Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.. A..[r]
(1)Trang PHẦN I: ĐỀ BÀI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác
Nếu đặt: tsin2x hoac t sinx dieu kien: 0 t B– BÀI TẬP
hoặc điều kiện
Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác
A 2sin2xsin 2x B 2sin 22 xsin 2x
C cos2x c os2x D tan2 xcotx
Câu 2: Nghiệm phương trình sin2x– sinx0 thỏa điều kiện: x
A
2
x B x C x 0 D
2
x
Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin2x3sinx thỏa điều kiện 0
2
x
là:
A
3
x B
2
x C
6
x D
6
x
Câu 4: Phương trình sin2x3sinx có nghiệm là:
A ,
2
x k k B x k2 , k
C xk,k D ,
2
x k k
Câu 5: Nghiệm phương trình sin2xsinx0 thỏa điều kiện:
2 x
A x 0 B x C
3
x D
2
x
Câu 6: Trong 0; 2 , phương trình sinx 1 cos2 x có tập nghiệm
A ; ; 2
B 0; C 0; 2;
D 0; 2; ;
Câu 7: Phương trình: 2sin2x sin 2x có nghiệm là:
Dạng Đặt Điều kiện
2 sin 0
asin x b x c t = sinx t
2
cos cos
a xb x c t = cosx t
2
tan tan
a x b x c t = tanx ( )
2
x k kZ
2
cot cot
(2)Trang
A
2
, 2
x k
k
x k
B ,
2
x k
k
x k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Câu 8: Nghiệm phương trình sin2x4sinx :
A ,
2
x k k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D xk2 , k
Câu 9: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x
A k,k B k2 , k C , k k
D ,
6 k k
Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin
x x
A ( )
6
x k k B ; ( )
6
x k x k k
C ; ( )
6
x k x k k D ; ( )
6
x k x k k
Câu 11: Phương trình 2sin2xsinx có nghiệm là: 3
A k,k B ,
2 k k
C ,
2 k k
D
2 , k k
Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos 2xsinx
A ; ;
6 k k k
B ; ;
6 k k k
C ; ;
6 k k k
D ; ;
6 k k k
Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin2x– 3sinx 1 thỏa điều kiện:
2
x
A
6
x B
4
x C
2
x D
2
x
Câu 14: Nghiệm phương trình 2sin2x– 5sin – 0x là:
A ;
6
x k x k B ;
3
x k x k
C ;
2
x k x k D ;
4
x k x k
Câu 15: Nghiêm pt sin x2 –sinx2là:
A
2
x k B
2
x k C
2
(3)Trang Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin
4
x x
A ( )
6
x k k B ; ( )
6
x k x k k
C ; ( )
6
x k x k k D ; ( )
6
x k x k k
Câu 17: Nghiệm phương trình cos2 xsinx
A ,
2
x k k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Câu 18: Nghiêm phương trình sin2x sinx
A xk,k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Câu 19: Phương trình 2sin2 x3sinx có nghiệm 2
A k,k B ,
2 k k
C ,
2 k k
D ; ,
6 k k k
Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x3sinx thõa điều kiện 0
2
x
là:
A
3
x B
2
x C
6
x D
6
x
Câu 21: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x
A
2
,
x k
k
x k
B
2
,
2
x k
k
x k
C
2
,
x k
k
x k
D
2
,
2
x k
k
x k
Câu 22: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x là:
A k,k B k2 , k C , k k
D ,
6 k k
Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 22 x2sin2x :
A
4 k
B
4 k
C
4 k
D
4 k
Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos 22 xsin 2x
A
2 k
B
3
k C
2 k
D
2
k
(4)Trang
A arcsin k
B
1 arcsin
4 k
C 1arcsin
2 k
D
1 arcsin
2 k
Câu 26: Nghiệm phương trình sin 22 x2sin 2x 1 khoảng ; :
A ;
4
B
3 ; 4
C
3 ; 4
D
3 ;
4
Câu 27: Giải phương trình:sin2x2sinx 3
A k B
2 k
C
2 k
D
2 k
Câu 28: Giải phương trình lượng giác
4sin x12cos x 7 có nghiệm là:
A
4
x k B
4
x k C
4
x k D
4
x k
Câu 29: Phương trình cos cos
3
x x
có nghiệm là:
A
2
2
x k
x k
B
2
2
x k
x k
C
2
2
x k
x k
D
2
2
x k
x k
Câu 30: Tìm m để phương trình
2sin x 2m1 sinx m có nghiệm ;0
x
A 1 m B 1 m C 1 m D 0 m
Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos2x4cosx 3
A x k2 ( k ) B ( )
2
x k k
C xk2 ( k ) D xk (k )
Câu 32: Giải phương trình 2cos2x3cosx
A ,
3
x k k B , ,
3
k k k
C ,
3
x k k D xk2 , k
Câu 33: Phương trình cos 2x2cosx 11 có tập nghiệm là:
A xarccos 3 k2 , k , xarccos 2 k2 , k
B
C xarccos 2 k2 , k
D xarccos 3 k2 , k
Câu 34: Phương trình sau vơ nghiệm:
A sinx 3 B 2cos2 xcosx
C tanx 3 D 3sinx 20
Câu 35: Phương trình: sin2 cos
3
x x
có nghiệm là:
(5)Trang Câu 36: Phương trình : cos 22 cos
4
x x có nghiệm
A ,
3
x k k B ,
3
x k k
C ,
6
x k k D ,
6
x k k
Câu 37: Nghiệm phương trình cos2x– cosx thỏa điều kiện 00 : x
A
6
x B
2
x C
4
x D
2
x
Câu 38: Nghiệm phương trình
cos xcosx0thỏa điều kiện:
2 x
A x B
3
x C
2
x D
2
x
Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos2 – 8cos – 5
x x là:
A xk B x k2 C xk2 D 2
x k
Câu 40: Nghiệm pt 2cos 2x2cos – 0x
A
4
x k B
4
x k C
3
x k D
3
x k
Câu 41: Phương trình 2cos2x3cosx có nghiệm 2
A ,
6 k k
B ,
3 k k
C 2 ,
3 k k
D ,
3 k k
Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2x3cosx có nghiệm
A ,
2
x k k B x k2 , k C ,
x k k D Vơ nghiệm
Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2x2cosx có nghiệm
A xk2 , k B x 0 C ,
2
x k k D Vô nghiệm
Câu 44: Phương trình sin 22 cos2
x x có nghiệm
A ,
6
x k k B ,
4
x k k
C ,,
3
x k k D ,
3
x k k
Câu 45: Họ nghiệm phương trình cos 22 xcos 2x
A
2 k
B
2
k
C
2 k
D
2 k
Câu 46: Họ nghiệm phương trình 3cos 4x2cos 2x 5
A k2 B
3 k
C k D
3 k
(6)Trang
A ;
4
k k B ;
4
k k C ;
k k D ;
k k
Câu 48: Nghiệm phương trình cos2 3cos
3
x x
khoảng
3 ; 2
là:
A ; ;5 6
B
7
; ; 6
C
7
; ;
6 6
D
7
; ; 6
Câu 49: Giải phương trình 3cos2x2cosx 5
A xk B
2
x k C
2
x k D xk2
Câu 50: Phương trình 2
sin xsin 2x1 có nghiệm là:
A ( )
6
x k
k
x k
B
4
x k
x k
C 12
3
x k
x k
D Vơ nghiệm
Câu 51: Phương trình tan2x5 tanx có nghiệm là:
A ; arctan( 6)
4
x k x k k C ; arctan( 6)
4
x k x k k B ; arctan( 6)
4
x k x k k D xk;xarctan( 6) k k Câu 52: Giải phương trình
3 tan x 1 tanx 1
A , ,
4
x k x k k B , ,
3
x k x k k
C , ,
4
x k x k k D , ,
3
x k x k k
Câu 53: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm là:
A , arctan
4 k k
B
4 k
C arctan k D , arctan
4 k k
Câu 54: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm
A , arctan
4 k k
B
4 k
(7)Trang
C arctan k D , arctan
4 k k
Câu 55: Phương trình tan2x 3 tan x có nghiệm
A
3
x k
x k
B
3
x k
x k
C
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Câu 56: Phương trình tan2x3tanx 1 có nghiệm
A k (k ) B ; arctan( 1) ( )
4 k k
C , arctan( 1) ( )
2 k k
D ; arctan( 1) ( )
4 k k k
Câu 57: Một họ nghiệm phương trình tan 22 x3tan 2x
A
8 k
B
8 k
C
8 k
D
8 k
Câu 58: Họ nghiệm phương trình 3tan 2x2cot 2x
A
4 k
B
4 k
C 1arctan2
2 k
D 1arctan2
2 k
Câu 59: Trong nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình
2 tan x5 tanx 3 :
A
3
B
4
C
6
D
6
Câu 60: Số nghiệm phương trình tanx2cotx khoảng3 ;
:
A 2 B 1 C 4 D 3
Câu 61: Giải phương trình :tan2x2 tanx 1
A
4 k
B
4 k
C
2 k
D k
Câu 62: Nghiệm phương trình tanxcotx 2
A ,
4
x k k B ,
4
x k k
C ,
4
x k k D ,
4
x k k
Câu 63: Phương trình tan 2 1cot
1 tan
x
x x
có nghiệm là:
A
3
x k B
6
x k C
8
x k D
12
x k
Câu 64: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là:
A
6
x k, k B
6
x k, k
C
3
x k , k D Vô nghiệm
Câu 65: Giải phương trình sin sin cos cos 2sin
x x
x x
x
(8)Trang
A
3
x k , k B
6
x k , k
C
3
x k, k D
6
x k, k
Câu 66: Cho phương trình 1cos 4 tan2
2 1 tan
x
x m
x Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m
phải thỏa mãn điều kiện:
A
2
m B 0m1
C 1
2
m D
2
m hay m
Câu 67: Phương trình: 48 14 22 1 cot cot
cos x sin x x x
có nghiệm
A
16
x k , k B
12
x k , k
C
8
x k , k D
4
x k , k
Câu 68: Phương trình cos 2xsin2x2 cosx 1 0có nghiệm
A
2
2
x k
x k
, k B x k2 , k
C
3
x k , k D
3
x k
x k
, k
Câu 69: Phương trình: 4
cos sin cos sin
4
x x x x
có nghiệm là:
A xk2k B xk3k
C xk4k D
4
x k k
Câu 70: Phương trình sin3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình:
A sin
sin
x x
B
sin
sin
x x
C
sin
1 sin
2
x
x
D
sin
1 sin
2
x
x
Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos5xcos 2x2sin sin 2x x 0; 2
A 3 B 4 C 5 D 6
Câu 72: Số nghiệm phương trình cos tan
cos
x
x
x khoảng 0;2
:
A 2 B 4 C 5 D 3
Câu 73: Nghiệm phương trình
cos cos 2sin 3sin sin
1
sin
x x x x x
x
A
4
x k k B
4
(9)Trang
C
4
x k ,
4
x k , k D
4
x k , k
Câu 74: Cho phương trình cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos2x1 Các nghiệm thuộc khoảng
; của phương trình là:
A ,
3
B ,2
3
C ,
2
D ,
2
Câu 75: Phương trình: 4
sin sin sin
4 4
x x x có nghiệm là:
A
8
x k B
4
x k C
2
x k D x k2
Câu 76: Phương trình: cos cos 4sin 2 sin
4
x x x x có nghiệm là:
A 12 11 12 x k x k
B
2 6 x k x k
C
2 2 x k x k
D
2 4 x k x k
Câu 77:Cho phương trình: sin sin cos 3 cos
1 2sin
x x x
x
x Các nghiệm phương trình thuộc
khoảng 0;2 là:
A ,5 12 12
B ,5
6
C ,5
4
D ,5
3
Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình
sin x2 m1 sin cosx x m1 cos xm có nghiệm?
A 0 m B m 1 C 0 m D m 0
Câu 79: Để phương trình:
sin x2 m1 sinx3m m2 0 có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là:
A 1 2 m m
B
1 3 m m
C
0 m
m D
1 m m
Câu 80: Để phương trình sin6xcos6xa| sin |x có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
A 0
8
a B 1
8 a C
1
a D
4
a
Câu 81: Cho phương trình: sin 4xcos4x 8 sin6xcos6x4sin 42 xm m tham số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là:
A 1 m0 B
2
m
C
2
m D m 2 haym0
Câu 82: Cho phương trình:
6
2
sin cos
2 tan cos sin x x m x x x
, m tham số Để phương trình có
nghiệm, giá trị thích hợp m
A
8
m hay
8
m B
4
m hay
4
(10)Trang 10
C
8
m hay
8
m D
4
m hay
4
(11)Trang 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
+ Là phương trình có dạng (sin ,cos ) 0f x x luỹ thừa sinx cosx chẵn
lẻ
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho coskx (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn 0
tan x
Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không?
Lưu ý: cosx = sin2 1 sin 1.
2
x k x x
• Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:
2
.tan tan (1 tan )
a x b x c d x
• Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t:
2
(a d t ) b t c d
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 cos2
(1)
2 2
x x x
a b c d
.sin2 ( ).cos2
b x c a x d a c
(đây PT bậc sin2x cos2x)
B– BÀI TẬP
Câu 1: Phương trình 6sin2x7 sin 2x8cos2 x có nghiệm là:
A
6
x k
x k
, k B
3
x k
x k
, k
C
12
x k
x k
, k D
3
3
x k
x k
, k
Câu 2: Phương trình sin 2x2 sin cosx x cos x có nghiệm là:
A x k 3
x k
với tan , k B x k tan 3
x k
với , k
C x k tan 3
x k
với , k D x k tan 3
x k
với , k
(12)Trang 12
A 1arctan , 1arctan( 2) ,
2 2
k k
x x k
B arctan1 73 , arctan1 73 ,
12 12
k k
x x k
C 1arctan1 73 , 1arctan1 73 ,
2 2
k k
x x k
D arctan3 , arctan( 1) ,
2 2
k k
x x k
Câu 4: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x có nghiệm là:
A
4k
, k B , arctan
4 k k
, k
C , arctan
4 k k
, k
D , arctan
4 k k
, k
Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin2x5sin cosx xcos2x 2
A
6 k
, k B
4 k
, k C
4 k
, k D
6 k
,
k
Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos2 x6sin cosx x 3 3
A 3 k
, vk B
4 k
, k C
4 k
, k D k
,
k
Câu 7: Một họ nghiệm phương trình 3sin cosx x sin x
A arctan 2 k , k B 1arctan 2
2 k
, k
C 1arctan 2
2 k
, k D arctan 2 k, k
Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin2xsin cosx x3cos2x 0
A arctan k
, k B
3 arctan
2 k
, k
C arctan k
, k D
3 arctan
2 k
, k Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin2x4sin cosx x5cos2x 2
A
4 k
, k B
4 k
, k C
4 k
, k D 3
4 k
,
k
Câu 10: Phương trình : 2
sin x( 1) sin cos x x cos x0 có họ nghiệm
A
4 k
, k B 3
4 k
, k
C
3 k
, k D
4 k
,
3 k
, k
Câu 11: Phương trình 3cos 42 x5sin 42 x 2 sin cos 4x x có nghiệm là:
A
6
x k, k B
12
(13)Trang 13
C
18
x k , k D
24
x k , k
Câu 12: Trong khoảng ; ,
phương trình
2
sin 4x3.sin cos4x x4.cos 4x0có:
A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm
Câu 13: Phương trình 2cos2x3 sin 2x4sin2x có họ nghiệm 4
A
6
x k
x k
, k B
2
x k , k
C
6
x k , k D
2
x k, k
Câu 14: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x0 (với k ) có nghiệm là:
A ,arctan( )1
4
k k B
4
k
C ,arctan( )1
4
k k D ,arctan( )1
4
k k
Câu 15: Giải phương trình 3 5 cos xsin x2 cos xsin x
A
4
x k B
4
x k C
4
x k D
4
x k
Câu 16: Giải phương trình sin2 x3tanxcosx4sinxcosx
A , arctan 2
x k x k B , arctan 2
4 2
x k x k C , arctan 2
4 3
x k x k D , arctan 2
4
x k x k
Câu 17: Giải phương trình sin2 xtanx 1 3sinxcosxsinx3
A
2
2
x k
x k
B
1
4
1
3
x k
x k
C
2
4
2
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Câu 18: Giải phương trình 4sin3x3cos3x3sinxsin2 xcosx0
A ,
4
x k x k B ,
4
x k x k
C ,
4 3
x k x k D ,
4
x k x k
Câu 19: Giải phương trình 2cos3xsin 3x
A
arctan( 2)
2
x k
x k B
1 arctan( 2)
2
4
x k
(14)Trang 14
C
2 arctan( 2)
3
4
x k
x k
D
arctan( 2)
4
x k
x k
Câu 20: Giải phương trình cos2x sin 2x 1 sin2 x
A
2
2
x k
x k B
1
1
3
x k
x k
C
2
2
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Câu 21: Giải phương trình 2cos2x6sin cosx x6sin2x1
A ; arctan
4
x k x k B ; arctan
4
x k x k
C ; arctan 1
4
x k x k D ; arctan
4
(15)Trang 15 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Là phương trình có dạng: (sin cos ) sin cos
a x x b x x c (3)
Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
Đặt: cos sin 2.cos ;
4
t x x x t
2
1 2sin cos sin cos ( 1)
t x x x x t
Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t
Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinxcos )x bsin cosx x c 0
(3’)
Để giải phương trình ta đặt
2;
sin cos sin
1
4 sin cos
2
t
t x x x
t
x x
Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t
Lưu ý:
• cos sin cos sin
4
x x x x
• cos sin cos sin
4
x x x x
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c =
• Đặt: cos sin cos ; :
4
t x x x Ñk t
2
sin cos ( 1)
x x t
• Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
B– BÀI TẬP
Câu 1: Phương trình sin cos 1sin 2
x x x có nghiệm là:
A
4
x k
x k
, k B
2
x k
x k
, k
C x k
x k
, k D 2
2
x k
x k
, k
Câu 2: Phương trình sin3 cos3 1sin 2
(16)Trang 16
A x k
x k
, k B 2
2
x k
x k
, k
C
3
2
x k
x k
, k D
3
2
x k
x k
, k
Câu 3: Giải phương trình 2sin 2xsinxcosx 1
A ,
2
x k x k arccos
4 2
x k
B ,
3
x k x k arccos 1
4 2
x k
C ,
3
x k x k arccos
4 2
x k
D ,
2
x k x k arccos
4 2
x k
Câu 4: Giải phương trình sin 2x12 sin xcosx120
A ,
2
x k x k B ,
2
x k x k
C ,
2 3
x k x k D ,
2
x k x k
Câu 5: Giải phương trình sin 2 sin
x x
A , ,
4
x k x k x k B , ,
4 2 2
x k x k x k
C , ,
4 3
x k x k x k D , ,
4
x k x k x k
Câu 6: Giải phương trình tan x2 sinx
A , 11 ,
4 12 12
x k x k x k
B , 11 ,
4 12 12
x k x k x k
C , 11 ,
4 12 12
x k x k x k
D , 11 ,
4 12 12
x k x k x x k
Câu 7: Giải phương trình cosxsinx 2sin 2x1
A
2
k
x B
2
k
x C
2
k
x D
2
k
x
Câu 8: Giải phương trình cos3xsin3xcos 2x
A , ,
4
x k x k x k B , ,
4
(17)Trang 17
C , ,
4 3
x k x k x k D , ,
4
x k x k x k
Câu 9: Giải phương trình cos3xsin3x2sin 2xsinxcosx
A
2
k
x B
2
k
x C xk D
2
k
x
Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 10
cos sin
x x
A arccos2 19
4
x k B arccos2 19
4
x k
C arccos2 19
4
x k D arccos2 19
4
x k
Câu 11: Cho phương trình sin cosx xsinxcosx m , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp mlà
A 2
2
m
B
2 m
C 1
2
m
D 1 2
2 m
Câu 12: Phương trình 2sin 2x3 sinxcosx 8 0 có nghiệm
A
5
x k
x k
, k B
5
x k
x k
, k
C
5
x k
x k
, k D 12
5 12
x k
x k
(18)Trang 18 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1 Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác
Nếu đặt: tsin2x t sinx điều kiện: 0 t B– BÀI TẬP
Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác
A 2sin2xsin 2x B 2sin 22 xsin 2x
C cos2x c os2x D tan2 xcotx
Hướng dẫn giải: Chọn B
Câu 2: Nghiệm phương trình sin2 – sin 0
x x thỏa điều kiện: x
A
2
x B x C x 0 D
2
x
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2 sin
sin – sin
sin
2
x k x
x x k
x x k
Vì 0 nên nghiệm phương trình x
2
x
Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin2x3sinx thỏa điều kiện 01
2
x
là:
A
3
x B
2
x C
6
x D
6
x
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Dạng Đặt Điều kiện
2 sin 0
asin x b x c t = sinx t
2
cos cos
a x b x c t = cosx t
2
tan tan
a x b x c t = tanx ( )
2
x k kZ
2
cot cot
(19)Trang 19
Đặt tsinx 1 t 1, phương trình trở thành:
1
2 1
2
t
t t
t
Với t 1, ta có: sin
2
x x k k
Do
2
x
nên
2 k
4 k
Vì k nên không tồn k
Với
2
t , ta có: sin sin
2
x
2
2
x k
x k
Do
2
x
nên
6
x
Vậy phương trình có nghiệm
6
x thỏa điều kiện
2
x
Câu 4: Phương trình sin2x3sinx có nghiệm là:
A ,
2
x k k B x k2 , k
C xk,k D ,
2
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt tsinx 1 t 1, phương trình trở thành: t2 3t 4 ( )
t
t l
Với t 1, ta có: sinx 1
2
x k k
Câu 5: Nghiệm phương trình sin2xsinx0 thỏa điều kiện:
2 x
A x 0 B x C
3
x D
2
x
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2
sin xsinx0 sin
sin
2
x k x
k
x x k
Vì
2 x
nên nghiệm phương trình x 0
Câu 6: Trong 0; 2 , phương trình sinx 1 cos2 x có tập nghiệm
A ; ; 2
B 0; C 0; 2;
D 0; 2; ;
(20)Trang 20
2 sin
sin cos sin sin
sin
2
x k x
x x x x k
x x k
Mà 0; 0; ;
2
x x
Câu 7: Phương trình: 2sin2x sin 2x có nghiệm là:
A
2
, 2
x k
k
x k
B ,
2
x k
k
x k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có :
2
2sin x sin 2x2 2.1 cos sin 2
2
x
x
sin 2xcos 2x1 sin sin
6
x
2
6
5
2
6
x k
x k
2
3
2
x k
x k
6
2
x k
k
x k
Câu 8: Nghiệm phương trình sin2x4sinx :
A ,
2
x k k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D xk2 , k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
sin x4sinx 3 sin
sin
x x
Với sinx 1 ,
2
x k k
Phương trình sinx 3 1 vơ nghiêm
Câu 9: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2x
B k,k B k2 , k C , k k
D ,
6 k k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
5 5sin x2cos x0
5 5sinx sin x
2sin x 5sinx
sin 7
sin
2
x x
(21)Trang 21
Với sin ,
2
x x k k
Phương trình sin
2
x vơ nghiêm
Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin2 2sin
x x
A ( )
6
x k k B ; ( )
6
x k x k k
C ; ( )
6
x k x k k D ; ( )
6
x k x k k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
sin 2sin
4
x x
1 sin
2 sin
2
x
x
Với sin
2
x
2
2
x k
k
x k
Phương trình sin
2
x vơ nghiêm
Câu 11: Phương trình 2sin2xsinx có nghiệm là: 3
A k,k B ,
2 k k
C ,
2 k k
D
2 , k k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
2sin xsinx 3
sin
3 sin
2
x x
Với sinx 1 ,
2
x k k
Phương trình sin
2
x vô nghiêm
Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos 2xsinx
A ; ;
6 k k k
B ; ;
6 k k k
C ; ;
6 k k k
D ; ;
6 k k k
(22)Trang 22
Ta có
2 sin
cos sin 2sin sin 1
6 sin
2
5
x k
x
x x x x x k k
x
x k
Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin2x– 3sinx 1 thỏa điều kiện:
2
x
A
6
x B
4
x C
2
x D
2
x
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2
2sin x– 3sinx 1
2 sin
2
6 sin
2 5
2
x k
x
x k k
x
x k
Vì
2
x
nên nghiệm phương trình
6
x
Câu 14: Nghiệm phương trình 2sin2x– 5sin – 0x là:
A ;
6
x k x k B ;
3
x k x k
C ;
2
x k x k D ;
4
x k x k
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2
2sin x– 5sin – 0x
sin
6
7 sin
2
6
x x k
k x
x k
Câu 15: Nghiêm pt sin x2 –sinx2là:
A
2
x k B
2
x k C
2
x k D xk Hướng dẫn giải::
ChọnA
Đặt tsinx Điều kiện t 1
Phương trình trở thành: 2 ( TM)
2
2 (L)
t
t t t t
t
Với sin (k Z)
2
t x x k
Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình:
sin 2sin
4
(23)Trang 23
A ( )
6
x k k B ; ( )
6
x k x k k
C ; ( )
6
x k x k k D ; ( )
6
x k x k k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
3 sin
3
sin 2sin
1
sin
x
x x
x
+ sin
2
x vô nghiệm
2
+
2
1
sin sin sin ,
5
2
2
x k
x x k
x k
Câu 17: Nghiệm phương trình cos2 xsinx
A ,
2
x k k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn C
2
cos xsinx 1 1 sin2xsinx 1 0 sin2xsinx 2
sin
sin 2( )
x
x vn
x k2 ,k
Câu 18: Nghiêm phương trình sin2x sinx
A xk,k B ,
2
x k k
C ,
2
x k k D ,
2
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn B
2
sin x sinx2 sin2 xsinx 2 sin
sin 2( )
x
x vn
x k2 ,k
Câu 19: Phương trình 2sin2 x3sinx có nghiệm 2
A k,k B ,
2 k k
C ,
2 k k
D ; ,
6 k k k
(24)
Trang 24
2sin x3sinx 2
1 sin
2 sin 2( )
x
x vn
2
,
2
x k
k
x k
Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: 2cos2x3sinx thõa điều kiện 0
2
x
là:
A
3
x B
2
x C
6
x D
6
x
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2cos x3sinx 3 sin 2x3sinx 3
2
2sin x 3sinx
sin 11
sin
x x
2 ,
5
x k
x k k
x k
Do
2
x
nên ta chọn
6
x
Câu 21: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x
A
2
,
x k
k
x k
B
2
,
2
x k
k
x k
C
2
,
x k
k
x k
D
2
,
2
x k
k
x k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
2
1 5sin x2cos x0
1 5sinx sin x
2sin x 5sinx
1 sin
2
sin VN
x
x
sin sin
x
2
2
x k
x k
, k
Câu 22: Nghiệm phương trình 5sin x2cos2 x là:
A k,k B k2 , k C , k k
D ,
6 k k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
(25)Trang 25
sin
3
sin VN
2
x x
2 ,
x k k
Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 22 x2sin2x :
A
4 k
B
4 k
C
4 k
D
4 k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
2
sin 2sin sin 2
2
x x x x k x k k
Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos 22 xsin 2x
A
2 k
B
3
k C
2 k
D
2
k
Hướng dẫn giải::
Chọn D
2 sin
cos sin sin sin
sin
x
x x x x
x
+) sin 2
2
x x k x k k +) sin 2
2
k
x xk x k
Câu 25: Một họ nghiệm phương trình 2cos 2x3sinx 1
A arcsin k
B
1 arcsin
4 k
C 1arcsin
2 k
D
1 arcsin
2 k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
sin
2 cos 3sin 2sin 3sin 4sin 3sin 1
sin
4
x
x x x x x x
x
+) sin
2
x x k k
+)
1
arcsin
1
sin
4
arcsin
4
x k
x
x k
k
Câu 26: Nghiệm phương trình
sin 2x2sin 2x 1 khoảng ; :
A ;
4
B
3 ; 4
C
3 ; 4
D
3 ;
4
Hướng dẫn giải::
(26)Trang 26
2
sin sin sin
2
2
x x x
x k x k k
Theo đề
1
4 4
4
x k
x k k
k x
Câu 27: Giải phương trình:sin2x2sinx 3
A k B
2 k
C
2 k
D
2 k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
Phương trình:
2
sin x2sinx 3 0. sin
sin x x
+ sin
2
x x k k
+ sinx phương trình vơ nghiệm 3
Câu 28: Giải phương trình lượng giác
4sin x12cos x 7 có nghiệm là:
A
4
x k B
4
x k C
4
x k D
4
x k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
Ta có:
4
4sin x12cos x 7 04sin4x12sin2x 5
2 sin sin x L x sin sin x x 4 x k x k x k x k , k
x k
Câu 29: Phương trình cos cos
3
x x
có nghiệm là:
A 2 x k x k
B
2 2 x k x k
C
2 x k x k
D
2 x k x k
Hướng dẫn giải::
Chọn A
2
5
cos cos 2sin cos
3 3
x x x x
(27)Trang 27
2
1 2sin 4sin 2sin 4sin
3 3
x x x x
3
sin 2 2
3 3 6 6
sin sin
5
3
1
2
sin
3
2
,
2
x x k x k
x k
x
k x
x k
Câu 30: Tìm m để phương trình
2sin x 2m1 sinx m có nghiệm ;0
x
A 1 m B 1 m C 1 m D 0 m
Hướng dẫn giải::
Chọn C
Với ;0 sin
2
x x
2
2sin x 2m1 sinx m
1 sin
2 sin
x
x m
Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos2x4cosx 3
A x k2 ( k ) B ( )
2
x k k
C xk2 ( k ) D xk (k )
Hướng dẫn giải::
Chọn C
2
cos x4cosx 3
cos
2
cos
x
x k k
x VN
Câu 32: Giải phương trình 2cos2x3cosx
A ,
3
x k k B , ,
3
k k k
C ,
3
x k k D xk2 , k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
2
2cos x3cosx 1
cos
1 cos
2
x x
Với cosx 1 x k2 , k
Với cos
2
x ,
3
x k k
Câu 33: Phương trình cos 2x2cosx 11 có tập nghiệm là:
A xarccos 3 k2 , k , xarccos 2 k2 , k
B
C xarccos 2 k2 , k
D xarccos 3 k2 , k
(28)Trang 28 Chọn B
cos 2x2cosx 11 02cos2x2cosx 12 cos
cos
x x
vơ nghiệm
Câu 34: Phương trình sau vô nghiệm:
A sinx 3 B 2cos2 xcosx
C tanx 3 D 3sinx 20
Hướng dẫn giải::
Chọn A
sinx 3 sinx 3 PT vô nghiệm
Câu 35: Phương trình: sin2 cos
3
x x
có nghiệm là:
A xk,k B xk3 , k C xk2 , k D xk6 , k Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có:
sin cos
3
x x
1 cos cos
3
x x
2
cos cos
3
x x
cos
3
cos ( )
3
x
x
vn
2
x k
x k6k
Câu 36: Phương trình : cos 22 cos
x x có nghiệm
A ,
3
x k k B ,
3
x k k
C ,
6
x k k D ,
6
x k k
Hướng dẫn giải::
Chọn B
2
cos cos
4
x x
1 cos
2
cos (VN)
2
x
x
cos cos
x
2
3
x k x k
Câu 37: Nghiệm phương trình cos2x– cosx thỏa điều kiện 00 : x
A
6
x B
2
x C
4
x D
2
x
Hướng dẫn giải: Chọn B
Ta có cos2x– cosx 0cosxcosx 1 cos
cos
x x
22
x k
k x k
(29)Trang 29 Với 0 x
0
k
k k
1
2
1
2
k k k
0
k VN
x
Câu 38: Nghiệm phương trình
cos xcosx0thỏa điều kiện:
2 x
A x B
3
x C
2
x D
2
x
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2
cos xcosx0 cos
cos
2
x x k
k x
x k
Vì
2 x
nên nghiệm phương trình x
Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos2x– 8cos – 5x là:
A xk B x k2 C xk2 D 2
x k
Hướng dẫn giải:: Chọn B
2
3cos x– 8cos – 5x
cos
3cos 8cos 5
cos
3
x
x x x k k
x
Câu 40: Nghiệm pt 2cos 2x2cos – 0x
A
4
x k B
4
x k C
3
x k D
3
x k
Hướng dẫn giải:: Chọn A
2
2cos 2cos –
2 2cos 2cos –
4 cos cos 2
2 cos
2
1
cos
2
x x
x x
x x
x
x loai
Câu 41: Phương trình 2cos2x3cosx có nghiệm 2
A ,
6 k k
B ,
3 k k
C 2 ,
3 k k
D ,
3 k k
(30)
Trang 30
2cos x3cosx 2
1 cos
2 cos 2( )
x
x vn
2 ,
x k k
Câu 42: Phương trình lượng giác: sin2x3cosx có nghiệm
A ,
2
x k k B x k2 , k C ,
x k k D Vô nghiệm
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: sin2 x3cosx 4 (1 cos2x) 3cos x 4 cos2x3cosx 3 Đặt tcosx 1 t 1 Phương trình trở thành: t2 (pt vô nghiệm) 3t
Vậy phương trình cho vơ nghiêm
Câu 43: Phương trình lượng giác: cos2x2cosx có nghiệm
A xk2 , k B x 0 C ,
2
x k k D Vô nghiệm
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đặt tcosx 1 t 1 Phương trình trở thành: t2 2t
3 ( )
t
t l
Với t 1cosx1 x k2 ( k )
Câu 44: Phương trình sin 22 cos2
x x có nghiệm
A ,
6
x k k B ,
4
x k k
C ,,
3
x k k D ,
3
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn A
2
sin 2 cos
x x cos 22 cos2 +3
x x
2
cos cos2
x x
3
cos2 = ( )
2 cos2 =
2
x vn
x
2 ,
3
x k x k k
Câu 45: Họ nghiệm phương trình cos 22 xcos 2x
A
2 k
B
2
k
C
2 k
D
2 k
Hướng dẫn giải::
Chọn A
2 cos
cos cos 2
cos 2 (VN)
x
x x
x
cos 2
2
x x k x k k
(31)Trang 31
A k2 B
3 k
C k D
3 k
Hướng dẫn giải::
Chọn C
3cos 4x2cos 2x 5 0
cos cos 2 cos cos 2 cos 4
cos (VN)
x
x x x x
x
cos 2x 1 2xk2 x k k
Câu 47: Các họ nghiệm phương trình 3sin 22 x3cos 2x
A ;
4
k k B ;
4
k k C ;
k k D ;
k k
Hướng dẫn giải::
Chọn A
2
3sin 2x3cos 2x
cos
3 cos 3cos 3cos 3cos
cos
x
x x x x
x
+) cos 2x 1 2xk2 x k k +) cos 2
2
k
x x k x k
Câu 48: Nghiệm phương trình cos2 3cos
3
x x
khoảng
3 ; 2
là:
A ; ;5 6
B
7
; ; 6
C
7
; ;
6 6
D
7
; ; 6
Hướng dẫn giải::
Chọn D
2
cos
3
2 cos 3cos
3
cos
3
cos 2
3
x
x x
x Loai
x x k x k k
Theo đề
7
3
0
2 3
1
5
x k
x k k k x
k
x
(32)
Trang 32
A xk B
2
x k C 2
x k D xk2
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Ta có:3cos2x2cosx 5 cosx 1 cos
x (loại vì 1 cosx ) 1 Khi đó,cosx 1 x k2 k
Câu 50: Phương trình sin2xsin 22 x1 có nghiệm là:
A ( )
6
x k
k
x k
B
4
x k
x k
C 12
3
x k
x k
D Vô nghiệm
Hướng dẫn giải::
Chọn A
Ta có sin2xsin 22 x 1 cos 2x2(1 cos ) x 2 2cos 22 xcos 2x 1
2
cos
2
( )
1
2
cos
3
6
x k
x x k
k
x k
x
x k
Câu 51: Phương trình tan2x5 tanx có nghiệm là:
A ; arctan( 6)
4
x k x k k C ; arctan( 6)
4
x k x k k B ; arctan( 6)
4
x k x k k D xk;xarctan( 6) k k Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt ttanx, phương trình trở thành:
6
t
t t
t
Với t 1 ta có tanx 1
4
x k k
Với t 6 ta có tanx 6 x arctan 6 k k
Câu 52: Giải phương trình tan2x 1 tan x 1
A , ,
4
x k x k k B , ,
3
x k x k k
C , ,
4
x k x k k D , ,
3
(33)Trang 33 Hướng dẫn giải::
Chọn A
2
3 tan x 1 tanx 1
tan
3 tan
3
x
x
Với tanx 1 ,
4
x k k
Với tan
3
x ,
6
x k k
Câu 53: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm là:
A , arctan
4 k k
B
4 k
C arctan k D , arctan
4 k k
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Điều kiện x k
2 tan
tan 3cot tan tan
tan arctan
x x k
x x x x k
x x k
Câu 54: Phương trình tanx3cotx4 (với k ) có nghiệm
A , arctan
4 k k
B
4 k
C arctan k D , arctan
4 k k
Hướng dẫn giải::
Chọn D
Đk: sin
2
x x k x k
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với
2 tan
tan tan
tan
arctan
x x k
x x k
x
x k
Câu 55: Phương trình tan2x 3 tan x có nghiệm
A
3
x k
x k
B
3
x k
x k
C
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Hướng dẫn giải::
Chọn A
2 tan
3 tan 3 tan
tan
x
x x
x
+) tan
4
(34)Trang 34
+) tan
3
x x k k
Câu 56: Phương trình tan2x3tanx 1 có nghiệm
A k (k ) B ; arctan( 1) ( )
4 k k
C , arctan( 1) ( )
2 k k
D ; arctan( 1) ( )
4 k k k
Hướng dẫn giải::
Chọn D.
Ta có
1 arctan
tan 2
2 tan tan ( )
tan
4
x k
x
x x k
x x k
Câu 57: Một họ nghiệm phương trình tan 22 x3tan 2x
A
8 k
B
8 k
C
8 k
D
8 k
Hướng dẫn giải::
Chọn D
2 tan
tan tan 2
tan 2
x
x x
x
+) tan 2
4
k
x x k x k +) tan 2 arctan arctan
2
k
x x k x k
Câu 58: Họ nghiệm phương trình 3tan 2x2cot 2x
A
4 k
B
4 k
C 1arctan2
2 k
D 1arctan2
2 k
Hướng dẫn giải::
Chọn D
ĐK
2
xk x k
2
3tan 2x2cot 2x 5 3tan 2x5 tan 2x 2
tan 2
8
4
2
tan
2 arctan arctan
3
3
x x k x k
k x
x k x k
Câu 59: Trong nghiệm sau, nghiệm âm lớn phương trình tan2x5 tanx 3 :
A
3
B
4
C
6
D
6
Hướng dẫn giải::
Chọn B
Dùng chức CALC máy tính để kiểm tra
Câu 60: Số nghiệm phương trình tanx2cotx khoảng3 ;
:
(35)Trang 35 Hướng dẫn giải::
Chọn D
Điều kiện: sin 2x 0
Phương trình: 2tanx2cotx
2
tan
2 tan tan 1
tan
2
x
x x
x
Dùng đường tròn lượng giác ta thấy khoảng ;
phương trình có nghiệm
Câu 61: Giải phương trình :tan2x2 tanx 1
A
4 k
B
4 k
C
2 k
D k
Hướng dẫn giải::
Chọn B.
Ta có: tan2 tan tan
4
x x x x k k
Câu 62: Nghiệm phương trình tanxcotx 2
A ,
4
x k k B ,
4
x k k
C ,
4
x k k D ,
4
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn D
tanxcotx 2
Điều kiện:
2
xk
tanxcotx 2 tan
tan
x
x
2
tan x tanx
tanx 1 ,
4
x k k
Câu 63: Phương trình tan 2 1cot
1 tan
x
x x
có nghiệm là:
A
3
x k B
6
x k C
8
x k D
12
x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Điều kiện: ; ,
2
x k x k k
2
tan
cot
1 tan
x
x x
1 tan tan
2 tan 4
1 tan tan tan
4
x x
x x
2
2 tan tan
1 tan tan
x x
x x
2 tan tan
(36)Trang 36
tan x tanx
tan
tan
x x
5 12
12
x k
k
x k
Câu 64: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là:
A
6
x k, k B
6
x k, k
C
3
x k , k D Vô nghiệm
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta có: 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2x
2 2 2
2 sin cosx x 2 cos x 3cos x 3sin x cos x sin x
2
sin x sin cosx x 2 cos x
2
tan x tanx 2
(vì cosx 0 khơng nghiệm phương trình)
Phương trình vơ nghiệm
Câu 65: Giải phương trình sin sin cos cos 2sin
x x
x x
x
A
3
x k , k B
6
x k , k
C
3
x k, k D
6
x k, k
Hướng dẫn giải: Chọn A
3
3sin 4sin cos 3cos
5 sin cos
1 2sin
x x x x
pt x x
x
3
3 sin cos sin cos
5 s inx cos
1 2sin
x x x x
x x
5 sinx sinx cosx 2cos x
1 cos
2 cos 5cos 2
3
cos
x
x x x k
x
Câu 66: Cho phương trình 1cos 4 tan2
2 1 tan
x
x m
x Để phương trình vơ nghiệm, giá trị tham số m
phải thỏa mãn điều kiện:
A
2
m B 0m1
C 1
2
m D
2
m hay m
Hướng dẫn giải: Chọn D
Điều kiện
(37)Trang 37
1 tan
cos
2 1 tan
x
x m
x
2
1
cos 4 tan cos
2
x x xm cos 4x8sin cosx x2m
2
1 2sin 4sin 2
x x m 2sin 22 x4sin 2x2m 1 1 Đặt t sin 2x t 1;1 \ 0
1 trở thành
2t 4t 2m 1 0 2 , 4m 2 4m Ta xét 1 có nghiệm, tức 2 có nghiệm to 1;1
Nếu
2
m 2 có nghiệm kép t 1, loại t 1 1;1 \ 0
Nếu
2
m
Nếu 2 có nghiệm
2
t m nghiệm lại t 2 1;1 \ 0
Khi
2
m 2 phải có hai nghiệm thoả
1
2
1
1 2
1 2 6 4
1
2
m
a t
t m
b
Giải a ,
5
2 6 4
3 2
2 6
2
m
m m
a m
m m m
Giải b , 6 4
2 6
m m
b m
m m
Khi đó, 1 có nghiệm
2
m
Vậy 1 vô nghiệm
2
m
2
m
Câu 67: Phương trình: 48 14 22 1 cot cot cos x sin x x x
có nghiệm
A
16
x k , k B
12
x k , k
C
8
x k , k D
4
x k , k
Hướng dẫn giải: Chọn C
Điều kiện: sin
2
x x k
Ta có: cot cot cos cos sin sin cos 22 12
sin sin 2sin cos 2sin
x x
x x x x
x x
x x x x x
Do đó, phương trình tương đương:
4
2
4
4
1 sin cos
48 48 sin 3sin
cos sin sin cos
x x
x x
x x x x
Đặt
sin
(38)Trang 38
2
1
1 2
1
2
3
t n
t t
t l
Suy ra: sin 22 cos
2
k
x x x , k
Câu 68: Phương trình cos 2xsin2x2 cosx 1 0có nghiệm
A
2
2
x k
x k
, k B x k2 , k
C
3
x k , k D
3
x k
x k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn B
2
cos 2xsin x2 cosx 1 2 cos2x 1 cos2x2cosx 1
cos x 2cosx
cosx 1 x k2 k
Câu 69: Phương trình: 4
cos sin cos sin
4
x x x x
có nghiệm là:
A xk2k B xk3k
C xk4k D
4
x k k
Hướng dẫn giải: Chọn D
4
cos sin cos sin
4
x x x x
2
1
1 sin sin sin
2 x x x
2
1
1 sin cos sin
2 x x x
1 sin 2sin sin
2 x 2 x x
2
1
sin sin
2 x x
sin
sin 2 ( )
x
x VN
2x 2k
,
4
x k k
Câu 70: Phương trình sin3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình:
A sin
sin
x x
B
sin
sin
x x
C
sin
1 sin
2
x
x
D
sin
1 sin
2
x
x
Hướng dẫn giải: Chọn C
Phương trình sin 3xcos 2x 1 sin 3xsinx
2
2sin x sinx
sin
1 sin
2
x
x
Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos5xcos 2x2sin sin 2x x 0; 2
(39)Trang 39 Hướng dẫn giải:
Chọn A
cos5 cos cos5 cos
pt x x x x
2cos x cosx
2 cos
1
2 cos
3
x k
x
x k
x
Vì 0; , ,5
3
x x
Vậy tổng nghiệm 3
Câu 72: Số nghiệm phương trình cos tan
cos
x
x
x khoảng 0;2
:
A 2 B 4 C 5 D 3
Hướng dẫn giải: Chọn A
Điều kiện: cos 2x 0 sin 2x 1 Ta có : cos tan
cos
x
x
x cos 4xsin 2x
2
1 2sin sin
x x 2sin 22 xsin 2x 1
sin
1 sin
2
x l
x n
6
3
x k
x k
k
Vì 0;
2
x ;
6
x x
Câu 73: Nghiệm phương trình
cos cos 2sin 3sin sin
1
sin
x x x x x
x
A
4
x k k B
4
x k, k
C
4
x k ,
4
x k , k D
4
x k , k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Điều kiện
2
sin
3
2
x k
x x k
x k
2
cos 2cos sin 3sin sin sin
pt x x x x x x 2sin2x3 sinx
2
sin 4
2
5
2
sin
4
x k
x
x k
x k l
x
Câu 74: Cho phương trình cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos2x1 Các nghiệm thuộc khoảng
; của phương trình là:
A ,
3
B ,2
3
C ,
2
D ,
2
(40)Trang 40 Hướng dẫn giải::
Chọn D
Phương trình
cos5 cosx xcos4 cos2x x3cos x1
1
cos cos cos cos 3cos
2
x x x x x cos4xcos2x6cos2x2
2
2cos cos2 3cos2
x x x
2 cos
2 cos cos ,
cos 3( )
x
x x x k k
x PTVN
Vậy nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình ,
2
x x
CÁCH KHÁC:
Dùng chức CACL máy tính cầm tay (casio 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị ,
2
x x
của đáp án D thỏa
Câu 75: Phương trình: 4
sin sin sin
4 4
x x x có nghiệm là:
A
8
x k B
4
x k C
2
x k D x k2
Hướng dẫn giải:: Chọn B
4 4
sin sin sin
4 4
x x x
2 2
1 1
1 cos cos cos
4 4
x x x
2 2 2
1 cos sin sin
x x x
2 2
1 2cos2 cos 2sin sin 2sin sin
x x x x x
2 cos
2 cos sin cos 2 cos ,
cos 2( )
x
x x x x x k k
x PTVN
CÁCH KHÁC:
Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)
Câu 76: Phương trình: cos cos 4sin 2 sin
4
x x x x có nghiệm là:
A
2 12 11
2 12
x k
x k
B
2
2
x k
x k
C
2
2
x k
x k
D
2
2
x k
x k
Hướng dẫn giải:: Chọn B
cos cos 4sin 2 sin
4
x x x x
1
cos sin sin cos 4sin 2 sin
2
x x x x x x
2 cos 4sin 2 sin
(41)Trang 41
2 2sin 4sin 2 sin 2 sin sin
x x x x x
2
sin
6
1 5
sin 2
2 6
x k
x PTVN
k
x x k
CÁCH KHÁC:
Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)
Kiểm tra giá trị
12
x đáp án A,
x đáp án C,
x đáp án D không thỏa
phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không
thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị
6
x đáp án B thỏa phương trình
Kiểm tra giá trị
x đáp án A,
x đáp án C, x đáp án D khơng thỏa phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không
thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị
4
x đáp án B thỏa phương trình
Câu 77:Cho phương trình: sin sin cos 3 cos
1 2sin
x x x
x
x Các nghiệm phương trình thuộc
khoảng 0;2 là:
A ,5 12 12
B ,5
6
C ,5
4
D ,5
3
Hướng dẫn giải:: Chọn D
Điều kiện: sin
2
x Phương trình cho tương đương:
3
3sin 4sin cos 3cos cos
sin
1 2sin
x x x x x
x
x
3
3 sin cos sin cos 3 cos 2 sin
1 2sin
x x x x x
x
x
3 sin cos sin cos sin cos cos sin
1 2sin
x x x x x x x
x
x
sin cos 4sin cos cos sin
1 2sin
x x x x x
x
x
sin cos 1 2sin cos sin
1 2sin
x x x x
x
x
3 cos
sin sin cos 5cos cos
5
x x x x x x
2
1 cos
2
2 cos 5cos 2 ,
3
cos
x
x x x k k
x PTVN
(42)Trang 42
Vì nghiệm phương trình thuộc khoảng 0;2 nên nghiệm phương trình ,
3
x x
CÁCH KHÁC:
Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị
,
3
x x đáp án D thỏa phương trình
Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình
sin x2 m1 sin cosx x m1 cos xm có nghiệm?
A 0 m B m 1 C 0 m D m 0
Hướng dẫn giải: Chọn A
1 cos cos
1 sin 2 sin cos 2
2
x x
pt m x m m m x m x m
Phương trình có nghiệm 2 2 2 2
4 m m 3m 4m 4m 0 m
Câu 79: Để phương trình:
sin x2 m1 sinx3m m2 0 có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là:
A
1
2
1
m m
B
1
3
1
m m
C
0
m
m D
1
3
m
m
Hướng dẫn giải:: Chọn B
Đặt tsinx Điều kiện t 1;1 Phương trình trở thành:
2
t m t m m (1) Đặt
2
f t t m t m m
Phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1;1 (1) có nghiệm thuộc 1;1 có hai nghiệm thuộc 1;1
1
f f
0
1
1
1
2
f f
S
3 3
m m m m
2 2
4
3
3
1 1
m m
m m
m m
m
1
3
1
m m
1
1
3
2
m
m
m
m
1
3
1
m m
m
Vậy 1
3
(43)Trang 43 CÁCH KHÁC:
Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …), kiểm tra giá trị khoảng 4 3;4 đáp án D không thoả, 3 1;3 đáp án B phương trình có nghiệm
Vậy chọn đáp án B
Câu 80: Để phương trình sin6xcos6xa| sin |x có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
A 0
8
a B 1
8 a C
1
a D
4
a
Hướng dẫn giải:: Chọn D
6
sin xcos xa| sin |x sin2xcos2x33sin2x.cos2x sin 2xcos2xasin 2x
2
1 3sin cos sin
x xa x 3sin 22 sin
4
xa x
2
3 sin sin
x a x 1
Đặt t sin 2x 0 t
1 trở thành 3t2 4at 4 2
Để phương trình 1 có nghiệm phương trình 2 phải có nghiệm đoạn 0;1
Xét phương trình 2 , ta có:
4 12
3
a a
, nên 2 ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu
Do nghiệm t t1, 2t1t2 thoả
2
2
2 12
0
2 12
0
3
a a
t
a a
t
2
2
2
2 12
2 12
2 12 12
2 12 12
a a a
a a
a a a a b
a a a a c
Xét a , 2a 4a2122a 4a2 2a 2a 2a2a0
2 12
a a a
Xét b ,
2
2
2
4 12
2
4 12
2
4 12
a a
b a a
a
a a
Xét c ,
2
2
3 12
1
3
1
4 12 12
4
a a
c a a
a
a a a
(44)
Trang 44
A 1 m0 B
2
m
C
2
m D 25hay
4
m m
Hướng dẫn giải:: Chọn D
4 6
4 sin xcos x 8 sin xcos x 4sin 4xm
2 2
1
4 sin sin cos
2
x x x m
2
4cos 4sin
x x m 4cos 42 x2cos4x 6 m 1
Đặt tcos 4x t 1;1
1 trở thành 4t2 2t m 2 , 25 4 m
Để tìm m cho 1 vơ nghiệm, ta tìm m cho 1 có nghiệm sau phủ định lại
1 có nghiệm 2 phải có nghiệm thoả to 1;1
Nếu 25
4
m , 2 có nghiệm kép 1;1
4
t , nên 25
4
m thoả 1 có nghiệm
Nếu 25
4
m , 2 phải có hai nghiệm phân biệt thoả
2
1
1
t t
1 25
1
4 25
1
4
m
a m
b
Giải a ,
0
1 25 4 25
25
1 25 4 25
4
m
m m
a
m
m m
25
0
m
Giải b , 25 4 25 25 25
25
1 25 4 25
m m m
b m
m
m m
Kết hợp lại, 1 có nghiệm 25
4
m
Do 1 vô nghiệm 25
4
m m0
CÁCH KHÁC:
Bài tóan cho trở thành tìm m cho phương trình
4t 2t m (*) nghiệm t 1;1
Đặt
2
:
:
P y t t
d y m
Số nghiệm phương trình (*) chính số giao điểm P d Phương trình (*) khơng có nghiệm t 1;1 khi P d không giao 1;1
Dựa vào đồ thị ta có 25
4
(45)Trang 45 Câu 82: Cho phương trình:
6
2
sin cos
2 tan cos sin
x x
m x
x x
, m tham số Để phương trình có
nghiệm, giá trị thích hợp m
A
8
m hay
8
m B
4
m hay
4
m
C
8
m hay
8
m D
4
m hay
4
m
Hướng dẫn giải: Chọn C
Điều kiện: cos 2x 0
2
2
3
1 sin
sin
4 2 3sin 2 8 sin 2 4 0 1
cos cos
x
x
pt m x m x
x x
Đặt tsin ,x Phương trình trở thành: t 1
2
2
2
4 16 12
3
3
4 16 12
3
m m
t
t mt
m m
t
Vì a c Phương trình 2 ln có hai nghiệm trái dấu t2 t1
Do 1 có nghiệm
2
2
2
4 16 12
1
16 12
3
1
4 16 12 16 12
1 8
3
m m
m
m m
m m m m m
(46)Trang 46 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
+ Là phương trình có dạng (sin ,cos ) 0f x x luỹ thừa sinx cosx chẵn
lẻ
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho coskx (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn 0
tan x
Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng?
Lưu ý: cosx = sin2 1 sin 1.
2
x k x x
• Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x 0 ta được:
2
.tan tan (1 tan )
a x b x c d x
• Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t:
2
(a d t ) b t c d
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 cos2
(1)
2 2
x x x
a b c d
.sin2 ( ).cos2
b x c a x d a c
(đây PT bậc sin2x cos2x)
B– BÀI TẬP
Câu 1: Phương trình 6sin2x7 sin 2x8cos2x có nghiệm là:
A
6
x k
x k
, k B
3
x k
x k
, k
C
12
x k
x k
, k D
3
3
x k
x k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn A
TH1: cosx 0 sin2x thỏa phương trình phương trình có nghiệm
x k
TH2: cosx 0, chia hai vế cho cos x ta 2
2 2
2
6
6 tan 14 tan tan 14 tan tan
cos
x x x x x
x
1 14 tan 14 tan
6
x x x k
(47)Trang 47
Vậy, phương trình có nghiệm ,
2
x k x k
Câu 2: Phương trình sin 2x2 sin cosx x cos x có nghiệm là:
A x k 3
x k
với tan , k B x k tan 3
x k
với , k
C x k tan 3
x k
với , k D x k tan 3
x k
với , k
Hướng dẫn giải: Chọn B
TH1: cosx 0 sin2x khơng thỏa phương trình
TH2: cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: 2
2 tan 4
3 tan tan
tan arctan 2 3
x k
x
x x
x x k
Câu 3: Giải phương trình 3sin 22 x2sin cos 2x x4cos 22 x
A 1arctan , 1arctan( 2) ,
2 2
k k
x x k
B arctan1 73 , arctan1 73 ,
12 12
k k
x x k
C 1arctan1 73 , 1arctan1 73 ,
2 2
k k
x x k
D arctan3 , arctan( 1) ,
2 2
k k
x x k
Hướng dẫn giải: Chọn A
TH1: cos 2x 0 sin 22 x khơng thỏa phương trình
TH2: cos 2x 0, chia hai vế phương trình cho cos 2x ta được: 2
2 2
2
2
3 tan 2 tan tan 2 tan tan
cos
x x x x x
x
2
1
arctan
tan 2 2
tan tan
tan 2
arctan( 2)
2
k x
x
x x
x k
x
Câu 4: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x có nghiệm là:
A
4k
, k B , arctan
4 k k
, k
C , arctan
4 k k
, k
D , arctan
4 k k
, k
(48)Trang 48
TH1: cosx 0 sin2x khơng thỏa phương trình
TH2: cosx 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: 2
2
tan
4
2 tan tan 1
1 tan
arctan
2
x x k
x x
x
x k
Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin2x5sin cosx xcos2x 2
A
6 k
, k B
4 k
, k C
4 k
, k D
6 k
,
k
Hướng dẫn giải: Chọn C
2
x k khơng nghiệm phương trình
Chia vế phương trình cho cos x2 ta
được
2 2
2 tan tan tan tan tan
tan
4
1 tan
arctan
4
x x x x x
x x k
x
x k
Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos2 x6sin cosx x 3 3
A 3 k
, v k B
4 k
, k C
4 k
, k D k
,
k
Hướng dẫn giải: Chọn B
2
2 cos x6sin cosx x 3 3 cos 2 x 3sin 2x 3
1 3
3 cos 3sin cos sin
2 2
x x x x
2
3
cos
3
2
3 12
x k x k
x
x k x k
Câu 7: Một họ nghiệm phương trình 3sin cosx xsin2x2
A arctan 2 k , k B 1arctan 2
2 k
, k
C 1arctan 2
2 k
, k D arctan 2 k, k Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
x k không nghiệm phương trình
(49)Trang 49
tan x 3tanx
tan
4
tan
arctan
x k
x x
x k
Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin2xsin cosx x3cos2x 0
A arctan k
, k B
3 arctan
2 k
, k
C arctan k
, k D
3 arctan
2 k
, k Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
x k không nghiệm phương trình
Chia vế phương trình cho cos x ta 2
2
tan
4
2 tan tan 3
3 tan
arctan
2
x k
x
x x
x
x k
Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin2x4sin cosx x5cos2x 2
A
4 k
, k B
4 k
, k C
4 k
, k D 3
4 k
,
k
Hướng dẫn giải: Chọn B
2
x k khơng nghiệm phương trình
Chia vế phương trình cho cos x ta 2
2 2
3tan x4 tanx 5 tan x tan x4 tanx 3 tan
tan
arctan
x x k
x
x k
Câu 10: Phương trình : 2
sin x( 1) sin cos x x cos x0 có họ nghiệm
A
4 k
, k B 3
4 k
, k
C
3 k
, k D
4 k
,
3 k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn D
2
x k không nghiệm phương trình
Chia vế phương trình cho cos x ta 2
2 tan
tan tan
tan
3
x k
x
x x
x
x k
(50)Trang 50 Câu 11: Phương trình 3cos 42 x5sin 42 x 2 sin cos 4x x có nghiệm là:
A
6
x k, k B
12
x k , k
C
18
x k , k D
24
x k , k
Hướng dẫn giải: Chọn D
TH1: cos 4x 0 sin 42 x không thỏa phương trình TH2: cos 4x 0, chia hai vế cho cos 4x ta 2
2 2
2
2
3 tan tan tan tan tan
cos
x x x x x
x
2
3 tan tan tan 4
3 24
k
x x x x k x
Câu 12: Trong khoảng ; ,
phương trình
2
sin 4x3.sin cos4x x4.cos 4x0có:
A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm
Hướng dẫn giải: Chọn B
Nhận thấy cos 4x0 không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x, ta
phương t:
2 tan 16
tan tan 4 ,
tan 4
arctan
4
k x
x
x x k
x k
x
Do ; ;5 ; arctan1 4 ; arctan1 4
2 16 16 4
x x
Câu 13: Phương trình 2cos2x3 sin 2x4sin2x có họ nghiệm 4
A
6
x k
x k
, k B
2
x k , k
C
6
x k , k D
2
x k, k
Hướng dẫn giải: Chọn A
cos
2
x x k : nghiệm phương trình
cosx : Chia vế phương trình cho 0 cos x ta 2
2
2 tan tan tan tan
6
x x x x x k
Câu 14: Phương trình 2sin2xsin cosx xcos2x0 (với k ) có nghiệm là:
A ,arctan( )1
4
k k B
4
(51)Trang 51
C ,arctan( )1
4
k k D ,arctan( )1
4
k k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Khi cos
2
x x k : VT 2 VP0
2
x k l
Khi cos
2
x x k : 2sin2xsin cosx xcos2x0 2 tan2xtanx 1
tan
4
1 tan
tan
2
x k
x
k x
x acr k
Câu 15: Giải phương trình cos3xsin3x2 cos 5xsin5x
A
4
x k B
4
x k C
4
x k D
4
x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
vì cosx0 khơng nghiệm phương trình nên ta có
2
1 tan xtan x(1 tan x)2 tan x
5 2
tan tan tan (tan 1)(tan 1)
x x x x x
tan
4
x x k
Cách khác:
3 5 5
3 3
cos sin cos sin cos cos sin sin
cos cos sin sin cos cos sin
4
;
4
tan
4
x x x x x x x x
x x x x x x x
x k
x k
k
x x k
Câu 16: Giải phương trình sin2 x3tanxcosx4sinxcosx
A , arctan 2
x k x k B , arctan 2
4 2
x k x k C , arctan 2
4 3
x k x k D , arctan 2
4
x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình 2
tan tan (1 tan ) tan
x x x x
3
tan tan 3tan x x x
2
(tan 1)(tan tan 1)
x x x
, arctan
4
x k x k
(52)Trang 52
A
2
2
x k
x k
B
1
4
1
3
x k
x k
C
2
4
2
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình cho tương đương với
2
tan x(tanx 1) 3tan (1 tan ) 3(1 tanx x x )
3
tan tan tan
3
x k
x x x
x k
Câu 18: Giải phương trình 4sin3x3cos3x3sinxsin2 xcosx0
A ,
4
x k x k B ,
4
x k x k
C ,
4 3
x k x k D ,
4
x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta thấy cosx0 không nghiệm phương trình
Nên phương trình 2
4 tan 3tan (1 tan ) tan
x x x x
3 tan
tan tan tan
tan
x
x x x
x ,
x k x k
Câu 19: Giải phương trình 2cos3xsin 3x
A
arctan( 2)
2
x k
x k B
1 arctan( 2)
2
4
x k
x k
C
2 arctan( 2)
3
4
x k
x k
D
arctan( 2)
4
x k
x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình 3
2cos 3sin 4sin
x x x
3
2 3tan tan tan tan 3tan
x x x x x
arctan( 2)
tan
tan
4
x k
x
x x k
(53)Trang 53
A
2
2
x k
x k B
1
1
3
x k
x k
C
2
2
3
x k
x k
D
3
x k
x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình
2sin sin cos
x x x sin
tan
3
x k x
x k
x
Câu 21: Giải phương trình 2
2cos x6sin cosx x6sin x1
A ; arctan
4
x k x k B ; arctan
4
x k x k
C ; arctan 1
4
x k x k D ; arctan
4
x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình 2
5sin 6sin cos cos
x x x x
Giải ta ; arctan
4
(54)Trang 54 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Là phương trình có dạng: (sin cos ) sin cos
a x x b x x c (3)
Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
Đặt: cos sin 2.cos ;
4
t x x x t
2
1 2sin cos sin cos ( 1)
t x x x x t
Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t
Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinxcos )x bsin cosx x c 0
(3’)
Để giải phương trình ta đặt
2;
sin cos sin
1
4 sin cos
2
t
t x x x
t
x x
Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t
Lưu ý:
• cos sin cos sin
4
x x x x
• cos sin cos sin
4
x x x x
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c =
• Đặt: cos sin cos ; :
4
t x x x Ñk t
2
sin cos ( 1)
x x t
• Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
B– BÀI TẬP
Câu 1: Phương trình sin cos 1sin 2
x x x có nghiệm là:
A
4
x k
x k
, k B
2
x k
x k
, k
C x k
x k
, k D 2
2
x k
x k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt 2
(55)Trang 55
Ta có phương trình
2
1
1
2
t TM
t t t t
t KTM
1 sin cos sin sin sin
4 4
t x x x x
2
4
3
2 2
4
x k
x k
x k
x k
Câu 2: Phương trình sin3 cos3 1sin 2
x x xcó nghiệm là:
A x k
x k
, k B 2
2
x k
x k
, k
C
3
2
x k
x k
, k D
3
2
x k
x k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn B
3
3
sin cos sin sin cos 3sin cos sin cos sin cos
2
x x x x x x x x x x x
Đặt
2
2
sin cos sin , sin sin cos
4
t t x x x t x t x x
Ta có phương trình
2
3
2
1
3 1 3
2
t TM
t
t t t t t t
t KTM
1
1 sin cos sin sin sin
4 4
t x x x x
2
4
3
2 2
4
x k
x k
x k
x k
Câu 3: Giải phương trình 2sin 2xsinxcosx 1
A ,
2
x k x k arccos
4 2
x k
B ,
3
x k x k arccos 1
4 2
x k
C ,
3
x k x k arccos
4 2
x k
D ,
2
x k x k arccos
4 2
x k
(56)Trang 56 Chọn D
Đặt
2 sin cos cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có : 2( 1) 2 1,
2
t t t t t t
• cos ,
4 2
t x x k x k
• cos arccos
2 2 2
t x x k
Câu 4: Giải phương trình sin 2x12 sin xcosx120
A ,
2
x k x k B ,
2
x k x k
C ,
2 3
x k x k D ,
2
x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt
2 cos sin cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có: 12 12 cos
4
t t t x
2 ,
2
x k x k
Câu 5: Giải phương trình sin 2 sin
x x
A , ,
4
x k x k x k B , ,
4 2 2
x k x k x k
C , ,
4 3
x k x k x k D , ,
4
x k x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt
2 2 sin sin cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có: 1 t2 t t 0,t 1
Từ ta tìm được: , ,
4
x k x k x k
Câu 6: Giải phương trình tan x2 sinx
A , 11 ,
4 12 12
x k x k x k
B , 11 ,
4 12 12
x k x k x k
C , 11 ,
4 12 12
(57)Trang 57
D , 11 ,
4 12 12
x k x k x x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Điều kiên: cosx0
Phương trình sinxcosx sin 2x
Đặt
2 sin cos cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có: 2 1 2 2,
2
t t t t t t
Từ tìm được: , 11 ,
4 12 12
x k x k x x k
Câu 7: Giải phương trình cosxsinx 2sin 2x1
A
2
k
x B
2
k
x C
2
k
x D
2
k
x
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt
2
sin
sin cos cos
4 0 2
x t
t x x x
t
Ta có: 2(1 2) 2 1 sin
2
k
t t t t t x x
Câu 8: Giải phương trình 3
cos xsin xcos 2x
A , ,
4
x k x k x k B , ,
4
x k x k x k
C , ,
4 3
x k x k x k D , ,
4
x k x k x k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Phương trình (sinxcos )(1 sin cos )x x x (sinxcos )(cosx xsin )x
sin cos 1 sin cos cos sin
x x x x x x
Từ ta tìm được: , ,
4
x k x k x k
Câu 9: Giải phương trình cos3xsin3x2sin 2xsinxcosx
A
2 k
x B
2
k
x C xk D
2 k
x
Hướng dẫn giải:
Phương trình cosxsinx1 sin cos x x2sin 2xsinxcosx
Đặt
2 sin cos cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có:
2
2
1
1 2( 1) sin
2
t k
(58)Trang 58 Câu 10: Giải phương trình cosx sinx 10
cos sin
x x
A arccos2 19
4
x k B arccos2 19
4
x k
C arccos2 19
4
x k D arccos2 19
4
x k
Hướng dẫn giải:
Phương trình sin cos sin cos 10
sin cos
x x x x
x x
Đặt
2 sin cos cos
4 sin 2 1
t
t x x x
x t
Ta có: 22 10 ( 1) 10( 1) ( 1)
1
t
t t t t t t
t
3 2 19
3 10 10 ( 2)(3 5)
3
t t t t t t t
2 19 19
cos arccos
4
x x k
Câu 11: Cho phương trình sin cosx xsinxcosx m , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp mlà
A 2
2
m
B
2 m
C 1
2
m
D 1 2
2 m
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt
2
2
sin cos sin , sin sin cos
4
t t x x x t x t x x
Ta có phương trình
2
2
1 1
0
2 2
t
t m m t t
Phương trình có nghiệm phương trình 1 có nghiệm t 2; 2
Xét hàm số
2
y t t 2; 2
x 2
y
1
1
2
2
Từ BBT suy
2 m
Câu 12: Phương trình 2sin 2x3 sinxcosx 8 0 có nghiệm
A
5
x k
x k
, k B
5
x k
x k
(59)Trang 59
C
5
x k
x k
, k D 12
5 12
x k
x k
, k
Hướng dẫn giải: Chọn D
Đặt 2
sin cos sin , sin sin
4
t x x x t x t x t
Ta có
2
6
2 6 6
2
t KTM
t t t t
t TM
sin sin
4
6
sin
2
sin sin
4
x
t x
x
2
4 12
2
2
4 12 12
7
2
4 12 12
13
2
12
x k x k
x k x k x k
x k x k x k
x k
x k