PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, các dạng lý thuyết về phương trình lượng giác, các bài tập về phương trình lượng giác, các dạng toán về lượng giác, các bài tập cơ bản về lượng giác, giáo án bài giảng về lượng giác và phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: sina x b cosx c (1) ; với a b c  , , và a2b2 0

Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 và đặt

0tan ( ) tan ( )

Cách giải: Đặt

sin ( )cos ( )tan ( )cot ( )

u x

u x t

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: (sina xcos )x bsin cosx x c  (3)0

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2 1sin cos2

sin cos 2 sin

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a x x b x x c  (3’)

2; 2sin cos 2 sin

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

2 sin cos tan

2

x x

155

.1802

1 cosx 2 sin 2x0 2 sin3 sin 3 cos3 cos 3 5

2

x x x x

3 sin 22 xcos 22 xcos 3x 4 sin 2 cos 3x xsin 5 cos 6x x

5 sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

sin 3x cos 4xsin 5x cos 6x 7 2 2

cos 3 cos 2x x cos x0

Lời giải:

1 Phương trình  cosx 4 sin cosx x 0 cos (1 4 sin ) 0x  x 

cos 0

21

5 Phương trình  (sinxsin 3 ) sin 2x  x(cosxcos 3 ) cos 2x  x

2 sin 2 cosx x sin 2x 2 cos 2 cosx x cos 2x

(2 cosx 1)(sin 2x cos 2 ) 0x

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt tcos2x

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3 sinx 4 cosx 0 2 sin 2x 3 cos 2x 1

3 2 sin 3x 5 cos 3x 5 4 3 cosx 3 sinx 1

5 sin 7x cos 2x 3(sin 2x cos 7 )x 6 sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin x)

3 Ta có 22  5 2  9 52  phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin ) cos(3 sin ) x   x 2 tan sin 1 1

2

x k n x

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

2 3sin2x5cos2x 2 cos 2x4 sin 2x

2cos 1

(1 cos )(cos sin ) 0

tan 1

4

x k x

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin3xcos3xsinx cosx 2 2 cos3xsin 3x

      (Do sin2x sin cosx x2 cos2x0    )x

2 Phương trình  2 cos3x3 sinx 4 sin3x

3 Điều kiện: cosx 0

Phương trình  tan2x3 tan (1 tanx  2x) 4 tan x 1

3 tan x tan x tanx 1 0

2(tanx 1)(3 tan x 2 tanx 1) 0

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

sin x 5 sin cosx x 6 cos x0 2 2

sin x 3 sin cosx x1

3.3 sin2x5cos2x 2 cos 2x4 sin 2x 4 sin3xcos3xsinx cosx

tan 1

4

1tan

arctan2

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos 3xcos 2x cosx 1 0  2 3 cos 4x 8 cos6x2 cos2x 3 0

3.

4 sin( )3

2

x x

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

phương trình  cos 3x cosx (1 cos 2 ) 0 x 

2cos

32

x k x

2cos 2 (cos 2x x 3 cos 2x 2) 0

; 2

4 Ta chuyển cung 2x về cung x.

Phương trình  4 sin cosx 2x2 sin cosx x 1 2 cosx

2 sin cos (2 cosx x x 1) 2 cosx 1

4(2 cos 1)(sin 2 1) 0

223

4 cos 3 cosx xsin 3 sinx x  3 sin 6x 1 3 cos x sin x

2 4 sin 4 xcos4xsin 4x 3 1 tan 2 tan  x x 3

Lời giải:

4 cos 3 cosx xsin 3 sinx x 3 cos 2xcos 6x và cos4x sin4xcos 2x nên

Phương trình  3 cos 2xcos 6x 3 sin 6x 1 3 cos 2x

4 sin xcos x  4 2 sin 2x 3 cos 4x

sin 2 sin cos 2 cos sin 2 sin

Suy ra (1 3 33) tan 3 2x 14 tanx3 33 5 0 3     x

Suy ra điều phải chứng minh

1 Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan tan  2

Suy ra tan( ) tan tan 2

2 Theo định lí Viét ta có: tan tan b, tan tan  c

Suy ra tan( ) tan tan

1 tan tan 1

b c

1

1 tan ( )

1(1 )

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)

Bài 1 Giải phương trình sin 2 1

k x

3 2

22

2 sin cos tan

2

x x

2 2

22

k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

Phương trình cos 8 cos 2 3

5

k x

k x

k k x

k k x

k k x

k x

x   là nghiệm của phương trìnhk

Bài 21 Giải phương trình cot 2 sin 3x x 0

k k

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x m

Bài 23 Giải phương trình cot 5 cot 8x x 1

sin 2 0

2

x x

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: 2, , 0

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm

Bài 26 Giải phương trình tan2 cot2 1 cos (32 )

    là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 27 Giải phương trình cos(2 sin 2 ) 1

k x

k x

k x

Bài 31 Cho phương trình sin (sinx x2 cos ) 2x  khẳng định nào sao đây là đúng?

A Có 1 nghiệm B Vô nghiệm C Có 4 nghiệm D Có 2 họ nghiệm

Phương trình vô nghiệm

Bài 32 Giải phương trình 3(sin 2xcos7 ) sin 7x  x cos 2x

k k x

k k x

k k x

k k x

k x

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 2 , 2

Điều kiện: 2 cos2xsinx 1 0

Phương trình  cosx sin 2x 3 cos 2x 3 sinx

22

Bài 36 Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

A Có 1 họ nghiệm B Có 2 họ nghiệm C Vô nghiệm D Có 1 nghiệm duy

     phương trình vô nghiệm

Bài 37 Giải phương trình 3 cos 4x sin 22 xcos 2x 2 0

    hoặc xarccot( 2)  k

Bài 39 Giải phương trình 3 tanxcotx 3 1 0 

Phương trình  sinxcosxsin cosx x 1 0

4

t x x x  t  

21sin cos

Phương trình (cosx sin )(1 sin cos ) 1 0x  x x  

Phương trình  2 sin2x5 sinx 2 0 1 7

        

5 1 cos x  2 sin x cos x

5,

cos x 3 sin 2x 1 sin x

      

Bài 57 Giải phương trình 2

cos x 3 sin cosx x 1 0 là:

31

4 sin x3cos x 3sinx sin xcosx0

A

2324

53arcsin

52arcsin

D

3

53

Điều kiện: 2 cos2xsinx 1 0  cos 2xsinx0

Phương trình  cosx sin 2x 3 cos 2x 3 sinx

k x

k x

k x

k x

k x

Điều kiên: cosx 0

Phương trình  sinxcosx 2 sin 2x

Đặt sin cos 2 cos 2 2

Bài 71 Giải phương trình 3 3

cos xsin xcos 2x

Phương trình (sinxcos )(1 sin cos ) (sinx  x x  xcos )(cosx x sin )x

sinx cosx 1 sin cosx x cosx sinx 0

Đặt sin cos 2 cos 2 2

2 cos x6 sin cosx x6 sin x1

Phương trình  5 sin2x6 sin cosx xcos2x0

Giải ra ta được ; arctan 1

x  k x   k

Bài 75 Giải phương trình 2 2

cos x 3 sin 2x 1 sin x

A

2

23

Điều kiện: sin 2x 0

Phương trình 2 2(sin 2 cos 2 ) 12 1 cot 2

21

32

4 sin x3cos x 3sinx sin xcosx0

Ta thấy cosx 0 không là nghiệm của phương trình

Nên phương trình  4 tan3x 3 3 tan (1 tanx  2x) tan 2x0

sin x tanx1 3 sinx cosx sinx 3

A

2423

, arctan 1 24

24

Phương trình  sinxcosx3 3 cosx sinx0

41arcsin( )

1arcsin( ) 2

41arcsin( ) 2

1arcsin( ) 21

4sin

6arccos 2

A

23

Bài 93 Giải phương trình 4 4

2 sin x2 cos x2 sin 2x 1

Bài 97 Giải phương trình 5 1 cos  x  2 sin4x cos4x

;6

526

526

26

x k x

5,

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT)

Câu 1 Phương trình sin 1

Câu 2.Phương trình cos 6

Câu 10 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

với các nghiệm ở trên.

Câu 16 Phương trình 2 sin2x 7 sinx 3 0

x x

2

x x

2

x x

2

x x

Câu 23 Phương trình cos 2x 5 sinx 6 0có tập nghiệm trùng với tập nghiệm củaphương trình nào sau đây?

2

x x

2

x x

A sinx 0 B sinxsin 8x C sinxsin 16x D sinxsin 32x.

Câu 30 Phương trình 2n 1cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2x x x x n x 1

 có tập nghiệm trùng vớitập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx 0 B sinxsin 2n x C sinx sin 2n 1x

2

x x

Câu 33 Phương trình sin4xcos4x1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phươngtrình nào sau đây?

x x

2cos 2 sin 2

A cos 2xsin 3x B cos 2x sin 3x C cos 2xsin 2x D cos 2x sin 2x

Câu 37 Phương trình sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2 có tập nghiệm trùng với tậpnghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin 5x 1 B cos 3x cosx C cos 3xcosx D cos 3x cosx

Câu 38 Phương trình tanxtan 2xsin 3 cosx x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm củaphương trình nào sau đây?

A sin 3x 0 B cos 2x 0 C cos 2x 2 D sin 3 0

cos 2 0

x x

Câu 40 Phương trình 3 cos2x 4 sinx10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩnphụ được đặt như sau

A tsinx B tcosx C ttanx D tcotx

Câu 41 Phương trình 2 cos 4x sin4x  1

6

x x

Câu 42 Phương trình cosxsinx2 3 sin 2x

512

x x

Câu 43 Phương trình cosx sinx2  1 cos 3x

2

x x

A vô nghiệm B chỉ có các nghiệm ,

Câu 49 Số nghiệm thuộc tt1, 2  của phương trình 1 2 2

7212

Câu 57 Tổng các nghiệm của phương trình cos 2 sin 2 2

23

Câu 73 Số nghiệm của phương trình sin cos cos 2 cos 4 cos 8 1 sin 12

Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu

10

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu

14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

Câu 21

Câu 22

Câu 23

Câu

24

Câu 25

Câu 26

Câu 27

Câu 28

Câu 29

Câu 30

Câu 31

Câu 32

Câu 33

Câu

34

Câu 35

Câu 36

Câu 37

Câu 38

Câu 39

Câu 40

Câu 41

Câu 42

Câu 43

Câu 44 Câu

45

Câu 46

Câu 47

BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN Câu 1 Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:

Câu 36 Xét các phương trình lượng giác:

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

A Chỉ (III ) B Chỉ (I ) C (I ) và (III ) D Chỉ (II )

Câu 37 Nghiệm của pt sinx = –1

Câu 40 Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Pt nào sau đây tương đương với pt (1)

A sin4x = 0 B cos3x = 0 C cos4x = 0 D sin5x = 0 Câu 41 Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là:

Câu 63 Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

(I) cosx = 5 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2

2 Phương trình cos 6 cos 4 cos 4 

Các nghiệm nằm trong (   của phương trình là:; )

Ví dụ 2 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau:

1 sin 22 xcos 52 x1 2 (sinxcos )x 2 2 cos 32 x

k x

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau:

 3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

Lời giải:

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình  3 sinxcosx 3 cosx sinx2 2 sin 2x

7sin( ) cos( ) 2 sin 2 sin( ) sin 2

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( ) 1

3

x k x

Bài 2 Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 ) cos(2 )

Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau  2 

k x k x k

Bài 4 Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3  3 2 x x 2)1.

Bài 5 Tìm số nghiệm x  0;14 nghiệm đúng phương trình :

cos 3x 4 cos 2x3 cosx 4 0

Điều kiện: cos 2x 1 2xk2  x k

Phương trình 2 cos 2 sin 2 cos 2 4

2 sin

x x

Ta thấy x  không là nghiệm của phương trình

 Nếu x 0; thì phương trình  2 cos 2 sin 2 cos 2

4

2 sin

x x

những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

 Điểm biểu diễn cung  và  k2, k   trùng nhau

 Để biểu diễn cung 2k

n



  lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k0,1, 2, ,n 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

 Phương trình (1) có nghiệm  d( , )a b là ước của c

 Nếu phương trình (1) có nghiệm ( ;x y thì (1) có vô số nghiệm0 0)

0

0,

b

d t a

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác:

Giả sử ta có điều kiện là ( ) 0u x  ( ( ) 0, ( ) 0 u x  u x  ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa ( )u x và giải phương trình để tìm ( ) u x

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

sin 6x sin 4x sin 14x sin 4x sin14x sin 6x

ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 1: Giải phương trình : sinx cos 2x

k x

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A A1, 2, A Trong đó chỉ3

có hai điểm A A nằm phía trên 1, 2 Ox

x y

2 22

cos 2 sin cos

2 (4)

k x

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B , 1 B B2, 3

Trong đó chỉ có hai điểm B B nằm dưới 2, 3 Ox (sinx 0)

x y

Phương trình  sin 4 cos 3x xsin 5 cos 4x x

sin 7x sinx sin 9x sinx sin 9x sin 7x

Phương trình   tan 2 (1 tan 3 tan 7 ) tan 3x  x x  xtan 7x

Nếu tan 3 tan 7x x 1 tan 3xtan 7x0 vô lí

Nên ta có phương trình : tan 2 tan 3 tan 7 tan10

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm bằng cách

biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều trường hợp Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số

Vấn đề 4 Phương trình lượng giác chứa tham số

Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán tự luận cho học sinh, chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt.

phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình:mcos 2x m  1

Lời giải:

2

m m

Ví dụ 3 Cho phương trình : (m 1)cosx2 sinx m 3

1 Giải phương trình khi m 2 2 Tìm m để phương trình có nghiệm

Lời giải:

1 Với m 2 ta có phương trình : 3 cosx 2 sinx1

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:

 Nếu m  1 phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu m  1 phương trình đa cho cos2 4 2

m x

 Nếu m  0 phương trình vô nghiệm

 Nếu m 0 thì phương trình đã ch tương đương vớicot2 2 2 1

8

m x



     thì phương trình (4) vô nghiệm

+) Nếu

120

 Nếu m  0 phương trình vô nghiệm

 Nếu m  0 phương trình sin 22 x 1 m

0

m m

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

1 cos 2xcos2x3 sinx2m0 có nghiệm

Lời giải:

Phương trình  3 sin2x 3 sinx2m2

Đặt ttsin,    1;1 Ta có phương trình : 2

3tt  3m2 2Xét hàm số f tt( ) 3 tt2 3 ,    1;1

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm

Phương trình  2cos x2  2m 1 cosx m   0

2 cos 1 cos   0 2 cos 1 0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình :

1 8m21 sin 3x 4m21 sin x2 cosm 3x0

Lời giải:

 Nếu m 0, phương trình  sin3x sinx0

21

Phương trình cos 2 cos 22 2

sin 2 1 3 sin cos

+) m 0 phương trình vô nghiệm

+) m  0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 4

3

tt  nên trong đó nếu có

thì chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc   1;1

      m0 thỏa yêu cầu bài toán

 m 0 Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên 0; 2 nêu yêu cầu bài toán  phương trình msinx  1 0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên

Điều đó xảy ra khi

0

01

m m

Phương trình 1 2 2 4 0

coscos

m

m x x

tttt tt

3

m m

m m

Phương trình  2 cosm 2xcosx m 0

Đặt tcos ,x t   1;1 ta có phương trình2mtt2 m 0

 m 0 t0 là nghiệm phương trình

 m 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm tt1, 2 và 1 2 1

2

tt   trong hai nghiệm

luôn có một nghiệm thuộc   1;1