PHUONG TRINH PHUONG TRINH CHUA AN TRONG CAN BAC HAI Ly thuyet Bai tap ung dung File word

Lời giải: Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng... Vậy phương trình có nghiệm là..[r]

 DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Phân tích thành tích – Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Loại 1: Bình phương hai vế phương trình Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x2 + 2x + = - x A.1 nghiệm b) x - B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 2x - = A.1 nghiệm Lời giải: ìï x + x + ³ ïí Û x£ ïï x ³ a) ĐKXĐ: ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với éx =- x2 + x + = - x Û x + 3x + = Û ê êx =- ë Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x =- x =- b) ĐKXĐ: x- 2x - ³ Û x ³ 2x - = Û x - = x - (*) TH1: Với x - < Û x < ta có VT (*) ³ 0, VP(*) < suy phương trình vơ nghiệm TH2: Với x - ³ Û x ³ ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tường đương với éx = 2 x - = ( x - 4) Û x - 10 x + 21 = Û ê êx = ë Đối chiếu với điều kiện x ³ điều kiện xác định suy có x = nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Từ lời giải toán ta suy dạng phương trình sau ta giải cách thực phép biến đổi tương đương: ìï f ( x) = g( x) f ( x) = g( x) Û ïí ïïỵ f ( x) ³ ( hay g( x) ³ 0)  ìï f ( x) = ég( x)ù2 ï ë û í ï g( x) ³ f ( x) = g( x)   ïïỵ Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x = 3x2 +1 - A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm x - + x - 3x + = A.1 nghiệm Lời giải: a) Phương trình tương đương với ìï x ³ ïí Û ï x = 3x + - ỵï ìï x ³ ïí ï 3x2 +1 = x2 +1 ỵï ìï x ³ ìï x ³ ïí Û ïí Û Û ïï 3x + = ( x + 1)2 ïï x - x = ỵ ỵ ïì x ³ ïí ïï x ( x - 1) = ïỵ ìï x ³ ïï Û ïí éx = Û ïï ê ïïỵ ê ëx = ±1 éx = ê êx = ë Vậy phương trình có nghiệm x = x = b) Ta có 2x - + x2 - 3x +1 = Û x - =- x + x - ìï - x + 3x - ³ ì - x + 3x - ³ ïï ïï Û í Û í ïï x - = ( - x + x - 1) ïï ( x - 1)2 ( x - x + 2) = ỵ ïỵ ìï - x + x - ³ ïï Û ïí é Û x =1 ïï ê ïỵï ê ëx - x + = ìï ïï ï í ïï ï îï x2 + 3x - ³ é x =1 ê é x =1 Û êx = - ê ê êx = ± ë ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = x = Ví dụ 3: Tìm m để phương trình A m³ B m³ - x + mx + = x + có hai nghiệm phân biệt C m³ D m³ - Lời giải: Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại không thỏa mãn yêu cầu toán m- >- Û m > + TH2: Nếu : Ta có bảng biến thiên x +¥ m- - ổ yỗ ỗ ỗ ố 1ử ữ ữ ữ 2ứ +Ơ y ổm yỗ ỗ ỗ ố 4ử ÷ ÷ ÷ ø [ - ; +¥ ) y = x + (4 m ) x Suy đồ thị hàm số cắt trc honh ti hai im phõn bit ổ yỗ ç ç è ỉm 1ư ÷ ³ > ữ ỗ ữ ỗ 2ứ ố 4ử 2m - ÷ ÷ ³ > ( - m2 + 8m - 28) ÷Û ø 12 (1) - m2 + 8m - 28 =- ( m - 4) - 12 < 0, " m Vì (1) Û m - ³ Û m ³ Vậy m³ nên (thỏa mãn m > ) giá trị cần tìm Loại 2: Phân tích thành tích cách nhân liên hợp Để trục thức ta nhân với đại lượng liên hợp; · A- B= ( A- B )( A+ B A+ B )= A- B A+ B · A- B= ( A- ổ3 B ỗ A +3 A3 B+ ỗ ỗ ố )( ) ( A) + A 3 3 B+ ( B) ö ( B ) ÷÷÷ø = A- B ( A) +3 A3 B+ ( B) Với A, B không đồng thời không Ví dụ 4: Tìm số nghiệm phương trình ( x - 1) a) ( 3- + 2x ) = x + 20 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 3x - + x = A.1 nghiệm 2 c) x + x + = x + 15 + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: ïìï + x ³ Û í ïï + x ợ Phng trỡnh ìï ïï x ³ - í ïï ïỵ x ¹ ( + + 2x ) + 2x ) ( + + 2x ) ( x - 1) ( 3- 2 2 = x + 20 Û ( ( x - 1) 10 + x + + x ( 2- x) ) = x + 20 Û 10 + x + + x = ( x + 20) Û + x = Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ngjiệm x = b) ĐKXĐ: x³ Nhẩm ta thấy x = nghiệm phương trình nên ta tách sau Phương trình ( Û Û ( )( 3x - - ) ( 3x - - + 3x - +1 3x - Û 3x - +1 + ) +( 3x - +1 3 ) x - =0 )( x- 3 x2 + x +1 ổ ữ ữ ỗ + =0 = ( x - 1) ỗ ữ ỗ 3 ữ ỗ x + è ø x + x + x + x +1 (*) x- 3 Do ổ3 1ử x + x +1 = ỗ x+ ữ ữ+ > ỗ ỗ ữ 2ứ ố ) =0 x2 + x + 3 nên 3x - +1 + x2 + x +1 >0 Phương trình (*) Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = c) Phương trình viết lại sau: x - = x + 15 - Vì x + 15 - x> 27 x2 + x + > nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 3 x - hay Ta có phương trình tương đương với: 3 x - = x +15 - + x- Û 3 x> + x + x +1 x2 + + x2 + + 3 27 suy x2 - - x +1 + x + x +1 x + 15 + x + x +1 Û ( x - 1)( Vì x2 - = x2 + x +1 x +8 +3 x +1 x2 + + x + 15 + x +1 - - x +1 - x + 15 + x +1 x2 + 15 + )=0 (**) >0 nên >0 Phương trình (**) Û x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 5: Tìm số nghiệm phương trình 2 a) ( x + 3) x + = x + x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 2 b) ( 3x + 1) x + = x + x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) Ta thấy x =- không nghiệm phương trình Xét x ¹ - , phương trình Û x +1 - = x2 Û x +3 Û x2 + x + x +1 = x +3 2 x2 x + +1 = x2 Û x +3 é x =0 ê ê x + 3) = x + + (*) ê ë( Phương trình (*) Û x2 +1 = x + ìï ìï 5 ïï ïï x³ x³ Û í Û í 2 ïï ïï 2 ïỵ x + = x + 25 + 20 x ïỵ x + 10 x + 12 = ìï ïï x³ Û í Û x = + 13 ïï ïïỵ x =- ± 13 (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x =- + 13 b) Ta thấy Xét x¹ - x =- khơng nghiệm phương trình Û , phương trình cho x2 + = 3x2 + x + 3x + 1 x + x + = 3( x + )2 + > 3 Đến đây, ý Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn Û x2 + - x = Do phương trình cho Û Û x >- Þ x2 + + x > 3x2 + x + - 2x 3x +1 x2 + - 4x2 3x2 + x + - x - x = 3x +1 x2 + + 2x 3(1 - x ) 3(1 - x ) = Û 3x +1 x2 + + 2x é x2 = ê ê ê ë x + + 2x = 3x +1 * TH1: x = Û x = ±1 Nhưng x =- không thoả mãn * TH2: x2 + + x = 3x + Û x >- nên phương trình có nghiệm x = x2 + = x +1 ìï x³ - Û ïí Û x =1 ïïỵ x + = x + + x (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm số nghiệm phương trình 2 a) x + x + 11 = 31 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm b) ( x + 5)(2 - x) = x + x A.1 nghiệm x + x +1 c) x2 - x +1 =3 x A.1 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x + 11, t ³ Khi phương trình cho trở thành: ét = tt2 + - 42 = Û ê êt =- ë Vì tt³ Þ = , thay vào ta có x + 11 = x + 11 = 36 Û x = ±5 Vậy phương trình có nghiệm x = ±5 2 b) Phương trình Û x + x + x + x - 10 = Đặt t = x + 3x , t ³ Phương trình cho trở thành ét = tt2 + - 10 = Û ê êt =- ë Vì tt³ Þ = , thay vào ta có x2 + 3x = éx = Û x + 3x - = Û ê êx =- ë Vậy phương trình có nghiệm x = x =- c) ĐKXĐ: x ³ Dễ thấy x = nghiệm phương trình 1 Û x +1 + = x - + x x Xét x > , phương trình Û x + x + = x x - x + 2 1 t = x - + , t ³ Þ x + = t +1 x x Đặt tt2 + = 3ttÛ Phương trình trở thành · Với t = ta có · Với t = ta có ét = - +2 = Û ê êt = ë x - 1+ = Û x2 - x +1 = x Û x = x (thỏa mãn) x - 1+ ± 21 = Û x2 - 5x +1 = Û x = x Vậy phương trình có nghiệm x= ± 21 x = ... 16 x +5 ,t = D t = ( 18 x + 93) 2 Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = x =- Nhận xét :Trong lời giải ta thấy khó biến đổi phương trình ban đầu thành - 27 ( x + 3) - x + + x + 31x + 80 = để... x = Ví dụ 3: Tìm m để phương trình A m³ B m³ - x + mx + = x + có hai nghiệm phân biệt C m³ D m³ - Lời giải: Đăng ký mua file word trọn chuyên đề HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua... phương trình trở thành - - t +( x + 3) t + x - 3x - = 2 nên ta tìm t1 = x , t2 =- x - · Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1 =- - =tt0 Û x2 + x- ( t ³ 0) x D Vô nghiệm