PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn TRONG căn bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau... Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều ki

DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.

Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Đối chiếu với điều kiện x ³ 4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x =7 là nghiệm.Vậy phương trình có nghiệm là x =7.

Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta

có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau

11

x

x x

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x =0 và x =1

2

11

x

ìïï ³ ïï

- +¥ cắt trục hoành tại hai

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.

Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

Với A, B không đồng thời bằng không.

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có ngjiệm x =9

Phương trình (*)Û x=1(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

c) Phương trình được viết lại như sau: 33 x- 2= x2+15- x2+8

Vì x2+15- x2+ > nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 8 0 33 x - 2 hay8

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1.

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình

02

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =0 và x =- 5+ 13

é =ê+ - = Û ê=-ë

t

é =ê

Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và x =- 4.

b) Đặt 2

t= x - x+ , điều kiện t ³ 0 Khi đó 2 2

3x - 2x+ =9 t + 7Phương trình trở thành 2

t tt

-ê =ê

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 22

3

.c) ĐKXĐ: x >0

Phương trình tương đương với

93

x x

ê êë

=-Với 1

3

33

Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và 7 13

18

d) ĐK: x ³ 0.

Dễ thấy x =0 không là nghiệm của phương trình

Xét x ¹ 0 Khi đó phương trình tương đương với

42

x x

Û - + = (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±5 33

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 12 3

Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại toán không chứa tham số thì

có thể không nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải Nhưng với bài toán chứa tham số thì

chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ.

Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x+ =3 3x2+4x- 1

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x =1 và x =- 2

Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành

27 x 3 3 x 3 3x 31x 80 0

- + - + + + + = để sau khi đặt ẩn phụ t= x+3 thì phương trình ẩn t có ( )2

Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách

ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như sau:

(1)Û m x+ -3 3 x+ +3 3x + -4 m x- -1 3m=0 m¹ 0

Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên

Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau 60 24- x- 5x2 =x2+5x- 10

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

-Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1=- -2 14 ,x2 =- -3 13

Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình (x+3) (4- x)(12+x) =28- x

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

9

x x

2

x x

Bài 3.34: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

b) Ta dự đoán được nghiệm x = ±1, và ta viết lại phương trình như sau:

5x- -1 2+ 9- x- 2=2x +3x- 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =2.

Bài 3.35: Tìm số nghiệm của phương trình

ê =ê

t t

ìïï =ïïï

Û í

ïï =ïïïî

é =ê+ - = Û ê=-ë

h) x =0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

ïîPhương trình trở thành:

· Với x £ - 3 tương tự ta có phương trình vô nghiệm.

· Với - < £3 x 3 khi đó phương trình không xác định nên nó vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8 13

Bài 3.38: Tìm số nghiệm của phương trình

3

5

x x

ì £ ï

DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.

Loại 1: Đưa về phương trình tích.

1 Phương pháp giải

Để giải phương trình f x = ta phân tích ( ) 0 f x( )= f x f x1( ) ( ) 2 f x n( ) khi đó

( )

( ) ( ) ( )

1

2

000

+ Nếu phương trình ( )f x = có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của 0 a 0

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình ( )f x = có một 0

nghiệm bằng 1

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình( ) 0

f x = có một nghiệm bằng -1.

* Để phân tích ( )f x ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:

Nếu ( )f x có nghiệm là x = x0 thì ( )f x chứa nhân tử ( – x x tức là :0)

ê =êVậy phương trình có nghiệm là x=- 2,x=1 và x =4

b) Phương tình tương đương với ( ) ( 4 3 2 )

) 0

x x x

é

-ê

ê =ê

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình :x4- 4x3- 10x2+37x- 14= 0

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải:

Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ

Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng

Do đó phương trình tương đương với ( 2 )( 2 )

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và x =- 3

b) Phương trình tương đương với x4- 2x2+ -1 2(x2- 2x+ =1) 0

Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có

hai nghiệm dương phân biệt khác 3

2

' 000

P S

2

m m

m m

t= f x có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng

đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0

ê =ê

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

b) Ta thấy x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 2 2x2 21x 74 105 502 0 2(x2 252) 21(x 5) 74 0

ê =ê.(thỏa mãn)

é =ê

Cách giải: Xét x =0 xem có phải là nghiệm của phương trình không

Với x ¹ 0 ta chia hai vế phương trình cho x ta có pt: 2

2 2 2

x x

+ = ± m = m thay vào phương trình ta quy

t

é ê

Vậy phương rình có nghiệm là x =- 4 và x =1

4 x +17x+60 x +16x+60 =3x (*)

Ta thấy x =0 không phải là nghiệm của phương trình

Xét x ¹ 0, chia hai vế cho x ta có 2

( ) 2

12

32

ê êê

ê ê

Xét x ¹ 0 chia hai vế cho 2

= + ta quy về phương trình bậc hai (t+ +a b t) ( + + = c d) m

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =- 2.

b) Vì x =- 1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x + ta được: 3 1

ê ê

Vậy phương trình có nghiệm là 3 13

b) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt

Với m ¹ - 1 phương trình (**) là phương trình bậc hai

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm

 TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm không âm

Với m ¹ - 1 phương trình (**) là phương trình bậc hai

Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 5: Cho phương trình x4+4x3- 3x2- 14x+ =m 0

a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m =6

t

é =ê

x + x= Û x + x- = Û x=- ±Với t =6 thì x2+2x= Û6 x2+2x- 6= Û0 x=- ±1 7

Vậy phương trình có nghiệm là x =- ±1 2 và x =- ±1 7

b) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm1

t ³

-Û Đồ thị hàm số 2

7

y= -tt m+ trên [ 1;- +¥ cắt trục hoành tại hai điểm phân ) biệt

Xét hàm số y= -tt2 7m+ trên [ 1;- +¥ )

Ta có bảng biến thiên x - 1 7 +¥

y 8+m +¥

m

Suy ra để phương trình có nghiệm là m £ 0

Chú ý: Phương trình trên là phương trình có thể đưa về dạng

0

A x +ax +B x +ax + = và cách giải là đặt C t=x2+ax và đưa về phương trình bậc hai 2

0

At +Bt+ = C

3 Bài tập luyện tập.

Bài 3.42: Tìm số nghiệm của phương trình

2x +3x - 16x +3x+ = 2 0

+ = tức là x2+4x+ = và 1 0 2x2- 5x+ =2 0

Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm là: 2 3 , 1, 2

2

a) Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế của phương trình cho3

Suy ra x=3,x=- 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình nên