Bài tập bất đẳng thức cosi lớp 9 có đáp án - Giáo viên Việt Nam

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:... Chứng minh rằng.[r]

Bài tập bất đẳng thức – Tốn lớp 9

Bài 1: Cho a 3, tìm giá trị nhỏ

1 S a

a

 

Giải:

1 8a 24 10

( )

9 9

a a

S a

a a a

       

Bài 2: Cho a 2, tìm giá trị nhỏ S a

a

 

Giải:

3

2 2

1 6a 12 12

S ( )

8 8 8 8 4

a a a a

a

a a a

          

Bài 3: Cho a, b > a b 1, tìm giá trị nhỏ

1 S ab

ab

 

Giải:

2

1 15 15 17

S ( )

16a 16a 16a

16

ab ab ab

ab b b b a b

       



 

 

 

Bài 4: Cho a, b, c>

3

a b c  

Tìm giá trị nhỏ

2 2

2 2

1 1

S a b c

b c a

     

Giải:

Cách 1:

Cách 2:

2 2

2 2

2 2 2

2

1 1

S

1 1

(1 )( ) (1 ) ( )

17

a b c

b c a

a a a a

b b b b

     

       

2

2

1 1

( ); ( )

17 17

b b c c

c c a a

     

Do đó:

1 4 36

( ) ( )

17 17

1 135 17

( )

4( ) 4( )

17

S a b c a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

         

 

 

       

   

 

Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x y z  1 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1

82

x y z

y z x

     

Giải:

2 2 2

2

2

2

1 1

(1 ) (1 )( ) ( )

82

1 1

: ( ); ( )

82 82

1 9 81

( ) ( )

82 82

1 80

( ) 82

82

x x x x

y y y y

TT y y z z

z z x x

S x y z x y z

x y z x y z

x y z

x y z x y z

       

     

         

 

 

       

   

 

Bài 6: Cho a, b, c > a2b3c20

Tìm giá trị nhỏ

3

S a b c

a b c

     

Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c =

12 18 16 12 18 16

4 4 3a

20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13

S a b c a b c b c

a b c a b c

S

     

               

     

     

Bài 7: Cho x, y, z >

1 1

x yz 

Tìm giá trị lớn

1 1

2x 2z

P

y z x y z x y

  

     

1 1 1 1 4 16 1 ;

2 16

:

1 1 1 1

;

2 16 16

1 4 16

x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z

TT

x y z x y z x y z x y z

S

x y z

 

                

         

   

         

       

 

    

 

Bài 8:

Chứng minh với x R , ta có

12 15 20

3

5

x x x

x x x

     

    

           

Giải:

12 15 12 15 20 15 20 12

2 2.3 ; 2.5 ; 2.4

5 4

x x x x x x x x

x x x

               

      

               

               

Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9:

Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh 8x8y8z 4x14y14z1 Giải:

Dự đoán x=y=z = 38 8x x 364x 4xnên:

2

3

2

3

2

3 2

8 8 8 12.4 ;

8 8 8 12.4 ;

8 8 8 12.4

8 8 8 8 8 192

x x x x x

y y y y y

z z z z z

x y z x y z

   

   

   

    

Cộng kết => đpcm Bài 10:

Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh

3 3 3

1 1

3

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Giải:

     

3 3 3

3 3 3

2 2

1 3x

1 3x 3 3 x

; ;

x x x

1 1

3 3 3

x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z xy xyz y

x y y y z yz z x z

xy xy xy yz yz yz z z z

S

xy yz zx x y z

             

     

     

 

     

Bài 11:

Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

biểu thức

      2 2

1

1

x y xy

P

x y

 



 

Giải:

       

   

     

2

2 2 2

1

1 1

4 4

1 1 1

x y xy

x y xy x y xy

P P

x y x y x y xy

  

 

 

      

      

      

Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy

Bài 12:

Cho a, b, c > Chứng minh rằng:

3 3

a b c

ab bc ca b  c  a   

Giải:

Cách 1:

 2

3 3 4 ( 2 2) ab bc ac

a b c a b c a b c

ab bc ac

b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac

   

         

   

Cách 2:

3 3

2 2

2a ; ; 2a

a b c

ab bc b ca

b   c   a  

3 3

2 2

2( )

a b c

a b c ab bc ac ab bc ac

b  c  a         

Bài 13:

Cho x,y > xy4 Tìm giá trị nhỏ

2

2 3x A

4x

y y

 

 

Giải: Dự đoán x = y =

2

2 2

3x 3x 2

A

4x 4 4 2

y x y y x y

y

y x y x y

 

      

            

     

Bài 14: Cho x, y > x+y = Chứng minh 3

1

4

P

x y xy

   



 3 3 3

3 3

3

3

3

3xy(x+y) 3xy=1

3xy 3xy

P= 3xy

x y x y x y

x y x y

x y xy x y

x y

y x

      

   

   





 



Bài 15: Cho x, y, z >

1 1

2

1x1y1z  Chứng minh

1 x

8

yz 

Giải:

   

       

1 1 1

2 1

1 1 1 1 1

1

: ;

1 1 1

y z yz

x y z y z y z y z

xz xy

TT

y x z z x y

         

        

 

     

Nhân vế BĐT => đpcm

Bài 16: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn 1

x y z

S

x y z

  

  

Giải:

1 1 9

3 3

1 1 1 4

x y z

S

x y z x y z x y z

 

            

          

Bài 17:

Cho a, b, c > Chứng minh rằng:

2 2

4a

48

1 1

b c

a b c  Giải:

 

   

   

2

2

4

4a 4

4 8 16

1 1

5 3

5 10 20; 12

1 1

a

a a

a a a a

b c

b c dpcm

b b c c

 

          

   

          

   

Bài 18:

Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:

1 1 1

3

2 2a

a b c a b b c c

 

      

  

 

Giải:

1 1 1 1

; ;

2 2

a b b  a b b c c  b c c a a  c a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm

Bài 19:

1 36

a b c  a b c  Giải:

1 32

1 36

a b c a b c a b c

 

   

   

Bài 20:

Cho a, b, c, d > chứng minh rằng:

1 16 64

a b c   d a b c d   Giải:

1 16 16 16 64

;

a b c  a b c a b c     d a b c d  

Cần nhớ:

 2

2 2 a b c

a b c

x y z x y z

 

  

 

Bài 21:

Với a, b, c > chứng minh rằng:

4 3

4

a b c a b b c c a

 

      

  

 

Giải:

1 3 1 2 1

; ;

a b a b  a b a b b c  b c  b c b c c a  c a Bài 22:

Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác

Chứng minh

1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

      

    

Giải:

1 1 2

1 1 1 1 1

2

p a p b p c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

    

         

 

          

               

Cho x, y, z> x y x  4 Tìm giá trị nhỏ

2 2

x y z

P

y z z x x y

  

  

Giải:

Cách1:

 

 

2

2 2

4

2 2

x y z

x y z x y z

P

y z z x x y x y z

   

      

    

Cách 2:

2 2

; ;

4 4

4

2 2

x y z y z x z x y

x y z

y z z x x y

x y z x y z

P x y x

  

     

  

   

       

Bài 24:

Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh

2 3z 5 51

1 3z

y z x x y

x y

     

  

  

Giải:

 

2 3z 5

1 3z

2 3z 5

1 1

1 3z

1 1

2 3z 24

1 3z 3z

9 51

24

21

y z x x y

x y

y z x x y

x y

x y

x y x y

     

 

  

     

      

  

 

         

     

 

  

Bài 25:

Chứng minh bất đẳng thức: 2

a b  1 ab a b  Giải:

Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26:

Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi

p a  p b  p c  p Giải:

Bu- nhi -a ta có:

2 2

(1 1 )( ) 3(3 )

p a  p b  p c    p a p b p c      p p  p

Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b4 Tìm giá trị nhỏ tổng

1

A a b

a b

   

Giải:

1 15 15.4 17 21

2;

16 16 16 4

b b

a b A

a b b

 

          

 

Bài 28:

Chứng minh a4b4 a b ab3  Giải:

   a2 b2 (12 1 )2 a2 b22 a2 b2 a2 b2 2ab a b2 a4 b4 a b ab3

              

 

 

Bài 29:

Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

2 ( 1)

( 1)

x y xy y x

A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y số thực dương). Giải:

Đặt

2

( 1)

;

x y

a a A a

xy y x a

 

    

 

Có

1 8 10 10

( )

9 9 3 3

a a a

A a A

a a a

           

Bài 30:

Cho ba số thực a b c, , đôi phân biệt

Chứng minh

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b  Giải:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( )

a b b c c a

b c c a c a a b a b b c

a b c

VT

b c c a a b

  

     

 

    

  

 

(Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =)

Bài 31:

Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming

2

1 2009

670

Giải:

   

2 2

2

2 2

1 2009

1 1 2007 2007

670

3

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c



   

      

           

Bài 32:

Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

2 2

P a b c ab bc ca

a b b c c a

 

   

 

Giải:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

Suy

2 2

2 2

P a b c ab bc ca

a b c

 

   

 

2 2

2 2

2 2

9 ( )

P

2( )

a b c

a b c

a b c

  

    

 

t = a2 + b2 + c2, với t  3.

Suy

9 9 1 3 1

3 4

2 2 2 2 2 2 2

t t t

P t

t t



         

 P  a = b = c = 1

Bài 33:

Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ

P =

1 1

16x4y z Giải:

 

1 1 1 21

P=

16x 16x 16 16 16

y x z x z y

x y z

y z y z x y x z y z

       

               

 

     

1 16 4

y x

x y có =khi y=2x;

1

16

z x

x z  z=4x;4

z y

y z  z=2y =>P  49/16

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4 5

23 x  y

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

6 7

B 8x 18y

x y

   

Giải:

6 7 2 2 4 5

B 8x 18y 8x 18y 8 12 23 43

x y x y x y

   

 

             

     

Dấu xảy  

1 1

x; y ;

2 3

 

 

 .Vậy Min B 43  

1 1

x; y ;

2 3

 

 

 

Bài 35

Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2  9

Giải:

0 x x

1     x 20 (x 1)(x 2)0

 x2 3x

Tương tự y2 3y z2 3z

 x2 + y2 + z23( x + y +z) –  – = 9

Bài 36:

Cho a, b, c số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng

a  b c 0. Giải:

    2

2 2

1 2 0; 0;

6

a a a a b b c c

a b c a b c

            

        Bài 37:

Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b c 2 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1 97

2

a b c

b c a

     

Giải:

2

2 2

2

2

2

9 81 1

1 ;

4 16 97

1 9

;

4

97 97

a a a a

b b b b

b b c c

c c a a

       

       

       

       

   

         

Bài 38:

Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh

9

p p p

p a  p b p c  Giải:

9

p p p

p a  p b p c  hay

1 1 9

p a  p b  p c p a p b p c     p

Bài 39:

Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 2

3(a b c ) 2a bc52 Giải:

     

     

2 2

2 2 2

2 2

8

( )( )( ) (6 2a) 6 24

3

16 36 ( )

2a 48 ( ) 48 (1)

3

2 2 (2) (1) d(2)

3

abc a b c a b c a b c b c abc ab bc ac

a b c

bc a b c abc

a b c

a b c an dpcm

                

    

         

 

 

        

Có chứng minh 3(a2b2c2) 2a bc18 hay không? Bài 40:

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ của

biểu thức P4(a3b3c3) 15 abc Giải:

Có a2 a2 (b c )2 (a b c a b c  )(   ) (1) , b2 b2 (c a )2 (b c a b c a  )(   ) (2) c2 c2 (a b )2 (c a b c a b  )(   ) (3) Dấu ‘=’ xảy  a b c 

Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có: abc(a b c b c a c a b  )(   )(   ) (*)

Từ a b c  2 nên (*)  abc(2 )(2 )(2 ) a  b  c  8 8(a b c  ) 8( ab bc ca  ) 9 abc0 9abc 8(ab bc ca) 9abc 8(ab bc ca)

           (*)

Ta có a3b3c3 (a b c  )3 3(a b c ab bc ca  )(   ) 3 abc 8 6(ab bc ca  ) 3 abc

Dấu “=” xảy

2

a b c  

Từ giá trị nhỏ P đạt

2

a b c  

Bài 41:

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng

3 3

2

3

9a b c  abc4. Giải:

 

3 3

3 3 2

3 3 2

3

*

ó ( )( )

3 ( ) (1)

ó ( )( )( ) (1 2a)(1 )(1 )

1 4( ) 8a 6a (2)

3

(1) d(2)

P a b c abc

Ta c a b c abc a b c a b c ab bc ac

a b c abc a b c ab bc ac

c abc a b c a b c a b c b c

ab bc ca bc bc ab bc ca

an a

   

          

         

            



         

  

 

 

3 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

3

1 1 1

à

2 6

1 1 1 1

0

3 3 6

b c abc a b c ab bc ca

a b c

m ab bc ca P a b c

a b c a b c P

         

  

       

     

             

     

     

   

3 3

3 3 2

2

2 2

*

( )( )( ) (1 2a)(1 )(1 ) 4( ) 8a

1

) 2a (3)

4

3 ( )( ) 6a

6a 6a

1

P a b c abc

abc a b c a b c a b c b c ab bc ca bc

ab bc ca bc

P a b c abc a b c a b c ab bc ac bc

a b c ab bc ac bc a b c ab bc ca bc

   

                 

    

            

             

  3 2a  3.1 4

ab bc ca   bc   

Bài 42:

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng:

2 2

Giải:

Chứng minh

     

 2 2

2 2 2

(6 )(6 )(6 ) 216 72( ) 24( x) 8x

24 ( x) (1)

mà 2x 2xz

x xz 36 3x 3xz (2)

ê x xz 24 (

3

xyz x y z x y z x y z

x y z x y z xy yz z yz

xyz xy yz z

x y z x y z y yz

x y z y yz y yz

N n xyz x y z y yz

       

           

    

         

         

        

 

 

2 2

2 2

x)+ 36 3x 3xz

1

x xz 12 ( x) mà 3( x)

3

1 36

x xz 12 12

3

xy yz z y yz

xyz x y z y yz xy yz z x y z xy yz z

x y z

xyz x y z y yz

    

                

 

            

Bài 43:

Cho a 1342; b1342 Chứng minh   2

2013

a b ab a b

Dấu đẳng thức xảy nào?

Giải:

Ta sử dụng ba kết sau:

a13422b13422 0;a 1342 b1342 0;a1342 b 1342 0 Thật vậy:

     

   

 

   

   

2 2 2 2

2

2 2

2 2

1342 1342 2.1342 2.1342 (1)

1342 1342 1342a 1342 1342 (2)

2.1342 2.1342 1342a 1342 1342 3.1342 3.1342 2.2013 3.1342 2013 2013

a b a b a b

a b ab b

a b a b ab b

a b ab a b a b

a b a b

         

       

         

        

     2.2013.1342 2013. a b 2013.a b 1342 1342 2013.a b  Bài 44:

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 14  34 6 1 2 32 A x  x  x x

Giải:

Cách 2:

       

       

 

 

4 2

2

2 2

2

2

2

2

4

4

1

1

2x 8x 10 x 4x

2( 2) ( 2)

4( 2) 8( 2) 4( 2) 8( 2) 8( 2) 8

A x x x x

A x x x x

A

A x x

A x x x x

A x

      

 

      

 

 

      

 

      

         

   

Bài 45:

Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

1 1

ab bc ca

c a b  Giải:

Bài 46

Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1

1 1x y 1y z 1z x 

      

 

 

2 2 3

3

3

3 3 3

x 2x 2x x x

1

1 x

1 x

1 1

; ;

1 x y z

y y x y x y y x y y y x y

y xy x y z

y xy x y z

z x y

dpcm

y x y z z x y z x x y z

                                        Bài 47

Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng:

 2 2a

2

a b

a b    b b a

Giải:

 2     1   2a

2 4

a b

a b    a b a b     a b a    b  ab a b  b b a

     

Bài 48

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

3 3

1 1

1 8a  8b  8c  Giải:

   2

3

2

3

2 2 2

1 1

2a 4a 2a 4a 2 1 8a 2a 4a 2a

2

1 1

; ;

2

1 8b 8c

1 1

1

2 2 2

a

b c

VT

a b c a b c

                                  Bài 49

Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng:

3 3

2 2

a b c

a b c

b  c  a   

Giải:

Cách 1:

 2 22  2 2  2 2

3 3 4

2 2

a b c a b c a b c

a b c a b c

a b c

b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca

     

         

   

Cách

 

3 3

2 2 2 2 2

2a ; ; 2 ( )

a b c

ab bc b ca c VT a b c ab bc ca a b c

b   c   a            

Bài 50

Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng:

2 2

3

1 1

x y z

y z x  Giải:

 

2 1 1 1 3 3 3 3 3

; ;

1 4 4 4

x y y z z x

x y z VT x y z

y z x

  

             

  

Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 –

2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z) b) Từ suy ra: 333333 33 2 33

Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 –

2011)

a) Cho số dương a b Chứng minh :

1 1

( )

4

a b  a b

b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn

1 1

2010 x y z 

Tìm giá trị lớn biểu thức:

1 1

2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 –

2012)

a) Chứng minh với x, y > : 2

2

x 2y 3xy y 1 

b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2 2

1 1

2 3

M

a b b c c a

  

      .

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 xy, x, y số thực thoả mãn điều kiện: x2013y2013 2x1006 1006y .

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:

3

a b c

b c c a a b     

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 –

2016)

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

3

P

xy y

 

 .

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

1 1

2 2 x1 2 y1 2 z  .

Chứng minh

1 64

xyz 

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho m, n số thực thay đổi cho m2n2 5 Hãy tìm giá trị nhỏ của

biểu thức:Q m n mn   1

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 –

2018)

a) Với

4

3

x

< <

, chứng minh 2( )

1

4 x

x - x ³ .

b) Cho a, b, c ba số dương nhỏ

3 cho a + b + c = Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

3

3 3 3

a b+ -c +b c+ a- +c a+ -b ³ .

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng:

a)

a a

a b a b ;

b) 2

a b c

a b  b c  c a  .

Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 –

2019)

Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z =

Chứng minh  

1 1

2 9xyz 21

x y z

 

    

 

 

Đẳng thức xảy nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1 1

P

a b c

  

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 –

2020)

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1 Chứng minh rằng

2 1 1 1 2 a b  b c  c a   .

Dấu “=” xảy nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F 5x2 2y2 2xy 4x2y3 Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè y= x +1 x2+x +1

b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:

1 1

1    

 b

ca a

bc c

ab

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho ba số dương a b, c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1

2 3

a  b  b  c  c  a  

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh

1 1

2

2 2

ab a   bc b   ca c  

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz  

Chứng minh rằng:

2

2 1 1

1 1   1 1

 y  

x z

xyz

x y z

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c  4. Tìm giá trị lớn biểu thức P a b b c c a abc3     ab3bc3ca3bca2

a)Tìm x y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y –

b)Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc Chứng minh rằng:

     

3 2 2 2 2

bc ca ab

a c b b a c c b a 

c)Cho ba số thực   , , 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

x y z

M

y z z x x y

  

  

   Với x, y, z > 0.

Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho x, y số thực dương thõa mãn xy =

Chứng minh : (x + y + 1)(x2 + y2) +

4

x y  8

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số x , y , z >0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1

Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x x+1+

y y+1+

z z+1 Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng:

2 2

1 1 1 1

2

x yz y xz z xy xy yz zx

 

      

    

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018) a)Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện

 

2 2

a + b + c 2 ab + bc + ca

p, q, r

ba số thỏa mãn p + q + r = Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0.

b)Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

M =   

2

a + b + a + b + a + b

Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c =

Chứng minh a b31  b c31 c a315

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

   

4 3

P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y

Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013 2014) Cho số x,y,z thoả mÃn x+y+z =1

Tìm giá trị bé biểu thức : M =

2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3

Chứng minh rằng: 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017) a) Cho a, b hai số thực , x, y hai số thực dương

Chứng minh rằng:

 2 2 a b

a b

x y x y



 

 .

b) Cho x, y hai số thực dương cho x + y =

Chứng minh rằng: 2

1

x y

x  y 

  .

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

3 4

a b c a b c

b c a a b b c c a

 

       

  

 

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho số dương a b c, , Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

a b b c c a

a b c ab bc ca

  

    

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)

Các số thực x,y,z thoả mÃn: x4 + y4 + z4 = Tìm giá trị lớn biểu thøc :

P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x)

Cho a, b, c > vµ abc =

Chøng minh r»ng            

  

     

3 3

a b c

1 b c c a a b

Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 .Tìm giá trị nhỏ của

biểu thức:

F= x

4

(x2+y2)( x+ y )+

y4

(y2+z2)( y + z )+

z4

(z2+x2)( z + x )

Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a,b   thỏa mãn:

9 (2 )(1 )

2

a b

  

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16a4 4 1b4

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

2

2 ( 1)

( 1)

x y xy y x

A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y số thực dương).

Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab6bc2ac7abc Tìm giá trị

nhỏ biểu thức

4 9 4

2 4

ab ac bc

C

a b a c b c

  

  

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   Tìm giá trị lớn

của biểu thức:

1 1

4 3

M

x y z x y z x y z

  

      .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a2b2c2 3

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a

3 6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

      .

Chứng minh bất đẳng thức

2 2

3 8 8 8

x y z

x   y   z   .

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng:

     

3 3

3 3

3 3

a b c

1 a  b c  b  c a  c  a b 

Bài 44: (HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho hai số a, b thoả mÃn a1; b4, tìm giá trị nhỏ tổng:

1

A a b

a b

   

Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho m số cố định, x y số thay đổi Tìm giá trị nhỏ của:

2

( 1) (2 4)

P x y  x my 

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

a) Cho x > 0, y > 0, z >

1 1 1

4 x  y  z  .

Chứng minh rằng:

  

   

1 1 1

1

2x + y + z x 2y z x y 2z

b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2011 y2011 z2011 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: Mx2 y2 z2

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4x+3 A

x 1

 

Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC

2011– 2012)

Cho a > 0, b > a + b Tìm GTNN biểu thức A = a2+b2+

a2+

1

b2 Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho a b c , , 0 thỏa mãna b c  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1.   Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2a b c

P

1 a 1 b 1 c

  

Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4 4

a b c

P

a b b c c a

     

     

  

     

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho {a+2 b+3 c ≥10a ,b ,c >0 , chứng minh : a+b +c +

4 a+ 8 b+

1

c≥

13

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc  3 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức 2

19 3 19 3 19 3

1 1 1

a b c

T

b c a

  

  

  

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a2ab2b2  2b2bc2c2  2c2ca2a2

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác thỏa hệ thức a b c  1.

Chứng minh

2 2 a b c 

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh

1 1 1 1 1

a b c b c a c a b         a b c

Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x y 6 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

6 8

P 3x 2y

x y

   

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

1 1 1 2

a b 4 c b 4 a c 43

Chứng minh rằng:

3 ab bc ca

4

  

Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số dương x, y,zthỏa mãn điều kiện: xy yz zx  673

Chứng minh rằng: 2

1

2019 2019 2019

x x x

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Tìm GTLN yx x .

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực khơng âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A= √2 x2+3 xy +2 y2+√2 y2+3 yz+ z2+√2 z2+3 zx+2 x2

Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z có tổng số không âm 3

x y z 3xyz

b) Cho m, n số thỏa mÃn điều kiện

1 mn

2

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc 2 2

2 2

m n m n

P

m n m n



 



Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho c¸c số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng

2 2

1

2010 2010 2010

x y z

x  yz  y  zx z  xy x y z 

Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a,b,c số thực dương CMR:

3 2a

ab bc ca a b c

a b c b c c a b

 

  

     

Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3

Chứng minh

2 2 2 2 2

2 2

4

4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

     

  

  

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=3 Chứng minh 3x

√yz+

y

√xz+

z

√xy≥ xy+yz+xz

Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)

a −b¿2 ¿

b − c¿2 ¿

c −a¿2

(¿¿)≥9

¿ ¿

1

¿

(a2+b2+c2)¿ .

Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)

Chứng minh   2

3 3

9

a b b c c a

a b c

a ab b bc c ca

  

 

      

  

  với a b c, , độ dài ba cạnh tam giác

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn

1 1 1

1

a b c 

Chứng minh rằng:            

1

1 1 1 1 1 1

8

a b c   a b c

.

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho a b, 0 thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

 

 

1 1

M

a b b a

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z xyz   

Chứng minh rằng: x y z xy      yz zx

Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng: a3

b+ b3

c + c3

a ≥ ab+bc+ca

Đẳng thức xảy nào?

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥

Cho ba số thực , ,a b c thỏa 1a b c, , 2.Chứng minh : 7

a b c a c b b c a  c b a  

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3+ y3

Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a,b,c số dương thoả mãn

1 1

2

1 a b c      Tìm giá trị lớn nhất

của Q=abc

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a b c , , 0 Chứng minh

a b c

b c  c a  a b  .

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Chøng minh r»ng: 21.(a+1

b) + (b+

1

a)  80 víi a  3, b  Dấu xảy nào?

Bi 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a , b hai số dương thỏa mãn a + b =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức T =

2

2

1 1

a b

a b a b

   

      

   

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x + y = CMR :x5 + y5 ≥ 2.

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > với x thuộc R a > 0.

Chứng minh rằng:

5

a b c

a b c

    

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a R thỏa mãn a5 – a3 + a = Chứng minh : < a6 < 4

Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2 b2  b2c2  c2a2  2011

Chứng minh rằng:

2 2 1 2011

2

a b c

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3

1

B

xy x y

 

 .

Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn 2

2 a b c a b 6.

b a b a

   

   

   

    Tìm giá trị

nhỏ biểu thức

4 .

(2 ) (2 ) ( )

bc ca ab

P

a b c b a c c a b

  

  

Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho số thực a b c, , thỏa mãn : 0a b c, , 2 a b c  5 Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức : A a b c.

Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng

2

2

2

xz y x z

y yz xz yz x z



  

  

Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z   1

Tìm giá trị lớn biểu thức:       3

2 x y

P

x yz y xz z xy 

  

Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện

2y

x 1

1 x y    Tìm giá trị lớn biểu

thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn

P =

ab bc ca

cab  abc  bca Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

Cho số thực dương a b c, , thoả mãn abc 2.Chứng minh rằng

a3b3c3 a b c b c a c a b     .

Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 2 Chứng minh

3 3

a b c a b c b c a c a b    

Dấu đẳng thức xảy nào?

Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)

Chứng minh rằng:

 2

3

1 1

( )( )( )

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với a b c , ,

Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 4 8

2 2 3

a c b c

P

a b c a b c a b c



  

      .

Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho a b c d, , , số thực thỏa mãn điều kiện: 2012

abc bcd cda dab a b c d        Chứng minh rằng: a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 2012

    

Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a b c, , số dương Chứng minh

a) 2

a b c

b c c  a a  b .

b)

     

2 2 2

2 2

3 6

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

  

    

   .

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

Cho biểu thức M = a2 + b2 biết a b nghiệm phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab =

18

Tìm giá trị a b để : a) M đạt giá trị lớn b) M đạt giá trị nhỏ

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho ≤ m ≤ ≤ n ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 3 (m n) A

m n

 



Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)