PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f (x) y = g (x) có tập xác định D f D g Đặt D = D f Ç Dg Mệnh đề chứa biến " f (x) = g (x)" gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x0 Ỵ D gọi nghiệm phương trình f (x) = g (x) " f (x0 ) = g (x0 )" mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f (x) = g (x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f (x) y = g (x) Phương trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 (x) = g1 (x) f2 (x) = g2 (x) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1 (x) = g1 (x) Û f2 (x) = g2 (x) • Phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Phương trình hệ quả: f2 (x) = g2 (x) gọi phương trình hệ phương trình f1 (x) = g1 (x) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) Kí hiệu f1 (x) = g1 (x) Þ f2 (x) = g2 (x) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f (x) = g (x) có tập xác định D ; y = h (x) hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau 1) f (x)+ h (x) = g (x)+ h (x) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2) f (x).h (x) = g (x).h (x) h (x) ¹ với x Ỵ D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f (x) = g (x) Þ f (x) = g (x) Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý • Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định • Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương • Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f (x), g (x) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức • • f (x) xác định f (x) ³ xác định f (x) f (x) ã f (x) xỏc định f (x)> Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x + =1 x - A x ¹ B x ¹ ± C x ¹ - D x ¹ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) + 3- x = x- B £ x £ A < x < c) + 2x - = A x < d) - 2x = C x £ D £ D x ³ 3x - B x ³ C x ³ x+ x - 3x + ìï x < A ùớ ùùợ x - ỡù x < B ùớ ùùợ x ỡù x < C ùớ ùùợ x ỡù x < D ùớ ùùợ x Li gii: a) iu kiện xác định phương trình x2 - ¹ Û x2 ¹ Û x ¹ ± ìï - x ³ ìï x £ b) Điều kiện xác định phương trình ïí Û ïí Û 2£ x£ ïïỵ x - ³ ïïỵ x ³ ìï ï ìï x - ³ ïï x ³ ï c) Điều kiện xác định phương trình í Û í ïỵï 3x - ³ ïï ïï x ³ ïỵ d) Điều kiện xác định phương trình ìï - x ³ ïí ùùợ x3 - 3x + ỡù x£ ï í ï x - 1)(x2 + x - 2) ùợù ( x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x£ ï Û í Û ïï (x - 1)2 (x - 2) ùợ ỡù x Ê ï ì ïíï x ¹ Û ïíï x < ùù ù xạ ùùợ x ùợ Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) x + 4x - = - 4x + ìï ü ï A S = ùớ ùý ùùợ ùùỵ b) x+ x- = ìï ü ï D S = ïí ïý ïïỵ ùùỵ B S = {3} C S = ặ ìï ü ï D S = ïí ïý ïïỵ ùùỵ B S = {3} C S = ặ ìï ü ï D S = ïí ïý ïïỵ ùùỵ C S = ặ ỡù ỹ ù D S = ùớ ùý ùùợ ùùỵ - 3- x ìï ü ï A S = ïí ïý ùùợ ùùỵ d) C S = ặ - x2 + 6x - + x3 = 27 ìï ỹ ù A S = ùớ ùý ùùợ ùùỵ c) B S = {3} (x - 3) (5 ìï ü ï A S = ïí ïý ïïỵ ùùỵ x) + x = 3x - + B S = {3} Lời giải: ìï ï ìï 4x - ³ ïï x ³ ï Û í a) Điều kiện xác định phương trình í ïïỵ - 4x ³ ïï ïï x £ ïỵ Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn ìï ü ï Vậy tập nghiệp phương trình S = ïí ïý ùùợ ùùỵ x= 3 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Điều kiện xác định phương trình - x + x - ³ Û - (x - 3) ³ Û x = Thay x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình S = {3} ìï x ³ ïï c) Điều kiện xác định phương trình ïí x - ³ Û ïï ïïỵ - - x ³ ìï x ³ ïï ïí x ³ ï ïïïỵ x £ - Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = Ỉ ìï ï (x - 3) (5 - 3x)³ d) Điều kiện xác định phương trình í (*) ïï x ³ ïỵ Dễ thấy x = thỏa mãn điều kiện (*) ìï ï ìï - 3x ³ ïï x £ ï Nếu x ¹ (*) Û í Û í ïïỵ 3x - ³ ïï ïï x ³ ïỵ Û x= 5 3 Vậy điều kiện xác định phương trình x = x = Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = {3} Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) = x - x- x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A x ³ b) + x- = 2x - = 2x - = A x ³ B x ẻ ặ ỡù x ùù C ùớ x ùù ùùợ x ¹ D x ¹ 1± B x ẻ ặ ỡù x ùù C ùớ x ùù ùùợ x D x B x ẻ ặ ỡù x ùù C ùớ x ùù ùùợ x ¹ D x ¹ 1± 2 - 4x A x ³ d) D x ¹ x- A x ³ c) + B x ẻ ặ ỡù x ùù C ùớ x ùù ùùợ x x+ x - 3x + 2 Lời giải: Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x2 - x - ¹ Û x ¹ ìï x - ³ b) ĐKXĐ: ïí Û x³ ïïỵ x - ³ ìï 2x - ³ c) ĐKXĐ: ïí Û xẻ ặ ùùợ - x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x - ³ d) ĐKXĐ: ïí Û ïïỵ x - 3x + ¹ ìï x ³ ù ùớù x ùù ùùợ x Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình a) x + x - = x - + A x ³ b) 2x + x- = A x ³ d) C x = éx = D ê êx = ë B x Ỵ Ỉ C x = éx = D ê êx = ë C x = éx = D ê êx = ë C x = éx = D ê êx = ë - x2 + x - + x = A x c) B x ẻ ặ 2- x + B x ẻ ặ x - x + 5x - + x = A x ³ 2- x B x ẻ ặ Li gii: Bi 3.1: a) KX: x ³ 3 Dễ thấy x = nghiệm phương trình 4 ỉ 1ư b) ĐKXĐ: - x + x - ³ Û - ỗỗx - ữ ữ ữ - xẻ ặ ỗố 2ứ Vy nghip ca phương trình S = Ỉ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x ³ ïï c) ĐKXĐ: ïí x - ³ Û x = ïï ïïỵ - x ³ Thử lại phương trình thấy x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = {2} ìï x3 - x2 + 5x - ³ ìïï (x - 1)2 (x - 2)³ éx = d) ĐKXĐ: ïí Ûí Û ê êx = ïï ïï x ³ x £ ë ỵ ïỵ Thay vào phương trình ta có tập nghiệm phương trình S = {1} ➢ DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) hai vế phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau: a) + = x- x - x- A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) c) d) x2 x- = x- - x- A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm x + 3( x4 - 3x2 + 2) = A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm x - 1( x2 - x - 2) = A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải: ìï x¹ a) ĐKXĐ : ïí Û ïïỵ x - x - ¹ ìï x ¹ ïí ïïỵ x ¹ - Với điều kiện phương trình tương đương với 1+ = Û (x - 3)(x + 2)+ x + = x - (x - 3)(x + 2) Û x2 = Û x = ± Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = - b) ĐKXĐ: x > Với điều kiện phương trình tương đương với x2 = - (x - 2) Û x2 + x - = Û x = - ± 13 Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình vơ nghiệm c) ĐKXĐ: x ³ - é x+ = Phương trình tương đương với êê êëx - x + = é x= - ê êx - = Û ê ê2 êëx - = é x= - Û êê Û êë(x - 1)(x - 2) = éx= - ê êx = ± ê ê êëx = ± Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - 3, x = ± x = ± ìï x ³ d) ĐKXĐ: ïí Û ïï x - ³ ỵ ìï x ³ Û x³ íï ïïỵ x ³ Với điều kiện phương trình tương đương với é ê x- 1= Û ê2 êëx - x - = éx= ê êx = - ê êx = êë Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x = Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau: a) 2x - = 4x2 - 15 A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x2 - 3x + = - 3x A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m A x1 x2 = x1 + x2 - B x1 x2 = x1 + x2 - C x1 x2 = x1 + x2 - D x1 x2 = x1 + x2 - c) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A = x1 x2 + x + x22 + 2( x1 x2 + 1) A max A = 1, A = - B max A = , A = - C max A = 1, A = - D max A = 1, A = - Lời giải: a) Ta có D = m2 - (m - 1) = (m - 2) ³ nên phương trình có nghiệm với giá trị m b) Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = m x1 x2 = m - Suy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m x1 x2 = x1 + x2 - c) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2 ) - x1 x2 = m2 - 2m + Suy A = x1 x2 + 2m + = 2 x + x2 + 2( x1 x2 + 1) m + 2 (m - 1) 2m + m + - m2 - - 1= =£ 0, " m Þ A £ 1, " m Vì A - = 2 m +2 m +2 m2 + Dấu xảy m = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2 (m + 2) 2m + 1 (2 m + 1)+ m + + = = ³ 0, " m Þ A ³ - , " m Và A + = 2 2 m +2 2 (m + 2) (m + 2) Dấu xảy m = - Vậy max A = m = , A = - m = - 2 Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = Xét A - k = 2m + ta làm sau m2 + - km2 + 2m - k + Khi để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ m2 + tử số biếu thức f (m) = - km2 + 2m - k + phải biểu diễn dạng bình é k= ê phương hay D m = Û + k (1 - k) = Û - k + k + = Û ê Vì ta êk = - êë 2 xét Bài tập luyện tập Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x) = 2x2 - 5x + A f ( x) = (2 x - 3)(2 x - 1) B f ( x) = (2 x - 3)(x - 2) C f ( x) = (2 x - 4)(x - 1) D f ( x) = (2 x - 3)(x - 1) b) g( x) = 2x4 - 14x2 - 36 A g( x) = (x2 + 1)(x - 3)(x + 3) B g( x) = (x2 + 2)(x - 2)(x + 3) C g( x) = (x2 + 2)(x - 3)(x + 3) D g( x) = (x2 + 2)(x - 3)(x + 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) P( x; y) = 3x2 - 5xy - y A P( x; y) = (x - y)(x + y) B P( x; y) = (x - y)(3x + y) C P( x; y) = (x - y)(3x + y) D P( x; y) = (2 x - y)(3x + y) d) Q( x; y) = x2 - 2y2 - xy - 3y - A Q( x; y ) = (x - y - 1)(x + y + 1) B Q( x; y) = (2 x - y - 1)(x + y + 1) C Q( x; y) = (x - y - 1)(x + y + 1) D Q( x; y) = (x - y - 2)(x + y + 2) Lời giải: é êx = ê Bài 3.13: a) Phương trình x - 5x + = Û ê êëx = Suy f ( x) = (2 x - 3)(x - 1) b) g( x) = (x2 + 2)(x2 - 9) = (x2 + 2)(x - 3)(x + 3) c) P( x; y) = (x - y)(3x + y) d) Q( x; y) = (x - y - 1)(x + y + 1) Bài 3.14: Phân tích đa thức f (x) = x + (m + 1)x + 2mx + m2 + m (biến x với tham số m ) thành tích thức bậc hai bậc A f (x) = ( x + m)(2 x + m + 2) B f (x) = ( x + 2m)(2 x + 2m + 1) C f (x) = ( x + m)(2 x + 3m + 1) D f (x) = ( x + m)(2 x + m + 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 3.14: f (x) = ( x + m)(2 x + m + 1) Bài 3.15: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: - x2 + 3x + = Tính giá trị biểu thức: A = x12 + x22 ; B = x13 (x1 - 1)+ x23 (x2 - 1) ; C = 1 - x1 x2 A A = 11 B B = 83 C C = 13 D.Cả A, B, C Lời giải: Bìa 3.15: Ta có  = 32 + = 13 > nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = 3, x1 x2 = - Khi đó: A = 11 , B = 83 , C = 13 Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3x + (m - 1)x + m2 - 4m + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: 1 + = (x1 + x2 ) x1 x2 A m = 1, m = B m = 1, m = C m = 1, m = Lời giải: Bài 3.16: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác nên: ìï D ' = m2 + 4m + > ìï m2 + 4m + > ïï Û ïí (*) í c m - 4m + ïï = ïï m - 4m + ¹ ¹ î ïïî a D m = 1, m = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Khi theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = Ta có: (1 - m) ; x1x2 = m2 - 4m + 1 + = (x1 + x2 ) Û (x1 + x2 )(x1 x2 - 2) = (Do x1 x2 ¹ ) x1 x2 éx + x2 = Û ê1 Û êx x - = ë ém = ê êm2 - 4m - = Û m = 1, m = - 1, m = êë Thay vào (*) ta thấy m = - không thỏa mãn Vậy m = 1, m = giá trị cần tìm Bài 3.17: Cho phương trình x - (m - 1)x + m2 - = với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho a) x1 + x2 = x1 x2 ém = - A ê êm = ë ém = - B ê êm= ë ém = - C ê êm = ë ém = - D ê êm = ë b) A = (x12 + x22 )- x1x2 đạt giá trị lớn A m = c) B = B m = C m = D m = C m = D m = x1 x2 đạt giá trị nhỏ x + x22 - x1 x2 A m = B m = Lời giải: Bài 3.17: Ta có phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Û D ' ³ Û (m - 1) - (m2 - 3)³ Û m £ (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x + x2 = 2m - Theo Viet ta có: ïí ïïỵ x1 x2 = m2 - ém = - a) x1 + x2 = x1x2 Û 2m - = (m2 - 3) Û ê (thỏa mãn (*)) êm = ë b) A = (x1 + x2 ) - 5x1x2 = (2m - 2)- 5(m2 - 3) æ 2ö = - 5m + 4m + 11 = - ỗỗm - ữ ữ + 3Ê ỗố 5÷ ø Đẳng thức xảy Û m = x1 x2 m2 - Suy B = - m = m2 - c) B = = = 2 (x1 + x2 ) - 3x1x2 (2m - 2) - (m2 - 3) m - 8m + 13 ➢ DẠNG TỐN 4: Một số tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải ví dụ minh họa • Bài tốn 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = a/ x2 + b/ x + c / = có nghiệm chung Chúng ta làm sau: ìï ax + bx + c = 0 Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x ïí / ïï a x + b / x + c / = 0 ỵ Giải hệ tìm x ,suy giá trị tham số Bước 2: Thế giá trị tham số tìm vào hai phương trình để kiểm tra kết luận Ví dụ 1:Tìm tất giá trị a để hai phương trình x2 + ax + = x2 + x + a = có nghiệm chung A a = B a = - C a = - D a = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x ìï x + ax + = 0 ï Þ (a - 1)x0 + - a = í ïï x + x + a = 0 î Nếu a = thay vào hai phương trình ta thấy chúng vơ nghiệm Nếu a ¹ x0 = Þ a = - Điều kiện đủ: Với a = - hai phương trình trở thành x2 - 2x + = x2 + x - = Giải hai pt ta thấy chúng có nghiệm chung x = Vậy a = - giá trị cần tìm Ví dụ 2:Tìm tất giá trị m để phương trình ( x - 2mx + m - 1)( x - 3x + 2m) = có bốn nghiệm phân biệt m ¹ - A m < m ¹ B m < C m < m ¹ D m < - m ¹ - Lời giải: éx2 - 2mx + m - = (1) Phương trình tương đương với êê êëx - 3x + 2m = (2) Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt hai phương trình (1) (2) phương trình phải có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung ỉ 1ư * Ta có D '1 = m - m + = ỗỗm - ữ ữ ÷ + > 0, " m nên phương trình (1) cú nghim vi mi ỗố 2ứ m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do điều kiện để hai phương trình (1) (2) có hai nghiệm phân biệt D = - 8m > Û m < * Giả sử hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung x ìï x - 2mx + m - = 3x0 - x02 2 ï Þ x0 - (3x0 - x0 ).x0 + - 1= í ïï x - 3x + 2m = ợ ị x03 - 5x02 + 3x0 - = Þ x0 = Þ m = éx = Với m = phương trình (1) trở thành x2 - 2x = Û ê , phương trình (2) trở thành êx = ë éx = m = hai phương trình có nghiệm chung x - 3x + = Û ê êx = ë Suy để hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung m ¹ Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt m < m ¹ • Bài tốn 2: Chứng minh phương trình bậc hai có phương trình có nghiệm Để giải tốn chứng minh tổng biệt thức Delta số khơng âm Ví dụ 3: Cho số dương a , b , c thỏa mãn diệu kiện a + 2b + 3c = Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm x - (2a + 1)x + 4a2 + 192abc + = x - (2b + 1)x + 4b2 + 96abc + = Lời giải: Hai phương trình có D 1/ = 16a (1 - 48bc), D 2/ = 16b (1 - 24ac) Vì a, b số dương nên D 1/ , D 2/ dấu với 1- 48bc 1- 24ac Mặt khác ta lại có - 48bc + - 24ac = - 24c (a + 2b) = - 24c (1 - 3c) = (6c - 1) ³ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Dẫn đến D 1/ + D 2/ ³ Vậy có hai phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Cho số a , b , c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = Chứng minh có ba phương trình sau có nghiệm x + ax + = x + bx + = x + cx + = Lời giải: Ba pt có D = a2 - 4, D = b2 - , D = c - Þ D + D + D = a2 + b2 + c2 - 12 Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau b + c ³ 2 Suy D + D + D ³ a + (b + c) Mặt khác a2 + (6 - a) 2 (b + c) 2 - 12 = a + (6 - a) - 12 - 12 = (a - 2) ³ Þ D1 + D + D ³ Do có ba biệt thức D , D , D không âm Vậy với a , b , c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = có ba phương trình có nghiệm • Bài tốn 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa hệ số phương trình bậc hai với nghiệm có điều kiện Để làm xuất điều kiện ràng buộc hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa + Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm thực D ³ Û b2 ³ 4ac http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải + Sử dụng định lí Viét điều kiện nghiệm đề cho để suy ràng buộc hệ số a , b , c Ví dụ 5: Cho phương trình x2 - bx + c = có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 £ Chứng minh a) c £ b) b(c + 1) ³ 5c Lời giải: Chứng minh æx + x2 ÷ ÷ a) Ta có c = x1x2 Ê ỗỗ Ê ữ ỗố ứ ÷ c) Thay b = x1 + x2 , c = x1 x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ( x1 + x2 )( x1 x2 + 1) ³ x1 x2 Û Ta c ó: 1 + + x1 + x2 ³ x1 x2 1 1 æ1 1ư ÷ ³ 1+ 1+ ³ + + x1 + x2 = x1 + + x2 + + ỗỗỗ + ÷ ÷ ÷ x1 + x2 x1 x2 4x1 4x2 ỗố x1 x2 ứ Vớ d 6: Cho phương trình x2 - bx + c = có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 ³ a) Chứng minh rằng: b2 - 2c ³ b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2bc - b3 - 3b + Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Thay b = x1 + x2 , c = x1 x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (x1 + x2 ) - 2x1x2 ³ Ta có: x12 + x22 ³ 1 Û x12 + x22 ³ 2 1 (x1 + x2 ) ³ 2 b) Theo giả thiết ta có: b ³ 1, c £ Vậy PMAX = - b2 b3 nên P £ - 3b + 1£ - - + 1= - 2 b = 1, c = 2 Bài tập luyện tập Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 - 2mx - 4m + = (1) x + (3m + 1)x + 2m + = (2) A m = B m = - C m = - D m = Lời giải: Bài 3.18: • Giả sử hai phương trình cho có nghiệm chung x , ta phải có: ìï ïï m = x0 + ìï x0 ¹ - ìï x - mx - m + = ïï ïï x0 + ï ï Û í với í í ïï x0 ¹ - ïï x0 + (3m + 1)x0 + m + = ïï x x 0 ïỵ ïỵ ïï m = 3 x0 + ïïỵ Suy x02 + - x02 - x0 - Û (x0 + 1)(5x02 + 3x0 + 6) = Û x0 = - Þ m = = x0 + 3x0 + • Với m = ta thấy (1) (2) có nghiệm chung x = - Vậy m = giá trị cần tìm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.19: Chứng minh hai phương trình x2 + ax + b = x2 + mx + n = có nghiệm chung (n - b) = (m - a)(an - bm) Lời giải: Bài 3.19: Gọi x nghiệm chung hai phương trình ìï x + ax + b = 0 Þ ( a - m)x0 = n - b (*) Ta có: ïí 02 ïï x + mx + n = 0 ỵ +) Nếu a - m = Û a = m , từ (*) Þ n - b = Û b = n Þ +) Nếu m ¹ a , từ (*) Þ x0 = n- b thay vào hai phương trình ban đầu ta a- m được: ỉn - b ỉn - b ÷ ÷ çç + a çç + b = Û (n - b) = (m - a)(an - bm) ÷ ÷ ữ ữ ỗố a - m ứ ốỗ a - m ø Bài 3.20: Cho a , b , c số thực không đồng thời Chứng minh ba phương trình sau có phương trình có nghiệm ax2 + 2bx + c = (1); bx2 + 2cx + a = (2); cx2 + 2bx + b = (3) Lời giải: Bài 3.20: • Nếu ba số a, b, c có số 0, chẳng hạn a = ị (2) cú nghim x= ã abc , ba phương trình cho ba phương trình bậc hai có biệt thức: D '1 = b2 - ac; D '2 = c - ab; D '3 = a2 - bc Ta có: D '1 + D '2 + D '3 = a2 + b2 + c - ab - bc - ca = 2ù 1é ê(a - b)) + (b - c) + (c - a) ú³ û 2ë Suy ba số D '1 ; D '2 ; D '3 có số khơng âm hay ba phương trình cho có phương trình có nghiệm Vậy ta có điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.21: Cho phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 ³ a) Chứng minh rằng: b2 ³ 3b2 - 4c + b + b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = b2 + Lời giải: Bài 3.21: a) Ta có: b2 = ( x1 + x2 )2 ³ 4x1x2 ³ b) Do phương trình cho có hai nghiệm dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 ³ nên b2 ³ 4c , 2b + b + Ta có b £ - suy P ³ b2 + 2 (2b + b + 2)- (b + 1) 2b2 + 5b + (b + 2)(2b + 1) P- = = = ³ với b £ - b2 + b2 + b2 + Dấu xảy b = - 2, c = Vậy Pmin = b = - 2, c = Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm thuộc [0; 3] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Q = 18a2 - 9ab + b2 9a2 - 3ab + ac Lời giải: ìï ïï x + x = - b ï a Bài 3.22: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình, theo Viet ta có: í ïï c ïï x1 x2 = a ïỵ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b ỉb 18 - + ỗỗ ữ ữ 18 + (x1 + x2 )+ (x1 + x2 ) a ỗố a ÷ ø Ta có: Q = = b c + 3( x1 + x2 ) + x1 x2 9- + a a • Ta tìm Max Q Ta đánh giá (x1 + x2 ) qua x1 x2 với điều kiện x1 , x2 Ỵ [0; 3] ìï x £ x x Giả sử £ x1 £ x2 £ Þ ïí 12 ïï x £ ỵ 2 Suy (x1 + x2 ) = x12 + x22 + x1 x2 £ + 3x1 x2 Þ Q£ 18 + (x1 + x2 )+ x1 x2 + 9 + (x1 + x2 )+ x1 x2 = éx = x2 = Đẳng thức xảy Û ê Hay là: êx = 0; x = ë1 ìï b = - 6a ìï b = - 3a ïí ïí ïïỵ c = 9a ïïỵ c = · Ta tìm Min Q Ta có: Q - = (x1 + x2 )+ x12 + x22 + (x1 + x2 )+ x1 x2 ³ 0Þ Q³ Đẳng thức xảy Û x1 = x2 = Û b = c = Vậy max Q = Q = Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax2 - x + c = có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả a2 - c mãn x1 + x2 £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a c - a3 Lời giải: Bài 3.23: Từ giả thiết toán suy ra: a ³ 1,0 < c £ 4a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 4a3 - 4a3 - a - a - a + (a - 1)(4a - a - 1) Þ P + 1³ + 1= = Suy P ³ a - 4a4 a - 4a a - 4a a (1 - a ) Vì a³ nên 4a3 - a - = a (a2 - 1)+ 3a2 - > (a - 1)(4a3 a (1 - a a - 1) ) ³ Þ P ³ - Dấu đẳng thức xẩy khi: a = 1, c = ... kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình( hai vế... - x - + x - = ax + a Û (a + 1)x = a + -Nu a + ị a ¹ - x = a+ a+ -Nếu a + = Þ a = - phương trình vơ nghiệm Vậy: -Với a ¹ - a ¹ - phương trình có nghiệm x = a+ a+ -Với a = - a = - phương trình. .. b) + TH1: Với m + = Û m = - phương trình trở thành 2x - = Û x = + TH2: Với m + ¹ Û m ¹ - phương trình phương trình bậc hai Ta có D '' = m2 - (m - 2)(m + 1) = m + Khi D > Û m + > Û m > - phương trình