LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word §3 MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức cộng: sin(a+ b) = sin a.cosb + sin b.cosa sin(a- b) = sin a.cosb- sin b.cos a cos(a+ b) = cos a.cos b - sin a.sin b cos(a- b) = cos a.cosb+ sin a.sin b tan a+ tan b tan(a+ b) = 1- tan a.tan b tan a- tan b tan(a- b) = 1+ tan a.tan b Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a.cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a tan2a = b) Công thức hạ bậc 2tan a 1- tan2 a 1- cos2a 1+ cos2a cos2 a = 1- cos2a tan2 a = 1+ cos2a Công thức biến đổi tích thành tổng cos acos b= � cos(a+ b) + cos(a- b)� � 2� sin asin b=- � cos(a+ b)- cos(a- b)� � 2� sin acos b= � sin(a+ b) + sin(a- b)� � 2� Cơng thức biển đổi tổng thành tích sin2 a = http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word cos a+ cos b = 2cos a+ b a- b cos 2 cos a- cosb = - 2sin tan a+ tan b = a+ b a- b sin 2 sin(a+ b) cos a.cos b tan a- tan b = sin(a- b) cos a.cos b sin a+ sin b = 2sin a+ b a- b cos 2 cot a+ cot b = sin(a+ b) sin a.sin b sin a- sin b = 2cos a+ b a- b sin 2 cot a- cot b = sin(b- a) sin a.sin b B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc biệt đưa giá trị lượng giác đặc biệt Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos7950 A 6- B 6+ C D C 5- D 5- b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180 A 5- B 5- 2 c)Tính giá trị lượng giác sau: tan A - 2- B - 2+ 7p 12 C 2- D - 2- http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d)Tính giá trị lượng giác sau: cot A 1- B 3- 5p C 2- D 1- 2 Lời giải: a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên cos7950 = cos750 = cos300 cos450 - sin300 sin450 = 2 6- - = 2 2 b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos360 0 Mà cos36 = cos( 2.18 ) = 1- 2sin 18 sin 540 = sin( 180 + 360) = sin180 cos360 + sin360 cos180 = sin180.( 1- 2sin2 180) + 2sin180 cos2 180 = sin180.( 1- 2sin2 180 ) + 2sin180 ( 1- sin2 180 ) = 3sin180 - 4sin3 180 0 0 Do 3sin18 - 4sin 18 = 1- 2sin 18 � ( sin18 - 1)( 4sin 18 + 2sin18 - 1) = � sin180 = sin180 = 5- +1 sin180 = 2 Vì < sin180 < nên sin180 = 5- p p tan + tan � � 7p p p = +1 =- 2= tan� + � = � c) tan � � � p p 1- 12 4� � 1- tan tan d) cot � 5p p p� p = cot� + � =- tan � � � � 8� � http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word p � p� � 2tan p � = Ta lại có 1= tan = tan� suy � � 8� � � 2p 1- tan 1- tan2 � tan p p p p = 2tan � tan2 + 2tan - 1= 8 8 p =- 18 Do tan tan p =- 1+ p p > nên tan =- 1+ 8 Vậy cot 5p = 18 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin22030'cos202030' A - b) B = 4sin4 A B - D- 3+ D C - p p + 2cos 16 6+ B 5+ C 6- p 2p sin - sin 15 c) C = p 2p cos - cos 15 A - B C - 3 D - p 5p 7p d) D = sin - sin + sin 9 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A.0 B C - 3 D - Lời giải: 0 0 a) Cách 1: Ta có cos202 30' = cos( 180 + 22 30') =- cos22 30' Do A =- sin22030'cos22030' =- sin450 =2 1 sin( 22030'+ 202030') + sin ( 22030'- 202030') � = � sin2250 + sin ( - 1800 ) � Cách 2: A = � � � � � 2� � � 2� 1 = � sin( 1800 + 450 ) - sin1800 � =- sin450 =� � � 2� 2 � � � p� � � p p � �+ 2cos p b) B = � 2sin 1- cos� � �+ 2cos = � � � � � � � � � � 16� � � � 16� � p p p = 1- 2cos + cos2 + 2cos = 1+ 8 p 1+ = 1+ = 6+ 2 1+ cos � 1� 1� p 2p � p p 2p 2cos � + � sin � � � sin - sin �5 2� �5 15� � 2� 15 = c) C = � 1� p 2p 1� p 2p � p cos - cos - 2sin � + � sin � � � � �5 15� 2� � 15 2� � 2p � p � cos � 15� =- cot p ==� p 2p � � sin � 15 � � p 7p � 5p 4p p 5p 4p 5p sin + sin � - sin = 2sin cos - sin = sin - sin =0 � d) D = � � � � 9� 9 9 � Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = 1 + cos290 3sin2500 A 3 B C 3 D 3 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 0 b) B= ( 1+ tan20 )( 1+ tan25 ) A.2 B.1 C.3 D.5 C.3 D.5 D.5 c) C = tan90 - tan270 - tan630 + tan810 A.2 d) D = sin2 B.4 p 2p p 2p + sin2 + sin sin 9 9 A.2 B C Lời giải: 0 0 0 a) Ta có cos290 = cos( 180 + 90 + 20 ) =- cos( 90 + 20 ) = sin20 sin2500 = sin( 1800 + 900 - 200) =- sin ( 900 - 200 ) =- cos200 C= sin200 =4 cos200 - sin200 3sin20 - sin20 = =4 0 0 3cos20 3sin20 cos20 3.2.sin20 cos200 sin600 cos200 - cos600 sin200 3sin400 = 4sin400 = 3sin 400 � sin200 � � � sin250 � � sin200 + cos200 sin250 + cos250 � � � + + = � � b) Cách 1: Ta có B = � 0� � � � � � cos250 � cos200 cos250 � cos20 � � � � = =2 sin200 cos450 + cos200 sin450 sin250 cos450 + cos250 sin 450 cos200 cos250 sin650 sin700 =2 cos200 cos250 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cách 2: Ta có tan 450 = tan( 200 + 500 ) = Suy 1= tan 200 + tan250 1- tan200 tan250 tan200 + tan250 � tan200 + tan250 + tan200 tan250 = 0 1- tan20 tan25 � ( 1+ tan200) ( 1+ tan250) = Vậy B= 0 0 c) C = tan9 + tan81 - ( tan27 + tan63 ) = sin90 cos810 + sin810 cos90 sin270 cos630 + sin630 cos270 cos90 cos810 cos270 cos630 2( sin540 - sin180) 1 2 = = = cos90 sin90 cos270 sin270 sin180 sin540 sin180 sin540 = 4cos360.sin180 =4 sin180.sin540 d) D = sin2 p 2p p 2p � p 2p � p 2p + sin2 + sin sin =� sin + sin � �- sin sin � � � 9 9 � 9� 9 � � � p p� 1� p p� 1� p� p � � =� 2sin cos �+ � cos - cos � = cos + cos � � � � � � � � 18� 9� 18 2� 9� � � 2� � p 1+ cos p� + 1� � = - cos � = � � 2� 9� � � Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên sử dụng � � p � = 2sin(x � )  sin x � 3cos x = 2�sin x � cos x� � 2 � � http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word �3 � p � = 2sin(x � )  3sin x �cos x = 2� sin x � cos x� � �2 � �1 � p sin x � cos x� = 2sin(x � )  sin x �cos x = � �2 � � � Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin A p p p p cos cos cos 32 32 16 16 B 16 12 16 C D 16 b) B= sin10o.sin30o.sin50o.sin70o A 16 B C D.5 B C D.5 C D.5 p 3p c) C = cos + cos 5 A.2 d) D = cos2 A.2 p 2p 3p + cos2 + cos2 7 B Lời giải: a) 1� p p� p p p p p p p p A= � 2sin cos � cos cos = sin cos cos = sin cos = sin = � � � � 2� 32 32� 16 16 16 8 8 16 b) Ta có B= cos200 cos400 cos80o http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 16sin200.B= 8sin200 cos200 cos400 cos80o = 4sin400 cos400 cos80o = 2sin800 cos800 = sin1600 sin1600 = 16 16sin20 Suy B= p 2p p c) Ta có C = 2cos cos Vì sin �0 nên 5 p p p 2p 2p 2p 4p 2sin C = 4sin cos cos = 2sin cos = sin 5 5 5 Suy C = c) D = 2p 4p 6p 1+ cos 1+ cos 2p 4p 6p � + + = + 1� � cos + cos + cos � � � � 2 2 2� 7� � 1+ cos Xét T = cos 2p 4p 6p p + cos + cos , sin �0 nên 7 7 p p 2p p 4p p 6p 2sin T = 2sin cos + 2sin cos + 2sin cos 7 7 7 � 3p � � � � p p p 5p � =� sin - sin � +� sin - sin � +� sin p - sin � � � � � � � � � � � � � 7� � 7�� 7� � p =- sin Suy T =- � 1� - � = � Vậy D = + � � � � 2 � 2� http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Ta có cos A + cos B + cosC = 2cos Vì A +B A- B cos + cosC 2 A +B p C A +B C = = sin nên cos 2 2 Mặt khác cosC = 1- 2sin2 C cos A + cos B + cosC = 2sin � 2C C A- B C C A - B 1� cos + 1- 2sin2 =- 2� sin - sin cos - � � � � � 2 2 2� � � 2C C A- B A - B� A- B � =- 2� sin - 2sin cos + cos2 +1+ cos2 � � � � 2 � 2 � 2 � C � A - B� A- B =- 2� sin + cos �+ 1+ cos2 � � � � 2 � 2 Vì cos A- B ޹� cos2 A- B nên cos A + cos B + cosC �1+ = � ĐPCM 2 b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Nếu �x �p, �y �p Thật vậy, � sin x + sin y x+ y �sin 2 x+ y x+ y x- y �p � sin > cos �1 nên 2 sin x + sin y x+ y x- y x+ y = sin cos �sin 2 2 54 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bổ đề ta có: p p sin A + sin B A + B sin C + sin C+ �sin , �sin 2 2 Suy sin A + sin B + sin C + sin � p p p� � C+ C+ � � � � A +B p �sin A + B + sin �2sin 1� � � � + = 2sin � � 2 2� 2 � � � � � � � � � Do sin A + sin B + sin C �3sin p 3 hay sin A + sin B + sin C � ĐPCM 3 c) Vì ABC tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tan C > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B + tan C �33 tan A.tan B.tan C Theo ví dụ ta có tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C nên � � tan A tan B tan C �33 tan A.tan B.tan C � tan A.tan B.tan C � tan A tan B tanC) - 3� �0 ( � � � � � � ۳ ( tan A tan Btan C) ۳ tan A tan Btan C 3 ĐPCM Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A + sin B + sin C �cos b) cos A cos BcosC �sin A B C + cos + cos 2 A B C sin sin 2 c) tan A + tan B + tan C �cot A B C + cot + cot Với tam giác ABC không vuông 2 Lời giải: 55 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Vì sin A +B C A- B = cos > cos �1 nên 2 sin A + sin B = 2sin A +B A- B C cos �2cos 2 Hoàn toàn tương tự ta có sin B + sin C �2cos A B , sin C + sin A �2cos 2 Công vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta sin A + sin B + sin C �cos A B C + cos + cos ĐPCM 2 b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: khơng tính tổng qt giả sử A> p p p � B < ,C < suy cos A < 0, cos B > 0, cosC > 2 cos A cos B cosC < Mà sin A B C sin sin > bất đẳng thức ln 2 cos( A + B) + cos( A - B) � + TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos A cos B = � � 2� C Vì cos( A + B) =- cosC cos( A - B) �1 nên cos A cos B � ( 1- cosC) = sin2 2 Chứng minh tương tự ta có cos B cosC �sin2 A B , cosC cos A �sin2 2 Do vế không âm nên nhân vế với vế bất đẳng thức ta ( cos A cos B) ( cos BcosC) ( cosC cos A ) �sin2 ޹ۣcos A cos BcosC sin C A B sin2 sin2 2 A B C sin sin ĐPCM 2 56 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Ta có tan A + tan B = sin( A + B) cos A cos B = 2sin( A + B) cos( A + B) + cos( A - B) Mà sin( A + B) = sin C , cos( A + B) =- cosC nên 2sin C 2sin C tan A + tan B = � = - cosC + cos( A - B) 1- cosC Tương tự ta có tan B + tan C �2cot C C cos 2 = 2cot C C 2sin2 4sin A B , tan C + tan A �2cot 2 Công vế với vế rút gọn ta tan A + tan B + tan C �cot A B C + cot + cot ĐPCM 2 Nhận xét: + Để chứng minh x + y + z �a+ b+ c ta chứng minh x + y �2a (hoặc 2b, 2c ) xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy đpcm + Để chứng minh xyz �abc với x, y, z, a,b, c không âm ta chứng minh xy �a2 (hoặc b2 , c2 ) xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy đpcm Ví dụ 5: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A + sin B + sin C �3 3 � � �� � �� � � � 2� � � � � � b) � 1+ + + � + � � � � � � � � � �� � sin A � �� � sin B� � sin C � �� � � 3� Lời giải: 57 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 a) Áp dụng bất đẳng thức x + y � 2( x + y ) với x, y khơng âm ta có sin A + sin B � 2( sin A + sin B) = 2.2sin Tương tự ta có sin C + sin A +B A- B A +B cos �2 sin 2 � p 1� p � �2 sin � C+ � � 2� � 3� � Công vế với vế ta sin A + sin B + sin C + sin Mà sin Suy Hay � � p A +B 1� p� � � � � � �2� sin + sin C + � � � � � � � 2� � 3� � � � � � � � � � A +B 1� p � A + B 1� p� p p� p � + sin � C + ��2 sin � + � C+ � = sin � + �= sin � � � � � � � � � � � � 2� 3� 2� 3� 6� � �2 � sin A + sin B + sin C + sin sin A + sin B + sin C �3 sin p p �4 sin 3 p =3 3 ĐPCM � � � � � 1 � 1+ � 1+ = 1+ + + � � b) Ta có � � � � � � sin A sin B sin A sin B � sin A �� � sin B� Áp dụng bất đẳng thức 1 + � với x, y dương ta có x y x+ y 1 4 + � = = sin A sin B sin A + sin B sin A sin B sin A sin B � � � � � � � 1 � � � � � Do � 1+ + � + + = + � � � � � � � � � � � � � sin A �� sin B� sin A sin B sin A sin B � sin A sin B � 58 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác 1� cos( A + B) - cos( A - B) � = � cos( A + B) + cos( A - B) � � � � � 2 cos( A + B) +1 A +B � = sin2 2 sin A sin B =- � � � � � � � � � � � �� �� � Nên � (1) � 1+ � 1+ �� 1+ � � � � � � � � � A + B � � sin A �� sin B� � � � sin � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � Tương tự ta có � (2) � 1+ � 1+ � + � � � � � � � � � � � � p � � � sin C �� p � � � sin � sin � C+ � � � � � � �� � � � � � 3� � 3� 2� � � Nhân vế với vế (1) (2) ta 2 � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � + + + + � + + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � p A + B � � � � sin A �� sin B�� sin C �� p � � � � � � � sin sin C+ � �� � � � � � sin � � � � � � � � � � � � 2� 3� � � 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � � � Ta lại có � � � 1+ 1+ �� 1+ =� 1+ � � � � � � � � � � � � � � � � � A + B p � � � p A + B p � � � � � � � � � � � � � sin � � sin � sin C + � � � � � � sin + C + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3 � � � � 2� 2� 3� � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � 1 1 � � � � � � � � � � Suy � � � + + + + � + � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � p p � sin A �� sin B�� sin C �� � � � sin sin � � � � � � � 3� � 3� 59 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � � � � � � 2� � � � �� � � � � � � � � � � � � Hay � ĐPCM �= � 1+ � 1+ � 1+ �� 1+ 1+ � � � � � � � � � sin A � � sin B� � � � � p� � � � sin C � �� � � � � � � � sin � Nhận xét: Cho tam giác ABC hàm số f � � p� �  Để chứng minh f ( A ) + f ( B) + f ( C) �3 f � Ta chứng minh � � � �3� �A + B� � f ( A ) + f ( B) �2 f � � � � � � � � p� � C+ � � � � p� � 3� � � � � � � � f ( C) + f� từ suy � � � � � � �3� � � � � � � � � � � � p� � � � � C + � � � � p� A + B� �� � � � � � � � � f ( A ) + f ( B) + f ( C) + f� � + f �4 � �� � � � � � � � � � � �3� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � p� � � � � 3� � � � � p� � Do f ( A ) + f ( B) + f ( C) �3 f � � � �3� � �� p� �  Để chứng minh f ( A ) f ( B) f ( C) � f � Ta chứng minh � � � �3� �A + B� � f ( A ) f ( B) � f � � � � � � � 60 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word � p� � C+ � � � � � � p � � � � � �từ suy f C f � � ( ) � � � � � � � �3� � � � � � � � � � p� � � C + � � � � �A + B� p� � 3� � � � f ( A ) f ( B) f ( C) f� � � f2 � � � � � � � � � � � � � �3� � � � � � � � � � � � � p� � � � � � � �3� �� p� � Do f ( A ) f ( B) f ( C) � f � � �3� � � Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos A B- C cos(B- C) + cos A cos = 2 Chứng minh cos2B + cos2C �1 Lời giải: Từ giả thiết ta có cos A� B- C � 2cos2 � � 2� � 2cos � B- C � A � 1� + cos 2cos2 � � � � � � A B- C � B- C A� � A B- C � � � cos cos + cos � - � cos + cos =0 � � � � � �� � 2 � 2� � � � A � B- C � A B- C � � �� cos + cos 2cos cos � � � � � � � 2 � � Vì < � 1� =0 � � � � 1� =0 � � (1) � A p A p B- C p B- C < � cos > , - < < � cos > 2 2 2 B+C p A A B+ C A B- C = � cos = sin - 1= nên (1) � 2cos cos 2 2 2 � 2sin B+C B- C cos = 1� sin B + sin C = 2 61 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 �( ( sin B + sin C) sin2 B + sin2 C � 2 = x + y) 2 suy Do cos2y + cos2z = 2- 2( sin2 y + sin2 z) �2- = ĐPCM Ví dụ 7: Chứng minh tam giác ABC ta ln có sin A B B C C A 3 cos + sin cos + sin cos � 2 2 2 Lời giải: Do A , B,C bình đẳng nên khơng tính tổng qt giả sử A �B �C � Suy sin p A B C > � � >0 2 2 A B C A B C �sin �sin > 0,cos �cos �cos > 2 2 2 � A � B B� C� � � �� sin - sin � cos cos �0 � � � � � � � � 2� 2� � � � sin A B A C B B B C cos - sin cos - sin cos + sin cos �0 2 2 2 2 � sin A B B C A C B B cos + sin cos �sin cos + sin cos 2 2 2 2 Do sin A B B C C A A C C A B B cos + sin cos + sin cos �sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 62 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mà sin � A C C A B B A C� B B B B B cos + sin cos + sin cos = sin� + � + sin cos = cos + sin cos � � � � 2 2 2 2 2 �2 � (1) Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: cos2 B 3 B B + �2 cos2 = 3cos , 4 2 3sin2 B B B B B B + cos2 �2 3sin2 cos2 = 3sin cos 2 2 2 � B 3� � 2B B� B B B cos + � +� 3sin + cos2 � �2 3cos + 3sin cos � � Suy 2� � � � � � � 4� � 2� 2 � � B � 2B B B� B� cos + sin cos � � + 3� sin + cos2 � = � � Hay 3� � � � � � � 2 2� 2� � � B B B 3 (2) � cos + sin cos � 2 Từ (1) (2) ta có sin A B B C C A 3 ĐPCM cos + sin cos + sin cos � 2 2 2 Bài tập luyện tập Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A b) sin C = tan A + tan B ( A , B �900 ) cos A.cos B c) cot B + cosC cos B = cot C + (A �90o) sin B.cos A sin C.cos A 63 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) cos A B C A B C A B C A B C cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 e) sin2 A B C A B C + sin2 + sin2 = 1+ 2sin sin sin 2 2 2 Lời giải: �A B C � + + � Bài 6.58: c) VT = VP = tanA d) Khai triển cos� � � � � �2 2� �A B C � � + + � e) Khai triển sin � � � � �2 2 � � B C� A B C A B C + � = sin Chú ý: Từ cos�  cos cos = sin + sin sin � � � � �2 2� 2 2 2  sin A B C A A B C cos cos = sin2 + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh: a) tan A + tan B + tan C �3 3, " D ABC nhọn b) tan2 A + tan2 B + tan2 C �9, " D ABC nhọn c) tan6 A + tan6 B + tan6 C �81, " D ABC nhọn d) tan2 e) tan A B C + tan2 + tan2 �1 2 A B C + tan + tan � 2 Lời giải: Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si d) Sử dụng a2 + b2 + c2 �ab+ bc+ ca tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 64 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word � A B C� � e) Khai triển � tan + tan + tan � � � sử dụng câu c) � � 2 2� Bài 6.70: Chứng minh tam giác ABC ta có 1+ cos A cos B cosC � 3sin A sin B sin C Lời giải: Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin2 A + sin2 B + sin2 C)(sin A + sin B + sin C) �33 sin2 A sin2 B sin2 C 33 sin A sin B sin C hay (sin2 A + sin2 B + sin2 C)(sin A + sin B + sin C) �9sin A sin Bsin C Mặt khác: sin A + sin B + sin C � (sin2 A + sin2 B + sin2 C) 3 nên 3 �9sin A sin Bsin C Mà theo ví dụ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1+ cos A cos BcosC) 2(1+ cos A cos B cosC) 3 �9sin A sin B sin C Do 1+ cos A cos B cosC � 3sin A sin Bsin C ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A sin Bsin C cos2A + cos2B + cos2C = 3- 2( sin2 A + sin2 B + sin2 C) = 3- 4(1+ cos A cos BcosC) =- 1- 4cos A cos BcosC Do bất đẳng thức tương đương với 4- 1- (cos2A + cos2B + cos2C) � 3(sin2A + sin2B + sin2C) 65 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word �( 3 3 sin2A + cos2A ) +( sin2B + cos2B) +( sin2C + cos2C) � 2 2 2 � cos(2A - p p p ) + cos(2B- ) + cos(2C - ) � (*) 3 � p� � p� � p� 2A - � +� 2B- � +� 2C - � = A + B+ C) - p = p nên � � � Ta có � � � � � � � �� �� � ( 3� 3� 3� � � p �� p �� p� � 2A - � ,� 2B- � ,� 2C - � � � �là ba góc tam giác bất đẳng thức (*) � � � � �� �� � 3�� 3�� 3� � theo ví dụ � ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với 1- (cos2 A + cos2 B + cos2 C) 1+ (1- cos2 A )(1- cos2 B)(1- cos2 C) �0 (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: 3- (cos2 A + cos2 B + cos2 C) VT(**) � � 3- (cos2 A + cos2 B + cos2 C)� � � � � � � � � � � đặt t = cos2 A + cos2 B + cos2 C dễ thấy 3�t � 3- t VT(**) � � � � 3- t � 1 � = (3- t)� 3� � � � � � �3 � � � t� �0 từ điều kiện 3�t � � � � 1 1 ta có 3- t �0, 3- t � 3- = � ĐPCM 3 Cách 4: Đặt x = tan A B C , y = tan , z = tan 2 � xy + yz + zx = Bài toán trở thành : cho � chứng minh: � � � x, y, z > 66 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1+ 2y 1- x2 1- y2 1- z2 2x 2z � 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z2 (***) Ta có : (4) � (1+ x2 )(1+ y2 )(1+ z2 ) + (1- x2 )(1- y2 )(1- z2 ) �8 3xyz Khai triển rút gọn ta có: (***) � x2y2 + y2z2 + z2x2 + 1�4 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có 1 x2y2 + y2z2 + z2x2 � (xy + yz + zx)2 = 3 � � xy + yz + zx � xyz = xy.yz.zx � � �= � � � � 27 � � 1 Nên x2y2 + y2z2 + z2x2 + 1�1+ = �4 3xyz 27 � ĐPCM Bài 6.71: Cho D ABC Chứng minh 2sin A + 3sin B + 4sin C �5cos A B C + 3cos + cos 2 Lời giải: Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = 2sin Tương tự A +B A- B C cos �2cos 2 A B ( sin B + sin C) �5cos , ( sin C + sin A) �3cos 2 2 Cộng vế với vế ta 2sin A + 3sin B + 4sin C �5cos A B C + 3cos + cos 2 Bài 6.72: Cho D ABC Chứng minh x2 - 2(cos B + cosC)x + 2- 2cos A �0 " x Đẳng thức xảy ? Lời giải: 67 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a= 1> Do để chứng minh ta cần chứng minh: D �0 Ta có: D ' = (cos B + cosC)2 - 2(1- cos A ) = 4cos2 = 4sin2 A� B- C � cos2 � � 2� B +C B- C A cos2 - 4sin2 2 � A B- C 1� =- 4sin2 sin2 �0 � � 2 � � B- C � � B=C sin =0 � � �� Đẳng thức có � � � � x = 2cos B � � x = cos B + cosC � Bài 6.73: Cho D ABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau: (tan B + tan C)x2 - 4x + 2tan A �0 " x Đẳng thức xảy ? Lời giải: Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a= tan B + tan C = = sin(B + C) cos B.cosC 2sin A 2sin A A � = 2cot > (do D ABC nhọn) Nên để chứng cos(B + C) + cos(B- C) 1- cos A minh (1) ta cần chứng minh D ' �0 Ta có: D ' = 4- 2tan A A A (tan B + tan C) �4- 2tan cot = 2 � � cos(B- C) = B=C � � � � �� Đẳng thức xảy � � � � x= x= � � � � tan B + tan C � tan B 68 ... a 1+ tan a 1+ tan b 1+ tan a 4tan2 a + = + Khi ta có: A = 2tan2 a + 2tan2 b + 2tan2 a + +3 4tan2 a A= 2 1+ 1+ tan2 a 4tan2 a + 10tan2 a +1 5 + = = 2tan2 a + 6( 2tan2 a + 3) 6( 2tan2 a + 3) Bài. .. B 2mn m2 + n2 C m2 - n2 - D m2 + n2 - 2n Lời giải: 2 Bài 6.30: + Ta có ( sin a + sin b) +( cosa + cosb) = m2 + n2 � sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sin a sin b + 2cosa cos b = m2 + n2 � cos(... TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc