1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

59 22 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 59
Dung lượng 2,1 MB

Nội dung

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.. A..[r]

(1)

Trang PHẦN I: ĐỀ BÀI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Nếu đặt: tsin2x hoac t  sinx dieu kien: 0 t B– BÀI TẬP

hoặc điều kiện

Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác

A 2sin2xsin 2x  B 2sin 22 xsin 2x

C cos2x c os2x  D tan2 xcotx 

Câu 2: Nghiệm phương trình sin2x– sinx0 thỏa điều kiện: x

A

2

x  B x C x  0 D

2

x  

Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin2x3sinx  thỏa điều kiện 0

2

x

  là:

A

3

x B

2

x C

6

x D

6

x 

Câu 4: Phương trình sin2x3sinx  có nghiệm là:

A ,

2

x  kkB x  k2 , k

C xk,kD ,

2

x  kk

Câu 5: Nghiệm phương trình sin2xsinx0 thỏa điều kiện:

2 x

 

  

A x  0 B x C

3

x  D

2

x 

Câu 6: Trong 0; 2 , phương trình  sinx 1 cos2 x có tập nghiệm

A ; ; 2

  

 

 

  B  0; C 0; 2;

 

 

  D 0;  2; ;

 

 

 

Câu 7: Phương trình: 2sin2x sin 2x có nghiệm là:

Dạng Đặt Điều kiện

2 sin 0

asin x bx c  t = sinx    t

2

cos cos

a xb x c  t = cosx    t

2

tan tan

a x bx c  t = tanx ( )

2

x  kkZ

2

cot cot

(2)

Trang

A

2

, 2

x k

k

x k

 

 

   

 

   

B ,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

   

C ,

2

x  kkD ,

2

x  kk

Câu 8: Nghiệm phương trình sin2x4sinx  :

A ,

2

x   kkB ,

2

x   kk

C ,

2

x  kkD xk2 , k

Câu 9: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x

A k,k B k2 , k C , k k

   

D ,

6 k k

   

Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin

xx 

A ( )

6

x  kkB ; ( )

6

x  kx  kk

C ; ( )

6

x  kx  kkD ; ( )

6

x  kx   kk

Câu 11: Phương trình 2sin2xsinx  có nghiệm là: 3

A k,k B ,

2 k k    

C ,

2 k k

   

D

2 , k k

 

  

Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos 2xsinx

A ; ;

6 k k k

     

B ; ;

6 k k k

   

   

C ; ;

6 k k k       

D ; ;

6 k k k

   

   

Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin2x– 3sinx  1 thỏa điều kiện:

2

x

 

A

6

x  B

4

x  C

2

x  D

2

x  

Câu 14: Nghiệm phương trình 2sin2x– 5sin – 0x  là:

A ;

6

x   kx  kB ;

3

x  kx  k

C ;

2

x  kx  kD ;

4

x  kx  k

Câu 15: Nghiêm pt sin x2 –sinx2là:

A

2

x  kB

2

x  kC

2

(3)

Trang Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin

4

xx 

A ( )

6

x  kkB ; ( )

6

x  kx  kk

C ; ( )

6

x  kx  kkD ; ( )

6

x  kx   kk

Câu 17: Nghiệm phương trình cos2 xsinx 

A ,

2

x  kkB ,

2

x   kk

C ,

2

x   kkD ,

2

x  kk

Câu 18: Nghiêm phương trình sin2x sinx

A xk,kB ,

2

x  kk

C ,

2

x   kkD ,

2

x  kk

Câu 19: Phương trình 2sin2 x3sinx  có nghiệm 2

A k,kB ,

2 k k

   

C ,

2 k k

 

  D ; ,

6 k k k

   

  

Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x3sinx  thõa điều kiện 0

2

x

  là:

A

3

x  B

2

x  C

6

x  D

6

x 

Câu 21: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x

A

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

B

2

,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



C

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

D

2

,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



Câu 22: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x là:

A k,kB k2 , kC , k k

 

  D ,

6 k k

 

 

Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 22 x2sin2x  :

A

4 k

 

  B

4 k

  

C

4 k   

D

4 k

 

 

Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos 22 xsin 2x 

A

2 k

  

B

3

kC

2 k

 

  D

2

k

(4)

Trang

A arcsin k

   

  B

1 arcsin

4 k

   

 

C 1arcsin

2 k

    

 

  D

1 arcsin

2 k

    

    Câu 26: Nghiệm phương trình sin 22 x2sin 2x 1 khoảng  ;  :

A ;

4

 

  

 

  B

3 ; 4

 

 

 

  C

3 ; 4

 

 

 

  D

3 ;

4

 

  

 

  Câu 27: Giải phương trình:sin2x2sinx 3

A kB

2 k

 

  C

2 k

  

D

2 k

 

 

Câu 28: Giải phương trình lượng giác

4sin x12cos x 7 có nghiệm là:

A

4

x   kB

4

x  kC

4

x  kD

4

x   k

Câu 29: Phương trình cos cos

3

x   x

     

   

    có nghiệm là:

A

2

2

x k

x k

 

 

    

   

B

2

2

x k

x k

 

 

   

  



C

2

2

x k

x k

 

 

    

  



D

2

2

x k

x k

 

 

   

   

Câu 30: Tìm m để phương trình  

2sin x 2m1 sinx m có nghiệm ;0

x   

 

A   1 m B 1 m C   1 m D 0 m

Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos2x4cosx 3

A x  k2 ( k ) B ( )

2

x  kk

C xk2 ( k ) D xk (k )

Câu 32: Giải phương trình 2cos2x3cosx 

A ,

3

x   kkB , ,

3

k   kk

    

 

 

C ,

3

x  kkD xk2 , k

Câu 33: Phương trình cos 2x2cosx 11 có tập nghiệm là:

A xarccos  3 k2 , k , xarccos  2 k2 , k

B

C xarccos  2 k2 , k

D xarccos  3 k2 , k

Câu 34: Phương trình sau vơ nghiệm:

A sinx  3 B 2cos2 xcosx 

C tanx  3 D 3sinx 20

Câu 35: Phương trình: sin2 cos

3

xx 

có nghiệm là:

(5)

Trang Câu 36: Phương trình : cos 22 cos

4

xx  có nghiệm

A ,

3

x   kkB ,

3

x   kk

C ,

6

x   kkD ,

6

x   kk

Câu 37: Nghiệm phương trình cos2x– cosx  thỏa điều kiện 00   : x

A

6

x  B

2

x  C

4

x  D

2

x 

Câu 38: Nghiệm phương trình

cos xcosx0thỏa điều kiện:

2 x

   

A x B

3

x C

2

x  D

2

x  

Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos2 – 8cos – 5

xx là:

A xkB x  k2 C xk2 D 2

x   k

Câu 40: Nghiệm pt 2cos 2x2cos – 0x

A

4

x   kB

4

x   kC

3

x   kD

3

x   k

Câu 41: Phương trình 2cos2x3cosx  có nghiệm 2

A ,

6 k k

 

   B ,

3 k k

 

  

C 2 ,

3 k k

 

   D ,

3 k k

 

 

Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2x3cosx  có nghiệm

A ,

2

x   kkB x   k2 , kC ,

x  kkD Vơ nghiệm

Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2x2cosx  có nghiệm

A xk2 , kB x 0 C ,

2

x  kkD Vô nghiệm

Câu 44: Phương trình sin 22 cos2

xx  có nghiệm

A ,

6

x   kkB ,

4

x   kk

C ,,

3

x   kkD ,

3

x   kk

Câu 45: Họ nghiệm phương trình cos 22 xcos 2x 

A

2 k

 

B

2

k

 

  C

2 k

 

D

2 k

 

Câu 46: Họ nghiệm phương trình 3cos 4x2cos 2x 5

A k2 B

3 k

  

C kD

3 k

 

 

(6)

Trang

A ;

4

k  kB ;

4

k   kC ;

k  kD ;

k   k

Câu 48: Nghiệm phương trình cos2 3cos

3

      

   

x   x

 

khoảng

3 ; 2

 

 

 

 

là:

A ; ;5 6

  

 

 

  B

7

; ; 6

  

  

 

  C

7

; ;

6 6

  

   

 

  D

7

; ; 6

  

  

 

 

Câu 49: Giải phương trình 3cos2x2cosx 5

A xkB

2

x   kC

2

x  kD xk2

Câu 50: Phương trình 2

sin xsin 2x1 có nghiệm là:

A ( )

6

x k

k

x k

 

 

   

 

    

B

4

x k

x k

 

 

   

    

C 12

3

x k

x k

 

 

   

    

D Vơ nghiệm

Câu 51: Phương trình tan2x5 tanx  có nghiệm là:

A ; arctan( 6)  

4

x  kx  kkC ; arctan( 6)  

4

x  kx  kkB ; arctan( 6)  

4

x   kx  kkD xk;xarctan( 6) k k  Câu 52: Giải phương trình  

3 tan x 1 tanx 1

A , ,

4

x  kx  kkB , ,

3

x  kx  kk

C , ,

4

x  kx  kkD , ,

3

x  kx  kk

Câu 53: Phương trình tanx3cotx4 (với k  ) có nghiệm là:

A , arctan

4 k k

    

B

4 k

  

C arctan k  D , arctan

4 k k

    

Câu 54: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm

A , arctan

4 k k

  

  B

4 k

 

(7)

Trang

C arctan k  D , arctan

4 k k

    

Câu 55: Phương trình tan2x 3 tan x  có nghiệm

A

3

x k

x k

 

 

   

   

B

3

x k

x k

 

 

    

   

C

3

x k

x k

 

 

   

    

D

3

x k

x k

 

 

    

    

Câu 56: Phương trình tan2x3tanx 1 có nghiệm

A k (k ) B ; arctan( 1) ( )

4 k k

    

C , arctan( 1) ( )

2 k k

 

   D ; arctan( 1) ( )

4 k k k

  

    

Câu 57: Một họ nghiệm phương trình tan 22 x3tan 2x 

A

8 k

 

  B

8 k

  

C

8 k

 

  D

8 k

  

Câu 58: Họ nghiệm phương trình 3tan 2x2cot 2x 

A

4 k

 

  B

4 k

  

C 1arctan2

2 k

  D 1arctan2

2 k

 

Câu 59: Trong nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình

2 tan x5 tanx 3 :

A

3

B

4

C

6

D

6

Câu 60: Số nghiệm phương trình tanx2cotx  khoảng3 ;

 

 

 

  :

A 2 B 1 C 4 D 3

Câu 61: Giải phương trình :tan2x2 tanx 1

A

4 k

  

B

4 k

 

  C

2 k

  

D k

Câu 62: Nghiệm phương trình tanxcotx 2

A ,

4

x  kkB ,

4

x  kk

C ,

4

x  kkD ,

4

x  kk

Câu 63: Phương trình tan 2 1cot

1 tan

x

x x

 

   

   có nghiệm là:

A

3

x  kB

6

x  kC

8

x  kD

12

x  k

Câu 64: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là:

A

6

x  k, k  B

6

x   k, k 

C

3

x  k, k  D Vô nghiệm

Câu 65: Giải phương trình sin sin cos cos 2sin

x x

x x

x

   

  

(8)

Trang

A

3

x k , k  B

6

x k  , k 

C

3

x k, k  D

6

x k, k 

Câu 66: Cho phương trình 1cos 4 tan2

2 1 tan 

x

x m

x Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:

A

2

  m B 0m1

C 1

2

 m D

2

  

m hay m

Câu 67: Phương trình: 48 14 22 1 cot cot 

cos x sin x x x

    có nghiệm

A

16

x  k , k  B

12

x  k , k 

C

8

x  k, k  D

4

x  k, k 

Câu 68: Phương trình cos 2xsin2x2 cosx 1 0có nghiệm

A

2

2

x k

x k

 

  

   

, k  B x  k2 , k 

C

3

x  k  , k  D

3

x k

x k

 

 

   

    

, k 

Câu 69: Phương trình: 4

cos sin cos sin

4

xx x   x  

    có nghiệm là:

A xk2k  B xk3k 

C xk4k  D  

4

x  kk

Câu 70: Phương trình sin3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình:

A sin

sin

x x

 

 

B

sin

sin

x x

 

  

C

sin

1 sin

2

x

x

  

 

D

sin

1 sin

2

x

x

  

  

Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos5xcos 2x2sin sin 2x x 0; 2

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 72: Số nghiệm phương trình cos tan

cos 

x

x

x khoảng 0;2

      :

A 2 B 4 C 5 D 3

Câu 73: Nghiệm phương trình    

cos cos 2sin 3sin sin

1

sin

x x x x x

x

  

 

A

4

x   k k  B

4

(9)

Trang

C

4

x   k  ,

4

x   k , k  D

4

x   k  , k 

Câu 74: Cho phương trình cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos2x1 Các nghiệm thuộc khoảng

 ; của phương trình là:

A ,

3

 

B ,2

3

 

C ,

2

 

D ,

2

 

Câu 75: Phương trình: 4

sin sin sin

4 4

 

   

      

   

x x x có nghiệm là:

A

8

 

 

x k B

4

 

 

x k C

2

 

 

x k D x  k2

Câu 76: Phương trình: cos cos 4sin 2 sin 

4

 

        

   

x   xx x có nghiệm là:

A 12 11 12              x k x k

B

2 6              x k x k

C

2 2              x k x k

D

2 4              x k x k

Câu 77:Cho phương trình: sin sin cos 3 cos

1 2sin

 

  

  

 

x x x

x

x Các nghiệm phương trình thuộc

khoảng 0;2 là: 

A ,5 12 12

 

B ,5

6

 

C ,5

4

 

D ,5

3

 

Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình    

sin x2 m1 sin cosx xm1 cos xmnghiệm?

A 0  m B m  1 C 0  m D m  0

Câu 79: Để phương trình:    

sin x2 m1 sinx3m m2 0 có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là:

A 1 2         m m

B

1 3         m m

C

0          m

m D

1         m m

Câu 80: Để phương trình sin6xcos6xa| sin |x có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:

A 0

8

 a B 1

8 a C

1 

a D

4 

a

Câu 81: Cho phương trình: sin 4xcos4x 8 sin6xcos6x4sin 42 xm m tham số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là:

A  1 m0 B

2

   m

C

2

   m D m 2 haym0

Câu 82: Cho phương trình:

6

2

sin cos

2 tan cos sin x x m x x x  

 , m tham số Để phương trình có

nghiệm, giá trị thích hợp m

A

8

m   hay

8

m  B

4

m   hay

4

(10)

Trang 10

C

8

m   hay

8

m  D

4

m   hay

4

(11)

Trang 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

+ Là phương trình có dạng (sin ,cos ) 0f x x  luỹ thừa sinx cosx chẵn

lẻ

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho coskx  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn 0

tan x

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

• Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = sin2 1 sin 1.

2

x k x x

        

• Khi cosx  0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:

2

.tan tan (1 tan )

a x bx c  dx

• Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t:

2

(a d t ) b t c d   

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin2 cos2

(1)

2 2

x x x

ab cd

   

.sin2 ( ).cos2

b x c a x d a c

      (đây PT bậc sin2x cos2x)

B– BÀI TẬP

Câu 1: Phương trình 6sin2x7 sin 2x8cos2 x có nghiệm là:

A

6

x k

x k

   

   

 

 , k  B

3

x k

x k

   

   

 

 , k 

C

12

x k

x k

   

   

 

 , k  D

3

3

x k

x k

   

  



 

  , k 

Câu 2: Phương trình  sin  2x2 sin cosx x cos  x có nghiệm là:

A x k  3

x k

   

   

  

 

 

với tan , k  B x k  tan 3

x k

  

  

  

 

 

với , k 

C x k  tan 3

x k

   

   

  

 

 

với , k  D x k  tan 3

x k

  

  

  

 

 

với , k 

(12)

Trang 12

A 1arctan , 1arctan( 2) ,

2 2

k k

x   x    k

B arctan1 73 , arctan1 73 ,

12 12

k k

x    x    k

C 1arctan1 73 , 1arctan1 73 ,

2 2

k k

x    x    k

D arctan3 , arctan( 1) ,

2 2

k k

x   x    k

Câu 4: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x có nghiệm là:

A

4k

 

, k  B , arctan

4 k k

 

  

 

   , k 

C , arctan

4 k k

 

   

 

   , k 

D , arctan

4 k k

 

   

 

   , k 

Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin2x5sin cosx xcos2x 2

A

6 k

  

, k  B

4 k

 

  , k  C

4 k

  

, k  D

6 k

 

  ,

k 

Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos2 x6sin cosx x 3 3

A 3 k

  

, vk  B

4 k

  

, k  C

4 k

 

  , k  D k

 

  ,

k 

Câu 7: Một họ nghiệm phương trình 3sin cosx x sin x

  

A arctan  2 k, k  B 1arctan 2

2 k

  , k 

C 1arctan 2

2 k

   , k  D arctan 2 k, k 

Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin2xsin cosx x3cos2x0

A arctan k    

  , k  B

3 arctan

2 k     

  , k 

C arctan k     

  , k  D

3 arctan

2 k     

  , k  Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin2x4sin cosx x5cos2x2

A

4 k

 

  , k  B

4 k

  

, k  C

4 k

 

  , k  D 3

4 k

   ,

k 

Câu 10: Phương trình : 2

sin x( 1) sin cos x x cos x0 có họ nghiệm

A

4 k

 

  , k  B 3

4 k

  

, k 

C

3 k

  

, k  D

4 k

  

,

3 k

  

, k 

Câu 11: Phương trình 3cos 42 x5sin 42 x 2 sin cos 4x x có nghiệm là:

A

6

x   k, k  B

12

(13)

Trang 13

C

18

x  k , k  D

24

x   k , k 

Câu 12: Trong khoảng ; ,

 

 

  phương trình

2

sin 4x3.sin cos4x x4.cos 4x0có:

A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm

Câu 13: Phương trình 2cos2x3 sin 2x4sin2x  có họ nghiệm 4

A

6

x k

x k

 

 

   

   

, k  B

2

x  k, k 

C

6

x  k, k  D

2

x  k, k 

Câu 14: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x0 (với k ) có nghiệm là:

A ,arctan( )1

4

  

 kk B

4

 k

C ,arctan( )1

4

    

k k D ,arctan( )1

4

  

 kk

Câu 15: Giải phương trình 3  5  cos xsin x2 cos xsin x

A

4

 

  

x k B

4

 

  

x k C

4

 

  

x k D

4

 

  

x k

Câu 16: Giải phương trình sin2 x3tanxcosx4sinxcosx

A , arctan 2

  

     

x k x k B , arctan 2

4 2

  

  x k x   k C , arctan 2

4 3

  

     

x k x k D , arctan 2

4

  

  x k x   k

Câu 17: Giải phương trình sin2 xtanx 1 3sinxcosxsinx3

A

2

2

 

 

    

    

x k

x k

B

1

4

1

3

 

 

    

    

x k

x k

C

2

4

2

3

 

 

    

    

x k

x k

D

3

 

 

    

    

x k

x k

Câu 18: Giải phương trình 4sin3x3cos3x3sinxsin2 xcosx0

A ,

4

   

    

x k x k B ,

4

   

    

x k x k

C ,

4 3

   

    

x k x k D ,

4

   

    

x k x k

Câu 19: Giải phương trình 2cos3xsin 3x

A

arctan( 2)

2

 

  

 

   

x k

x k B

1 arctan( 2)

2

4

 

   

 

   

x k

(14)

Trang 14

C

2 arctan( 2)

3

4

 

   

 

   

x k

x k

D

arctan( 2)

4

 

  

 

   

x k

x k

Câu 20: Giải phương trình cos2x sin 2x 1 sin2 x

A

2

2

 

  

   

x k

x k B

1

1

3

 

   

   

x k

x k

C

2

2

3

 

   

   

x k

x k

D

3

 

  

   

x k

x k

Câu 21: Giải phương trình 2cos2x6sin cosx x6sin2x1

A ; arctan

4

    

     

 

x k x k B ; arctan

4

    

     

 

x k x k

C ; arctan 1

4

    

     

 

x k x k D ; arctan

4

    

     

 

(15)

Trang 15 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1: Là phương trình có dạng: (sin cos ) sin cos

a xxb x x c  (3)

Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Đặt: cos sin 2.cos ;

4

txx  x  t

 

2

1 2sin cos sin cos ( 1)

t x x x x t

     

Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t

Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinxcos )xbsin cosx x c 0

(3’)

Để giải phương trình ta đặt

2;

sin cos sin

1

4 sin cos

2

t

t x x x

t

x x

   

 

  

       

   

 Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t

Lưu ý:

• cos sin cos sin

4

xx  x  x 

   

 

• cos sin cos sin

4

xx  x   x 

   

 

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c =

• Đặt: cos sin cos ; :

4

txx  x  Ñk  t

 

2

sin cos ( 1)

x x t

   

• Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

B– BÀI TẬP

Câu 1: Phương trình sin cos 1sin 2

xx  x có nghiệm là:

A

4

x k

x k

 

    

   

, k  B

2

x k

x k

 

   

   

, k 

C x k

x k

 

   

  

, k  D 2

2

x k

x k

 

   

  

, k 

Câu 2: Phương trình sin3 cos3 1sin 2

(16)

Trang 16

A x k

x k

 

   

  

, k  B 2

2

x k

x k

 

   

  

, k 

C

3

2

x k

x k

 

   

   

, k  D

 

3

2

x k

x k

 

   

 



, k 

Câu 3: Giải phương trình 2sin 2xsinxcosx 1

A ,

2

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

B ,

3

 

  

x k x k arccos 1

4 2

   

   

 

x k

C ,

3

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

D ,

2 

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

Câu 4: Giải phương trình sin 2x12 sin xcosx120

A ,

2

   

    

x k x k B ,

2

   

    

x k x k

C ,

2 3

   

    

x k x k D ,

2

   

    

x k x k

Câu 5: Giải phương trình sin 2 sin

 

   

 

x x

A , ,

4

     

     

x k x k x k B , ,

4 2 2

     

     

x k x k x k

C , ,

4 3

     

     

x k x k x k D , ,

4

     

     

x k x k x k

Câu 6: Giải phương trình tanx2 sinx

A , 11 ,

4 12 12

     

      

x k x k x k

B , 11 ,

4 12 12

     

      

x k x k x k

C , 11 ,

4 12 12

     

      

x k x k x k

D , 11 ,

4 12 12

     

       

x k x k x x k

Câu 7: Giải phương trình cosxsinx 2sin 2x1

A

2

k

x B

2

k

x C

2

k

x D

2

k

x

Câu 8: Giải phương trình cos3xsin3xcos 2x

A , ,

4

    

      

x k x k x k B , ,

4

    

      

(17)

Trang 17

C , ,

4 3

    

      

x k x k x k D , ,

4

    

      

x k x k x k

Câu 9: Giải phương trình cos3xsin3x2sin 2xsinxcosx

A

2

k

x B

2

k

x C xk D

2

k

x

Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 10

cos sin

   

x x

A arccos2 19

4

  

  

x k B arccos2 19

4

  

  

x k

C arccos2 19

4

  

  

x k D arccos2 19

4

  

  

x k

Câu 11: Cho phương trình sin cosx xsinxcosx m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m

A 2

2

m

     B

2 m

    C 1

2

m

   D 1 2

2   m

Câu 12: Phương trình 2sin 2x3 sinxcosx  8 0 có nghiệm

A

5

x k

x k

 

 

   

  



, k  B

5

x k

x k

 

 

   

 

, k 

C

5

x k

x k

 

 

   

  



, k  D 12

5 12

x k

x k

 

 

   

  



(18)

Trang 18 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Nếu đặt: tsin2x t sinx điều kiện: 0 t B– BÀI TẬP

Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác

A 2sin2xsin 2x  B 2sin 22 xsin 2x

C cos2x c os2x  D tan2 xcotx 

Hướng dẫn giải: Chọn B

Câu 2: Nghiệm phương trình sin2 – sin 0

x x thỏa điều kiện: x

A

2

x  B x C x  0 D

2

x  

Hướng dẫn giải:: Chọn A

 

2 sin

sin – sin

sin

2

x k x

x x k

x x k

 

  

 

   

  

 

Vì 0  nên nghiệm phương trình x

2

x

Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin2x3sinx  thỏa điều kiện 01

2

x

  là:

A

3

x B

2

x C

6

x D

6

x 

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Dạng Đặt Điều kiện

2 sin 0

asin x bx c  t = sinx    t

2

cos cos

a xb x c  t = cosx    t

2

tan tan

a x bx c  t = tanx ( )

2

x  kkZ

2

cot cot

(19)

Trang 19

Đặt tsinx  1 t 1, phương trình trở thành:

1

2 1

2

t

t t

t

      

  

Với t 1, ta có: sin  

2

x   xkk

Do

2

x

  nên

2 k

  

  

4 k

   Vì k  nên không tồn k

Với

2

t  , ta có: sin sin

2

x  

2

2

x k

x k

 

 

   

 

  



Do

2

x

  nên

6

x

Vậy phương trình có nghiệm

6

x thỏa điều kiện

2

x

 

Câu 4: Phương trình sin2x3sinx  có nghiệm là:

A ,

2

x  kkB x  k2 , k

C xk,kD ,

2

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn A

Đặt tsinx  1 t 1, phương trình trở thành: t2  3t 4 ( )

t

t l

 

   

Với t 1, ta có: sinx 1  

2

xkk

   

Câu 5: Nghiệm phương trình sin2xsinx0 thỏa điều kiện:

2 x

 

  

A x  0 B x C

3

x D

2

x

Hướng dẫn giải:: Chọn A

2

sin xsinx0 sin  

sin

2

x k x

k

x x k

 

  

 

  

    

 

2 x

 

   nên nghiệm phương trình x  0

Câu 6: Trong 0; 2 , phương trình  sinx 1 cos2 x có tập nghiệm

A ; ; 2

  

 

 

  B  0; C 0; 2;

 

 

  D 0;  2; ;

 

 

 

(20)

Trang 20

 

2 sin

sin cos sin sin

sin

2

x k x

x x x x k

x x k

 

  

 

      

  

 

Mà 0;  0; ;

2

x   x   

 

Câu 7: Phương trình: 2sin2x sin 2x có nghiệm là:

A

2

, 2

x k

k

x k

 

 

   

 

   

B ,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

   

C ,

2

x  kkD ,

2

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có :

2

2sin x sin 2x2 2.1 cos sin 2

2

x

x

    sin 2xcos 2x1 sin sin

6

x  

 

   

 

2

6

5

2

6

x k

x k

  

  

   

  

   



2

3

2

x k

x k

 

 

  

 

  

 

6

2

x k

k

x k

 

 

   

 

   

Câu 8: Nghiệm phương trình sin2x4sinx  :

A ,

2

x   kkB ,

2

x   kk

C ,

2

x  kkD xk2 , k

Hướng dẫn giải::

Chọn C

sin x4sinx 3 sin

sin

x x

 

  

Với sinx 1 ,

2

xkk

   

Phương trình sinx 3 1 vơ nghiêm

Câu 9: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x

B k,k B k2 , k C , k k

   

D ,

6 k k

 

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

5 5sin x2cos x0  

5 5sinx sin x

    

2sin x 5sinx

     sin 7

sin

2

x x

   

(21)

Trang 21

Với sin ,

2

x   xkk

Phương trình sin

2

x     vơ nghiêm

Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin

xx 

A ( )

6

x  kkB ; ( )

6

x  kx  kk

C ; ( )

6

x  kx  kkD ; ( )

6

x  kx   kk

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

sin 2sin

4

xx 

1 sin

2 sin

2

x

x

 

  

 



Với sin

2

x 

2

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



Phương trình sin

2

x   vơ nghiêm

Câu 11: Phương trình 2sin2xsinx  có nghiệm là: 3

A k,k B ,

2 k k

   

C ,

2 k k

   

D

2 , k k

 

  

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

2sin xsinx 3

sin

3 sin

2

x x

  

 

 

Với sinx 1 ,

2

xkk

   

Phương trình sin

2

x     vô nghiêm

Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos 2xsinx

A ; ;

6 k k k       

B ; ;

6 k k k

   

    

C ; ;

6 k k k

   

   D ; ;

6 k k k

   

  

(22)

Trang 22

Ta có  

2 sin

cos sin 2sin sin 1

6 sin

2

5

x k

x

x x x x x k k

x

x k

 

 

 

    

   

 

         

 

 

   

Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin2x– 3sinx  1 thỏa điều kiện:

2

x

 

A

6

x B

4

x C

2

x D

2

x 

Hướng dẫn giải:: Chọn A

2

2sin x– 3sinx  1  

2 sin

2

6 sin

2 5

2

x k

x

x k k

x

x k

 

 

 

   

 

 

    

 

 

   

2

x

  nên nghiệm phương trình

6

x 

Câu 14: Nghiệm phương trình 2sin2x– 5sin – 0x  là:

A ;

6

x   kx  kB ;

3

x  kx  k

C ;

2

x  kx  kD ;

4

x  kx  k

Hướng dẫn giải:: Chọn A

2

2sin x– 5sin – 0x   

sin

6

7 sin

2

6

x x k

k x

x k

 

 

    

 

  

    

 

Câu 15: Nghiêm pt sin x2 –sinx2là:

A

2

x  kB

2

x  kC

2

x  kD xkHướng dẫn giải::

ChọnA

Đặt tsinx Điều kiện t 1

Phương trình trở thành: 2 ( TM)

2

2 (L)

t

t t t t

t

 

          

Với sin (k Z)

2

t  x   xk  

Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình:

sin 2sin

4

(23)

Trang 23

A ( )

6

x  kkB ; ( )

6

x  kx  kk

C ; ( )

6

x  kx  kkD ; ( )

6

x  kx   kk

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

3 sin

3

sin 2sin

1

sin

x

x x

x

 

    

 



+ sin

2

x   vô nghiệm

2 

+  

2

1

sin sin sin ,

5

2

2

x k

x x k

x k

 

 

   

    

  



Câu 17: Nghiệm phương trình cos2 xsinx 

A ,

2

x  kkB ,

2

x   kk

C ,

2

x   kkD ,

2

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn C

2

cos xsinx 1  1 sin2xsinx 1 0 sin2xsinx  2

sin

sin 2( )

x

x vn

  

  

x k2 ,k

 

    

Câu 18: Nghiêm phương trình sin2x sinx

A xk,kB ,

2

x  kk

C ,

2

x   kkD ,

2

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn B

2

sin x sinx2 sin2 xsinx 2 sin

sin 2( )

x

x vn

 

   

x k2 ,k

 

   

Câu 19: Phương trình 2sin2 x3sinx  có nghiệm 2

A k,kB ,

2 k k    

C ,

2 k k

   

D ; ,

6 k k k

      

(24)

Trang 24

2sin x3sinx 2

1 sin

2 sin 2( )

x

x vn

 

 

  

2

,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x3sinx  thõa điều kiện 0

2

x

  là:

A

3

x B

2

x C

6

x D

6

x 

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2cos x3sinx  3 sin  2x3sinx  3

2

2sin x 3sinx

    sin 11

sin

x x

   

 

2 ,

5

x k

x k k

x k

 

 

    

   

 

   

Do

2

x

  nên ta chọn

6

x

Câu 21: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x

A

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

B

2

,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



C

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

D

2

,

2

x k

k

x k

 

 

   

 

  



Hướng dẫn giải::

Chọn B

2

1 5sin x2cos x0  

1 5sinx sin x

    

2sin x 5sinx

   

 

1 sin

2

sin VN

x

x

 

  

  

sin sin

x

 

2

2

x k

x k

 

 

   

 

  



, k 

Câu 22: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x là:

A k,kB k2 , kC , k k

   

D ,

6 k k

   

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

(25)

Trang 25

 

sin

3

sin VN

2

x x

   

 

2 ,

xkk

   

Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 22 x2sin2x  :

A

4 k

 

  B

4 k

 

C

4 k

 

D

4 k

 

 

Hướng dẫn giải::

Chọn B

2

sin 2sin sin 2

2

xx   x  x  k    xk k 

Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos 22 xsin 2x 

A

2 k

  

B

3

kC

2 k

 

  D

2

k

Hướng dẫn giải::

Chọn D

2 sin

cos sin sin sin

sin

x

x x x x

x

 

        

+) sin 2

2

x  x  k    xk k   +) sin 2

2

k

x  xk  x  k 

Câu 25: Một họ nghiệm phương trình 2cos 2x3sinx 1

A arcsin k

   

  B

1 arcsin

4 k

   

 

C 1arcsin

2 k

    

 

  D

1 arcsin

2 k

    

    Hướng dẫn giải::

Chọn B

 

sin

2 cos 3sin 2sin 3sin 4sin 3sin 1

sin

4

x

x x x x x x

x

  

            

  

+) sin

2

x   xk  k 

+)

1

arcsin

1

sin

4

arcsin

4

x k

x

x k

 

   

 

  

   

    

 

  

k 

Câu 26: Nghiệm phương trình

sin 2x2sin 2x 1 khoảng  ;  :

A ;

4

 

  

 

  B

3 ; 4

 

 

 

  C

3 ; 4

 

 

 

  D

3 ;

4

 

  

 

  Hướng dẫn giải::

(26)

Trang 26

 

2

sin sin sin

2

2

x x x

xkxkk

     

        

Theo đề

1

4 4

4

x k

x k k

k x                              

Câu 27: Giải phương trình:sin2x2sinx 3

A kB

2 k

 

  C

2 k

  

D

2 k

 

 

Hướng dẫn giải::

Chọn C

Phương trình:

2

sin x2sinx 3 0. sin

sin x x       

+ sin  

2

x   xkk

+ sinx   phương trình vơ nghiệm 3

Câu 28: Giải phương trình lượng giác

4sin x12cos x 7 có nghiệm là:

A

4

x   kB

4

x  kC

4

x  kD

4

x   k

Hướng dẫn giải::

Chọn B

Ta có:

4

4sin x12cos x 7 04sin4x12sin2x 5

  2 sin sin x L x         sin sin x x          4 x k x k x k x k                                , k

x   k

   

Câu 29: Phương trình cos cos

3

x   x

     

   

    có nghiệm là:

A 2 x k x k              

B

2 2 x k x k             

C

2 x k x k              

D

2 x k x k             

Hướng dẫn giải::

Chọn A

2

5

cos cos 2sin cos

3 3

x   x x   x  

              

        

(27)

Trang 27

2

1 2sin 4sin 2sin 4sin

3 3

xxxx

       

               

       

 

3

sin 2 2

3 3 6 6

sin sin

5

3

1

2

sin

3

2

,

2

x x k x k

x k

x

k x

x k

   

 

 

  

  

     

     

 

      

      

            

    

 

Câu 30: Tìm m để phương trình  

2sin x 2m1 sinx m có nghiệm ;0

x   

 

A   1 m B 1 m C   1 m D 0 m

Hướng dẫn giải::

Chọn C

Với ;0 sin

2

x      x

 

 

2

2sin x 2m1 sinx m

1 sin

2 sin

x

x m

 

 

  

Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos2x4cosx 3

A x  k2 ( k ) B ( )

2

x  kk

C xk2 ( k ) D xk (k )

Hướng dẫn giải::

Chọn C

2

cos x4cosx 3

   

cos

2

cos

x

x k k

x VN

 

   

Câu 32: Giải phương trình 2cos2x3cosx 

A ,

3

x   kkB , ,

3

k   kk

    

 

 

C ,

3

x  kkD xk2 , k

Hướng dẫn giải::

Chọn B

2

2cos x3cosx 1

cos

1 cos

2

x x

   

 

Với cosx 1 x k2 , k

Với cos

2

x  ,

3

xkk

    

Câu 33: Phương trình cos 2x2cosx 11 có tập nghiệm là:

A xarccos  3 k2 , k , xarccos  2 k2 , k

B

C xarccos  2 k2 , k

D xarccos  3 k2 , k

(28)

Trang 28 Chọn B

cos 2x2cosx 11 02cos2x2cosx 12 cos

cos

x x

 

   

vơ nghiệm

Câu 34: Phương trình sau vô nghiệm:

A sinx  3 B 2cos2 xcosx 

C tanx  3 D 3sinx 20

Hướng dẫn giải::

Chọn A

sinx  3 sinx   3  PT vô nghiệm

Câu 35: Phương trình: sin2 cos

3

x x

   có nghiệm là:

A xk,kB xk3 , kC xk2 , kD xk6 , kHướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:

sin cos

3

x x

  

1 cos cos

3

x x

 

    

 

2

cos cos

3

x x

   

cos

3

cos ( )

3

x

x

vn

 

  

  



2

x k

   x k6k 

Câu 36: Phương trình : cos 22 cos

xx  có nghiệm

A ,

3

x   kkB ,

3

x   kk

C ,

6

x   kkD ,

6

x   kk

Hướng dẫn giải::

Chọn B

2

cos cos

4

xx 

1 cos

2

cos (VN)

2

x

x

 

  

  



cos cos

x

  2

3

xkxk

       

Câu 37: Nghiệm phương trình cos2x– cosx  thỏa điều kiện 00   : x

A

6

x  B

2

x  C

4

x  D

2

x 

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có cos2x– cosx 0cosxcosx 1 cos

cos

x x

 

   

 22  

x k

k x k

 

   

 

  

(29)

Trang 29 Với 0 x   

0

k

k k

  

 

    

 

 

 

1

2

1

2

k k k

   

 

   

0

k VN

   

x

 

Câu 38: Nghiệm phương trình

cos xcosx0thỏa điều kiện:

2 x

 

 

A x B

3

x C

2

x  D

2

x  

Hướng dẫn giải:: Chọn A

2

cos xcosx0 cos  

cos

2

x x k

k x

x k

 

 

  

 

  

  

   

2 x

   

nên nghiệm phương trình x

Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos2x– 8cos – 5x là:

A xkB x  k2 C xk2 D 2

x   k

Hướng dẫn giải:: Chọn B

2

3cos x– 8cos – 5x  

cos

3cos 8cos 5

cos

3

x

x x x k k

x  

  

       

     

Câu 40: Nghiệm pt 2cos 2x2cos – 0x

A

4

x   kB

4

x   kC

3

x   kD

3

x   k

Hướng dẫn giải:: Chọn A

 

  

2

2cos 2cos –

2 2cos 2cos –

4 cos cos 2

2 cos

2

1

cos

2

x x

x x

x x

x

x loai

 

   

    

    

 

  



Câu 41: Phương trình 2cos2x3cosx  có nghiệm 2

A ,

6 k k

 

   B ,

3 k k

 

  

C 2 ,

3 k k

 

   D ,

3 k k

   

(30)

Trang 30

2cos x3cosx 2

1 cos

2 cos 2( )

x

x vn

 

 

  

2 ,

xkk

    

Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2x3cosx  có nghiệm

A ,

2

x   kkB x   k2 , kC ,

x  kkD Vô nghiệm

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có: sin2 x3cosx 4  (1 cos2x) 3cos x 4 cos2x3cosx  3 Đặt tcosx   1 t 1 Phương trình trở thành: t2   (pt vô nghiệm) 3t

Vậy phương trình cho vơ nghiêm

Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2x2cosx  có nghiệm

A xk2 , kB x 0 C ,

2

x  kkD Vô nghiệm

Hướng dẫn giải: Chọn A

Đặt tcosx   1 t 1 Phương trình trở thành: t2  2t

3 ( )

t

t l

     

Với t 1cosx1 x k2 ( k )

Câu 44: Phương trình sin 22 cos2

xx  có nghiệm

A ,

6

x   kkB ,

4

x   kk

C ,,

3

x   kkD ,

3

x   kk

Hướng dẫn giải: Chọn A

2

sin 2 cos

xx  cos 22 cos2 +3

x x

    

2

cos cos2

x x

    

3

cos2 = ( )

2 cos2 =

2

x vn

x

 

    

2 ,

3

xkxkk

        

Câu 45: Họ nghiệm phương trình cos 22 xcos 2x 

A

2 k

  

B

2

k

 

  C

2 k

 

 

D

2 k

  

Hướng dẫn giải::

Chọn A

2 cos

cos cos 2

cos 2 (VN)

x

x x

x

  

    

cos 2

2

x   x  k    xk k 

(31)

Trang 31

A k2 B

3 k

  

C kD

3 k

 

 

Hướng dẫn giải::

Chọn C

3cos 4x2cos 2x 5 0

 

cos cos 2 cos cos 2 cos 4

cos (VN)

 

         

  

x

x x x x

x

cos 2x 1 2xk2  x k k 

Câu 47: Các họ nghiệm phương trình 3sin 22 x3cos 2x 

A ;

4

k  kB ;

4

k   kC ;

k  kD ;

k   k

Hướng dẫn giải::

Chọn A

2

3sin 2x3cos 2x 

  cos

3 cos 3cos 3cos 3cos

cos  

          

 

x

x x x x

x

+) cos 2x 1 2xk2 x k k   +) cos 2

2

k

x  x  k   x   k 

Câu 48: Nghiệm phương trình cos2 3cos

3

      

   

x   x

 

khoảng

3 ; 2

 

 

 

 

là:

A ; ;5 6

  

 

 

  B

7

; ; 6

  

  

 

  C

7

; ;

6 6

  

   

 

  D

7

; ; 6

  

  

 

 

Hướng dẫn giải::

Chọn D

 

 

2

cos

3

2 cos 3cos

3

cos

3

cos 2

3

x

x x

x Loai

x x k x k k

 

    

   

 

  

       

    

       

  

 

          

 

 

Theo đề

7

3

0

2 3

1

5

x k

x k k k x

k

x

    

     

 

 

              

  

  

(32)

Trang 32

A xkB

2

x   kC 2

x  kD xk2

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Ta có:3cos2x2cosx  5 cosx  1 cos

x   (loại vì 1 cosx ) 1 Khi đó,cosx  1 x k2  k 

Câu 50: Phương trình sin2xsin 22 x1 có nghiệm là:

A ( )

6

x k

k

x k

 

 

   

 

    

B

4

x k

x k

 

 

   

    

C 12

3

x k

x k

 

 

   

    

D Vô nghiệm

Hướng dẫn giải::

Chọn A

Ta có sin2xsin 22 x  1 cos 2x2(1 cos ) x  2 2cos 22 xcos 2x  1

2

cos

2

( )

1

2

cos

3

6

x k

x x k

k

x k

x

x k

  

  

  

    

 

 

   

  

    

  

Câu 51: Phương trình tan2x5 tanx  có nghiệm là:

A ; arctan( 6)  

4

x  kx  kkC ; arctan( 6)  

4

x  kx  kkB ; arctan( 6)  

4

x   kx  kkD xk;xarctan( 6) k k  Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt ttanx, phương trình trở thành:

6

t

t t

t

        

Với t 1 ta có tanx 1  

4

xkk

   

Với t  6 ta có tanx  6 x arctan  6 k k 

Câu 52: Giải phương trình tan2x 1 tan x 1

A , ,

4

x  kx  kkB , ,

3

x  kx  kk

C , ,

4

x  kx  kkD , ,

3

(33)

Trang 33 Hướng dẫn giải::

Chọn A

 

2

3 tan x 1 tanx 1

tan

3 tan

3

x

x

  

  



Với tanx 1 ,

4

xkk

   

Với tan

3

x  ,

6

xkk

   

Câu 53: Phương trình tanx3cotx4 (với k  ) có nghiệm là:

A , arctan

4 k k

    

B

4 k

  

C arctan k  D , arctan

4 k k

  

 

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Điều kiện x k 

 

2 tan

tan 3cot tan tan

tan arctan

x x k

x x x x k

x x k

 

    

       

   

Câu 54: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm

A , arctan

4 k k

    

B

4 k

  

C arctan k  D , arctan

4 k k

    

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Đk: sin

2

x  x k  x k

Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với

 

2 tan

tan tan

tan

arctan

x x k

x x k

x

x k

 

  

 

     

 

   

Câu 55: Phương trình tan2x 3 tan x  có nghiệm

A

3

x k

x k

 

 

   

   

B

3

x k

x k

 

 

    

   

C

3

x k

x k

 

 

   

    

D

3

x k

x k

 

 

    

    

Hướng dẫn giải::

Chọn A

 

2 tan

3 tan 3 tan

tan

x

x x

x

 

     

+) tan

4

(34)

Trang 34

+) tan

3

x   xk k 

Câu 56: Phương trình tan2x3tanx 1 có nghiệm

A k (k ) B ; arctan( 1) ( )

4 k k

 

  

C , arctan( 1) ( )

2 k k

    

D ; arctan( 1) ( )

4 k k k

  

    

Hướng dẫn giải::

Chọn D.

Ta có

1 arctan

tan 2

2 tan tan ( )

tan

4

x k

x

x x k

x x k

 

   

     

 

 

     

 

    

 

Câu 57: Một họ nghiệm phương trình tan 22 x3tan 2x 

A

8 k

 

  B

8 k

  

C

8 k

 

  D

8 k

  

Hướng dẫn giải::

Chọn D

2 tan

tan tan 2

tan 2

x

x x

x

 

    

+) tan 2

4

k

x  x  k   x   k   +) tan 2 arctan arctan

2

k

x  x k  x   k 

Câu 58: Họ nghiệm phương trình 3tan 2x2cot 2x 

A

4 k

 

  B

4 k

 

C 1arctan2

2 k

  D 1arctan2

2 k

 

Hướng dẫn giải::

Chọn D

ĐK

2

xk  x k

2

3tan 2x2cot 2x  5 3tan 2x5 tan 2x 2

 

tan 2

8

4

2

tan

2 arctan arctan

3

3

x x k x k

k x

x k x k

 

 

 

 

    

  

   

      

  

Câu 59: Trong nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình tan2x5 tanx 3 :

A

3

B

4

C

6

D

6

Hướng dẫn giải::

Chọn B

Dùng chức CALC máy tính để kiểm tra

Câu 60: Số nghiệm phương trình tanx2cotx  khoảng3 ;

 

 

 

  :

(35)

Trang 35 Hướng dẫn giải::

Chọn D

Điều kiện: sin 2x  0

Phương trình: 2tanx2cotx 

2

tan

2 tan tan 1

tan

2

x

x x

x

  

    

  

Dùng đường tròn lượng giác ta thấy khoảng ;

 

 

 

  phương trình có nghiệm

Câu 61: Giải phương trình :tan2x2 tanx 1

A

4 k

 

B

4 k

 

  C

2 k

 

D k

Hướng dẫn giải::

Chọn B.

Ta có: tan2 tan tan  

4

xx   x     xkk

Câu 62: Nghiệm phương trình tanxcotx 2

A ,

4

x  kkB ,

4

x  kk

C ,

4

x  kkD ,

4

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn D

tanxcotx 2

Điều kiện:

2

xk

tanxcotx 2 tan

tan

x

x

   

2

tan x tanx

    tanx 1 ,

4

x  kk

   

Câu 63: Phương trình tan 2 1cot

1 tan

x

x x

 

   

   có nghiệm là:

A

3

x  kB

6

x  kC

8

x  kD

12

x  k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Điều kiện: ; ,

2

x  kx  kk

2

tan

cot

1 tan

x

x x

 

   

  

1 tan tan

2 tan 4

1 tan tan tan

4

x x

x x

 

 

2

2 tan tan

1 tan tan

x x

x x

 

   

2 tan tan

(36)

Trang 36

tan x tanx

    tan

tan

x x

  

 

 

  

5 12

12

x k

k

x k

 

 

   

 

   

Câu 64: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là:

A

6

x  k, k  B

6

x   k, k 

C

3

x  k, k  D Vô nghiệm

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có: 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2x

2 2 2

2 sin cosx x 2 cos x 3cos x 3sin x cos x sin x

     

 

2

sin x sin cosx x 2 cos x

    

 

2

tan x tanx 2

     (vì cosx 0 khơng nghiệm phương trình)

Phương trình vơ nghiệm

Câu 65: Giải phương trình sin sin cos cos 2sin

x x

x x

x

   

  

 

A

3

x k , k  B

6

x k  , k 

C

3

x k, k  D

6

x k, k 

Hướng dẫn giải: Chọn A

3

3sin 4sin cos 3cos

5 sin cos

1 2sin

x x x x

pt x x

x

    

    

 

   3 

3 sin cos sin cos

5 s inx cos

1 2sin

x x x x

x x

    

 

   

  

 

 

5 sinx sinx cosx 2cos x

     

1 cos

2 cos 5cos 2

3

cos

x

x x x k

x

 

 

        

  

Câu 66: Cho phương trình 1cos 4 tan2

2 1 tan 

x

x m

x Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:

A

2

  m B 0m1

C 1

2

 m D

2

  

m hay m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Điều kiện

 

 

(37)

Trang 37

1 tan

cos

2 1 tan 

x

x m

x

2

1

cos 4 tan cos

2

xx xm cos 4x8sin cosx x2m

2

1 2sin 4sin 2

  xxm 2sin 22 x4sin 2x2m 1  1 Đặt t sin 2x  t  1;1 \ 0  

 1 trở thành

2t  4t 2m 1 0 2 ,    4m  2 4m Ta xét  1 có nghiệm, tức  2 có nghiệm to  1;1

Nếu

2 

   m  2 có nghiệm kép t 1, loại t  1  1;1 \ 0  

Nếu

2 

   m

Nếu  2 có nghiệm

2   

t m  nghiệm lại t  2  1;1 \ 0  

Khi

2 

m  2 phải có hai nghiệm thoả

 

 

1

2

1

1 2

1 2 6 4

1

2

     

  

 

     

   



m

a t

t m

b

Giải  a ,  

5

2 6 4

3 2

2 6

2   

        

  

      

    

  

  



m

m m

a m

m m m

Giải  b ,   6 4

2 6

        

 

   

    

 

 

m m

b m

m m

Khi đó,  1 có nghiệm

2

  m

Vậy  1 vô nghiệm

2  

m

2 

m

Câu 67: Phương trình: 48 14 22 1 cot cot  cos x sin x x x

    có nghiệm

A

16

x  k, k  B

12

x  k, k 

C

8

x  k, k  D

4

x  k, k 

Hướng dẫn giải: Chọn C

Điều kiện: sin

2

x  x k

Ta có: cot cot cos cos sin sin cos 22  12

sin sin 2sin cos 2sin

x x

x x x x

x x

x x x x x

 

   

Do đó, phương trình tương đương:

 

4

2

4

4

1 sin cos

48 48 sin 3sin

cos sin sin cos

x x

x x

x x x x

       

Đặt

sin

(38)

Trang 38

 

 

2

1

1 2

1

2

3

t n

t t

t l

  

   

   

Suy ra: sin 22 cos

2

k

x  x   x   , k 

Câu 68: Phương trình cos 2xsin2x2 cosx 1 0có nghiệm

A

2

2

x k

x k

 

  

   

, k  B x  k2 , k 

C

3

x  k, k  D

3

x k

x k

 

 

   

    

, k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

2

cos 2xsin x2 cosx 1 2 cos2x  1 cos2x2cosx 1

cos x 2cosx

    cosx 1  xk2 k 

Câu 69: Phương trình: 4

cos sin cos sin

4

xx x   x  

    có nghiệm là:

A xk2k  B xk3k 

C xk4k  D  

4

x  kk

Hướng dẫn giải: Chọn D

4

cos sin cos sin

4

xx x  x  

     

2

1

1 sin sin sin

2 x x x

   

        

 

 

 

2

1

1 sin cos sin

2 x x x

        

1 sin 2sin sin

2 x 2 x x

       

2

1

sin sin

2 x x

    sin

sin 2 ( )

x

x VN

 

   

2x 2k

 

   , 

4

xkk

   

Câu 70: Phương trình sin3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình:

A sin

sin

x x

 

 

B

sin

sin

x x

 

  

C

sin

1 sin

2

x

x

  

 

D

sin

1 sin

2

x

x

  

  

Hướng dẫn giải: Chọn C

Phương trình sin 3xcos 2x 1 sin 3xsinx

2

2sin x sinx

  

sin

1 sin

2

x

x

   

 

Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos5xcos 2x2sin sin 2x x 0; 2

(39)

Trang 39 Hướng dẫn giải:

Chọn A

cos5 cos cos5 cos

ptxxxx

2cos x cosx

   

2 cos

1

2 cos

3

x k

x

x k

x

 

 

    

 

 

    

 

Vì 0;  , ,5

3

x   x   

  Vậy tổng nghiệm 3

Câu 72: Số nghiệm phương trình cos tan

cos 

x

x

x khoảng 0;2

      :

A 2 B 4 C 5 D 3

Hướng dẫn giải: Chọn A

Điều kiện: cos 2x 0 sin 2x 1 Ta có : cos tan

cos 

x

x

x cos 4xsin 2x

2

1 2sin sin

  xx 2sin 22 xsin 2x 1

    sin

1 sin

2

  

  



x l

x n

6

3

 

 

   

 

   

x k

x k

k 

Vì 0;

2

 

 

x ;

6

 

 x x

Câu 73: Nghiệm phương trình    

cos cos 2sin 3sin sin

1

sin

x x x x x

x

  

 

A

4

x   kk  B

4

x   k, k 

C

4

x   k  ,

4

x   k , k  D

4

x   k  , k 

Hướng dẫn giải: Chọn D

Điều kiện

2

sin

3

2

x k

x x k

x k

 

 

 

   

      

   



2

cos 2cos sin 3sin sin sin

ptxx xxxx 2sin2x3 sinx 

 

2

sin 4

2

5

2

sin

4

x k

x

x k

x k l

x

 

 

 

    

  

     

  

 

 

Câu 74: Cho phương trình cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos2x1 Các nghiệm thuộc khoảng

 ; của phương trình là:

A ,

3

 

B ,2

3

 

C ,

2

 

D ,

2

 

(40)

Trang 40 Hướng dẫn giải::

Chọn D

Phương trình 

cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos x1

   

1

cos cos cos cos 3cos

2

xxxxx cos4xcos2x6cos2x2

2

2cos cos2 3cos2

x  x  x

2 cos

2 cos cos ,

cos 3( )

 

  

        

 

x

x x x k k

x PTVN

Vậy nghiệm thuộc khoảng  ; của phương trình ,

2

 

  

x x

CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (casio 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị ,

2

 

  

x x

của đáp án D thỏa

Câu 75: Phương trình: 4

sin sin sin

4 4

 

   

      

   

x x x có nghiệm là:

A

8

 

 

x k B

4

 

 

x k C

2

 

 

x k D x  k2

Hướng dẫn giải:: Chọn B

4 4

sin sin sin

4 4

 

   

      

   

x x x

 2 2

1 1

1 cos cos cos

4 4

 

     

              

   

   

x x x

  2  2 2

1 cos sin sin

  x   x   x

2 2

1 2cos2 cos 2sin sin 2sin sin

  xx  xx  x 

2 cos

2 cos sin cos 2 cos ,

cos 2( )

 

 

            

  

x

x x x x x k k

x PTVN

CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)

Câu 76: Phương trình: cos cos 4sin 2 sin 

4

 

        

   

x   xx x có nghiệm là:

A

2 12 11

2 12

 

 

   

  



x k

x k

B

2

2

 

 

   

  



x k

x k

C

2

2

 

 

   

  



x k

x k

D

2

2

 

 

   

   

x k

x k

Hướng dẫn giải:: Chọn B

 

cos cos 4sin 2 sin

4

 

        

   

x   xx x

     

1

cos sin sin cos 4sin 2 sin

2

xxxxx   x

 

2 cos 4sin 2 sin

(41)

Trang 41

     

2 2sin 4sin 2 sin 2 sin sin

  xx   x   x  x 

 

 

2

sin

6

1 5

sin 2

2 6

 

 

    

  

   

 

x k

x PTVN

k

x x k

CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)

Kiểm tra giá trị

12

x đáp án A,

x đáp án C,

x đáp án D không thỏa

phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không

thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị

6

x đáp án B thỏa phương trình

Kiểm tra giá trị

x đáp án A,

x đáp án C, x đáp án D khơng thỏa phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không

thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị

4

x đáp án B thỏa phương trình

Câu 77:Cho phương trình: sin sin cos 3 cos

1 2sin

 

  

  

 

x x x

x

x Các nghiệm phương trình thuộc

khoảng 0;2 là: 

A ,5 12 12

 

B ,5

6

 

C ,5

4

 

D ,5

3

 

Hướng dẫn giải:: Chọn D

Điều kiện: sin

2  

x Phương trình cho tương đương:

3

3sin 4sin cos 3cos cos

sin

1 2sin

     

 

  

 

x x x x x

x

x

   3 

3 sin cos sin cos 3 cos 2 sin

1 2sin

   

  

x x x x x

x

x

    

3 sin cos sin cos sin cos cos sin

1 2sin

    

  

x x x x x x x

x

x

sin cos  4sin cos  cos sin

1 2sin

   

  

x x x x x

x

x

sin cos 1 2sin  cos sin

1 2sin

  

  

x x x x

x

x

3 cos

sin sin cos 5cos cos

5 

xxxxx  x

 

2

1 cos

2

2 cos 5cos 2 ,

3

cos

 

 

         

 

x

x x x k k

x PTVN

(42)

Trang 42

Vì nghiệm phương trình thuộc khoảng 0;2 nên nghiệm phương trình  ,

3

 

 

x x

CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị

,

3

 

 

x x đáp án D thỏa phương trình

Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình    

sin x2 m1 sin cosx xm1 cos xmnghiệm?

A 0  m B m  1 C 0  m D m  0

Hướng dẫn giải: Chọn A

     

1 cos cos

1 sin 2 sin cos 2

2

x x

pt   mxm   m mx mx  m

Phương trình có nghiệm  2 2  2 2

4 m m 3m 4m 4m 0 m

          

Câu 79: Để phương trình:    

sin x2 m1 sinx3m m2 0 có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là:

A

1

2

1

   

   

m m

B

1

3

1

   

   

m m

C

0

    

   

m

m D

1

3

   

   

m

m

Hướng dẫn giải:: Chọn B

Đặt tsinx Điều kiện t  1;1 Phương trình trở thành:    

2

    

t m t m m (1) Đặt

     

2

    

f t t m t m m

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1;1 (1) có nghiệm thuộc 1;1 có hai nghiệm thuộc 1;1

   1

ff

   

0

1

1

1

2    

 



   

   

f f

S

  

3 3

  mm  mm 

2 2

4

3

3

1 1

   

   

 

   

     

m m

m m

m m

m

1

3

1

   

   

m m

1

1

3

2

  

   

   

   

m

m

m

m

1

3

1

   

   

m m

m

Vậy 1

3

(43)

Trang 43 CÁCH KHÁC:

Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị khoảng  4  3;4 đáp án D không thoả,  3  1;3 đáp án B phương trình có nghiệm

Vậy chọn đáp án B

Câu 80: Để phương trình sin6xcos6xa| sin |x có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:

A 0

8

 a B 1

8 a C

1 

a D

4 

a

Hướng dẫn giải:: Chọn D

6

sin xcos xa| sin |x sin2xcos2x33sin2x.cos2x sin 2xcos2xasin 2x

2

1 3sin cos sin

  x xa x 3sin 22 sin

4

  xa x

2

3 sin sin

xa x    1

Đặt t sin 2x   0 t

 1 trở thành 3t2 4at 4  2

Để phương trình  1 có nghiệm phương trình  2 phải có nghiệm đoạn  0;1

Xét phương trình  2 , ta có:

 

4 12

3 

      

  

a a

, nên  2 ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Do nghiệm t t1, 2t1t2 thoả

2

2

2 12

0

2 12

0

3

   

 

  

  

  



a a

t

a a

t

     

2

2

2

2 12

2 12

2 12 12

2 12 12

      

 

       

 

      

 

 

a a a

a a

a a a a b

a a a a c

Xét  a , 2a 4a2122a 4a2 2a 2a 2a2a0

2 12

aa    a

Xét  b ,  

2

2

2

4 12

2

4 12

2

4 12

  

 

   

     



 

  

 

a a

b a a

a

a a

Xét  c ,  

2

2

3 12

1

3

1

4 12 12

4  

   

 

     

      

 

a a

c a a

a

a a a

(44)

Trang 44

A  1 m0 B

2

   m

C

2

   m D 25hay

4

  

m m

Hướng dẫn giải:: Chọn D

 4   6 

4 sin xcos x 8 sin xcos x 4sin 4xm

 

2 2

1

4 sin sin cos

2

   

        

x  xx m

2

4cos 4sin

xx  m 4cos 42 x2cos4x  6 m  1

Đặt tcos 4x  t  1;1

 1 trở thành 4t2   2t m  2 ,   25 4 m

Để tìm m cho  1 vơ nghiệm, ta tìm m cho  1 có nghiệm sau phủ định lại

 1 có nghiệm  2 phải có nghiệm thoả to  1;1

Nếu 25

4 

    m , 2 có nghiệm kép  1;1

4   

t , nên 25

4  

m thoả  1 có nghiệm

Nếu 25

4 

    m ,  2 phải có hai nghiệm phân biệt thoả

2

1

1

   

   

t t

 

 

1 25

1

4 25

1

4

     

 

  

  



m

a m

b

Giải  a ,  

0

1 25 4 25

25

1 25 4 25

4  

       

  

  

 

     

  

  

m

m m

a

m

m m

25

0

   m

Giải  b ,   25 4 25 25 25

25

1 25 4 25

           

 

         

     

 

 

m m m

b m

m

m m

Kết hợp lại,  1 có nghiệm 25

4

  m

Do  1 vô nghiệm 25

4  

m m0

CÁCH KHÁC:

Bài tóan cho trở thành tìm m cho phương trình

4t   2t m (*) nghiệm t  1;1

Đặt  

 

2

:

:

   

 

 

P y t t

d y m

Số nghiệm phương trình (*) chính số giao điểm  P  d Phương trình (*) khơng có nghiệm t  1;1 khi  P  d không giao 1;1

Dựa vào đồ thị ta có 25

4  

(45)

Trang 45 Câu 82: Cho phương trình:

6

2

sin cos

2 tan cos sin

x x

m x

x x

 

 , m tham số Để phương trình có

nghiệm, giá trị thích hợp m

A

8

m   hay

8

m  B

4

m   hay

4

m 

C

8

m   hay

8

m  D

4

m   hay

4

m 

Hướng dẫn giải: Chọn C

Điều kiện: cos 2x  0

 

2

2

3

1 sin

sin

4 2 3sin 2 8 sin 2 4 0 1

cos cos

x

x

pt m x m x

x x

     

Đặt tsin ,x    Phương trình trở thành: t 1

2

2

2

4 16 12

3

3

4 16 12

3

m m

t

t mt

m m

t

   

  

   

   

  

a c   Phương trình  2 ln có hai nghiệm trái dấu t2  t1

Do  1 có nghiệm

2

2

2

4 16 12

1

16 12

3

1

4 16 12 16 12

1 8

3

m m

m

m m

m m m m m

   

       

 

   

 

        

   

(46)

Trang 46 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

+ Là phương trình có dạng (sin ,cos ) 0f x x  luỹ thừa sinx cosx chẵn

lẻ

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho coskx  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn 0

tan x

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

• Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng?

Lưu ý: cosx = sin2 1 sin 1.

2

x k x x

        

• Khi cosx  0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:

2

.tan tan (1 tan )

a x bx c  dx

• Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t:

2

(a d t ) b t c d   

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin2 cos2

(1)

2 2

x x x

ab cd

   

.sin2 ( ).cos2

b x c a x d a c

      (đây PT bậc sin2x cos2x)

B– BÀI TẬP

Câu 1: Phương trình 6sin2x7 sin 2x8cos2x có nghiệm là:

A

6

x k

x k

   

   

 

 , k  B

3

x k

x k

   

   

 

 , k 

C

12

x k

x k

   

   

 

 , k  D

3

3

x k

x k

   

  



 

  , k 

Hướng dẫn giải: Chọn A

TH1: cosx 0 sin2x thỏa phương trình  phương trình có nghiệm

x  k

TH2: cosx 0, chia hai vế cho cos x ta 2

 

2 2

2

6

6 tan 14 tan tan 14 tan tan

cos

x x x x x

x

       

1 14 tan 14 tan

6

x x xk

(47)

Trang 47

Vậy, phương trình có nghiệm ,

2

x  kx  k

Câu 2: Phương trình  sin  2x2 sin cosx x cos  x có nghiệm là:

A x k  3

x k

   

   

  

 

 

với tan , k  B x k  tan 3

x k

  

  

  

 

 

với , k 

C x k  tan 3

x k

   

   

  

 

 

với , k  D x k  tan 3

x k

  

  

  

 

 

với , k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

TH1: cosx 0 sin2x khơng thỏa phương trình

TH2: cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: 2

 

 

2 tan 4

3 tan tan

tan arctan 2 3

x k

x

x x

x x k

 

   

 

      

 

    

Câu 3: Giải phương trình 3sin 22 x2sin cos 2x x4cos 22 x

A 1arctan , 1arctan( 2) ,

2 2

k k

x   x    k

B arctan1 73 , arctan1 73 ,

12 12

k k

x    x    k

C 1arctan1 73 , 1arctan1 73 ,

2 2

k k

x    x    k

D arctan3 , arctan( 1) ,

2 2

k k

x   x    k

Hướng dẫn giải: Chọn A

TH1: cos 2x 0 sin 22 x khơng thỏa phương trình

TH2: cos 2x 0, chia hai vế phương trình cho cos 2x ta được: 2

 

2 2

2

2

3 tan 2 tan tan 2 tan tan

cos

x x x x x

x

       

2

1

arctan

tan 2 2

tan tan

tan 2

arctan( 2)

2

k x

x

x x

x k

x

  

 

        

    



Câu 4: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x có nghiệm là:

A

4k

 

, k  B , arctan

4 k k

 

  

 

   , k 

C , arctan

4 k k

 

   

 

   , k 

D , arctan

4 k k

 

   

 

   , k 

(48)

Trang 48

TH1: cosx 0 sin2x khơng thỏa phương trình

TH2: cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: 2

2

tan

4

2 tan tan 1

1 tan

arctan

2

x x k

x x

x

x k

 

 

    

 

     

   

 

Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin2x5sin cosx xcos2x 2

A

6 k

  

, k  B

4 k

 

  , k  C

4 k

  

, k  D

6 k

 

  ,

k 

Hướng dẫn giải: Chọn C

2

x  k khơng nghiệm phương trình

Chia vế phương trình cho cos x2 ta

được

 

2 2

2 tan tan tan tan tan

tan

4

1 tan

arctan

4

x x x x x

x x k

x

x k

 

        

  

 

  

   

 

Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos2 x6sin cosx x 3 3

A 3 k

  

, v k  B

4 k

  

, k  C

4 k

 

  , k  D k

 

  ,

k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

 

2

2 cos x6sin cosx x 3 3 cos 2 x 3sin 2x 3

1 3

3 cos 3sin cos sin

2 2

x x x x

     

2

3

cos

3

2

3 12

x k x k

x

x k x k

    

    

      

 

 

     

         

 

Câu 7: Một họ nghiệm phương trình 3sin cosx xsin2x2

A arctan  2 k, k  B 1arctan 2

2 k

  , k 

C 1arctan 2

2 k

   , k  D arctan 2 k, k  Hướng dẫn giải:

Chọn A

2

x  k không nghiệm phương trình

(49)

Trang 49

tan x 3tanx

   

 

tan

4

tan

arctan

x k

x x

x k

 

     

 

 

 

    

Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin2xsin cosx x3cos2x0

A arctan k    

  , k  B

3 arctan

2 k     

  , k 

C arctan k     

  , k  D

3 arctan

2 k     

  , k  Hướng dẫn giải:

Chọn A

2

x  k không nghiệm phương trình

Chia vế phương trình cho cos x ta 2

2

tan

4

2 tan tan 3

3 tan

arctan

2

x k

x

x x

x

x k

 

   

 

 

    

      

   

 

Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin2x4sin cosx x5cos2x2

A

4 k

 

  , k  B

4 k

  

, k  C

4 k

 

  , k  D 3

4 k

   ,

k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

2

x  k khơng nghiệm phương trình

Chia vế phương trình cho cos x ta 2

 

2 2

3tan x4 tanx 5 tan x tan x4 tanx 3 tan

tan

arctan

x x k

x

x k

 

  

 

 

 

   

Câu 10: Phương trình : 2

sin x( 1) sin cos x x cos x0 có họ nghiệm

A

4 k

 

  , k  B 3

4 k

  

, k 

C

3 k

  

, k  D

4 k

  

,

3 k

  

, k 

Hướng dẫn giải: Chọn D

2

x  k không nghiệm phương trình

Chia vế phương trình cho cos x ta 2

 

2 tan

tan tan

tan

3

x k

x

x x

x

x k

 

 

   

 

      

 

  



(50)

Trang 50 Câu 11: Phương trình 3cos 42 x5sin 42 x 2 sin cos 4x x có nghiệm là:

A

6

x   k, k  B

12

x  k , k 

C

18

x  k , k  D

24

x   k , k 

Hướng dẫn giải: Chọn D

TH1: cos 4x 0 sin 42 x không thỏa phương trình TH2: cos 4x 0, chia hai vế cho cos 4x ta 2

 

2 2

2

2

3 tan tan tan tan tan

cos

x x x x x

x

       

2

3 tan tan tan 4

3 24

k

x x x xkx  

              

Câu 12: Trong khoảng ; ,

 

 

  phương trình

2

sin 4x3.sin cos4x x4.cos 4x0có:

A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm

Hướng dẫn giải: Chọn B

Nhận thấy cos 4x0 không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x, ta

phương t:

 

2 tan 16

tan tan 4 ,

tan 4

arctan

4

 

   

 

     

 

    



k x

x

x x k

x k

x

Do ; ;5 ; arctan1  4 ; arctan1  4

2 16 16 4

    

 

       

 

 

x x

Câu 13: Phương trình 2cos2x3 sin 2x4sin2x  có họ nghiệm 4

A

6

x k

x k

 

 

   

   

, k  B

2

x  k, k 

C

6

x  k, k  D

2

x  k, k 

Hướng dẫn giải: Chọn A

cos

2

x   xk : nghiệm phương trình

cosx  : Chia vế phương trình cho 0 cos x ta 2

 

2

2 tan tan tan tan

6

x x x x xk

         

Câu 14: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x0 (với k ) có nghiệm là:

A ,arctan( )1

4

  

 kk B

4

(51)

Trang 51

C ,arctan( )1

4

    

k k D ,arctan( )1

4

  

 kk

Hướng dẫn giải: Chọn D

Khi cos

2

 

   

x x k : VT  2 VP0  

2

 

  x k l

Khi cos

2

 

   

x x k : 2sin2xsin cosx xcos2x0 2 tan2xtanx 1

 

tan

4

1 tan

tan

2

 

    

 

 

  

  

   

 

   

x k

x

k x

x acr k

Câu 15: Giải phương trình cos3xsin3x2 cos 5xsin5x

A

4

 

  

x k B

4

 

  

x k C

4

 

  

x k D

4

 

  

x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

vì cosx0 khơng nghiệm phương trình nên ta có

 

2

1 tan xtan x(1 tan x)2 tan x

5 2

tan tan tan (tan 1)(tan 1)

xxx   xx 

tan

4

 

x     x k

Cách khác:

 

     

 

3 5 5

3 3

cos sin cos sin cos cos sin sin

cos cos sin sin cos cos sin

4

;

4

tan

4

 

 

 

      

     

  

   

  

    

 

x x x x x x x x

x x x x x x x

x k

x k

k

x x k

Câu 16: Giải phương trình sin2 x3tanxcosx4sinxcosx

A , arctan 2

  

     

x k x k B , arctan 2

4 2

  

  x k x   k C , arctan 2

4 3

  

     

x k x k D , arctan 2

4

  

  x k x   k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình 2

tan tan (1 tan ) tan

xxxx

3

tan tan 3tan  xxx 

2

(tan 1)(tan tan 1)

xxx 

 

, arctan

4

  

  x k x   k

(52)

Trang 52

A

2

2

 

 

    

    

x k

x k

B

1

4

1

3

 

 

    

    

x k

x k

C

2

4

2

3

 

 

    

    

x k

x k

D

3

 

 

    

    

x k

x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình cho tương đương với

2

tan x(tanx 1) 3tan (1 tan ) 3(1 tanxx   x )

3

tan tan tan

3

 

 

    

      

    

x k

x x x

x k

Câu 18: Giải phương trình 4sin3x3cos3x3sinxsin2 xcosx0

A ,

4

   

    

x k x k B ,

4

   

    

x k x k

C ,

4 3

   

    

x k x k D ,

4

   

    

x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta thấy cosx0 không nghiệm phương trình

Nên phương trình 2

4 tan 3tan (1 tan ) tan

x  xxx

3 tan

tan tan tan

tan

 

      

  

x

x x x

x ,

   

  x k x  k

Câu 19: Giải phương trình 2cos3xsin 3x

A

arctan( 2)

2

 

  

 

   

x k

x k B

1 arctan( 2)

2

4

 

   

 

   

x k

x k

C

2 arctan( 2)

3

4

 

   

 

   

x k

x k

D

arctan( 2)

4

 

  

 

   

x k

x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình 3

2cos 3sin 4sin

xxx

  3

2 3tan tan tan tan 3tan

  xxxxx 

arctan( 2)

tan

tan

4

 

  

  

 

 

  

 

x k

x

x x k

(53)

Trang 53

A

2

2

 

  

   

x k

x k B

1

1

3

 

   

   

x k

x k

C

2

2

3

 

   

   

x k

x k

D

3

 

  

   

x k

x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình

2sin sin cos

xx x sin

tan

3

 

  

 

 

   

 

x k x

x k

x

Câu 21: Giải phương trình 2

2cos x6sin cosx x6sin x1

A ; arctan

4

    

     

 

x k x k B ; arctan

4

    

     

 

x k x k

C ; arctan 1

4

    

     

 

x k x k D ; arctan

4

    

     

 

x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình 2

5sin 6sin cos cos

xx xx

Giải ta ; arctan

4

    

     

 

(54)

Trang 54 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1: Là phương trình có dạng: (sin cos ) sin cos

a xxb x x c  (3)

Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Đặt: cos sin 2.cos ;

4

txx  x  t

 

2

1 2sin cos sin cos ( 1)

t x x x x t

     

Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t

Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinxcos )xbsin cosx x c 0

(3’)

Để giải phương trình ta đặt

2;

sin cos sin

1

4 sin cos

2

t

t x x x

t

x x

   

 

  

       

   

 Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t

Lưu ý:

• cos sin cos sin

4

xx  x   x 

   

 

• cos sin cos sin

4

xx  x   x 

   

 

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c =

• Đặt: cos sin cos ; :

4

txx  x  Ñk  t

 

2

sin cos ( 1)

x x t

   

• Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

B– BÀI TẬP

Câu 1: Phương trình sin cos 1sin 2

xx  x có nghiệm là:

A

4

x k

x k

 

    

   

, k  B

2

x k

x k

 

   

   

, k 

C x k

x k

 

   

  

, k  D 2

2

x k

x k

 

   

  

, k 

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt   2

(55)

Trang 55

Ta có phương trình    

 

2

1

1

2

t TM

t t t t

t KTM

          

  

1 sin cos sin sin sin

4 4

t  xx  x   x  

   

2

4

3

2 2

4

x k

x k

x k

x k

   

   

     

 

   

    



Câu 2: Phương trình sin3 cos3 1sin 2

xx  xcó nghiệm là:

A x k

x k

 

   

  

, k  B 2

2

x k

x k

 

   

  

, k 

C

3

2

x k

x k

 

   

   

, k  D

 

3

2

x k

x k

 

   

 



, k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

 3  

3

sin cos sin sin cos 3sin cos sin cos sin cos

2

xx  xxxx x xx   x x

Đặt  

2

2

sin cos sin , sin sin cos

4

t txx x  t    x t x x 

 

Ta có phương trình    

 

2

3

2

1

3 1 3

2

t TM

t

t t t t t t

t KTM

    

            

  

1

1 sin cos sin sin sin

4 4

t  xx  x   x  

   

2

4

3

2 2

4

x k

x k

x k

x k

   

   

     

 

 

  

    



Câu 3: Giải phương trình 2sin 2xsinxcosx 1

A ,

2

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

B ,

3

 

  

x k x k arccos 1

4 2

   

   

 

x k

C ,

3

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

D ,

2 

 

  

x k x k arccos

4 2

   

   

 

x k

(56)

Trang 56 Chọn D

Đặt

2 sin cos cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có : 2( 1) 2 1,

2            

t t t t t t

• cos ,

4 2

   

 

        

 

t x x k x k

• cos arccos

2 2 2

    

 

           

   

t x x k

Câu 4: Giải phương trình sin 2x12 sin xcosx120

A ,

2

   

    

x k x k B ,

2

   

    

x k x k

C ,

2 3

   

    

x k x k D ,

2

   

    

x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt

2 cos sin cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có: 12 12 cos

4

 

           

 

t t t x

2 ,

2

   

  x k x  k

Câu 5: Giải phương trình sin 2 sin

 

   

 

x x

A , ,

4

     

     

x k x k x k B , ,

4 2 2

     

     

x k x k x k

C , ,

4 3

     

     

x k x k x k D , ,

4

     

     

x k x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt

2 2 sin sin cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có: 1    t2 t t 0,t 1

Từ ta tìm được: , ,

4

     

     

x k x k x k

Câu 6: Giải phương trình tanx2 sinx

A , 11 ,

4 12 12

     

      

x k x k x k

B , 11 ,

4 12 12

     

      

x k x k x k

C , 11 ,

4 12 12

     

      

(57)

Trang 57

D , 11 ,

4 12 12

     

       

x k x k x x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Điều kiên: cosx0

Phương trình sinxcosx sin 2x

Đặt

2 sin cos cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có: 2 1 2 2,

2

         

t t t t t t

Từ tìm được: , 11 ,

4 12 12

     

       

x k x k x x k

Câu 7: Giải phương trình cosxsinx 2sin 2x1

A

2

k

x B

2

k

x C

2

k

x D

2

k

x

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt

2

sin

sin cos cos

4 0 2

   

 

       

    

x t

t x x x

t

Ta có: 2(1 2) 2 1 sin

2

             k

t t t t t x x

Câu 8: Giải phương trình 3

cos xsin xcos 2x

A , ,

4

    

      

x k x k x k B , ,

4

    

      

x k x k x k

C , ,

4 3

    

      

x k x k x k D , ,

4

    

      

x k x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình (sinxcos )(1 sin cos )xx x (sinxcos )(cosx xsin )x

sin cos 1 sin cos cos sin 

xxx xxx

Từ ta tìm được: , ,

4

    

      

x k x k x k

Câu 9: Giải phương trình cos3xsin3x2sin 2xsinxcosx

A

2  k

x B

2

k

x C xk D

2  k

x

Hướng dẫn giải:

Phương trình cosxsinx1 sin cos x x2sin 2xsinxcosx

Đặt

2 sin cos cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có:

2

2

1

1 2( 1) sin

2

           

 

 

t k

(58)

Trang 58 Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 10

cos sin

   

x x

A arccos2 19

4

  

  

x k B arccos2 19

4

  

  

x k

C arccos2 19

4

  

  

x k D arccos2 19

4

  

  

x k

Hướng dẫn giải:

Phương trình sin cos sin cos 10

sin cos 

xxx x

x x

Đặt

2 sin cos cos

4 sin 2 1

  

 

      

    

t

t x x x

x t

Ta có: 22 10 ( 1) 10( 1) ( 1)

1

        

t

t t t t t t

t

3 2 19

3 10 10 ( 2)(3 5)

3 

tt  t   t t     t t

2 19 19

cos arccos

4

    

 

       

xx k

Câu 11: Cho phương trình sin cosx xsinxcosx m  , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m

A 2

2

m

     B

2 m

    C 1

2

m

   D 1 2

2   m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt  

2

2

sin cos sin , sin sin cos

4

t txx x  t    x t x x 

 

Ta có phương trình  

2

2

1 1

0

2 2

t

t m m t t

         

 

 

Phương trình có nghiệm phương trình  1 có nghiệm t  2; 2

Xét hàm số

2

y  t   t  2; 2

x  2

y

1

1

2

 

2 

Từ BBT suy

2 m

   

Câu 12: Phương trình 2sin 2x3 sinxcosx  8 0 có nghiệm

A

5

x k

x k

 

 

   

  



, k  B

5

x k

x k

 

 

   

 

(59)

Trang 59

C

5

x k

x k

 

 

   

  



, k  D 12

5 12

x k

x k

 

 

   

  



, k 

Hướng dẫn giải: Chọn D

Đặt   2

sin cos sin , sin sin

4

txx  x   t   x t x t

 

Ta có  

 

 

2

6

2 6 6

2

t KTM

t t t t

t TM

  

         

 

sin sin

4

6

sin

2

sin sin

4

x

t x

x

 

 

   

 

  

  

      

      

    

2

4 12

2

2

4 12 12

7

2

4 12 12

13

2

12

x k x k

x k x k x k

x k x k x k

x k

x k

    

      

      

   

      

 

 

        

 

   

          

  

 

 

    

 

Ngày đăng: 20/12/2020, 03:07

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w