Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác và bài tập vận dụng - Giáo viên Việt Nam

Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :.. 1..[r]

Hàm số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác A Hàm số lượng giác:

I Lý thuyết:

Hàm số: y c osx;ysinx;yt anx;ycot x Tính chất:

- Tập xác định, tập gí trị, tính chẵn – lẻ, tuấn hoàn, biến thiên đồ thị. Hàm tuần hoàn:

- Hàm số yf x  xác định D gọi hàm tuần hồn có số T 0 cho  x Dta có:

D; D

x T  x T  f x T   f x .

- Số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì hàm f. II Bài tập:

1 Tìm tập xác định hàm số:

1 ycos x

1 cosx y x   sin x y x  



2 cos sin x y x    2cos sin x y x   cot cos x y x 



cot y  x  

  y tan 2x          sin cos x y x  

 10

2 cos x y x  

 11 2 sin x y x    12 tan y  x 

  13 2

5 sin cos x y x x  

 14 y = tanx + cotx 2 Tìm tập xác định hàm số:

1 s sin inx y x  

 2.

1 s sin inx y x  

 y = tan( x + 2)

1 sin y x         

5.y sinx 1 cos5x

1 tan sin y x x  



cos cos sin

x y x x   sin y x  tan y  x  

  10 y cot 2x 

 

   

 

Xét tính chẵn lẻ hàm số.

y = xcos3x

1 cos cos x y x  

 y = x3sin2x 4.

3 sin cos x x y x   cos 2x y x 

y = x – sinx y cos x

3

1 cos sin

2 y  x    x

 

y = cosx + sin2x 10 y = sin2x + cos2x 11 y = cot2x + 5sinx 12

tan y x  

 

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

2cos

3 y x  

y = 4cos2x – 4cosx + y = sinx + cosx + 7.

2

4sin sin cos

x

y  x x

y cos x

3sin

6 y  x 

  10 y2 cos x 3 11 y = + 3cosx

12 y = – 4sin2xcos2x 13

2

1 4cos

x y 

14 y = 2sin2x – cos2x 15.y 3 sinx

16

cos cos y x x  

  17 ycos2 x2cos 2x 18 y 2cos xsin2x

19

1

3 sin cos

y  x x

20 y = sin6x + cos6x

B Phương trình lượng giác: I Lý thuyết:

Dạng bản:

1.1 Phương trình: sinx  Cách giải: SGK

1.2 Phương trình: cosx Cách giải: SGK

1.3 Phương trình: t anx  đk: cosx x k k; 



     

Cách giải: SGK

1.4 Phương trình: cot x  đk: sinx 0  x k k ;   Cách giải: SGK

1.5 Chú ý:

1

2 sin sin

2 u v k

u v

u v k



 

  

  

  

 ,k   2

2 cos cos

2 u v k

u v

u v k

    

  

 

 ,k  

3 tanutanv u v k  ,k   4 cotucotv u v k  ;k  

Dạng thường gặp:

2.1 Phương trình bậc hai HSLG:

a sin2x b sinx c 0 acos2x bc osx c a tan2x b t anx c 0 acot2x b cot x c Cách giải:

đặt tsinx / osx -1 t 1c     tt anx / cot xt  ta phương trình bậc hai theo t

2.2 Phương trình bậc sinx cosx: a sinxbcosx = c  

2 0

a b 

 Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta được: 2 2 2

sin cos

a b c

x x

a +b + a +b = a +b (1)

Đặt 2 cos a

a +b = a; 2 sin

b

a +b = a Khi đó:

 Pt(1) thành :

( )

2 2

sin cosx cos sinx c sin x c

a b a b

a+ a= Û +a =

+ + (2).

Pt(2) pt lượng giác dạng nên giải dễ dàng Nhận xét :

 Phương trình asinx b+ cosx=c có nghiệm a2+ ³b2 c2.

 Các phương trình asinx b- cosx=c, acosx b± sinx=c giải tương tự.

2.3 Phương trình dẳng cấp bậc hai: asin2x b+ sin cosx x c+ cos2 x=0 (a2b2c2 0) Cách giải:

 Xét xem x k p

p = +

có nghiệm phương trình không

 Với x k

p p

¹ +

(cosx¹ 0), chia hai vế phương trình cho cos x2 ( sin x2 ) ta phương trình bậc theo tan x(hoặc cot x)

Chú ý:

 Áp dụng công thức hạ bậc công thức nhân đôi ta đưa phương trình dạng bậc theo sin 2x cos 2x.

 Phương trình asin2x b+ sin cosx x c+ cos2 x=d xem phương trình đẳng cấp bậc hai vì

 2 

dd sin x c os x

 Làm tương tự cho phương trình đẳng cấp bậc n.

2.4 Phương trình đối xứng: asinxcosxbsin x osxc  c 0 (a2b20) Cách giải:

Đặt  

2 1

sinx osx sin , sin x osx

4

t

t c  x  t   c  

Chú ý:

 Phương trình asinx- osxc bsin x osxc  c 0 giải tương tự.

 Phương trình    

2

tan cot t anx cot x

a x x b   c

(*)sinx, osx 0c  

đặt t t anx cot x  t 2 tan2xcot2x t 2

 Phương trình    

2

tan cot t anx-cot x

a x x b  c

giải tương tự II Bài tập:

Các toán bản: 1.1 Giải phương trình :

1 sinx sin  

2sinx  0  

sin

3 x  

4 sin 20  sin 60

o o

x  

cosx cos4  

2cos 2x  1

7  

2 cos 15

2 o

x  

1 t an3

3 x 

tan 4 x 2 3

10  

o

tan 2x 10o tan 60 

11 cot 4x  12 cotx 2 1 1.2.Giải phương trình :

1

sin sin

5

x   x

   

  

   

    2 cos 2 x1 cos 2 x1

3

2 1

tan tan

6

x 

 

4 sin 3xcos 2x. 1.3 Giải phương trình sau :

1

2

cos x 

2 4cos 22 x  3

3

2

cos sin

4

x  x

 

 

 

  4 cos 32 xsin 22 x1.

1.4 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho :

1 2sin 2x  1 với 0 x  2 cotx  5  3 với  x . 1.5 Giải phương trình sau :

1 sinxcosx1 2 sin4x cos4x1

1.6 Giải phương trình sau :

1 cos2x sin cosx x0 cosxsin 2x0

3

8sin cos cos cos8 16 x x x    x

  4

4

sin sin sin

2

x  x x

 

  

 

  .

1.7 Giải phương trình :

1 cos cosx xcos5 cos3x x 2 cos 4xsin cosx xsin cos3x x cos xcos 2xcos 3x0 4 sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2. 1.8 Giải phương trình sau :

1 sin sin 5x xsin sin 4x x ; 2 sinxsin 2xsin 3xsin 4x0 ;

3 sin2xsin 32 x2sin 22 x ; sinxsin 3xsin 5xcosxcos3xcos 5x. 1.8 Tìm tập xác định mỗi hàm số sau :

1 ytanx ycot 2x

3

2cos 2cos

x y

x  



 

sin cos cos

x y

x x

 



5

tan tan

x y

x 



1 cot y

x 

 1.9 Giải phương trình :

1

2cos sin

x x 

 2

tan

0 2cos

x x 

  sin cotx x 0 tan 3xtanx.

1.10 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) phương trình 4cos3 cos 2x x2cos3x 1 0. 2 Phương trình bậc hai HSLG:

2.1 Giải phương trình :

1 2cos2 x 3cosx 1 2 cos2xsinx 1 2sin2x5sinx 0 4 cot 32 x cot 3x 0 . 2.2 Giải phương trình :

1

2

sin 2cos

2

x- x+ =

cos 5sin2 x

x   

3 cos 4x- sin 2x- =1 cos 6x 3cos3x1 0 . 2.4 Giải phương trình :

1  

2

tan x tan x 0

2  

2

3 tan x 1 tanx1 0

3 2cos 2x 2 cos  x 2 0  

2 tan

cos x  x   .

2.5 Giải phương trình sau :

1 cos5 cosx xcos cos 2x x3cos2x1 2 2cos6xsin4xcos 2x0

3

2

4sin 6sin 3cos cos

x x x

x

  



4

2

2cos cos 10cos cos

2 2

x

x     x  x

  .

2.6 Giải phương trình :

1

2

3tan

cos x

x

  

2

2

2

1

cos cos

cos cos

x x

x x

  

3 5sin 2xsinxcosx 6 4 tan2xcot2 x2 tan xcotx 6.

2.7 Giải phương trình: 2 tan x sinx3 cot x cosx 5 3 Phương trình bậc sinx,cosx:

3.1 Giải phương trình :

1 sinx cosx1 2 cos3x sin 3x2 3cosx4sinx5 4 sinx cosx7

5 2sin 2x cos 2x 6 sin 2x 3 cos 2x. 3.2 Giải phương trình :

1 2sin2x sin 2x3 2cos2x sin 2x

3 2sin cos 2x x cos 4x 0 4 4sin2 x3 sin 2x 2cos2 x4. 3.3 Giải phương trình sau :

1 sin 3x cos3x2cos 4x cosx sinx 2cos x 

 

    

3 sin 2xcos 2x cosx sinx sin 8x cos 6x sin 6 xcos8x . 3.4 Giải phương trình sau :

1

3sin 4sin 5sin

3 6

x  x  x 

     

     

     

     

2

3

2sin 4sin

4

x  x 

   

   

   

    .

3.5 Giải phương trình sau :

1 3sinx cos3x 1 4sin3x 2 cos5x 2sin cos 2x x sinx0

3

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

  4

3

8cos

sin cos x

x x

 

3.6 Tìm

2

,

5

x    

  thỏa phương trình cos 7x sin 7x2

3.7 Cho phương trình 2sin2x sin cosx x cos2x m Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Giải phương trình với m 1

3.8 Cho phương trình sin 2x cosm xsinx m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc

đoạn 0;

4 

 

 

  .

3.9 Giải phương trình:

1

3

8sin

cos sin x

x x

 

;

3 tan

2 sin

2 sin x x

x

 

 .

4 Phương trình đẳng cấp: 4.1 Giải phương trình sau:

1 sin2x −2 sin x cos x −3 cos2x=0 sin2x+sin x cos x − cos2x=2

3 sin x −2 sin2x =2cos x 4 2 sin22 x − 2sin x cos x +cos22 x=2

5 4 sin x cos(x −π

2)+4 sin(π +x)cos x +2 sin( 3 π

2 − x)cos (π +x)=1 sin2x − sin x cos x +2 cos2x=1

2 4.2 Giải phương trình sau: sin3x +4 cos3x=3 sin x

2 sin2x 2cos(

3 π +

x

2)+3 sin

2x

2cos x 2=sin

x 2cos

2x

2+sin

2

3 4sin3x3sin2xcosx sinx  cos3x0.

4 sin4x 3sin2xcos2x 4sin x osc 3x osc 4x0. 5 Phương trình đối xứng:

Giải phương trình sau:

1 cot x − tan x=sin x+cos x 2 sin x +cot x=2 sin x +1 cos3x − sin3x=−1 ¿sin x − cos x∨+4 sin x=1

5 1+sin32 x +cos32 x=3

2sin x (1+cos x)(1+sin x )=2

7 t anx 2 sinx 

1 10

osx sinx

osx sinx

c

c

   

9 sinx sin 2xsin3xsin4x c osxcos2x c os3x c os4x 10 t anx t anx+ cot x+7 cot x 14 0     

11     

2

3 tan xcot x 2 t anx cot x   0 

12 t anx tan 2xcot x cot 2x6

6 Các toán khơng mẫu mực : Giải phương trình sau:

1 sin (1 cos ) cosx  x   xcos2x

1 10

cos sin

cos sin

x x

x x

   

3

3

8sin

cos sin x

x x

 

2 cos

1 sin x tg x

x  



5 cotgx – tgx = sinx + cosx 5sinx 3(1 sin )  x tg x2

7

6

2(cos sin ) sin cos 2sin

x x x x

x

 



 sin3x cos3xsin cosx 2x sin cos2x x

9 cot sin x gx x tgxtg 

  10.

2

2

4

2(cos ) 9( cos )

cos cos

x x

x x

    

11 tgx tg x tg x  cotgx+cotg2x + cotg3x = 012 tgx + cotgx = 2(sinx + cosx)

13 sinx – 4sin3x + cosx = 14 cos3x + cos2x + 2sinx – = 0

15 cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + 3sinx = 0 16.(2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1

17

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

  18 cos2x + cosx – 2sin2x = 2cos2x

19 4cos2x +

1

2sin2x + 3sin2x – = 20 5sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0

21 sinx + cosx – sin2x – = 22 – 3cosx + cos2x = 4cos22

x

23 sin2x + tgx – = 24 3sinx + cosx – tg2

x

27 2tgx + cotgx = +

2

s in2x 28 sin2x + 2cos2x = + sinx – 4cosx

29 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 30 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx –

31 cotgx – tgx + 4sin2x =

s in2x 32 3(cotgx – tgx) = sin2x

33

3

sin cos

cos 2 cos sin

x x x x x    34

1

cosxs in2x s in4x

35 Tìm tổng nghiệm x  (1;70) phương trình : cos2x – tg2x =

2

2

cos cos

cos

x x

x

 

36 cotgx + sinx ( + tgxtg2

x

) = 37

4

2

1 cos cos

2(sin cos ) cos x x x x x     38

cos

cot sin s in2

1

x

gx x x

tgx

   

 39 cotgx – tgx + 4sin2x =

2 s in2x

40 (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 41 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 42 ( 1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 43 2sinx ( + cos2x) + sin2x = + 2cosx

44 cosx + cos2x + cos3x = 45 sin2x – sin22x + sin23x = ½

46 sin8x + cos8x =

2

17 cos

16 x 47 cos7x - sin5x = 3 ( cos5x – sin7x)

48 2cosx cos2x = + cos2x + cos3x 49 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinxsin2x 50 cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x

51  

sin3 cos3

5 sin cos2 3, 0;2

1 2sin

x x

x x x

x 



 

   

  

  52

1 sin sin sin sin

4

x x x x

53 4cosx cos2x cos3x = cos6x 54 sinx + sin2x + sin3x – cosx – cos2x -1 =

55 cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x 56

3

cos cos sin sin

x x x x

57 sin5x = 5sinx 58

2 cos cos x x 

59 3sin5x = sin3x 60 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

61 Tìm x 0;14 thoả phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – =

62 cos23x.cos2x – cos2x = 63 cos3x + cos2x – cosx – =

64 2sin22x + sin7x – = sinx3tg3x + cotg2x = 2tgx +

2 sin 4x

65

5

sin cos cos

2 4

x  x  x

   

   

   

    66

cos 3sin 2cos x x   x

 

67

5

sin 3cos 2sin

2

x  x  x

   

    

   

    x





 

 

 

  68

3

sin sin

4

x  x

        69 3

sin s in3 cos cos

8

6

x x x x

tg x  tg x 





   

 

   

    70

2 2

sin cos

2

x x tg x           71

4

sin cos cos sin

4

x x x   x   

    72

2006

2 cos cos s in3

3

x  x  x

   

   

   

73

3

sin 3sin

2 10 10

x   x

   

  

   

    74

1 4sin

3

sin sin

2

x

x x

 

 

    

    

 

 

75

2 2.sin cos

12

x  x

 

 

 

  76

3

2 2.cos 3cos sin

4

x  x x

 

   

 

 

7 Các toán đề thi ĐH – CĐ: 1 A_12. sin2x+cos2x=2cosx-1

2.B_12. 2(cosx sin ) cosx xcosx sinx1 3.D_12 sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x

4.A_11

1 sin cos

2 sin sin cot

x s x

x x

x

 



 .

5.B_11 sin cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx.

6.D_11

sin cos sin

tan

x x x

x

  

 

7.A_10

1 sin cos sin

1

4 cos

1 tan

x x x

x x



 

    

  

 .

8.B_10 sin 2xcos cosx x2 cos 2x sinx0. 9.D_10 sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0 .

10.A_09

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 sin )

x x

x x





 

11.B_09 sinxcos sin 2x x cos 3x2(cos 4xsin )3x 12 D_09 cos5x 2sin cos 2x x sinx0

13 CĐ_08 sin 3x cos3x2sin 2x

14 A_08

1

4sin

sin sin

2

x

x x



 

    



    

 

 

15.B_08 sin3x cos3xsin cosx x sin2 xcosx 16.D_08 2sin (1 cos ) sin 2x  x  x 1 2cosx

17 A_07 (1 sin x) cosx(1 cos )sin 2x x 1 sin 2x 18.B_07 2sin 22 xsin 7x1 sin x

19.D_07

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

 

20.A_06

6

2(cos sin ) sin cos 2sin

x x x x

x

 

21.B_06

cot sin tan tan x x x  x 

 

22.D_06 cos 3xcos 2x cosx1 0 23.A_05 cos cos 22 x x cos2 x0

24.B_05 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

25.D_05

4

cos sin cos sin

4

x x x   x  

   

 

26.A_04 Tính ba góc ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos 2A2 cosB2 cosC3 27.B_04 5sinx 3(1 sin ) tan  x 2x

28.D_04 (2cosx1)(2sinxcos ) sin 2x  x sinx

29.A_03

2

cos

cot sin sin

1 tan

x

x x x

x

   



30.B_03

2 cot tan 4sin

sin

x x x

x

  

31.D_03

2 2

sin tan cos

2

x x

x 

 

  

 

 

32.A_02 Tìm nghiệm x (0;2 ) phương trình:

cos3 sin

5 sin cos

1 2sin

x x

x x

x 

 

  

 



  .

33.B_02 sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x

34.D_02 Tìm x 0;14 nghiệm phương trình: cos3x 4cos 2x3cosx 0 . CÁC ĐỀ DỰ BỊ

1.A_08 tanxcotx4 cos 22 x

2.A_08

2

sin sin

4

x  x 

   

   

   

   

1.B_08

1

2sin sin

3

x  x 

   

   

   

   

2.B_08

2

3sin cos sin 4sin cos x

x x x x

1.D_08 4(sin4 xcos ) cos 44x  xsin 2x0

1.A_07

1

sin sin 2cot

2sin sin

x x x

x x

   

2.A_07.2cos2 x2 3sin cosx x 1 3(sinx 3cos )x

1.B_07

5

sin cos cos

2 4

x  x  x

   

   

   

2.B_07

sin cos

tan cot

cos sin

x x

x x

x  x  

1.D_07.

2 sin cos

12

x  x

 

 

 

 

2.D_07 (1 tan )(1 sin ) tan x  x   x

1.A_06

3 3

cos3 cos sin sin

8

x x x x 

2.A_06

2sin 4sin

6

x  x

 

   

 

 

1.B_06 (2sin2 x1) tan 22 x3(2cos2 x1) 0 2.B_06 cos 2x1 cos x sinx cosx 0 1.D_06 cos3xsin3x2sin2x1

2.D_06 4sin3x4sin2 x3sin 2x6cosx0

1.A_05 Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình:

2

4sin cos 2cos

2

x

x x 

     

 



2.A_05

3

2 cos 3cos sin

4

x x x

 

   

 

 



1.B_05 sin cos 2x xcos2 x(tan2x1) 2sin 3x0

2.B_05

2

2

cos

tan 3tan

2 cos

x

x x

x 

 

  

 

 



1.D_05

3 sin

tan

2 cos

x x

x

 

  

 



 



2.D_05 sin 2xcos 2x3sinx cosx 0 1.A _04 4(sin3xcos ) cos3x  x3sinx 2.A _04 sin x cos x 1

1.B _04.

1

2 cos

4 sin cos

x

x x

 

  

 

 



2.B _04 sin sin 7x xcos3 cos 6x x

1.D _04 2sin cos 2x xsin cosx xsin cosx x 2.D _04 sinxsin 2x cos xcos 2x

1.A _03  

2

cos 2xcosx tan x1 2

2.B _03

2 3 cos 2sin2

2 1

2cos x x

x

 

    

  





1.D _03

 

 

2

cos cos

2 sin sin cos

x x

x

x x



 



2.D _03

2cos cot tan

sin x

x x

x

Công Thức Lượng Giác I Cung liên kết:

Cung đối: (cos đối)

1.1 cos( ) cos    1.2.sin( )   sin  1.3.tan( )   tan 1.4  cot( )  cot Cung bù: (sin bù)

1.1 cos( )  cos 1.2  sin( ) sin 

1.3 tan()  tan 1.4 cot() cot Cung phụ: (phụ chéo)

1.1 

 

 

cos( ) sin

2 1.2



 

 

sin( ) cos

1.3 

 

 

tan( )

2 cot 1.4



 

 

cot( ) tan

Cung :

1.1 cos( )  cos 1.2 sin( )  sin 1.3 tan() tan  1.4 cot() cot  II Công thức lượng giác:

1 Hằng đẳng thức lượng giác:

1.1 cos2sin2 1 1.2   

2

2

1 tg =

cos

1.3





 12

1 cotg =

sin 1.4 tg cotg =  2.Công thức cộng:

1.1 cos() cos cos   sin sin  1.2 cos(  ) cos cos  sin sin  1.3 sin( ) sin cos  sin cos  1.4 sin(  ) sin cos   sin cos 

1.5

 

 

 

 tg +tg tg( + ) =

1 tg tg

1.6

 

 

 

 

 tg tg tg( ) =

1 tg tg 3 Công thức nhân đôi:

1.1 cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 2sin  2 1.2 sin 2 2sin cos 

1.3

 

 



2 tan tan2

1 tan 4 Công thức nhân ba:

1.1 cos3 4cos3  3cos 1.2 sin 3 3sin  4sin3 5 Công thức hạ bậc:

1.1

2 cos

cos

2    

1.2

2 cos

sin

2    

1.3

2 cos

1 cos

tg  

 

6 Công thức biến tổng thành tích:

1.1

   

    

cos cos cos cos

2

1.2

   

    

cos cos 2sin sin

2

1.3

   

    

sin sin 2sin cos

2

1.4

   

    

sin sin cos sin

2

1.5

 

 

 



 sin( )

cos cos tg tg

1.6

 

 

 



 sin( )

cos cos tg tg

7 Cơng thức biến tích tổng:

1.1           

cos cos cos( ) cos( )

2

1.2          

sin sin cos( ) cos( )

2

1.3         

sin cos sin( ) sin( )

2 8 Một số công thức khác:

1.1

 

     

sin os cos( ) sin( )

4

c

1.2

 

     

sin os cos( ) sin( )

4

c

)

1.3

4 cos

cos sin

4 

   

1.4

6 3cos

cos sin

8 