û x = Vậy phương trình có nghiệm x = − b) ĐKXĐ: x ¹ Đặt t = x = − 2 x = 2 x2 - ,t ³ x ét = - Phương trình trở thành t2 - t - = Û ê êt = ê ë Với t = ta có x2 - =2Û x éx = - ± ê ê x = 1± ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = - ± x = ± Bài 3.26: Cho phương trình x − x − x − + m + = a) Tìm số nghiệm phương trình m = −2 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C m ≤ −3 D m ≤ −1 b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm A m ≤ B m ≤ −2 Lời giải: Bài 3.26: Phương trình ⇔ ( x − 1) − x − + m + = Đặt t = x − , t ≥ ta có phương trình: t − 2t + m + = (1) t = t = 2 a) Khi m = −2 ta có t − 2t = ⇔  Suy nghiệm phương trình x = 1, x = 3, x = −1 b) Phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (1) có nghiệm t ≥ ⇔ m = −t + 2t − có nghiệm t ≥ ⇔ Đồ thị hàm số f ( t ) = −t + 2t − với t ∈ [ 0; +∞ ) cắt trục hoành ⇔ m ≤ −2 Bài 3.27: Giải biện luận phương trình sau 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) mx + 2m = x + ém = - A ê êm = - phương trình có nghiệm x = ê ë ìï m ¹ - 2m - 1 - 2m B ïí phương trình có nghiệm x = x = ïï m ¹ - m+1 m- ỵ C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) mx + 2x = mx - A m = - phương trình có nghiệm x = - B m ¹ - phương trình có nghiệm x = - 1 x = 2m + 2 C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: é mx + 2m = x + é ( m - 1) x = - 2m ( 1) ê Û Bài 2.37: a) Ta có PT Û ê êmx + 2m = - ( x + 1) ê( m + 1) x = - 2m - ( 2) ê ê ë ë Giải (1): Với m = phương trình trở thành 0x = - phương trình vơ nghiệm Với m ¹ phương trình tương đương với x = - 2m m- Giải (2): Với m = - phương trình trở thành 0x = phương trình vơ nghiệm Với m ¹ - phương trình tương đương với x = - 2m - m+1 ém = - Kết luận: ê êm = - phương trình có nghiệm x = ê ë Với ïìï m ¹ - 2m - 1 - 2m phương trình có nghiệm x = x = í ïï m ¹ - m+1 m- î 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é é mx + 2x = mx - ê x=ê Û ê b) Ta có mx + 2x = mx - Û ê mx + 2x = - ( mx - 1) ê(2m + 2)x = (*) ê ë ê ë Với phương trình (*) ta có m = - phương trình (*) vơ nghiệm m ¹ - phương trình (*) có nghiệm x = 2m + Kết luận: m = - phương trình có nghiệm x = - m ¹ - phương trình có nghiệm x = - 1 x = 2m + 2  DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2x + x + = 3x + x - A.1 nghiệm b) + D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x+3 4x - = (x + 1) (2x - 1)2 A.1 nghiệm d) C.3 nghiệm 10 50 = x - x + (2 - x)(x + 3) A.1 nghiệm c) B.2 nghiệm x + x - 2x + + = x +2 x- x +1 A.1 nghiệm B.2 nghiệm 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: a) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với ( 2x + 1) ( x - 2) = ( x + 1) ( 3x + 2) Û 2x2 - 4x + x - = 3x2 + 2x + 3x + Û x2 + 8x + = Û x = - ± (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = - ± b) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với ( - x ) ( x + 3) - 2( x + 3) = 10( - x ) - 50 éx = 10 Û x2 - 7x - 30 = Û ê êx = - ê ë Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 c) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với x+3 = Û 2x - (x + 1) ( x + 3) ( 2x - 1) = 2( x + 1) Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = d) ĐKXĐ: x ¹ ±2 x ¹ - Phương trình tương đương với ( x + 1) ( x - 2) + ( x - 1) ( x + 1) ( x + 2) Û = ( 2x + 1) ( x - 2) ( x + 2) ( x2 + 2x + 1) ( x - 2) + ( x2 - 1) ( x + 2) = ( 2x + 1) ( x2 - 4) Û x3 - 2x2 + 2x2 - 4x + x - + x3 + 2x2 - x - = 2x3 - 8x + x2 - éx = Û x2 + 4x = Û ê êx = - (thỏa mãn điều kiện) ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = - x = 126 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) + = + 2x + 2x + 2x + 2x + A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 + + = x + 5x + x + 11x + 28 x + 17x + 70 4x - 2 A.1 nghiệm c) + ( 2- x) = B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x2 A.1 nghiệm Lời giải: ìï 1ü ï a) ĐKXĐ: x Ï ïí - 2;- ;- 1;- ùý ùợù 2ùùỵ Phng trỡnh tng ng với 4x + 10 - 4x - 10 = Û = 2 2x + 2x + 2x + 2x + 4x + 8x + 4x + 12x + 1   ⇔ ( x + 10 )  + ÷=  x + x + x + 12 x +  ⇔ ( x + 10 ) ( x + x + + x + 12 x + ) =  x + 10 = ⇔ ( x + 10 ) ( x + 20 x + 11) = ⇔  8 x + 20 x + 11 =   x=−2 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) −5 ±   x = Vậy phương trình có nghiệm x = −5 ± x = ìï 1ü ï b) Điều kiện: x Ï ïí - 10;- 7;- 4;- 1; ùý ùợù 2ùùỵ Phng trỡnh tương đương với 127 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - 1ỉ 1 1ỉ 1 1ỉ 1 ÷ ÷ ÷ ç ÷+ ç ÷+ ç ÷= ç ç ç ÷ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 3ốx + x + 4ø 3èx + x + ø 3èx + x + 10ø 4x - éx = - 1ỉ 1 ÷ ê Û ç = Û x + x + 12 = ữ ỗ ữ 4x - ờx = - ỗx + x + 10ứ 3ố ë Û Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x = - c) ĐKXĐ: x ¹ x ¹ Phương trình tương đương với x + Û x2 - 4x2 ( 2- x) =5 4x2 4x2 4x2 + + - 5= 2- x ( 2- x) 2- x ổ 2x 4x2 ữ ỗ x + ữ ỗ ữ 2- x - = ỗ 2- x ứ ố t t = ổ x2 4x2 ữ ỗ + ữ ỗ ữ 2- x - = ỗ ố2 - x ø x2 , phương trình trở thành 2- x ét = t2 + 4t - = Û ê êt = - ê ë x2 = Û x2 + x - = Û Với t = ta có 2- x Với t = - ta có éx = ê êx = - (thỏa mãn) ê ë x2 = - Û x2 - 5x + 10 = (vô nghiệm) 2- x Vậy phương trình có nghiệm x = - x = Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) x- m = (1) x +1 A m ¹ - phương trình (1) có nghiệm x = - m - B m = - phương trình (1) vơ nghiệm C.Cả A, B 128 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải D.Cả A, B sai b) x2 + mx + = (2) x2 - A m Ỵ {- 3;0;3} phương trình (2) vơ nghiệm B m Ï {- 3;0;3} phương trình (2) có nghiệm x = - m C.Cả A, B D.Cả A, B sai c) x2 + mx + = 2m + (3) 3- x A m = - phương trình (3) có nghiệm x = - B m ¹ - phương trình có nghiệm x = x = - 3m - C.Cả A, B D.Cả A, B sai d) 3x + mx + x +1 = m (4) A m < phương trình (4) vơ nghiệm B m ³ phương trình (4) có hai nghiệm x = - m- m- x = 2m + C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: a) ĐKXĐ: x ¹ - Phương trình tương đương với x - m = 2( x + 1) Û x = - m- Đối chiếu với điều kiện ta xét - m - ¹ - Û m ¹ - 129 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Kết luận m ¹ - phương trình (1) có nghiệm x = - m - m = - phương trình (1) vơ nghiệm b) ĐKXĐ: x2 - ¹ Û x ¹ ±1 Phương trình (2) Û x2 + mx + = x2 - Û mx = - (2') Với m = : Phương trình (2') trở thành 0x = - suy phương trình (2') vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm Với m ¹ phương trình (2') tương đương với x = Đối chiếu điều kiện xét - m - ¹ ±1 Û m ¹ ±3 suy m ¹ ±3 phương trình (2') có nghiệm m - nghiệm phương trình (2) Cịn m = phương trình (2') có nghiệm m x = - 1, m = - phương trình (2') có nghiệm x = 1do phương trình (2) vơ nghiệm x= Kết luận mỴ {- 3;0;3} phương trình (2) vơ nghiệm mÏ {- 3;0;3} phương trình (2) có nghiệm x = - m c) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình (3) Û x2 + mx + = ( - x ) ( 2m + 6) Û x2 + ( 3m + 4) x - 6m - 16 = Û ( x - 2) ( x + 3m + 8) é x=2 =0Û ê êx = - 3m - ê ë Đối chiếu điều kiện ta xét - 3m - ¹ Û m ¹ - Kết luận m=- phương trình (3) có nghiệm x = - 130 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải m¹ - phương trình có nghiệm x = x = - 3m - d) ĐKXĐ: x ¹ - TH1: Nếu m < ta có VP (4) ³ 0, VT (4) < suy phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu m ³ phương trình tương đương với é 3x + mx + = m( x + 1) 3x + mx + = m x + Û ê ê3x + mx + = - m( x + 1) ê ë é m- ê x= Û ê Û ê 2m + x = - m - ) ê ë( é m- êx = ê ê m - êx = ê 2m + ë m- m- ta xét ¹ - Û m ¹ - 1(ln đúng) với m ³ phương 2 m- trình (4) nhận x = nghiệm - m- - m- ã Vi x = ta xột - Û m ¹ - (ln đúng) với m ³ phương 2m + 2m + - m- trình (4) ln nhận x = nghiệm 2m + Kết luận • Với x = m < phương trình (4) vơ nghiệm m ³ phương trình (4) có hai nghiệm x = - m- m- x = 2m + Ví dụ 4: Tìm điều kiện tham số a b để phương trình a b a2 - b2 = (*) x - a x - b x - ( a + b) x + ab a) Có nghiệm ïìï 2a ¹ b ù A ùớ a ùù ùùợ b ¹ ïìï a ¹ b ï B ïí a ¹ ïï ïïỵ b ¹ ïìï a ¹ b ù C ùớ a ùù ùùợ b ¹ ïìï a ¹ 2b ï D ïí a ¹ ïï ïïỵ b ¹ b) Có nghiệm 131 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï a ¹ ïï A ïí b ¹ a = 2b ùù ùùợ a b ỡù a ïï B ïí b ¹ 2a = b ùù ùùợ a b ùỡù a ï C ïí b ¹ 2a = b ùù ùùợ 3a b ùỡù a ï D ïí b ¹ a = b ùù ùùợ a b Li gii: KX: x ¹ a x ¹ b Phương trình tương đương với Û ( a - b) x = a2 - a ( x - b) - b( x - a ) ( x - a ) ( x - b) = a2 - b2 x2 - ( a + b) x + ab b2 (**) a) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm ìï a ïï ïï a2 khác a b Û ïí a ïï ïï a ùù ợ a- bạ ùỡù a b ùỡù a ¹ b b2 ï ¹ a Û ïí a + b ¹ a Û ïíï a ¹ b ùù ùù b2 ùợù a + b b ùợù b ¹ ¹ b b ìï a ¹ b ïï Vậy phương trình (*) có nghiệm ùớ a ùù ùùợ b b) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a b Với a = b phương trình (**) trở thành 0x = suy phương trình (**) có nghiệm với x phương trình (*) có nghiệm Với a ¹ b phương trình (**) tương đương với x = a2 - b2 = a +b a- b ïì a + b ¹ a ïì a ¹ Û ïí Suy phương trình (*) có nghiệm ïí ïï a + b ¹ b ùù b ợ ợ ùỡù a ï Vậy phương trình (*) có nghiệm ïí b ¹ a = b ïï ïïỵ a ¹ b 132 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài tập luyện tập Bài 3.28: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 13 + = 2x + x - 21 2x + x - A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm D.4 nghiệm 1 + = + 2 x + x − x − 12 x + x − x + x + A.1 nghiệm c) C.3 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x +1 x - x - x + + + + =4 x- x +2 x +3 x- A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.28: a) ĐKXĐ: x ¹ ±3; x ¹ - PT Û 13 + = ( x - 3) ( 2x + 7) 2x + ( x - 3) ( x + 3) Û x2 + x - 12 = Û ( x - 3) ( x + 4) éx = = 0Û ê êx = - ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = −4 b) x = 1, x = c) Điều kiện: x Ï {- 3;- 2;1;4} + 1+ 1+ 1+ =4 x- x +2 x+3 x- 5x - 5x + 12 Û =0 (x - 1)(x - 4) (x + 2)(x + 3) 16 1ỉ 69 ÷ ÷ Û x2 + x = x = ỗ ỗ ữ ỗ ữ 2ỗ ố ứ PT + 1ổ 69 ữ ữ ỗ Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x = ỗ ữ ỗ ữ 2ỗ 5ứ ố Bài 3.29: Tìm số nghiệm phương trình sau 133 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) 2x 13x + =6 3x - 5x + 3x + x + 2 A.1 nghiệm b) C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x4 + 3x2 + =3 x3 + x2 - x A.1 nghiệm c) B.2 nghiệm 1 + = 15 x (x + 1)2 A.1 nghiệm Lời giải: ìï 2ü ï Bài 3.29: a) Điều kiện: x ẽ ùớ 1; ùý ùợù 3ùỵ ù Vi x = khơng nghiệm phương trình Với x ≠ ta có Đặt t = x + PT Û 2 3x - + x + 13 3x + + x =6 2 13 + =6 phương trình trở thành PT Û x t - t +1 Từ ta tìm nghiệm phương trình x = ;x = ìï - ± ü ïï b) Điều kiện: x Ï ïí 0; ý ïï ïï ợ ỵ x4 + 3x2 + 1 x2 + + x x PT Û = 3Û =3 x +x - x x+1 x x2 Đặt t = x - t2 + =3 phương trình trở thành t +1 x 134 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Từ phương trình có nghiệm x = 1± ;x = ± c) Điều kiện: x ¹ - 1;x ¹ ỉ1 ÷ PT Û ç + = 15 Û ÷ ç ÷ çx x + 1ø x ( x + 1) è Đặt ổ ữ ỗ + - 15 = ữ ỗ ữ ỗx(x + 1) ứ x(x + 1) è = t ta phương trình t2 + 2t - 15 = Û t = 3;t = - x(x + 1) +) t = Û - ± 21 = Û 3x2 + 3x - = Û x = x(x + 1) - 5± = - Û 5x2 + 5x + = Û x = x(x + 1) 10 +) t = - Û - ± 21 - 5± Đối chiếu với điều kiện (*) phương trình có bốn nghiệm x = ;x = 10 Bài 3.30: Tìm số nghiệm phương trình sau 2 x +1  x +1   x−2 a)  = 12  ÷ + ÷  x−2 x−3  x −3 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 2( x + 1) 13( x + 1) + =6 3x + x 3x + x + A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.30: a) Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ Đặt u = x +1 x−2 ;v = ta u + uv = 12v ⇔ (u − 3v )(u + 4v ) = ⇔ u = 3v; u = −4v x−2 x−3 +) u = 3v ⇔ x +1 x−2 ± 46 =3 ⇔ x + x + = x − 12 x + 12 ⇔ x − 16 x + = ⇔ x = x−2 x−3 +) u = −4v ⇔ x +1 x−2 = −4 ⇔ x + x + = −4 x + 16 x − 16 ⇔ x − 12 x + 19 = ⇔ ∃x x−2 x−3 135 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = b) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ ± 46 −1 Đặt u = x + x, v = x + 1, u ≠ 0, v ≠ Khi phương trình trở thành 2u 13u + = ⇔ 4u − 7uv − 2v = v v + 6u  4u = −v ⇔ (4u + v)(u − 2v ) = ⇔   u = 2v  −1  Từ ta tìm nghiệm pt x ∈  ;   3 Bài 3.31: Giải biện luận phương trình sau a ( x2 + 1) ax - + = x - x +1 x2 - A Với a ≠ −1 a ≠ −2 phương trình có nghiệm x = a+3 a +1 B Với a = −1 a = −2 phương trình vơ nghiệm C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: Bài 3.31: ĐKXĐ: x ¹ ±1 PT Û ( ax - 1) ( x + 1) + 2( x - 1) = a ( x2 + 1) Û ax2 + ax - x - + 2x - = ax2 + a Û • Nếu a ¹ - x = ( a + 1) x = a + a+3 a+3 a+3 ¹ 1, xét ¹ - 1Û a ¹ - Ta có a +1 a +1 a +1 • Nếu a = - phương trình vơ nghiệm Vậy: -Với a ≠ −1 a ≠ −2 phương trình có nghiệm x = a+3 a +1 -Với a = −1 a = −2 phương trình vơ nghiệm Bài 3.32: Tìm điều kiện a, b để phương trình a b + = có hai nghiệm phân biệt x−b x−a 136 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A a ≠ ±2b; a ≠ 0, b ≠ B 2a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ C 3a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ D a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ Lời giải: Bài 3.32: Điều kiện: x ≠ a, x ≠ b : Ta có: PT ⇔ 2( x − a )( x − b) = a( x − a ) + b( x − b) ⇔ x − 3(a + b) x + a + b + 2ab = ⇔ x − 3(a + b) x + (a + b) = Phương trình có hai nghiệm x1 = a + b x = a+b Ta có x1 ≠ a ⇔ b ≠ , x1 ≠ b ⇔ a ≠ , x ≠ a ⇔ x ≠ b ⇔ a ≠ b x1 ≠ x2 ⇔ a + b ≠ a+b ⇔ a ≠ −b Vậy với a ≠ ±b; a ≠ 0, b ≠ pt có hai nghiệm phân biệt 137 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... 2x + 2x + 2x + 2x + 4x + 8x + 4x + 12x + 1   ⇔ ( x + 10 )  + ÷=  x + x + x + 12 x +  ⇔ ( x + 10 ) ( x + x + + x + 12 x + ) =  x + 10 = ⇔ ( x + 10 ) ( x + 20 x + 11) = ⇔  8 x + 20 x + 11... liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) + = + 2x + 2x + 2x + 2x + A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 + + = x + 5x + x + 11x + 28 x + 17x + 70 4x -... giải 1 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - 1ỉ 1 1ỉ 1 1ổ 1 ữ ữ ữ ỗ ? ?+ ỗ ? ?+ ỗ ữ= ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 3ốx + x + 4ứ 3èx + x + ø 3èx + x + 10ø 4x - éx = - 1ổ 1 ữ ỗ = Û x + x + 12