LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của

§3 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cossin( ) sin cos sin coscos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

-

+

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

sin2a=2sin cosa a

2

1 cos2cos

2

1 cos2tan

1 cos2

a a

a a

a a

a

-=+

=-

=+

3 Công thức biến đổi tích thành tổng.

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

cos cos 2cos cos

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan7

12

p

-d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot5

b)Vì 540+360=900nên sin540=cos360

Màcos360=cos 2.18( 0)= -1 2sin 182 0

Ta lại có

2

2tan8

2cos cos

A.0 B 3 C 3 3- D 2 3

-Lời giải:

a) Cách 1: Ta có cos202 30' cos 1800 = ( 0+22 30'0 ) =- cos22 30'0

Do đó sin22 30'cos22 30'0 0 1sin450 2

Cách 2: Ta có 0 ( 0 0) 0 0

tan20 tan25tan45 tan 20 50

sin9 cos81 sin81 cos9 sin27 cos63 sin63 cos27

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

 sin 3cos 2 sin1 3cos 2sin( )

 3sin cos 2 3sin 1cos 2sin( )

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

p p

Ví dụ 5: Cho ,a b thoả mãn sin sin 2

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

-Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A =4sin45 cos12 cos30 0 0- sin540- sin360

c) 2cos3 cos2 cos7 cos2 cos7 0

d)

32sin 2sin cos 2sin sin sin 2sin cos

32cos 2sin sin 2cos cos cos 2cos cos

d) sin10 sin50 sin700 0 0

Tương tự sin 6 2,tan 2 3,cot 2 3

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A =cos 732 0+cos 472 0+cos73 cos470 0

b) B=sin6 sin42 sin66 sin780 0 0 0

c) cos cos4 cos5

C= p p p

sin12 sin24 sin48 sin96 1

162cos6 2sin12 2sin24 2cos48

22

22

sin cos sin cos sin cos sin cos

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

b) cos24o+cos48o- cos84o- cos12o

c) cos cos2 cos3

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) cos cos4 cos5

c) C =sin6 sin42 sin66 sin78o o o o

d) cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

2 sin2 sin4 sin1998

(sin2 sin4 sin998 ) sin 2 1002 sin 2 1998

GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.

7sin cos

sin cos 1 7sin cos

sin cos cot

b)Tính cosx

A. 1

15

25-

=-Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin(a b- ), cos(a b+ ), tan(a b+ khi ) sina 8 , tan 5

Bài 6.37: Cho 2cos(a b+ )=cos cosa (p b+ ) Tính

A 5

311

+

21

m n mn

+

m n mn

+-

cos cos sin sin 1 tan tan

 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG

PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

1 Phương pháp giải.

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành

vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần

xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vếđơn giản hơn

1 sin2 sin cos 2sin cos

1 sin2 sin cos 2sin cos sin cos

2 2 1 cos 1 cos 1 1 cos

Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:

a) cos 2cos2 cos3

sin sin2 sin3

2sin

�

=

C sin( 1 cos)

2sin2

�

2sin2

2 sin2 2 sin2 4 2 sin2 sin2 sin2 sin2

Ta có sin2a+sin2b=2sin(a b+ )cos(a b- )

Mà sin(a b+ =) 2cos(a b- )�sin2(a b+ =) 4cos2(a b- ) nên

-Suy ra

( )

( ) ( )

2sin cos cos2 sin

2sin 1 sin 1 2sin sin

a a

Mà cos3 cos5 cos cos7 cos cos3 cos5 cos7 0

sintan

-Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 4 cos( 3asina- sin3acosa)=sin4a

b) tanx+tany= cos(x y2sin(+ +) cos(x y+ )x y- )

c) tan tan3 tan 22 2 tan22

Lời giải:

Bài 6.42: a) VT=4sin cos cosa a( 2a- sin2a)=2sin2 cos2a a=sin4a=VP

b) 2 sin cos( sin cos )

tan tan2cos cos

c) cos cos3 cos5 cos7

sin sin3 sin5 sin7

2cos 2sin2 sin

6 2cos 4sin cos cos 2sin

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a) Nếu 2tana=tan(a b+ thì sin) b=sin cos(a a b+ )

b) Nếu 2tana=tan(a b+ thì 3sin) b=sin(2a b+ )

c) Nếu tan(a b+ ).tanb=- thì cos(3 a+2 ) 2cosb+ a=0

d) Nếu 3sin(a b+ =) cos(a b- ) thì 8sin2(a b+ =) cos2 cos2a b

Lời giải:

Bài 6.45: a) 2tana=tan(a b+ �) tana=tan(a b+ -) tana

sintan

cos( )cos

b a

Theo câu a) ta có sinb=sin cos(a a b+ suy ra 3sin) b=sin(2a b+ )

c) tan(a b+ ).tanb=- �3 sin(a b+ )sinb=- 3cos(a b+ )cosb

( ) ( ) ( )

16sin 2cos2 cos2

Hay 8sin2(a b+ =) cos2 cos2a b ĐPCM.

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin2 sin4 cos cos5 cos7 3

x

n n

Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tanx=cotx- 2cot2x

b) 1.tan 12.tan 2 1.tan 1.cot cot

a

-Lời giải:

Bài 6.49: a)

3 tan 3 tan3tan tan

0 0

sin sink k+1 = k - k+

Do đó

sin1 sin2 +sin2 sin3 + +sin(n- 1) sinn

( )0

cot1 cot2 cot2 cot3 cot n 1 cotn

-Suy ra 01 0 01 0 10 0 cot10 cot 0

sin1 sin2 +sin2 sin3 + +sin(n- 1) sinn = - n

Bài 6.52: Chứng minh rằng 2sin20+4sin40+ + 178sin1780=90cot10

cos1 cos3 2 cos3 cos5 89 cos177 cos179

cos1 cos3 cos177 89cos179

cos1 cos3 cos177 cos89 cos91 89cos1

 DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sina �1, cosa � với mọi số thực a1

2 Các ví dụ điển hình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0

2

p a

< < thìa) 2cot2a� +1 cos2a

b) Bất đẳng thức tương đương với

cos sin2 cos2 cos sin2 cos2

a p

< < Chứng minh rằng sin 1 cos 1 2

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

a) A=sinx+cosx

A maxA = 2 và minA =- 2. B maxA = 3 và minA =- 3

C maxA =2 2 và minA =- 2 2 D maxA =2 và minA =- 2b) B=sin4x+cos4x

Vì sin2x� nên 1 A2= +1 sin2x� + = suy ra 1 1 2 - 2� �A 2.

Ta có A= -2 2sinx- (1 2sin- 2x)=2sin2x- 2sinx+1

Đặt t=sin ,x t� khi đó biểu thức trở thành 1 A=2t2- 2t+1

12

Từ bảng biến thiên suy ra maxA = khi 5 t =- hay sin1 x= 1

x x

x

p �� >

< < ��� >

�Theo bất đẳng thức Côsi ta có tanx+cotx�2 tan cotx x= 2

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B=cos2x+ 1 2sin+ 2x

A maxB= , min3 A = 3 1- B maxB= , min2 A = 3 2

-C maxB= , min2 A = 3 1- D maxB= , min3 A = 3 3

-Lời giải:

Bài 6.54: Ta có B=cos2x+ 1 1 cos2+ - x=cos2x+ 2 cos2- x

Đặt t= 2 cos2- x�cos2x= -2 t2, vì 1 cos2�޹��- x 1 1 t 3

-Từ bảng biến thiên suy ra maxB=2 khi t =1 hay cos2x=1.

minA = 3 1- khi t = 3 hay cos2x=- 1

Bài 6.55: Chứng minh rằng cos (sinx x+ sin2x+ �2) 3

Lời giải:

Bài 6.55: Ta có:

Bài 6.57: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

sin sin sin

Ví dụ 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sin sin sin 4cos cos cos

c) sin2A+sin2B+sin2C=4sin sin sinA B C

2 cos 2cos cos= + C A B=2(1 cos cos cos )+ A B C =VP� ĐPCM

c) VT=2sin(A B+ )cos(A B- )+2sin cosC C

Vì A B C+ + = �p cosC=- cos(A B+ ), sin(A B+ )=sinC nên

b) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

Suy ra ( )* tan tan tan tan tan tan tan( ) tan

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) cos cos cos 3

2 2

A+ B+ C� + = � ĐPCM

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu 0� �x p, 0� � thì y p sin sin sin

Áp dụng bổ đề ta có: sin sin sin

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tanA>0, tanB>0, tanC> 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanA+tanB+tanC�3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ 2 ta có tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C nên

Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sin sin sin cos cos cos

Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được

sin sin sin cos cos cos

A> � <p B p C< suy ra cosp A<0, cosB>0, cosC>0

cos cos cosA B C <0 Mà sin sin sin 0

Vì cos(A B+ )=- cosC và cos(A B- )� nên 1 1( ) 2

cos cos 1 cos sin

Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

(cos cos )(cos cos )(cos cos ) sin2 sin2 sin2

Công vế với vế và rút gọn ta được

tan tan tan cot cot cot

Nhận xét:

+ Để chứng minh x y z a b c+ + � + + ta có thể đi chứng minh x y+ � (hoặc2a

2 , 2b c) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy ra đpcm.

+ Để chứng minh xyz abc� với , , , , ,x y z a b c không âm ta đi chứng minh xy a� 2

(hoặc b c ) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy ra 2, 2

đpcm

Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) Áp dụng bất đẳng thức x y+ � 2(x2+y2) với mọi x y, không âm ta có

Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) sinC=sin cosA B+sin cosB A

tan tan ( , 90 )cos cos

C

sin cos sin cos

d) cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin

Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) tanA+tanB+tanC �3 3," DABC nhọn

b) tan2A+tan2B+tan2C � " D9, ABC nhọn

c) tan6A+tan6B+tan6C�81," DABC nhọn

d) tan2 tan2 tan2 1

Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C và BĐT Cô–si

d) Sử dụng a2+ + � + + và tan tanb2 c2 ab bc ca tan tan tan tan 1

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

1 cos cos cos+ A B C� 3sin sin sinA B C

Lời giải:

Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

3

(sin A+sin B+sin C)(sinA+sinB+sin ) 3 sinC � Asin Bsin C.3 sin sin sinA B C

hay (sin2A+sin2B+sin2C)(sinA+sinB+sin ) 9sin sin sinC � A B C

Mặt khác: sin sin sin 3 3

2

Do đó 1 cos cos cos+ A B C� 3sin sin sinA B C ĐPCM

Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin2A+sin2B+sin2C=4sin sin sinA B C và

cos2A+cos2B+cos2C= -3 2 sin A+sin B+sin C

3 4(1 cos cos cos )A B C 1 4cos cos cosA B C

-Do đó bất đẳng thức tương đương với

4 1 (cos2- - A+cos2B+cos2 )C � 3(sin2A+sin2B+sin2 )C

1 (cos cos cos )

xy yz zx xyz= xy yz zx� ��� + + ���=

Bài 6.71: Cho DABC Chứng minh rằng

2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos

Bài 6.72: Cho ABCD Chứng minh rằng x2- 2(cosB+cos )C x+ -2 2cosA� " 0 x

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a= >1 0 Do

đó để chứng minh ta chỉ cần chứng minh: D � Ta có: 0

2

' (cosB cos )C 2(1 cos )A