Đang tải... (xem toàn văn)
a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB để tính AB. Cho hình thang ABCD có góc A=D=90 0 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. a) Chứng minh hình thang này có chiều cao b[r]
(1)CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH. · Định lí Pi-ta-go: BC2 AB2AC2
· AB2 BC BH ; AC2BC CH · AH2BH CH
· AB AC BC AH · AH2 AB2 AC2
1 1
Bài 1. Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH
HD:
BH 1,8cm, CH 3,2cm, AC4cm, AH 2,4cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH
HD:
BC=2 √41 ; BH=32 √41 /41 ; CH=50 √41 /41; AH=40 √41 /41.
Bài 3. Cho tam giác ABC vng A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng
biết
2 AB AC
HD: AB24 13 ( )13 cm , AC36 13 ( )13 cm .
Bài 4. Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC
HD:
BC 52cm, AH2 105cm, AB2 130cm, AC2 546cm.
Bài 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 600
a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN
HD:
a, Gọi P Q chân đường cao kẻ từ D C xuống AB: AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm.
(2)Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 600 góc A 900
a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC
c)Tính HK d) Vẽ BE ^ DC kéo dài Tính BE, CE DC
HD:
a, BD2=AB2+AD2 => BD=10
√2 cm.
b, ∆ ABC (AB=AC mà ^B=600 ) nên BH=5
√3 cm,
∆ ADK có ^KAD=300 nên KD=1/2AD=5cm,
c, ABH có ^ABH =300 nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=5
√3 cm
suy HK=5 √3 -5 cm.
d, ∆ ADC cân có CAD=30^ nên ^ACD=^DCA=750 => BCE=180^ 0−750−600
¿450
nên ∆ BEC vuông cân E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=5
√3 cm.
Trong ∆ KDC có KD=5cm, KC=AC-AK=10-5 √3 cm Dùng pytago tính DC.
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox ^ AB Trên Ox, lấy
điểm D cho
a OD
2
Từ B kẻ BC vng góc với đường thẳng AD a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn
HD: a, AD= a√5
2 ; DADO ∽ ·ABC nên AD.AC=AB.AO => AC=
4√5 a
5 ; Dùng pytago cho
tam giác ABC để tính BC= 2 a√5
5
b, Chỉ OA=OB=OC=OE.
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC
lần lượt lấy điểm M, N cho góc AMC= góc ANB=900 Chứng minh: AM = AN.
HD: ·ABD ∽ DACE Þ AM2 AC AD AB AE AN 2
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết
AB AC
20 21
AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC
HD:
(3)Bài 10. Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với
tại O Biết AB2 13,OA , tính diện tích hình thang ABCD.6
Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5 HD: S 126,75 .
II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1 Định nghĩa: Cho tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn a. cạnh đối
cạnh huyền
sin a
;
cạnh kề cạnh huyền
cos a
;
cạnh đối cạnh kề
tan a
;
cạnh kề cạnh đối
cot a
Chú ý:
· Cho góc nhọn · Ta có: sin 1; cos 1
· Cho góc nhọn ·, b Nếu sina sinb (hoặc cos cos , tana tanb, hoặc cota cotb) a b.
2 Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau:
Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cotang góc kia.
Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700… 3 Tỉ số lượng giác góc đặc biệt:
a
Tỉ số LG 300 450 600
sina
2 22 23
cos
2 2 tana
3
cota 3 1
3
4 Một số hệ thức lượng giác
sin tan cos ; cos cot sin
; tan cota a 1;
2
sin cos 1;
2 1 tan cos ; 2 1 cot sin
a
(4)S∆ ABC=1
2ab sin C=
2bc sin A=
2ac sin B = P.r =
abc
4 R
R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp
( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó) Trong tam giác bất kì:
b
sin B=
c
sin C=
a
sin A=2 R
Với a cạnh đối diện góc A, b cạnh đối diện góc B, c cạnh đối diện góc C
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC
HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm CosC= ACBC=108,4
145 =0,75 nên C=41^ 0; ^B=490 .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi:
a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm
HD:
a) sinB0,8; cosB0,6
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 10cm AC = 15cm
a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI
c) Vẽ AH ^ BI H Tính AH
HD:
a, tanB= ACAB=15
10 nên B=56^ .
b, tan ^ABI =AI
AB nên AI=AB tan ^ABI =10.tan280 =5,3cm c, sin ^ABH =AH
AB nên AH=AB.sin ^ABH = 10.sin280 =4,7cm.
Bài 4. Tính giá trị biểu thức sau: a) cos 152 0cos 252 0cos 352 0cos 452 0cos 552 0cos 652 0cos 752 0
b) sin 102 0 sin 202 0sin 302 0 sin 402 0 sin 502 0 sin 702 0sin 802 0
c) sin150sin 750 cos150 cos750sin300 d) sin350sin 670 cos230 cos550
e) cos 202 0cos 402 0cos 502 0cos 702 f) sin200 tan 400cot 500 cos700
(5)a)(
cos
¿
(¿215¿¿0+sin2150)+(cos2250+sin2250
)+(cos2350
+sin2350)+cos2450=1+1+1+(√2 )
2
=¿
¿
cos2150+cos2750¿+(cos2250+cos2650)+(cos2350+cos2550)+cos2450=¿
3,5
b)
3
c) 0,5 d) 0 e) 2 f) 0.
Bài 5. Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn a, tính tỉ số lượng giác cịn lại ·:
a) sina 0,8 b) cos 0,6 c) tana 3 d) cota 2
HD: Dùng công thức mục ( số hệ thức lượng ) để tính Chú ý góc a nhọn thì sin· >0; cos· >0.
a) cos 0,6 b) sina 0,8
Bài 6. a Cho góc nhọn · Biết
1
cos sin
5
Tính cota b Cho tan·=2 Tính A=(sin·-3cos·)/(3sin·+7cos·)
HD:
a, cos·- sin·= 15 (1) nên (cos· -sin· )2=
25 hay cos2· + sin2· -2cos·.sin· =
25 hay
sin·.cos· = 2512
Ta có: (cos· + sin· )2= cos2· + sin2· + 2cos·.sin·= 1+24
25= 49
25 nên cos·+sin·=
5 (2)Từ
(1)(2) tính cos· sin·, từ tính cot· (HD:
4 cot
3
a =
)
b, Chia tử số mẫu số cho cos· ta được: A= 3 tan+7tan−3 =−1
13
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông C Biết A cos
13
Tính tanB
HD: B
5 tan
12
Bài 8. Rút gọn biểu thức sau: a) (1 cos )(1 cos ) b) sin 2cos2 c) sin sin cos 2
d) sin4 cos4 2sin2cos2 e) tan2 sin2atan2 f) cos2tan2cos2
HD:
(6)Bài 9. Chứng minh hệ thức sau:
a)
cos sin
1 sin cos
b) 2
(sin cos ) (sin cos ) 4
sin cos HD:
a, Biến đổi tương đương hai vế b, Biến đổi vế trái.
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C
a) Chứng minh:
a b c
A B C
sin sin sin
b) Có thể xảy đẳng thức sinAsinBsinC không?
c) Chứng minh: S∆ ABC=
1
2ab sin C=
2bc sin A=
2ac sin B ( Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen hai cạnh đó)
HD: a) Vẽ đường cao AH Xét ∆ AHB ∆ AHC có: B=¿AH
AB
sin C=AH
AC;sin¿
nên sinCsin B=AB
AC hay AC
sin B=
AB
sin C .
Tương tự ta chứng minh : sinCAB = BC sin A
b) khơng Vì sin Bb = c sin C=
a
sin A=
b+c
sin B+sinC (tính chất dãy tỉ số nhau)
Nếu sin B+sin C=sin A a=b+c: Vơ lí. c) S∆ ABC=1
2 AH BC mà sin C=
AH
ACnên AH=AC sin C Suy ra:
S∆ ABC=1
2 AC BC sin C=
2ab sinC Các công thức khác chứng minh tương tự.
III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG
Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c. b a sinB a cosC; c a sinC a cosB
b c tanB c cotC; c b tanC b cotB
(7)Bài 1. Giải tam giác vng ABC, biết góc A=900 và:
a) a15 ;cm b10cm b) b12 ;cm c7cm
HD:
a)B=420, C=480, c=11,18cm b) B=600, C=300, a=14cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC.
HD: S509cm2 Vẽ đường cao AH Tính AH, HB, HC.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ giác
HD: S17cm2 Vẽ BH ^ CD Tính DH, BH, CH.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC4 ,cm BD5cm, góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD.
HD: S8cm2 Vẽ AH ^ BD, CK ^ BD Chú ý: AH OA sin50 ,0 CK OC sin500.
Bài 5. Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh
HD: a) Gọi a góc nhọn tạo hai đường thẳng AB, AC Vẽ đường cao CH. CH AC.sin a
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m
a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính sin ,sin B C
HD:
a, Dùng Pytago b, sin B=45;sin C=3
5
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB =
112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD
HD: a) AH = 84 b) AD 60 2 .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH =
a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC
(8)Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25
a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC
HD:
a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vng AHB để tính AB. Dùng cơng thức: AB2=BH.BC để tính BC suy HC. AH.BC=AC.AB để tính AC.
b, S∆ ABC=1
2AC AB
Bài 5. Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 hai đường chéo vng góc với O a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD
HD: a) Vẽ AE // BD · AB = ED AE ^ AC b) S = 150 c) OA7,2; OB5,4; OC12,8; OD9,6.
Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35
HD: S = 210 Vẽ BE // AC (E · CD) · DE2BD2BE2.
Bài 7. Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh
HD: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm · ·ABC vuông A. b) Gọi O giao điểm ba đường phân giác SABC SOBC SOCASOAB. Với SOBC=r BC
2 ; SOCA=
r AC
2 ; SOAB=
r AB
2 ; SABC=
AB BC
2 ta r=9cm.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi DABC
HD: BC11,6 ;cm AB AC 14,2cm.
Bài 9. Cho ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC
a) Chứng minh
DE DB
DB DC . b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB c) Tính tổng góc (AEB+BCD)
(9)Bài 10. Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a
a) Tính B B B B sin cos sin cos
. b) Tính diện tích hình thang ABCD.
HD: a)
17
b) TH1: ABCD hình thang cân, kẻ CH DM vng góc với AB, - Tính CH suy HB, mà AM=HB nên DC=HM => SABCD
TH2: Nếu ABCD hình bình hành SABCD=2SABC=AC.CB
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan ^IED ;tan ^HEC c) Chứng minh ^IED=^HEC
d) Chứng minh: DE^EC.
HD: a) AB5cm, AC cm
20
, HC cm
16
b) tan ^IED ;tan ^HEC =3/2
d)góc ^DEC=^IED+^HEC =900.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a h b c h ; ; tam giác vuông
HD: Chứng minh b c( )2h2 (a h )2.
Bài 13. Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng:
a) SAEF SBFDSCDE cos2Acos2Bcos2C b) SDEF sin2A cos2B cos2C.
HD: a) Chứng minh AEF ABC
S A
S cos2 b) SDEF SABC SAEF SBFD SCDE
Bài 14. Cho ABC vng A có C B sin
4cos
Tính tỉ số lượng giác góc B C
HD: cosB 12; B
3 sin
2
; sinC 12; C
3 cos
2
.
Bài 15. Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh:
a) DANL ∽·ABC b) AN BL CM AB BC CA cos cos cosA B C
(10)a, Xét ∆ ALC ∆ ANB có ^A chung ; ^ALC=^ANB=900 nên ∆ ALC ∽ ∆ ANB
(g.g) nên AL
AN= AC AB
Xét ∆ ANL ∆ ABC có ^A chung ; ANAL=AC
AB nên ∆ ANL ∽ ∆ ABC (c.g.c)
b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông A có ^C=150 , BC = 4cm
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính ^AMH , AH, AM, HM, HC
b) Chứng minh rằng:
0
cos15
4
HD: a) ^AMH =300 ; AH 1cm; AM2cm; HM 3cm; HC 2 ( )cm
b)
CH C
AC
cos15 cos
.
Bài 17. Cho tam giác ABC cân A, Có ^A=360 , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình chiếu vng góc D AC
a) Tính AD, DC b) Kẻ CK ^ BD Giải tam giác BKC
c) Chứng minh
0
cos36 HD:
a, ∆ BCD cân C, ∆ CDA cân A ( Hai góc đáy nhau) Nên DC=DA=BC=1cm
b, ∆ BKC có: B=72^
; ^C=180
sin B=CK
BC nên CK=BC.sinB=1.sin720
cos B=BK
BC Nên BK=BC.cosB=1.cos720 c, cos360=cosA= AH
AD ; đặt AB=AC=2x, suy DB=AB-AD=2x-1, theo tính chất phân giác ta có:
AD DB=
AC
BC suy
1
2 x−1=
2 x
1 Tìm x=
1+√5
4 ( x>0) hay AH=
1+√5
4
Thay AD,AH vào cos360=cosA= AH
(11)Bài 18 Cho tam giác ABC có AB = 1, ^A=1050 , ^B=600 Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = Vẽ ED // AB (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh góc ^EAD=^EAF =450 c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF
d) Chứng minh AED AEF Từ suy AD = AF.
e) Chứng minh rằng:
AC2+
1
AF2=
4 3 .
HD:
a, ∆ BEA có AB=BE=1cm B=60^ nên ∆ BEA AH=AB.cosB=1.cos600=
√3
2 .
b, ^EAD=^CAB−^EAB=1050
−600=450
Vì ^CAF=900 mà ^EAC=450 nên ^EAF=450 .
c, Ta có: ^AED=^EAB=600 (sole trong) , từ tính sin600, cos600…
d, ∆ AED ∆ AEF có: AE chung, ^EAD=^EAF=450 ; ^DEA=^AEF=600 nên
∆ AED = ∆ AEF ( g.c.g) AD=AF ( hai cạnh tương ứng). e, Ta có:
1
AC2+
1
AF2=
1
AH2=
4
Bài 19. Giải tam giác ABC, biết: a) ^A=900;BC=10 cm; ^B=750 b) ^A=1200; AB= AC=6 cm
c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma , đường cao AH =
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma , góc nhọn 470. HD:
a, C=15^ ; AB=BC.cosB=10.cos750=2,59cm; AC=9,66cm b, ^C=^B=300 ; Kẻ AH vng góc BC BH=HC.
Ta có: BH=AB.cosB=6.cos300= 3
√3 cm nên BC= 6√3 cm.
c, BC==2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vng).
AM=BM=5cm mà AH=4cm nên HM=3cm ( dùng Pytago) hay BH=2cm Mà BH2+AH2=AB2 Từ tính AB AC ( Dùng Pytago).
d, B=47^ nên C=43^ ; BC=2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuông)
(12)Bài 20. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC
a) Giải tam giác vng ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH
c) Tính: EA.EB + AF.FC
HD: a) AC3 ( )cm , B=600, C=300 b) AH3 ( )2 cm
c)AE.EB = EH2; AF.FC = HF2; nên AE.EB+AF.FC=EH2+HF2=EF2=AH2=
27 4
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN
I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN
1 Đường trịn
Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng bằng R.
2 Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M.
· M nằm đường tròn (O; R) · OM R . · M nằm đường tròn (O; R) · OM R . · M nằm ngồi đường trịn (O; R) · OM R . 3 Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn. 4 Tính chất đối xứng đường trịn
· Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn
· Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn.
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có ^C+ ^D=900 Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn
HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật.
Bài 2. Cho hình thoi ABCD có ^A=600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn
HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, ·OBE tam giác đều.
(13)HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng.
Bài 4. Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường trịn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH · AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân
HD: Chứng minh ·ADO = ·CHO · OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có C=^^ D=600 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn
HD: Chứng minh IA IB IC ID , với I trung điểm CD.
Bài 6. Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn
HD:
∆ AOB= ∆ COB nên SAOB=SCOB hay
OM AB
2 =
ON CB
2 mà AB=BC nên
OM=ON.
Chứng minh tương tự ta được: MO=ON=OR=OS nên M,N,R,S thuộc đường tròn. Bài 7. Cho hai đường thẳng xy x·y· vng góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm
chuyển động cho A nằm xy B x·y· Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào?
HD:
∆ AOB vuông O nên gọi I trung điểm AB OI trung tuyến => OI=3cm, Khi A,B thay đổi OI=3cm nên trung điểm I AB chạy đường trịn (O;3cm) Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao BH CK
a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC
HD:
a, Gọi I trung điểm BC, ∆ CHB ∆ CKB vuông nên HI=KI=IC=IB nên B,C,H,K cùng nằm đường tròn tâm I.
b, Vì BC đường kính nên KH<BC.
II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1 So sánh độ dài đường kính dây
Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính. 2 Quan hệ vng góc đường kính dây
(14)· Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây ấy.
3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây · Trong đường tròn:
– Hai dây cách tâm. – Hai dây cách tâm nhau. · Trong hai dây đường trịn: – Dây lớn dây gần tâm hơn. – Dây gần tâm dây lớn hơn. 4 Đường trịn ngoại tiếp tam giác:
Đi qua đỉnh tam giác có tâm giao đường trung trực cạnh. Với tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền.
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) ba dây AB, AC, AD Gọi M, N hình chiếu B đường thẳng AC, AD Chứng minh MN ≤ 2R
HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N nằm đường trịn đường kính AB · MN ≤ AB.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh
rằng: SABCD 2R2.
HD: SABCD AB CD
1 .
2
.
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) dây AB không qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh điểm M không trung điểm CD
HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M trung điểm CD · vơ lý.
Bài 4. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao?
b) Giả sử R6,5 ,cm MA4cm Tính CD c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh:
MC MH MK
R
2
HD: a) ACED hình thoi b) CD12cm
c)
MA MC MB MC
MH MK
AC BC
,
(15)Vì Với MA.MB=MC2; AC.BC=AM.AB.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) hai dây AB, CD vuông góc với I Giả sử IA2 ,cm IB4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây
HD: OH OK 1cm.
Bài 6. Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN
b) Giả sử ^AOB=900 Tính OM theo R cho CM MN ND .
HD:
a) Vẽ OH · CD · H trung điểm CD MN.
b) Đặt OH = x C minh ·HOM vuông cân · HM = x Do CM = MN = ND · HC = 3x
·
R OM
5
.
Bài 7. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật
b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 300 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE
HD: a) Vẽ OH · CD Đường thẳng OH cắt EF K · OH = OK · CD = EF.
b)
R R
OH HK
4
V ì
^
E=900
nên CF đường kính
R EF2 15
4
. R
S 15
4
Bài 8. Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M, cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16cm MH = 4cm
HD:
OM=R-4 MD=8cm.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác OMD: MO2+MD2=OD2 => (R-4)2+64=R2 => R=10cm.
Bài 9. Cho đường trịn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN
HD:
(16)OH=IO.sin300=3 cm
HO2+HM2=R2 để tính HM MN=2HM.
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN
1 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Cho đường tròn (O; R) đường thẳng · Đặt d d O ( , ) .
VTTĐ đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d R
Đường thẳng đường tròn cắt d R
Đường thẳng đường tròn tiếp xúc d R
Đường thẳng đường tròn không giao d R
Khi đường thẳng đường trịn tiếp xúc đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Điểm chung đường thẳng đường tròn tiếp điểm.
2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
· Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.
· Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn.
3 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: · Điểm cách hai tiếp điểm
· Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
· Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm.
4 Đường tròn nội tiếp tam giác
· Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác ngoại tiếp đường tròn.
· Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc trong tam giác.
5 Đường trịn bàng tiếp tam giác
· Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đường tròn bàng tiếp tam giác.
· Với tam giác, có ba đường trịn bàng tiếp
· Tâm đường trịn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C, giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C).
(17)Bài 1. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường trịn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O)
HD:
a) D, E nằm đường trịn đường kính AH.
b) Chứng minh ^OEA=^OAE=^ECM =^OEM => ^MEO=^CEM + ^CEO=^OEA + ^CEO=900 .
Bài 2. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho ^CAB=300 Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng:
a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) b) MC23R2.
HD: a) Chứng minh ·COM vuông C. b) MC2OM2 OC2.
Bài 3. Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn b) Tính độ dài HE
HD: a) Gọi O F trung điểm CD AE Chứng minh DE // AB, HF ·
AE => ^HEO=90
0
. b)
AB AC HE AH
BC
120
17
.
Bài 4. Từ điểm M đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn
Trên tia OB lấy điểm C cho BC = BO Chứng minh ^BMC=1
2 ^BMA
HD: Chú ý ·OMC cân M.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC Chứng minh ^BAC =600 OA2R.
HD: Chú ý ·ABO vuông B.
Bài 6. Từ điểm A đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O)
HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // AC. b) OA2R.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy
(18)b) Gọi E giao điểm OM AC · E trung điểm AC.
Bài 8. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng
r p a , p nửa chu vi tam giác, a độ dài cạnh huyền.
HD: Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh tam giác · AEOF hình vng. Bài 9. Chứng minh diện tích tam giác ngoại tiếp đường trịn tính theo cơng
thức: S pr , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp.
HD: Diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác nhỏ.
Bài 10. Cho đường tròn (O), dây cung CD Qua O vẽ OH ^ CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) M Chứng minh MD tiếp tuyến (O)
HD:
Xét ∆ MCO ∆ MDO: MO chung, OC=OD=R; ^COH=^DOH
nên ∆ MCO= ∆ MDO (c.g.c) nên ^MDO=^MCO=900 nên MD tiếp tuyến (O).
Bài 11. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tia Ax ^ AB By ^ AB cùng phía nửa đường tròn Gọi I điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt Ax C và By D Chứng minh AC + BD = CD.
HD:
Ta có: CI=AC; ID=DB nên AC+BC=CD
Bài 12. Cho đường tròn (O; 5cm) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA ^ MB M a) Tính MA MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C D Tính CD
HD:
a, OAMB hình vng
b, ^IOA=450 mà MO vng góc DC nên ∆ OIC vuông cân C suy IC=IO=R hay
CD=2R=10cm.
Bài 13. Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc ^AMB=600 Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây AB.
HD: AB6( )cm .
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
1 Tính chất đường nối tâm
· Đường nối tâm hai đường trịn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn · Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm · Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm
(19)Cho hai đường tròn (O; R) (O·; r) Đặt OO d
VTTĐ hai đường tròn Số điểmchung Hệ thức d với R r
Hai đường tròn cắt R r d R r
Hai đường trịn tiếp xúc nhau: – Tiếp xúc ngồi
– Tiếp xúc
1
d R r
d R r Hai đường tròn khơng giao nhau:
– Ở ngồi – (O) đựng (O·)
0
d R r
d R r
3 Tiếp tuyến chung hai đường tròn
Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn đó. Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.
BÀI TẬP:
Bài 1.Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) (C; R3) đơi tiếp xúc ngồi Tính R1, R2 R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm BC =7cm
HD: R12( )cm , R2 3( )cm , R34( )cm .
Bài 2.Cho hai đường tròn (O; 5cm) (O·; 5cm) cắt A B Tính độ dài dây cung
chung AB biết OO· = 8cm
HD: AB6( )cm .
Bài 3.Cho hai đường tròn (O; R) (O·; R·) cắt A B với R > R· Vẽ đường kính
AOC AO·D Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng
HD: Chứng minh BC, BD song song với OO· chứng minh CBD=180^ .
Bài Cho hai đường tròn (O) (O·) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho
MA = AN Đường vuông góc với MN A cắt OO· I Chứng minh I trung điểm OO·
HD: Kẻ OH O’P vng góc với NM, suy MH=HA=AP=PN suy AI đường trung bình hình thang HPO’O nên I trung điểm OO’.
Bài 5.Cho hai đường trịn (O) (O·) tiếp xúc ngồi A Gọi M giao điểm
hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO· M
(20)Ta có: ^BOM =^AMO;^AMO'=^CMO ' nên ^OMO '=900 nên MI đường trung tuyến
của tam giác vuông OMO’ suy MI=IO=IO’ Vậy IM vuông BC IM=OO’:2 nên BC là tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ M.
Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O·; R) tiếp xúc ngồi M Hai đường trịn (O)
(O·) tiếp xúc với đường tròn lớn (O··; R··) E F Tính bán kính R·· biết chu vi tam giác OO·O·· 20cm
HD:
Vì (O) (O’) tiếp xúc ngồi nên OO’=R+R’.(1) Vì (O) (O’’) tiếp xúc nên OO’’=R’’-R (2) Vì (O’) (O’’) tiếp xúc nên O’O’’=R’’-R’ (3).
Từ (1)(2)(3) suy Chu vi tam giác OO’O’’=2R’’=20cm nên R’’=10cm.
Bài Cho đường tròn (O; 9cm) Vẽ đường tròn bán kính R tiếp xúc với
(O) đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh Tính bán kính R
HD:
Gọi tâm sáu đường tròn nhỏ A,B,C,D,E,F Suy ABCDEF lục giác ∆ ABO tam giác nên AB=OB=9-R hay 2R=9-R ( AB=2R) suy R=3cm.
Bài 8.Cho hai đường tròn đồng tâm Trong đường tròn lớn vẽ hai dây AB = CD
cùng tiếp xúc với đường tròn nhỏ M N cho AB ^ CD I Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA = 3cm IB = 9cm
HD: Từ O kẻ OH vng góc AB, OP vng góc CD, suy HB=HA=6cm, mà IA=3cm nên IH=3cm.
Kẻ OP vng góc với CD IPOH hình vng, suy OP=R=IH=3cm Vậy R=3cm.
Bài 9.Cho ba đường tròn ( ),( ),( )O1 O2 O3 có bán kính R tiếp xúc ngồi đơi
một Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm
HD: Tam giác cạnh R · R
S
4
.
Bài 10. Cho hai đường tròn (O) (O·) tiếp xúc A Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) B cắt đường tròn (O·) C Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Từ C vẽ đường thẳng uv song song với xy Chứng minh uv tiếp tuyến đường tròn (O·)
HD: Xét hai trường hợp tiếp xúc Chứng minh OB // O·C · O·C · uv. Bài 11. Cho hình vng ABCD Vẽ đường tròn (D; DC) đường tròn (O) đường kính BC,
chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N
Chứng minh rằng: a) N trung điểm AD b) M trung điểm AB
HD:
(21)Bài 12. Cho góc vng xOy Lấy điểm I K tia Ox Oy Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M) Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) a) Chứng minh hai đường trịn (I) (K) ln cắt b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng c) Gọi giao điểm hai đường tròn (I), (K) A B Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng d) Giả sử I K theo thứ tự di động tia Ox Oy cho OI + OK = a (không đổi) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định
HD: a) Xét ·OIK · R r d R r b) ^O= ^M= ^N =900
;OM =ON .
c) Gọi L KB MC P AB MC , OKBI hình chữ nhật, BLMI hình vng ·BLP = ·KOI · LP = OI · MP = OM = MC · P · C
d) OM = a Hình vng OMCN cạnh a, cố định · AB qua điểm C cố định.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường phân giác BI
a) Chứng minh đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC
b) Cho biết AB = a Chứng minh AI ( 1) a Từ suy tan22 300 1 . HD: a) Vẽ ID · BC · IA = ID
b) Xét ·ABI · AI a tan22 300 ·DIC vuông cân · AI = DC = ( 1) a.
Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường trịn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD
BE tam giác MAB cắt H a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi c) Khi điểm M di động xy điểm H di động đường nào?
HD: a) Chứng minh ·MAB cân, MH, MO tia phân giác ^AMB b) Chứng minh AOBH hình bình hành có hai cạnh kề nhau.
c) H di động đường tròn (A; R).
Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp
(22)b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn
HD: a) OM đường trung bình hình thang ABCD.
b) AD + BC = 2R c) Vẽ ME · AB ·BME = ·BMC · ME = MC = MD d) S = 2R.ME ≤ 2R.MO · S lớn · M đầu mút bán kính OM · AB.
Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy
điểm di động D, E cho ^DOE=600 a) Chứng minh tích BD.CE khơng đổi b) Chứng minh ·BOD ∽ ·OED Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE
HD: a) ·BOD ∽ ·CEO · BD.CE = BC2
4 b)
BD OB
OD OE · ·BOD ∽ ·OED
c) Vẽ OK · DE Gọi H tiếp điểm (O) với cạnh AB Chứng minh OK = OH.
Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB điểm E di động nửa đường trịn đó
(E khơng trùng với A B) Vẽ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AE cắt By C, tia BE cắt Ax D a) Chứng minh tích AD.BC khơng đổi b) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự M N Chứng minh ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy song song với c) Xác định vị trí điểm E nửa đường trịn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Tính diện tích nhỏ
HD: a) ·ABD ∽ ·BCA · AD BC AB
b) ·MAE cân · ·MDE cân · MD = ME = MA Tương tự NC = NB = NE Sử dụng bổ đề hình thang · đpcm.
c) S = 2R.MN · S nhỏ · MN nhỏ · MN · AD · OE · AB Smin 4R2.
Bài Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB A, đường tròn (O·)
tiếp xúc với AB B Hai đường trịn ln thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Hỏi tiếp điểm M hai đường tròn di động đường nào?
(23)Bài Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ·ABC Gọi M, N, P tiếp điểm AB, AC, BC
với (O) Chứng minh rằng: PABC 2(AM BP NC ) HD:
P∆ ABC=( AM + MB )+(BP + PC )+ (NC + AN )=( AM + AN )+ (BM +BP )+( PC +CN )=2( AM + BP+ NC)
( Chú ý: ∆ AMO= ∆ ANO (ch-gn) nên AM=AN)
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K lần
lượt chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK
HD: Vẽ EH · CD Chứng minh EH = EK · CH = DK.
Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Cho
biết góc ^AMB=400 a) Tính góc ^AOB
b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N Chứng minh tam giác OMN tam giác cân
HD: a) ^AOB=1400 b) Chứng minh ^NOM=^NMO
Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM2 c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R
HD: a) OC · OD c) AC R 3 ,
R
BD MD
3
.
Bài 11. Cho hai đường tròn (O) (O·) tiếp xúc ngồi với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O·) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N a) Đường thẳng CM cắt (O·) P Chúng minh: OM // BP b) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh tam giác OCD tam giác cân
HD: a) OM · MC, BP · MC b) CD // OM; ·OCD cân D.
Bài 12. Cho hai đường tròn (O; R) (O·; R·) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O·; R·/) Biết R = 12cm, R· = 5cm a) Chứng minh: O·A tiếp tuyến đường trịn (O; R) b) Tính độ dài đoạn thẳng OO·, AB
(24)Bài 13. Cho đường trịn tâm O bán kính R = 6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) a) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB b) Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường trịn (O) I chạy đường ?
HD:
a, AB2=OA2-OB2
b, Vì O, A cố định mà OIA=90^ nên C thay đổi I chạy đường trịn đường kính
AO.
Bài 14. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) tiếp xúc với (O; r) Trên tia AB lấy điểm E cho B trung điểm đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai (O; r) cắt (O; R) C D (D E C) a) Chứng minh: EA = EC b) Chứng minh: EO vng góc với BD c) Điểm E chạy đường dây AB (O; R) thay đổi tiếp xúc với (O; r)?
HD:
a, Gọi hai tiếp điểm M N ( M thuộc AB) Ta có: ME=EN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); MA=MB; NC=ND; MB=ND nên AE=EC.
b, Vì ∆ EMN cân mà MB=ND nên DB//NM Ta có EO vng góc NM nên EO vng góc DB.
c, Đặt AB=x, suy ME= 34 x suy OE= √OM2
+ME2=√r2+ 16x
2 không đổi Vậy
dây AB thay đổi E chạy đường trịn tâm O đường kính OE.
Bài 15. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a) Khi AH = 2cm, MH = 4cm, tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB b) Khi điểm M di động nửa đường trịn (O) Hãy xác định vị trí M để biểu thức:
MA2 MB2
1
có giá trị nhỏ c) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) I chạy đường ?
HD:
a, ∆ AHM vng H, Pytago tính AM= 2√5 cm, ∆ AMB vuông M nên
AM2=AH.AB
suy AB=10cm, MB= √AB2−AM2=4√5 CM,
b, AM2+
1
MB2=
1
(25)c, Vì ^AIO=900 nên I chạy nửa đường tròn đường kính AO.
Bài 16. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ^ABD ?
b) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH
HD: a) ^ABD=900 b) BHCD hình bình hành.
Bài 17. Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn (O) D a) AD có phải đường kính đường trịn (O) khơng ? Vì sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH.DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường trịn (O)
HD:
a, Có AH vng BC trung điểm H, OH vuông BC nên A,O, H thẳng hàng. b, ∆ ABD vuông B nên AH.BD=BH2 hay 4AH.BD=4BH2=BC2 đpcm. c, Ta có:
BH2=
AB2+
BD2 Từ tính BD.
Mà AD2=DB2+AB2 suy AD R=AD:2.
Bài 18. Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H a) Tứ giác ACOD hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng d) Chứng minh: CD2 = AH HB.
HD: a) ACOD hình thoi.
Bài 19. Cho đường trịn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng cm a) Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) b) Đường thẳng d cắt đường trịn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB c) Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo góc CAB (làm trịn đến độ) d) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM
HD:
a, R=5cm>d=3cm nên đường thẳng d cắt (O).
b, Kẻ OH vuông AB, OH=3cm, AO2+OH2=AH2 => AH=4cm => AB=8cm. c, ∆ ACB có OH đường trung bình nên BC=2OH=6cm.
(26)Bài 20. Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH
HD: a ) ^BMC=^BNC=900 b) H trực tâm ·ABC c) NK · NO (K trung điểm AH).
Bài 21. Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường trịn cho góc
^MAB=600
Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN2 = 4AH.HB c) Chứng minh ∆ BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng
HD:
a, AM vuông BM AN vuông BN. b, 4AH.BH=4MH2=NM2.
c, ∆ BMN cân có ^MBN=600 nên ∆ BMN đều.
d, OH đường trung bình ∆ MEN nên OH//EN.
BO đường trung bình ∆ MFE nên BO//FE Suy F,E,N thẳng hàng.
Bài 22. Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
HD: a) ^OBA=900 , ^OAB=300 , ^AOB=600 .
Bài 23. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA ^ BC tính tích OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE
HD:
a, ∆ ABO vuông B nên OA.OH=OB2=R2.
(27)Bài 24. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ^ AC CF ^ AB ( E AC F AB , ), BE CF cắt H
a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O)
HD: a) BOCH hình bình hành OB = OC b) H trực tâm ·ABC c) OA = 2R
Bài 25. Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc ^DOE
HD: a) OH 1,5( )cm b) AB3 )cm , PADE 2AB6 ( )cm c) ^DOE=1
2 ^BOC=60
.
Bài 26. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM BN theo R
HD:
a, Gọi E tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M Ta có: MO vuông AE; ON vuông EB; ^AEB=900
nên ^MON=900
b, Ta có: ME=MA; EN=NB nên NM=MA+NB. c, AM.BN=ME.EN=OE2=R2
Bài 27. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC a) Chứng minh AD.AB = AE.AC b) Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) c) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH Giả sử AB = cm,AC = cm Tính độ dài PQ
HD:
(28)xứng với N qua OO· Chứng minh rằng: a) MNQP hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O·) c) MN + PQ = MP + NQ
HD:
CHƯƠNG III
GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
I GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG
1 Góc tâm
· Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn góc tâm
· Nếu 00 a 1800 cung nằm bên góc cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc là cung lớn
· Nếu a 1800 cung nửa đường trịn
· Cung nằm bên góc cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn
· Ki hiệu cung AB ·AB 2 Số đo cung
· Số đo cung AB kí hiệu sđ·AB
· Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
· Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn).
· Số đo nửa đường trịn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600. Cung khơng có số đo 00(cung có mút trùng nhau)
3 So sánh hai cung
Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: · Hai cung chúng có số đo · Trong hai cung, cung có số đo lớn cung lớn 4 Định lí
Nếu C điểm nằm cung AB sđ·AB = sđ·AC + sđ·CB.
BÀI TẬP:
(29)HD: 90 ;270 0
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB
2 số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB
HD: R
S
4
.
Bài 13. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R)
R O;
2
Trên đường tròn nhỏ lấy
điểm M Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đường tròn lớn C
a) Chứng minh cung CA=CB b) Tính số đo hai cung AB
HD: b) 60 ;300 0
Bài 14. Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo
HD: 1200.
Bài 15. Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD, DE EC
HD: BD=DE=EC.
Bài 16. Cho hai đường trịn đồng tâm (O; R) (O; R¢) với R > R¢ Qua điểm M ngồi (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R¢) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD
HD:
II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
1 Định lí 1
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây nhau.
b) Hai dây căng hai cung nhau. 2 Định lí 2
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn hơn.
(30)a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau. b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung ấy.
Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) thì đi qua điểm cung bị căng dây ấy.
c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại.
BÀI TẬP:
Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết ^A=500 , so sánh cung nhỏ AB, AC BC
HD: ^B=^C> ^A => AB=AC>BC.
Bài Cho hai đường trịn (O) (O¢) cắt hai điểm A, B Vẽ đường kính
AOE, AO¢F BOC Đường thẳng AF cắt đường trịn (O) điểm thứ hai D Chứng minh cung nhỏ AB, CD, CE
HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD.
Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với
cho sđ·BM900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ
đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng:
a) AB ^ DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O)
HD:
Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song
với Qua O vẽ đường thẳng vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD
HD:
Bài Cho đường tròn (O) dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa mãn cung
AmB=1/3.AnB a) Tính số đo hai cung AmB AnB
b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB
AB
2
HD:
Bài Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa mãn: cung AB=2CD Chứng minh: AB
< 2.CD
HD:
(31)1 Định nghĩa
Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn đó.
Cung nằm bên góc cung bị chắn. 2 Định lí
Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn. 3 Hệ quả
Trong đường trịn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung nhau.
b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng.
BÀI TẬP:
Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600 a) So sánh góc tam giác ABC b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB
HD:
a) ^B =300; ^A =600; ^C =900
b) Chứng minh tia AN, BM tia phân giác góc A B.
Bài Cho tam giác ABC cân A ( ^A <900) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt
AC E Chứng minh rằng:
a) Tam giác DBE cân b) ^CBE=1
2 ^BAC
HD: a) Cung DB=DE => DB=DE b) ^CBE=^DAE
Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính MN ^ BC
(điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC
HD: MN ^ BC => Cung MB=MC.
Bài Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm
(32)MAB
HD: a) ^AOB=1800 b) AK, BI đường phân giác · MAB
c) AB = 20 cm Chứng minh r p a · r4cm .
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn
Vẽ đường trịn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường trịn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID ^ MN c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đường trịn (I) nói
HD: a) ^MCN=900 · MN đường kính.
b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; ^INC=^OBC Þ MN // AB; ID ^ AB.
c) Gọi E giao điểm đường thẳng CD với (O) · Cung EA=EB · E cố định.
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ
đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng
c) Chứng minh OM AH
1
HD: a) Chứng minh ^ABF =^ACF=900 · CE // BF, BD // CF · BFCH hình bình hành.
b) Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành. c) Dùng tính chất đường trung bình tam giác AHF.
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường tròn, C
điểm nửa đường trịn kia, CM cắt AB D Vẽ dây AE vng góc với CM F a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân b) Vẽ CH ^ AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc ^HCO
c) Chứng minh CD AE
1
HD: a) Chứng minh DFAC ·FEM vuông cân F · AE = CM;
^
CAE=^AEM=450 · AC // ME · ACEM hình thang cân b) ^HCM=^OMC=^OCM
c) DHDC ∽·ODM Þ
CD CH DH
MD MO DO 1 · CD ≤ MD · CD CM AE
1
2
. Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biết ^A=a<900 Tính độ dài BC.
(33)Bài Cho đường trịn (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy điểm C đường tròn
(O) cho
·
· sd AC
sdBC Tính góc tam giác ABC.
HD:
Bài 10. Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC
HD:
Bài 11. Cho đường trịn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh rằng: CD24AE BE .
HD:
IV GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
1 Định lí
Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn. 2 Hệ quả
Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn một cung nhau.
3 Định lí (bổ sung)
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn
BÀI TẬP:
Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp
tuyến MC với nửa đường trịn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh tia CA tia phân giác góc MCH b) Giả sử MA = a, MC = 2a Tính AB CH theo a.
HD: a) ^ACH =^ACM= ^B
b) Chứng minh MA MB MC Þ MB4a, AB3a MC.OC = CH.OM ÞCH a
. Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm
đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF
(34)Bài Cho hai đường trịn (O) (O¢) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn (O) C tiếp xúc với đường trịn (O¢) D Vẽ đường trịn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng:
a) ^CAD+^CBD=1800 b) Tứ giác BCED hình bình hành
HD: a) Chứng minh ^BAC =^BCD , ^BAD=^BDC · ^
CAD+^CBD=^BDC+^BCD +^CBD=1800
b) Chứng minh ^BCD=^EDC(¿^BAC); ^ECD=^BDC (¿BAD ) , ^ Þ BC // DE, BD // CE.
Bài Trên cạnh góc ^mXy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT2 MA MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác
TAB
HD: Chứng minh DMAT ∽ ·MTB Þ ^ATM =^B=1
2s đ ( AT ) · MT tiếp tuyến.
Bài Cho hai đường trịn (O) (O¢) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp
xúc với đường trịn (O¢) Vẽ dây BD đường trịn (O¢) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng:
a) AB2AC AD b)
BC AC
BD AD .
HD: a) ·ABC ∽ ·ADB · đpcm. b)
AB AC BC
AD AB BD ·
BC AB AC AC
BD AD AB AD
2
.
Bài Cho đường tròn (O) điểm M bên ngồi đường trịn Tia Mx quay quanh M, cắt
đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho MI2MA MB Hỏi điểm I
di động đường nào?
HD: MT2 MA MB MI Þ MI = MT · Điểm I di động đường tròn (M, MT).
Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến
A M So sánh góc ^AMC ; ^ABC ; ^ABC HD:
Bài Cho hai đường trịn (O, R) (O¢, R¢) (R > R¢) tiếp xúc A Qua A kẽ hai
cát tuyến BD CE (B, C (O¢); D, E (O)) Chứng minh: ^ABC =^ADE HD:
Bài Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung
AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM
a) Tính góc AOI b) Tính độ dài OM
(35)V GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN. GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN.
Định lí 1
Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2
Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
BÀI TẬP:
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC
lấy điểm I K cho AI=AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E a) Chứng minh ^ADK =^ACB
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân
HD: a) ^ADK =1
2( s đ AK + s đ BI )=s đ
AB
2 = ^C b) ^B=^C
Bài Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung
nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng:
a) Các tam giác INE INF tam giác cân b)
AE AF AI
2
HD: a) ^INE=1
2s đ CN = ^E b) AI AE IE AI AF IF , Þ đpcm.
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt
nhau I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN tam giác cân b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi
HD: a) Cung DA=DC; EA=EB; FB=FC· ^AMN =^ANM
b) ^DAI=^DIA · DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN · đpcm
Bài Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính
(36)AB
HD: ^A=s đ CD
2 =^MAC · MA = MC = MB
Bài Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm
giữa A C; D nằm A E) Cho biết ^A=500 , sđBD=400 Chứng minh CD ^ BE.
HD ^A=12( s đ CE −s đ BD ) => sđCE=1400 Gọi H = CD Ç BE =>
^
CHE=1
2(s đ CE+ s đ BD )=90
.
Bài Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau:
sđAB=400, sđCD=1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB
HD:
Bài Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngồi (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD
cho ^CMD=400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc ^AEB=700 , tính số đo cung AB CD
HD:
Bài Cho đường tròn (O) điểm M (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC
qua O (B nằm M C) Đường trịn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: sđAnC=sđBmA+sđBkE với AnC, BmA BkE cung góc AMC
VI CUNG CHỨA GĨC
1 Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB góc a (00 a 1800) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn
·AMB a hai cung chứa góc a dựng đoạn AB. Chú ý:
· Hai cung chứa góc · nói hai cung trịn đối xứng qua AB · Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích
· Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB.
2 Cách vẽ cung chứa góc ·
– Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB. – Vẽ tia Ax tạo với AB góc ·.
– Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d.
(37)Cung AmB vẽ cung chứa góc ·. 3 Cách giải tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:
– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H. – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T. – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H.
BÀI TẬP:
Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung AN)
Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào?
HD: Chứng minh ·MON ^MON=600 · ^AIB=1200 · I nằm cung chứa góc
0
120 dựng đoạn AB.
Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng
bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào?
HD: a) ^ADB=^ADC=450 · D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C).
b) Vẽ Ax ^ AB DE cắt Ax F ÞDEAF = ·CAB · AF = AB · AF cố định ^AEF =900 · E nằm đường trịn đường kính AF.
Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F
cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC
HD:
Phần thuận: ·CBF = ·CDE · ^BMD=^BME=900 · M nằm đường trịn đường kính
BD Mặt khác E ® C M ® C, E ® B M ® B · M thuộc cung nhỏ BC. Phần đảo: DM cắt BC E, BM cắt DC F ·CBF = ·CDE · CE = CF. Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường trịn đường kính BD.
Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía
ngoài tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A
HD:
a) BMNC hình thang vuông
(38)AK.
Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung
AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn
HD: ^ACB=^ADB=^AEB=450 · C, D, E nằm cung chứa góc 450 dựng đoạn AB.
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ
một đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn Từ suy BE ^ CE
HD: a) ^ABE=^ADE Þ B, D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE · A, B, D, E Ỵ (P). b) ^ACB=^ADB · A, B, C, D · (P¢) (P) (P¢) có điểm chung A, B, D · (P) º (P¢) · BEC =^^ BAC=900 .
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba
đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào?
HD:
Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, ^A=500 , AB = 3,5cm.
HD: Bài tốn có hai nghiệm hình.
Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm. HD:
VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1 Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn tứ giác nội tiếp đường tròn. 2 Định lí
· Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800.
· Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn.
3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
· Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn tứ giác nội tiếp đường tròn
(39)tròn.
· Tứ giác ABCD có hai đỉnh C D cho ^ACB=^ADB tứ giác ABCD nội tiếp được.
Chú ý: Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn.
BÀI TẬP:
Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) ^A=a(0<a<90) Gọi M
điểm tuỳ ý cung nhỏ AC Vẽ tia Bx ^ AM, cắt tia CM D
a) Tính số đo góc ^AMD b) Chứng minh MD = MB
HD: a) ^AMD=900
−a
2 b) ·MBD cân · MD = MB.
Bài 2. Cho tam giác ABC khơng có góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM không trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết : BAH =^^ CAM
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Tính số đo góc BAC^ .
HD:
a, ^AHN =^AMN => AHMN nội tiếp. b, BAC =^^ ANM=900
Bài Cho tam giác ABC vuông A Điểm E di động cạnh AB Qua B vẽ đường
thẳng vng góc với tia CE D cắt tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp b) Góc ^ADH có số đo khơng đổi E di động cạnh AB
c) Khi E di động cạnh AB BA BE CD CE không đổi. HD:
a) ^BAC =^BDC=900 b) ^ADH =^ACB c) Vẽ EK ^ BC DKBE ∽ ·ABC Þ BE.BA = BK.BC; ·KCE ∽ ·DCB · CE.CD = CK.CB.
Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC Từ điểm D AC, vẽ DE ^ AB
Hai đường thẳng DE BC cắt F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCDE nội tiếp b) ^AFE =^ACE
HD:
a) ^DCB+^DEB=900 b) AECF nội tiếp Þ ^AFE =^ACE
Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho
(40)HD:
a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 b) BKC =^^ BIC=600 .
Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia
Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp
HD: a) ^MEN=^MFN =900 b) ^D+^CEF=1800 .
Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng
H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn
HD: a) BHCD hình bình hành · ^ACD=^ADB=900 O trung điểm AD.
b) ^AIH =^AFH=^AEH =900 .
Bài Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác BCD, ACE ABF
Chứng minh rằng: a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF
HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE)
^AOB=^AOC=^BOC=1200 => BOCD nội tiếp nên đường tròn (BCD) qua O.
b) ^AOB +^BOD=1800 Þ A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F
thẳng hàng · Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui. c) DABD = ·FBC · AD = CF; ·ACF = ·AEB · CF = BE.
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng:
a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp
HD:
a) ^BIN =^BDC · MN // CD b) ^BAM +^BNM =1800 .
Bài 10. Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
(41)Bài 11. Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp
HD:
VIII ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
1 Định nghĩa
a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đa giác nội tiếp đường tròn.
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đa giác ngoại tiếp đường trịn.
2 Định lí
Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp
Tâm hai đường tròn trùng tâm đa giác đều.
Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc
Chú ý:
· Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh · Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh · Cho n_ giác cạnh a Khi đó:
– Chu vi đa giác: 2 p na (p nửa chu vi).
– Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo n
n
0 ( 2).180
.
– Mỗi góc tâm đa giác có số đo n
360
.
– Bán kính đường trịn ngoại tiếp:
a R n 180 2sin
Þa R n
180 sin
.
– Bán kính đường tròn nội tiếp:
a r n 180 tan
· a r n
0
180 tan
.
– Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp:
a R2 r2
4
.
– Diện tích đa giác đều:S nar
1
(42)Bài Một đường trịn có bán kính R3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn đó.
HD: a R 2( ) cm ÞS18cm2.
Bài Một đa giác nội tiếp đường tròn O cm;2 Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác
HD:
a R
n
0
180 2sin
· n 3 · S 3 3(cm2).
Bài Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt tại
M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P a) Chứng minh DMNP tam giác b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ·MNP
HD:
a) DMNP có góc 600Þ ·MNP tam giác cạnh a3 b) R a 3 .
Bài Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N.
a) Tính tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân
c) Chứng minh AC BM a 2. HD:
a)
r a a
R 1800 : 1800 0,8
2tan 2sin
5
.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác · Cung AB=BC=CD=DE=EA Dùng định lí góc đường trịn, chứng minh tam giác có hai góc nhau.
c) ·ABM ∽ ·ACB ·
AB BM AC BC .
Bài Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho
sđAB=300; sđAC=900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC
HD: BC R 3 , AC R 2 , AB2 sin15R 0, S R
2 sin150
2
(43)IX ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRỊN
1 Cơng thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)
Độ dài C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: C 2R hoặc Cd ( d2R)
2 Công thức tính độ dài cung trịn
Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n0 tính theo cơng thức: Rn
l
180
. BÀI TẬP:
Bài Cho 3,14 Hãy điền vào bảng sau:
Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S
5
6
94,2
28,26
HD:
Bài Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ^ OA Biết độ dài
đường tròn (O) ( ) cm Tính:
a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn
HD:
a, C=2 π R=4 π =>R=2cm
b, Vì OB=2cm, OM=1cm nên ^OBM=300=¿ ^COB=1200 Từ tính cung BC
Bài Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, ^A=1200 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp DABC
HD: Gọi M trung điểm BC => A,O,M thẳng hàng ^CAO=600 nên DCAO
=>OA=AC=3cm.
Bài Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại
tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu?
HD:
Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O¢; R¢) tiếp xúc ngồi với A Một đường thẳng
qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường trịn (O¢) C Chứng minh R R
1
(44)HD:
Bài Cho đường trịn đường kính BC2R Trên đường trịn lấy điểm A cho
AB R 3 Gọi P P P1 3, , chu vi đường trịn có đường kính CA, AB, BC
Chứng minh rằng:
P P12 P22 32
1
HD:
Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa
đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn
HD:
Bài Cho nửa đường trịn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA
và OB nửa đường tròn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn
HD:
Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ
hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O)
HD:
X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN
1 Cơng thức tính diện tích hình trịn
Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: SR2
2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn
Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 tính theo cơng thức: R n
S
360
hay
lR S
2
(l độ dài cung n0 hình quạt trịn).
BÀI TẬP:
Bài Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn hơn.
HD: Gọi chu vi hình 4a ÞShv a Sht a 2,
· Sht Shv.
(45)trịn nội tiếp hình vng
HD: Gọi độ dài cạnh hình vuơng a · ngoạitiếp nộitiếp
a a
S 2;S
2
.
Bài Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp
tam giác cạnh cm6
HD:
ngoạitiếp a
R 0
180 2sin
3
,
nộitiếp a
R 0
180 2tan
3
Þ S9 ( cm2).
Bài Một tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo
thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh
HD:
a a
S 2
9 12
.
Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC
có chứa A ta vẽ ba nửa đường trịn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường trịn
HD: Đặt HB2 ,R HC2r · AH2 HB HC 4Rr · Rr 1 · SRr (cm2).
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với
nửa đường tròn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng:
a) AC BD R 2.
b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O)
HD: a) DAOC ∽ ·BDO ÞAC BD OA OB R 2. b) ·CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến.
c) Vẽ OF ^ CD · ·FOD = ·AOE · OF = OA = R · CD tiếp tuyến (O).
(46)EF tiếp tuyến đường tròn (O)
HD:
a) ^AOM =^B Þ BD // OM.
b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật. c) OE = R, FE ^ OE · EF tiếp tuyến (O).
Bài Cho hai đường trịn (O) (O¢) cắt A B Vẽ đường kính AOC AO¢D
Đường thẳng AC cắt đường trịn (O¢) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF
HD: a) ^ABC =^ABD=900 . b) ^CED=^CFD=900 .
c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngồi) góc F, EA tia phân giác trong (hoặc ngoài) góc E DBEF · A tâm đường trịn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) của tam giác BEF.
Bài Từ điểm A đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường
tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng:
a) AT2AB AC b) AB AC AH AO c) Tứ giác OHBC nội tiếp.
HD: a) ·ATB ∽ ·ACT · AT2AB AC . b) AB AC AH AO AT 2. c) DAOC ∽ ·ABH Þ ^ACO=^AHB · ^ACO +^BHO=1800 · OHBC nội tiếp.
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến
A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) ^AIB=^AOB=900 b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO ^ IE
HD:
a) ^AIB=sđAB=^AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp. c) ^EIO=^EAO=900 Þ IO ^ IE
Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N
(47)C, D thẳng hàng
HD: a) ·FDC = ·NCB · FD = CN = CM
b) A, B, M, E, F nằm đường trịn đường kính BF O trung điểm BF. c) Cung IF=Cung IB · IF = IB
d) IBKC nội tiếp · BCK =^^ BIK =900 · ^
BCK +^BCD=1800 .
Bài Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm
B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt trịn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt trịn AOD BOC (các hình quạt trịn ứng với cung nhỏ)
HD: a) ^BDC =^ABD · AB // CD b) Squ tạ AOB+Squ tạ COD=πR
2
360(sđAB+sđCD ) .
Squ tạ AOD+Squ tạ BOC=πR
2
360(sđAD+sđBC)
Bài Cho nửa đường trịn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam
giác ABC nửa đường trịn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết
HD: a) SABC 24(cm2) b) Svp cm
25 24( )
2
c) Stk 24(cm2).
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết BC = 2cm, ^A=450 a) Tính diện tích hình trịn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn
HD: a) R OB Þ S2 ( cm2) b) Svp cm
2 ( )
c) SABC lớn Û A điểm cung lớn BC Khi SABC 1( cm2). Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M
Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vuông góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH
(48)Bài 11. Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường tròn cho góc ^MAB = 900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM)
b) Chứng minh MN2 4AH HB
c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường trịn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng
HD:
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
HD:
Bài 13. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA ^ BC tính tích OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE
HD:
Bài 14. Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ^ AC CF ^ AB (E AC F AB , ), BE CF cắt H
a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O)
HD:
Bài 15. Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác AEF c) Tính số đo góc BOA
HD:
a, OB2=OH.OA =>OH=1,5cm
(49)OB2+AB2=OA2 nên AB=5cm, => chu vi=10cm. c, Vì OA=2OB nên BAO=30^
=¿^BOA=600
Bài 16. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường trịn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R
CHƯƠNG IV
HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU
I HÌNH TRỤ
1 Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABO¢O vịng quanh cạnh OO¢ cố định, ta hình trụ.
· Hai hình trịn (O) (O¢) nằm hai mặt phẳng song song hai đáy của hình trụ.
· Đường thẳng OO¢ trục hình trụ
· Mỗi vị trí AB đường sinh Các đường sinh vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ.
2 Cắt hình trụ mặt phẳng
· Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt – thiết diện) hình trịn hình trịn đáy.
· Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO¢ mặt cắt hình chữ nhật
3 Diện tích – Thể tích
Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h. · Diện tích xung quanh: Sxq 2Rh
· Diện tích tồn phần: Stp2Rh2R2
· Thể tích: V R h2
BÀI TẬP:
Bài 17. Một hình trụ có bán kính đáy
(50)phẳng qua trục mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 50cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ
HD: Sxq 62,5 ( cm2), V 62,5 ( cm3).
Bài 18. Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ
cm3
128 Tính diện tích xung quanh hình trụ.
HD: Sxq cm
64 ( )
.
Bài 19. Một hình trụ có bán kính đáy cm3 Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ
HD: h R 3( )cm .
Bài 20. Một hình trụ có diện tích xung quanh 20cm2 diện tích tồn phần 28 cm2 Tính thể tích hình trụ
HD: V 20 ( cm3).
II HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT
1 Hình nón
Khi quay tam giác vng vịng quanh cạnh OA cố định hình nón. · Điểm A đỉnh hình nón
· Hình trịn (O) đáy hình nón
· Mỗi vị trí AC đường sinh hình nón · Đoạn AO đường cao hình nón
2 Diện tích – Thể tích hình nón
Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h.
· Diện tích xung quanh: SxqRl · Diện tích tồn phần: Stp Rl R
· Thể tích: V R h
1 3
3 Hình nón cụt
Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy hình nón cụt.
· Hai hình trịn (O) (O¢) hai đáy
· Đoạn OO¢ trục Độ dài OO¢ chiều cao · Đoạn AC đường sinh
A
O C
A
O C
S
O’
R r
(51)4 Diện tích – Thể tích hình nón cụt
Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l.
· Diện tích xung qaunh: Sxq (R r l ) · Thể tích: V h R Rr r
2
1 ( )
3
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông C Biết BC = a, AC = b Quay tam giác vng vịng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỷ số thể tích hai hình nón tỷ số diện tích xung quanh hai hình nón
HD:
V S V12 S12.
Bài 2. Một hình quạt trịn có bán kính 20cm góc tâm 144 Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nửa góc đỉnh hình nón
HD: sina 0,4.
Bài 3. Một hình nón có bán kính đáy cm5 diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón
HD: V 100 ( cm3).
Bài 4. Một hình nón có đường sinh dài cm15 diện tích xung quanh 135cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón
HD: a) h12( )cm b) Stp cm
216 ( )
, V 324 ( cm3).
Bài 5. Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14cm
cm
9 , chiều cao 23cm
a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép)
HD: a) V cm
3
9269 ( ) 9,7
3
lít b) S621,5 ( cm2)
Bài 6. Từ khúc gỗ hình trụ cao cm15 , người ta tiện thành hình nón tích lớn
(52)HD: a) V 960 ( cm3) b) Sxq 136 ( cm2)
II HÌNH CẦU
1 Hình cầu
Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định được hình cầu.
· Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu · Điểm O tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu 2 Cắt hình cầu mặt phẳng
· Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn
· Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn:
– Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn). – Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm.
3 Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R.
· Diện tích mặt cầu: S4R2 · Thể tích hình cầu: V R
3
4 3
BÀI TẬP:
Bài 1. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2) số đo thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu
HD: R3( )cm .
Bài 2. Một hình cầu có diện tích bề mặt 100m2 Tính thể tích hình cầu
HD: V m
3
500 ( )
.
Bài 3. Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp, nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng ABH vịng quanh AH, hai mặt cầu hình nón Tính: a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói c) Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cẩu ngoại tiếp hình nón
HD:
a a
R ;r AH 3;OA
2
a) S S12
1
b) V V12
1
c)
a V 23 3
216
(53)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Một hình cầu nội tiếp hình trụ Cho biết diện tích mặt cầu 60cm2 Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ
HD: a) Stp cm
90( )
b) V cm
3
15
30 ( )
.
Bài 2. Tam giác ABC vng A có BC = 2a B=30^ Quay tam giác vng một vịng quanh cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB
HD: Stp a Sc
3
.
Bài 3. Người ta chia hình trịn ( ;12O cm) thành hai hình quạt có số đo cung 1200
0
240 Từ hai hình quạt người ta uốn lại thành hai hình nón
a) Tính nửa góc đỉnh hình nón b) Tính thể tích hình nón c) Tính tỉ số diện tích tồn phần hai hình nón
HD: a) Độ dài cung nhỏ 8 ( ) cm , độ dài cung lớn 16 ( ) cm
Hình nón tạo hình quạt nhỏ có đường sinh 12cm chu vi đáy 8cm
ÞR14( )cm ·
1 sin a .
Hình nón tạo hình quạt lớn có đường sinh 12cm, chu vi đáy 16cm
· R28( )cm ·
2 sin b .
b) V cm
3 1128 ( )3
, V cm
3 2256 ( )3
c) S S12
64 160 .
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) cắt A,B (O O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB ) Các đường thẳng AO AO’ cắt (O) hai điểm C,D cắt đường tròn (O’) E,F Chứng minh :
a) Ba điểm C,B,F thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp
(54)e ) MN tiếp tuyến chung (O) (O’) Chứng minh MN qua trung điểm AB
HD:
Bài Cho đường trịn tâm (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Các tiếp tuyến với
đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn B,C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn
khác B C Từ M kẻ MH ¿ BC,MK ¿ CA,MI ¿ AB CM:
a) Tứ giác ABOC ,MIBH,MKCH nội tiếp b) Δ MIH ~ Δ MHK
d) MI.MK=MH2
HD:
Bài Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi BB’,CC’ đường cao Δ ABC cắt H.Gọi E điểm đối xứng H qua BC ,F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC , Gọi G giao điểm AI OH CM:
a) Tứ giác BHCF hình bình hành b) E,F nằm (O)
c) Tứ giác BCFE hình thang cân d) G trọng tâm Δ ABC
e) AO ¿ B’C’.
HD:
Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H
của OB Chứng minh:
a) Khi cát tuyến MN di động , trung điểm I MN nằm đường cố định
b) Từ A kẻ tia Ax ¿ MN Tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác BMCN hình bình
hành
c) Chứng minh C trực tâm Δ AMN
d) Khi MN quay xung quanh H C di động đường
e) Cho AB=2R ,AM.AN=3R2;AN=R √3 Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi tam
giác AMN
HD:
Bài Cho 1/2(O) đường kính AB=2R ,kẻ tuyếp tuyến Bx với (O).Gọi C,D điểm di
động (O) Các tia AC,AD cắt Bx E,F ( F nằm B E) Chứng minh
a) Δ ABF ~ Δ BDF b) Tứ giác CEFD nội tiếp
c) Khi C,D di động tích AC.AE=AD.AF khơng đổi
(55)Bài Cho tam giác ABC cân A có BC=6cm đường cao AH=4cm nội tiếp đường trịn
(O;R) đường kính AA’ Kẻ đường kính CC’, kẻ AK ¿ CC’
a) Tính R ? b)Tứ giác CAC’A’ , AKHC hình ? Tại sao?
c) Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi Δ ABC ?
HD:
Bài Từ điểm A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O) , (M,N ¿ (O))
a) Từ O kẻ đường thẳng ¿ OM cắt AN S Chứng minh : SO = SA
b) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B , AN
C Giả sử A cố định ,P điểm chuyển động cung nhỏ MN Chứng minh chu vi Δ
ABC không đổi ? Tính giá trị khơng đổi ấy?
c) Vẽ cát tuyến AEF không qua điểm O ,H trung điểm EF Chứng minh điểm A,M,H,O,N thuộc đường tròn
d) Chứng minh AE.AF=AM2
e) Gọi K giao điểm MH với (O) Chứng minh NK//AF
HD:
Bài Cho 1/2(O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax,By Từ C điểm
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax , By E,F a) Chứng minh FE=AE+BF
b) Gọi M giao điểm OE với AC , N giao điểm OF với BC Tứ giác MCNO hình ? Tại ?
c) Gọi D giao điểm AF BE Chứng minh CD//AE
d) Chứng minh EF.CD=EC.FB
e) Khi C di chuyển (O) M,N di chuyển đường ? g) Xác định vị trí C để diện tích Δ EOF bé ?
HD:
Bài 11 Cho hai đường trịn (O;R) (O’;r) tiếp xúc ngồi C Gọi AC, BC hai
đường kính (O) (O’) DE dây cung vng góc trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng DC với đường tròn(O’) F BD cắt (O’) G Chứng minh :
a) Tứ giác AEBF hình thoi b) Ba điểm B,E,F thẳng hàng
c) điểm M,D,B,F thuộc đường tròn d) DF,EG,AB đồng quy
(56)HD :
Bài 12 Cho 1/2(O) đường kính AB , M điểm nửa đường tròn Hạ MH ¿ AB
,vẽ hai nửa đường trịn (I) đường kính AH,(K) đường kính BH nằm phía nửa (O) , cắt MA,MB P,Q Chứng minh :
a) MH=PQ b) PQ tiếp tuyến chung (I),(K)
c)PQ2=AH.BH; MP.MA=MQ.MB d) Tứ giác APQB nội tiếp
e) Xác định vị trí M để chu vi , diện tích tứ giác IPQK lớn ?
HD :
Bài 13 Cho tam giác vuông ABC , vuông A , đường cao AH nội tiếp (O) , d tiếp
tuyến (O) A Các tiếp tuyến (O) B,C cắt d D E
a) Tính ❑^ b) Chứng minh : DE = BD+CE c) Chứng minh : BD.CE=R2
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE ?
HD:
Bài 14 Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD, BE cắt H Gọi O
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh :
a) ED=1/2BC b) DE tiếp tuyến (O)
c) Tính DE biết DH = 2cm , HA = 6cm
HD:
Bài 15 Cho 1/2(O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax,By Từ M điểm trên
nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax , By C,D Các đường thẳng AD,BC cắt N Chứng minh :
a) CD=AB+BD b) MN//AC c) CD.MN=CM.DB
d) Điểm M nằm vị trí trên1/2(O) AC+BD nhỏ nhất?
HD:
Bài 16 Cho Δ ABC cân A ,I tâm đường tròn nội tiếp , K tâm đường tròn bàng
tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh :
a) Bốn điểm B,I,C,K thuộc đường tròn tâm O b) AC tiếp tuyến (O)
c) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm tính bán kính (O) d) Tính phần giới hạn (O) tứ giác ABOC
(57)Bài 17 Cho Δ ABC vuông A Vẽ (A;AH) Gọi HD đường kính (A) Tiếp
tuyến đường tròn D cắt CA E Gọi I hình chiếu A BE Chứng minh :
a) Δ BEC cân b) AI = AH
c) BE tiếp tuyến (A;AH) d) BE = BH+DE
HD:
Bài 18 Cho hình vng ABCD , điểm E cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc
với DE , đường thẳng cắt đường thẳng DE DC K,H Chứng minh:
a) Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính ^CHK c) KC.KD=KH.KB
d) Khi E di chuyển BC H di chuyển đường ?
HD:
Bài 19 Cho (O;R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn AB lấy
điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P CM:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào điểm M
d) Khi M di chuyển AB P chay đoạn thẳng cố định
HD:
Bài 20 Cho Δ ABC vuông A (với AB > AC) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E , nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh:
a) Tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Tứ giác BEFC nội tiếp
c) AE.AB=AF.AC d) EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn
HD:
Bài 21 Cho (O;R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax , P ¿ Ax cho AP >R từ P kẻ
tiếp tuyến PM với (O) M Đường thẳng vng góc với AB O căt BM N AN cắt
OP K, PM cắt ON J , PN cắt OM J CM: a) Tứ giác APMO nội
tiếp BM//OP b) Tứ giác OBNP hình bình hành
c) PI = OI ; PJ = OJ d) Ba điểm I,J,K thẳng hàng
HD:
Bài 22 Cho 1/2(O) đường kính AB điểm M ¿ 1/2(O) (M khác A,B) Trên
(58)phân giác góc IAM cắt 1/2 (O) E, cắt tia BM F Tia BE cắt Ax H , cắt AM K Chứng minh:
a) IA2=IM.IB b) Δ BAF cân c) Tứ giác AKFH hình thoi
d) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn
HD:
Bài 23 Cho Δ ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , dựng (O) đường kính MC Đường thẳng BM cắt (O) D Đường thẳng AD cắt (O) S , BC cắt (O) E Chứng minh:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp , CA phân giác góc SBC b) AB ,EM,CD đồng quy
c) DM phân giác góc ADE d) M tâm đường tròn nội tiếp Δ ADE
HD:
Bài 24 Cho Δ ABC vuông A Trên cạnh AB lấy điểm D (O) đường kính BD cắt BC E Đường thẳng CD , AE cắt (O) F , G Chứng minh:
a) Δ ABC ~ Δ EBD b) Tứ giác ADEC ,AFBC nội tiếp
c) AC//FG d) AC,DE,BF đồng quy
HD:
Bài 25 Cho (O;3cm) tiếp xúc với (O’;1cm) A Vẽ tiếp tuyến chung BC
( B ¿ (O), C ¿ (O’))
a) Chứng minh ^O' OB=600 b) Tính BC
c) Tính diện tích phần giới hạn tiếp tuyến BC cung nhỏ AB , AC hai đường tròn
HD:
Bài 26 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC= 4cm CB=9cm Vẽ phía
của AB nửa đường trịn có đường kính AB,AC,CB có tâm theo thứ tự O,I,K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E , EA cắt (I) M , EB cắt (K) N Chứng minh:
a) EC = MN b) MN tiếp tuyến chung (I) (K)
c) Tính MN d) Tính diện tích giới hạn ba nửa đường tròn
(59)Bài 27 Cho (O) đường kính AB = 2R điểm M di chuyển nửa đường tròn Vẽ
đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) M tiếp xúc với AB N MA , MB cắt (E) C , D Chứng minh :
a) CD//AB b) MN phân giác ^AMB ; MN qua điểm cố định K
c) Tích KM.KN khơng đổi d) Gọi CN cắt KB C’, DN cắt AK D’ Tìm M để
chu vi Δ NC’D’ nhỏ nhất
HD :
Bài 28 Cho Δ ABC vuông A , đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB , AC E , F , đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC I Chứng minh:
a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật b) AE.AB = AF.AC c) IB = IC
d) Nếu diện tích Δ ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF Δ ABC vng cân
HD:
Bài 29 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , P điểm cung AB ( phần khơng
chứa C,D) Hai dây PC , PD cắt dây AB E , F Hai dây AD , PC kéo dài cắt I , dây BC , PD kéo dài cắt K CM:
a) ^CID=^CKD b) Tứ giác CDFE , CIKD nội tiếp c) IK//AB d) PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ AFD
HD:
Bài 30 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Tiếp tuyến C đường tròn cắt AB ,
AD kéo dài E F Gọi M trung điểm EF , tiếp tuyến B D (O) cắt EF I , J Chứng minh:
a) AB.AE = AD.AF b) AM ¿ BD c) I , J trung điểm CE , CF
d) Tính diện tích phần hình trịn giới hạn dây AB cung nhỏ AD biết AB =
6cm , AD = √3 cm
HD:
Bài 31 Cho (O;R) (O’;2R) tiếp xúc A Qua A kẻ cát tuyến AMN APQ
với M , P thuộc (O) ,với NQ thuộc (O’) Tia O’M cắt (O’) S , gọi H trực tâm Δ SAO’ Chứng minh:
a) O’ ¿ (O) b) Tứ giác SHO’N nội tiếp c) NQ = 2MP
(60)Bài 32 Cho 1/2(O;R) đường kính AB điểm M ¿ 1/2(O) ( M khác A B)
đường thẳng d tiếp xúc với 1/2(O) M cắt đường trung trực AB I (I) tiếp xúc
với AB cắt đường thẳng d C D ( D nằm ^BOM ) Chứng minh:
a) OC , OD tia phân giác ^AOM ; ^BOM b) CA ¿ AB , DB ¿ AB c)
AC.BD = R2
d) Tìm vị trí điểm M để tổng AC+BD nhỏ ? Tính giá trị theo R
HD:
Bài 33 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Kéo dài AB CD
cắt E ; CB DA cắt F Góc ^ABC = 1350 Chứng minh:
a) DB ¿ EF b) BA.BE = BC.BF = BD.BG
c) B tâm đường trịn nội tiếp Δ ACG d) Tính AC theo BD
HD:
Bài 34 Cho ba điểm A,B,C đưòng thẳng theo thứ tự đường thẳng d
vng góc với AC A Vẽ dường trịn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt d D Tia AM cắt (O) điểm thứ hai N ; Tia DB cắt (O) điểm thư hai P : Chứng minh:
a) Tứ giác ABMD nội tiếp b) Tích CM.CD khơng phụ thuộc vào vị trí M
c) Tứ giác APND hình ? ? d) Trọng tâm G Δ MAC chạy
đường tròn cố định
HD:
Bài 35 Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O) Từ B C kẻ hai tiếp tuyến với (O) chúng cắt D Từ D kẻ cát tuyến // với AB cắt (O) E , F cắt AC I Chứng minh: a) ^DOC=^BAC b) Bốn điểm O,C,I,D ¿ đường tròn c) IE = IF
d) Cho BC cố định , A di chuyển cung lớn BC I di chuyển đường ?
HD:
Bài 36 Cho tam giác Δ ABC vuông cân C , E điểm tuỳ ý cạnh BC Qua B kẻ tia vng góc với AE H cắt tia AC K Chứng minh:
a) Tứ giác BHCK nội tiếp b) KC.KA = KH.KB
c) Tính ^CHK d) Khi E di chuyển cạnh BC BE.BC+AE.AH khơng
đổi
(61)Bài 37 Cho (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB C điểm nằm
giữa đoạn AB Tia MC cắt (O) điểm thứ hai D Chứng minh:
a) MA2= MC.MD b) BM.BD = BC.MD
c) MB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ BCD
d) Tổng hai bán kính hai đường trịn ngoại tiếp Δ BCD Δ ACD không đổi
C di động đoạn AB
HD :
Bài 38 Cho đoạn thẳng AB điểm P nằm A,B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ
các tia Ax , By vng góc với AB hai tia lấy hai điểm C,D cho AC.BD = AP.PB (1) Gọi M hình chiếu P CD CM:
a) Δ ACP ~ Δ BPD b) ^CPD = 900 từ suy cách dựng hai điểm C,D
c) ^AMB = 900
d) Điểm M chạy nửa đường tròn cố định C,D di động Ax,By thoả mãn(1)
HD :
Bài 39 Cho Δ ABC vuông C BC< CA Lấy điểm I đoạn AB cho IB < IA Kẻ đường thẳng d qua vng góc với AB , d cắt AC F cắt BC E M điểm đối xứng với B qua I Chứng minh :
a) Δ IME ~ Δ IFA ; IE.IF = IA.IB b) Đường tròn ngoại tiếp Δ CEF cắt AE N
Chứng minh B,F,N thẳng hàng
c) Cho A, B cố định cho ^ACB = 900 CM : tâm đường tròn ngoại tiếp Δ FAE chạy đường cố định
HD :
Bài 40 Cho (O1) ,(O2) tiếp xúc A Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) B , C Gọi M trung điểm BC , tia BA cắt (O2) D , CA cắt (O1) E Chứng minh :
a) Δ ABC vuông b) AM tiếp tuyến chung hai đường tròn
c) ^O1M O2 =900 d) S Δ ADE = S Δ
ABC
(62)Bài 41 Cho (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ điểm M chuyển động
trên đường thẳng d vuông góc với OA A , vẽ tiếp tuyến MP , MP’với đường tròn Dây PP’ cắt OM N , cắt OA B Chứng minh :
a) Tứ giác MPOP’ , MNBA nội tiếp b) OA.OB = OM.ON không đổi
c) Khi điểm M di chuyển d tâm đường trịn nội tiếp Δ MPP’ di chuyển đường ?
d) Cho ^PMP' =600 R=8cm tính diện tích tứ giác MPOP’ hình quạt POP’
HD :
Bài 42 Cho 1/2(O;R) đường kính AB điểm M ¿ 1/2(O) ( M khác A B)
Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với 1/2(O) Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với 1/2(O) cắt Ax By C D , OC cắt AM E , OD cắt BM F , AC = 4cm , BD = 9cm Chứng minh :
a) CD = AC+BD ; ^COD = 900 b) AC.BD = R2 c) EF = R
d) Tính R ; sin ^MBA ; tg ^MCO
e) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác ACDB nhỏ
HD :
Bài 43 Cho Δ ABC cân A (góc A < 900 ) nội tiếp (O) Một điểm M tuỳ ý cung nhỏ AC Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM D Chứng minh :
a) AMD = ABC b) Δ BMD cân
c) Khi M chạy cung nhỏ AC D chạy cung trịn cố định số đo ^BDC
không đổi
HD :
Bài 44 Cho (O;R) dây CD cố định Gọi H trung điểm CD Gọi S điểm
tia đối tia DC qua S kẻ hai tiếp tuyến SA , SB tới (O) Đường thẳng AB cắt SO , OH E F , cho R=10cm ; SD=4cm ; OH =6cm CM:
a) Tứ giác SEHF nội tiếp b) Tích OE.OS khơng phụ thuộc vào vị trí điểm S
c) Tính CD SA
d) Khi S di chuyển tia đối DC AB ln qua điểm cố định
(63)Bài 45 Cho (O;R) (O’;R’) cắt hai điểm A , B (O O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB ) Một đường thẳng qua A cắt (O) (O’) hai điểm C,D ( A nằm C D ) Các tiếp tuyến C D cắt K Nối KB cắt CD I Kẻ EI//DK (E ¿
BD) Chứng minh:
a) Δ BOO’~ Δ BCD b) Tứ giác BCKD nội tiếp
c) AE tiếp tuyến (O) d) Tìm vị trí CD để S Δ BCD lớn
HD :
Bài 46 Cho 1/2(O) đường kính AB Bán kính OC ¿ AB O , điểm E ¿ OC Nối
AE cắt 1/2(O) M Tiếp tuyến M cắt OC D , BM cắt OC K Chứng minh :
a) Δ DME cân
b) BM.BK không đổi E chuyển động OC c) Tìm vị trí E để MA=2MB
d) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp Δ CME Chứng minh E chuyển động OE
thì I ln thuộc đường thẳng cố định
HD :
Bài 47 Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O) Kẻ đường cao AH đường kính AK Hạ BE
và CF ¿ AK , cho góc ABC=600 R= 4cm Chứng minh :
a) Tứ giác ABDE , ACFD nội tiếp b) DF//BK c) Tính SquạtOKC
d) Cho BC cố định , A chuyển động CM tâm đường tròn ngại tiếp Δ DEF điểm
cố định
HD :
Bài 48 Cho 1/2(O;R) đường kính BC điểm A ¿ (O) Dựng phía ngồi Δ
ABC hai nửa đường trịn đường kính AB , AC (I) (K) đường thẳng d thay đổi qua A cắt (I) (K) M N Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB hình thang vng b) AM.AN=MB.NC
c) Δ CMN cân d) Xác định vị trí d để SBMNC lớn nhất
(64)Bài 49 Cho (O;R) dây AB = R √2 cố định Điểm M ¿ cung lớn AB cho Δ
MAB nhọn Các đường cao AE , BF Δ AMB cắt H , cắt (O) P, Q
Đường thẳng PB cắt tia QA S Chứng minh:
a) Δ OAB vuông b) Ba điểm P ,O , Q thẳng hàng
c) Độ dài FH không đổi M chuyển động cung lớn AB cho Δ ABM nhọn
d) SH cắt PQ I Chứng minh M di chuyển cung lớn AB I thuộc đường tròn cố định
HD :
Bài 50 Cho (O;R) với đường kính AB cố định , EF đường kính thay đổi Kẻ đường
thẳng d tiếp xúc với (O) B Nối AE AF cắt d M N , kẻ AD ¿ EF cắt MN
tại I Chứng minh:
a) Tứ giác AEBF hình chữ nhật b) AE.AM=AF.AN c) IM = IN
d) Gọi H trực tâm Δ MFN Chứng minh đường kính EF thay đổi H ln thuộc
một đường trịn cố định
HD :
Bài 51 Cho (O) dây AB cố định điểm M thuộc cung lớn AB Gọi I trung điểm dây
AB Vẽ đường tròn (O’) qua M tiếp xúc với AB A Tia MI cắt (O’) N cắt (O;R) C Chứng minh :
a) NA//BC b) Δ INB ~ Δ IBM
c) IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ BMN
d) Bốn điểm A,B,N,O thuộc đường tròn AB = R √3
HD :
Bài 52 Cho (O;R) điểm A cố định nằm (O) Vẽ đường thẳng d ¿ OA A
Trên d lấy điểm M Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME,MF EF cắt OM H , cắt OA B Chứng minh :
a) Tứ giác ABMH nội tiếp b) OA.OB=OH.OM=R2
c) Tâm I đường tròn nội tiếp Δ MEF thuộc đường tròn cố định
(65)HD :
Bài 53 Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O;R) đường cao AD , BE,CF cắt H Kẻ đường kính AA’ Gọi I trung điểm BC Chứng minh :
a) Tứ giác BCEF nội tiếp b) Ba điểm H,I,A thẳng hàng
c) DH DA=DB.DC
d) Khi BC cố định , A chuyển động cung lớn BC cho Δ ABC nhọn Tìm vị trí A để S Δ EAH lớn
HD :
Bài 54 Cho (O;R) đường kính AB Gọi C điểm cung AB Điểm E chuyển
động đoạn BC , AE cắt BC H Nối BH cắt AC K , KE cắt AB M Chứng minh:
a) Tứ giác KCEF nội tiếp b) ^CHK khơng đổi
c) Tìm vị trí E để độ dài CM lớn
d) Khi E chuyển động đoạn BC tổng BE.BC+AE.AH khơng đổi
HD :
Bài 55 Cho Δ ABC nội tiếp (O) với góc A<900 Gọi A’,B’,C’ giao điểm (O) với
đường phân giác Δ ABC Nối B’C’ cắt AB , AC M N ,I giao điểm
của AA’,BB’,CC’ Chứng minh:
a) Δ AMN cân b) I trực tâm Δ A’B’C’
c) Tứ giác BIMC’ nội tiếp d) Cho BC cố định , A chuyển động cung lớn BC Tìm vị trí A để độ dài AI lớn
HD :
Bài 56 Cho (O;R) đường kính AB Điểm H ¿ OA , kẻ dây CD ¿ AB H Vẽ (I)
đường kính AH (K) đường kính BH AC cắt (I) E , BC cắt (K) F , EF cắt (O) M N Chứng minh :
a) Tứ giác HECF hình chữ nhật b) Tứ giác ABFE nội tiếp
c) Δ CMN cân d) Tìm vị trí H để diện tích tứ giác CEHF lớn
(66)Bài 57 Cho Δ ABC vuông A Từ điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng vuông
góc với BC cắt AC F cắt tia đối tia AB E Gọi H giao điểm BF CE , tia DH cắt (O) K Chứng minh :
a) BH ¿ CE b) Tứ giác AEDC nội tiếp
c) AK//BH d) Khi D di chuyển BC H di chuyển đường cố định
HD :
Bài 58 Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O;R) đường cao BH,CK cắt (O) D E Chứng minh:
a) điểm B,H,C,K thuộc đường tròn b) DE//HK c) OA ¿ HK
d) Bán kính đường trịn ngoại tiếp Δ AHK không đổi A chạy cung lớn BC
HD :
Bài 59 Cho Δ ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R) Tiếp tuyến với (O) A cắt BC S , St
là phân giác góc ASC , dây cung AD ¿ St cắt BC E Chứng minh:
a) Δ ASE cân b) DC=DB c) CD2=DE.DA d) Cho cung CD = 900, ^
DBA = 1200 tính DE,DA theo R
HD :
Bài 60 Cho (O;R) đường kính AB , M N hai điểm nằm cung AB theo thứ tự
A,M,N,B AB cắt AM S BM cắt AN I Chứng minh:
a) SI ¿ AB K b) AM.AS=AK.AB c) AM.AS+BN.BS=4R2
d) Biết MN//AB MN=R Tính phần nằm (O)
HD :
Bài 64 Cho (O;R) đường kính AB , tia đối tia BA lấy điểm C cho BC = R ,
lấy D (O) cho BD = R Đường thẳng vng góc với BC C cắt AD M Chứng minh:
a) Tứ giác BCMD nội tiếp b) Δ ABM cân B
c) Δ ADB~ Δ ACM tính AM.AD theo R
(67)HD :
Bài 65 Cho Δ ABC nội tiếp (O) đường kính AA’ Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CA kéo dài lấy điểm N cho BM=CN , MN cắt BC I Chứng minh :
a) Δ MA’N cân b) Tứ giác AMA’N , MBA’I nội tiếp
c) I trung điểm MN
HD :
Bài 66 Cho Δ nội tiếp (O) , đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai tiếp tuyến B C tương ứng M N , d cắt (O) E khỏc A , MC cắt BN F CM:
a) ∆ ACN ∽∆ MBA ; ∆ MBC ∽∆ BCN b) Tứ giác BMEF nội tiếp
c) Đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi
HD :
Bài 67 Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh
BC E cắt đường tròn M a)CMR :OM ^ BC
b)Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A CMR : Ax qua điểm cố định c)Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR : FB EC = FC EB
HD :
Bài 68 Cho đường tròn (O;R) điểm A với OA = R√2 , đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN
a) CMR OI ^ MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b)Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng
c)Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC (O)
(68)Bài 69 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên
cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF Gọi D giao điểm đường thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đường tròn
a) AFC BEC có quan hệ với ? Tại ?
b)CMR FEC vuông cân c) CMR tứ giác BECD nội tiếp
HD :
Bài 70 Cho đường trịn đường kính AB , điểm C , D đường trịn cho
C , D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD với CN K
a)CMR: Δ NKD; Δ MAK cân b)CMR tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH //
AD
c)So sánh góc CAK với góc DAK
HD :
Bài 71 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm M nằm cung AB ; gọi
H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm K Các tia AH ; BM cắt S
a) ∆ BAS tam giác ? Tại ? Suy điểm S nằm đường trịn cố định b)Xác định vị trí tưong đối đường thẳng KS với đường tròn (B;BA)
c)Đường tròn qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) điểm N CMR đường thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB
d)Xác định vị trí M cho ^MKA=900 .
HD :
Bài 72 Cho hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) điểm B , C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D CO2E
a) CMR: M trung điểm BC b)CMR: Δ O1MO2 vuông
(69)d)Gọi I trung điểm DE CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d
HD :
Bài 73 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB điểm M đường tròn
Gọi điểm cung AM , MB H , I Cãc dây AM HI cắt
nhau K Hạ ΙΡ ⊥ ΑΜ
a)Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b)Chứng minh IP tiếp tuyến (O;R)
c)Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R)
d)CMR M di động thì đường thẳng HI ln ln tiếp xúc với đường tròn cố định
HD :
Bài 74 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn
sao cho cung AC < 900 C ^O D=900 Gọi M điểm nửa đường trịn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD E F tia AM cắt tia BD S
a)Tứ giác OEMF hình ? Tại ? b)CMR : D điểm cung MB
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC , OD I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp
d) Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đường tròn
HD :
Bài 75 Cho Δ ABC (AB = AC ) , cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tương ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q
a)CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp
(70)c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp Suy PQ ¿ MI
d)CMR KI = KB IH = IC
HD :
Bài 76 Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ
AC, Cx tia qua M Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên tia đói tia MB lấy MH = MC , Gọi K I theo thứ tự trung điểm CH BC CM:
a) Chứng minh: MA tia phân giác góc tia BMx
b) Chứng minh: MD // CH c)Tìm điểm cách bốn điểm A, I, C, K
d) Khi M chuyển động cung nhỏ AC, tìm tập hợp trung điểm E BM
HD :
Bài 77 Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Kéo dài đường cao CH ABC cắt BD E Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đường tròn này, Các đường thẳng AB CG cắt M
a)Tam giác BCD tam giác ? sao? b) CM: Bốn điểm B E C G nội tiếp c)tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d)CM: MBG cân
HD :
Bài 78 Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm đường trịn Một góc xAy = 900 quay quanh A ln thoả mãn Ax, Ay cắt đường trịn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tương ứng B, C Đường trịn đường kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tương ứng M, N Tia OM cắt đường tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh rằng:
a)AMON hình chữ nhật b.MN // BC
c Tứ giác PHOB nội tiếp đường tròn
d Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMNMAX
HD :
Bài 79 Xét ABC có góc B, C nhọn Các đường trịn đường kính AB AC cát
(71)trên M, N Gọi P, Q trung điểm BC, MN
a) Chứng minh: H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM hình gì? Tại sao?
c) Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc đường trịn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn
HD :
Bài 80 Cho đường tròn (0) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn
a.C/m : Bốn điểm A, O, E, C thuộc đường tròn
b C/m : góc AOC góc BIC c.C/m : BI // MN
d.Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
HD :
Bài 81 Cho đường tròn (0) bán kính R, dây AB cố định ( AB < 2R) điểm M
bất kỳ cung lớn AB Gọi I trung điểm dây AB (0’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (0) (0’) thứ tự N, P CM
a) : IA2 = IP IM b) tứ giác ANBP hình bình hành. c) IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP
d)Chứng minh M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định
HD :
Bài 82 Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M điểm cung AB K
thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I Gọi H hình chiếu M lên AK CM:
a) : Tứ giác OIKB nội tiếp b) Tứ giác AMHO nội tiếp
c)Tam giác HMK tam giác ? d) OH phân giác góc MOK
e)Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB)
(72)Bài 83 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (0) Tia phân giác
của góc B, góc C cắt đường tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC
a) ∆ EBF, ∆ DAF cân b) tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB
c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi
HD :
Bài 84 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I
cho AI =
2
3.OA Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung
lớn MN ( C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E.CM:
a) Tứ giác IECB nội tiếp b) ∆ AME ∆ ACM đồng dạng => AM2 = AE
AC
c)AE AC – AI IB = AI2.
d) Hãy tìm vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
HD :
Bài 85 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát
tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với (O) CM :
a) bốn điểm A, O, E, C nằm đường tròn b ^AOC =^BIC
c) BI//MN d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
HD :
Bài 86 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Người ta vẽ đường trịn tâm A bán kính
nhỏ AB, cắt đường trịn (O) C D, cắt AB E Trên cung nhỏ CE (A), ta lấy điểm M Tia BM cắt tiếp (O) N CMR :
a) BC, BD tiếp tuyến đường tròn (A) b) NB phân giác góc CND
c) ∆ CNM ∽∆ MND d) Giả sử CN = a; DN = b Tính MN theo a b
(73)Bài 87 Cho (O; R), AB đường kính cố định Đường thẳng (d) tiếp tuyến (O)
B MN đường kính thay đổi (O) cho MN khơng vng góc với AB M ≠ A, M ≠ B Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng C D Gọi I trung điểm CD, H giao điểm AI MN Khi MN thay đổi, CMR :
a) Tích AM.AC khơng đổi b) Bốn điểm C, M, N, D cựng thuộc đường trịn
c) Điểm H ln thuộc đường tròn cố định
d) Tâm J đường trịn ngoại tiếp tam giác HIB ln thuộc đường thẳng cố định
HD :
Bài 88 Cho tam giác ABC vng A, góc B lớn góc C Kẻ đường cao AH Trên
đoạn HC đặt HD = HB Từ C kẻ CE vuông góc với AD E a) Chứng minh tam giác AHB AHD
b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp hai góc HCE HAE
c) Chứng minh tam giác AHE cân H d) Chứng minh DE.CA = DA.CE
d) Tính góc BCA HE//CA
HD :
Bài 89 Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD đường kính di động Gọi d tiếp
tuyến (O) B; đường thẳng AC, AD cắt d P Q AI trung tuyến tam giác APQ
a) CM: ^PAQ=900 .
b) CM: CPQD nội tiếp c)AI^CD.
d) Xác định vị trí CD để diện tích tứ giác CPQD lần diện tích tam giác ABC
HD :
Bài 90 Cho tam giác ABC vng A góc B lớn góc C, AH đường cao, AM
trung tuyến Đường trịn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB D đường thẳng AC E
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng b) Chứng minh : ^MAE=^DAE MA DE^
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường trịn tâm O Tứ giác AMOH hình gì?
(74)HD :
Bài 91 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC) Đường tròn (O) qua
B C, đường kính DE vng góc với BC K AD cắt (O) F, EF cắt AC I a) Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp
b) Chứng minh góc DHA góc DEA c) Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC
d) AT tiếp tuyến (T tiếp điểm) (O) Điểm T chạy đường (O) thay đổi qua hai điểm B, C
HD :
Bài 92 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD góc
BAC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB P cắt AC Q
a).Chứng minh ^BAM =^PQM ;^BPD=^BMA
b)Chứng minh BD.AM = BA.DP
c)Giả sử BC = a; AC = b; BD = m Tính tỉ số
BP
BM theo a, b, m.
d) Gọi E làđiểm chớnh cung PAQ K trung điểm đoạn PQ Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng
HD :
Bài 93 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn, P điểm cung
nhỏ AC ( P khỏc A C) AP kéo dài cắt đường thẳng BC M
a) Chứng minh: ^ABP=^AMB
b) Chứng minh AB2 = AP.AM.
c) Giả sử hai cung AP CP nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM d) Tìm vị trí M tia BC cho AP = MP
e) Gọi MT tiếp tuyến đường tròn T, chứng minh AM, AB, MT ba cạnh tam giác vuông
HD :
(75)xúc với AC C Đường tròn (O1) (O2) cắt D (D không trùng với A) BO1 cắt
CO2 E CMR :
a) ∆ BCD tam giác vuông
b) O1D tiếp tuyến (O2)
c) điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn d) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn
HD :
Câu 95 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E F CMR:
a) AE = AF b) A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH
c) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH hình bình hành
HD :
Câu 96 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt
cạnh AB M cắt cạnh AC N Từ A kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt cạnh BC I CMR :
a) MN đường kính đường trịn đường kính AH
b) tứ giác BMNC nội tiếp c)BI = IC
HD :
Câu 97 Cho tam giác ABC vuông C, O trung điểm AB D điểm trên
cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I J thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD CMR :
a) OI // BC b) điểm I, J, O, D nằm đường tròn
c) CD tia phân giác góc BAC OI = OJ
HD :
Bài 98 Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt
nhau E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N CMR :
(76)c) BE.DN = EN.BD
HD :
Bài 99 tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M
trung điểm AC, I trung điểm OD a) Chứng minh OM // DC
b) Chứng minh tam giác ICM cân
c) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN.
HD :
Câu 100 Cho tam giác vuông ABC C , nội tiếp đường tròn tâm O Trên cung
nhỏ AC ta lấy điểm M ( M khác A C ) Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC , đường trịn cắt đường tròn (O) điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A điểm N
a, Chứng minh MB tia phân giác góc ^CMD
b, Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn tâm A nói c, So sánh góc CNM với góc MDN d, Cho biết MC = a , MD = b Hãy tính đoạn thẳng MN theo a b
HD :
Câu 101 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I
Chứng minh OI vng góc với BC Chứng minh BI2 = AI.DI
Gọi H hình chiếu vng góc A BC Chứng minh góc BAH = góc CAO
HD :
Câu 102 Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Giả sử ^BAM =^BCA
Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA
(77)Đường thẳng qua C song song với MA , cắt đường thẳng AB D Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC
HD :
Câu 103 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC CM:
Tứ giác CBMD nội tiếp
Khi điểm D di động trên đường trịn ^BMD+^BCD không đổi
DB DC = DN AC
HD:
Câu 104 Cho tam giác nhọn ABC đường kính BON Gọi H trực tâm tam giác
ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M Chứng minh tứ giác AMCN hình thanng cân
Gọi I trung điểm AC Chứng minh H , I , N thẳng hàng
Chứng minh BH = OI tam giác CHM cân Câu 105 Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F , đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K
Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vuông cân Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đường tròn qua A , C, F , K Tính số đo góc AIF , suy điểm A , B , F , I nằm đường tròn
HD:
Câu 106 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác
của góc A , B cắt đường trịn tâm O D E , gọi giao điểm hai đường phân giác I , đường thẳng DE cắt CA, CB M , N
Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC Tứ giác CMIN hình ?
(78)Câu 107 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đường trịn ) Từ điểm
chính cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I , CM cắt đường tròn E , EN cắt đường thẳng AB F
Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp Chứng minh góc CAE góc MEB Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB
HD:
Câu 108 Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đường cao kẻ từ
đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đường cao AH F Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM D Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM N
Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD Chứng minh EF // BC
Chứng minh HA tia phân giác góc MHN
HD:
Câu 109 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm cung AC
( không chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC 1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ^AMB=^HMK 3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK
HD:
Bài 110 Cho ∆PBC nhọn Gọi A chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC
Đường tròn đường khinh BC cắt cạnh PB PC M N Nối N với A cắt đường trịn đường kính BC điểm thứ E
1 Chứng minh điểm A, B, N, P nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn ấy?
2 Chứng minh EM vng góc với BC
3 Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE
HD:
Bài 111 Cho BC dây cung cố định đường trịn tâm O, bán kính R(0<BC<2R) A
(79)1 Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn Từ suy AE.AC=AF.AB
2 Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH=2A’O
3 Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn (O) A Đặt S diện tích ∆ABC, 2p chu vi ∆DEF
a Chứng minh: d//EF b Chứng minh: S=pR
HD:
Bài 112 Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm I nằm A O (I khác A
O).Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
1 Tứ giác IECB nội tiếp AM2=AE.AC AE.AC-AI.IB=AI2
HD:
Bài 113 Trên đường thẳng lấy ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự Gọi (O)
đường tròn tâm O thay đổi luôn qua A B Vẽ đường kính I J vng góc với AB; E giao điểm I J AB Gọi M N theo thứ tự giao điểm CI C J
( M ¿ I, N ¿ J) CM :
1/ IN, JM CE đồng quy D