LƯỢNG GIÁC góc và cung lượng giác (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word CHƯƠNG VI §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: 2 Góc cung lượng giác b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng c) Hệ thức Sa-lơ B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Các ví dụ minh họa Bài tập luyện tập http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung trịn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: Cung trịn bán kính R có số đo a (0 £ a £ 2p ) , có số đo a0 (0 £ a £ 360) có độ dài l thì: l = Ra = pa a a R = 180 p 180 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ180 ÷ p c bit: rad = ỗỗ ,1 = rad ữ ữ ỗố p ứ 180 Góc cung lượng giác a) Đường trịn định hướng: Đường trịn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia Ou, Ov cắt + đường tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om V chuyển động theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường trịn M O • Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om quét góc lượng giác tia U đầu Ou , tia cuối Ov Kí hiệu (Ou , Ov) • Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V ta nói điểm M vạch nên cung lng giỏc im u U , im cui ỵ V Kí hiệu UV • Tia Om quay vịng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 3600 (hay ), quay hai vịng ta nói quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo p chiều âm phần tư vòng ta nói quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều 25 25 âm ba vòng bốn phần bảy( vịng) nói quay góc 3600 (hay 7 50p ) ỵ ã Ta coi s đo góc lượng giác (Ou , Ov) số đo cung lượng giác UV c) Hệ thức Sa-lơ • Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có: Sđ (Ou, Ov)+ Sđ (Ov , Ow) = Sđ (Ou, Ow)+ k 2p (k Ỵ Z) Sđ (Ou, Ov)- Sđ (Ou, Ow) = Sđ (Ow , Ov)+ k 2p (k ẻ Z) ã Vi ba im tựy ý U , V , W đường tròn định hướng ta cú : ỵ ỵ ỵ S UV + S VW = Sđ UW + k 2p (k Ỵ Z) v m u http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht ỵ ỵ ỵ S UV - Sđ UW = Sđ WV + k 2p (k Ỵ Z) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn biết số đo, mối liên hệ đơn vị độ, rađian hệ thức salơ cần lưu ý đến kết sau: Nếu góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) góc(cung) lượng giác tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với có số đo dạng dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k Ỵ Z ), góc(cung) ứng với giá trị k Từ hai góc lượng giác có tia đầu tia cuối sai khác bội 2p Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: a) Đổi số đo góc 72 rađian: A 2p B 3p C 2p D 4p C 10p D 14p b) Đổi số đo góc 6000 rađian: A 10p B 11p c) Đổi số đo góc - 370 45' 30'' rađian: A.0,6587 d) Đổi số đo góc A 500 B 0,6567 C 0,6687 D 0,4587 C 550 D 700 5p sau độ: 18 B 200 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word e) Đổi số đo góc 3p sau độ: B 1200 A 1500 C 1080 D 700 C - 2260 48' D - 2600 48' f) Đổi số đo góc - sau độ: B - 2200 48' A - 22600 48' Lời giải: a) Vì 10 = p 2p p p 10p = ,6000 = 600 rad nên 720 = 72 = , 180 180 180 0 ỉ45 ỉ 30 ÷ ỉ4531ư 4531 p ÷ - 37 45' 30'' = - 37 - ỗỗ ữ - ỗỗ = ỗỗ = ằ 0,6587 ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố60 ứ ốỗ60.60 ứ ốỗ 120 ø 120 180 0 0 ỉ180 ÷ ỉ3p 180 ư 5p ỉ o 3p o ữ ỗỗ 5p 180 ữ ỗỗ b) Vỡ 1rad = ỗỗ nờn = = 50 , = ữ ữ ữ ữ ữ = 108 , ữ 18 ỗố 18 p ứ ốỗ p ứ ốỗ p ø 0 ỉ 180 ỉ720 ÷ ữ ỗỗ - = - ỗỗ4 = ữ ữ ữ ữ ằ - 2260 48' ỗố p ứ çè p ø Ví dụ 2: Một đường trịn có bán kính 36m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo a) 3p A.84,8m B 84,2m C 84,7m D 84,4m A.32,04m B 32,4m C 32,7m D 32,09m A.12 B.14 C.14,5 D.11 b) 510 c) http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có l = Ra = a) Ta có l = Ra = 36 b) Ta có l = pa R nên 180 3p = 27p » 84,8m pa p 51 51p R = 36 = » 32,04m 180 180 c) Ta có l = Ra = 36 = 12m Ví dụ 3: Cho hình vng A0 A1 A2 A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh xếp theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Tính s o ca cỏc cung lng giỏc ỵ ỵ A0 Ai , Ai A j ( i , j = 0,1,2,3,4, i j ) A1 A0 Li gii: ỵ ·OA = nên sđ A A = k 2p , k Ỵ Z Ta có A 0 0 O A3 A2 ỵ ÃOA = p nờn s A A = p + k 2p , k Ỵ Z A 1 2 ỵ ÃOA = p nên sđ A A = p + k 2p , k Ỵ Z A þ p 3p p · A A = 2p - + k 2p = + k 2p , k Ỵ Z nên sđ A0OA3 = 2 þ Như sđ A0 Ai = ip + k 2p , i = 0,1,2,3 , k Ỵ Z þ þ þ p Theo hệ thức salơ ta có sđ Ai A j =sđ A0 Aj - sđ A0 Ai + k2p = (j - i) + k 2p , k Ỵ Z http://dethithpt.com Website chun đề thi, tài liệu file word Ví dụ 4: Tìm số đo a góc lượng giác (Ou , Ov) với £ a £ 2p , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo là: a) 33p A b) - p B 3p C 11p D 7p B p C p D p 291983p A p c) 30 A.4,867 B 4,67 C 4,87 D 4,86 Lời giải: a) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo Vì £ a £ 2p nên £ Û - 33p + k 2p , k Ỵ Z 33p 33 + k 2p £ 2p , k Ỵ Z Û £ + k £ 2, k Î Z 4 33 25 £ k£ , kÎ ZÛ k= - 8 Suy a = 33p p + (- 4).2p = 4 b) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo Vì £ a £ 2p nên £ - 291983p + k 2p , k Ỵ Z 291983p 291983 + k 2p £ 2p , k Ỵ Z Û £ + k £ 2, k Ỵ Z 3 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Û 291983 291989 £ k£ , kỴ ZÛ k= 6 Suy a = - 291983p p + 48664.2p = 3 c) Mọi góc lượng giác (Ou , Ov) có số đo 30 + k2p , k Ỵ Z Vì £ a £ 2p nên £ 30 + k 2p £ 2p , k Ỵ Z Û £ Û - 15 + k £ 1, k Ỵ Z p 15 p - 15 £ k£ , kỴ ZÛ k= - p p Suy a = 30 + (- 4).2p = 30 - 8p » 4,867 Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo - p Trong số 29p 22 6p 41p , số số đo góc lượng giác có tia đầu, ; ; ; 7 7 tia cuối với góc cho? - A - 29p 41p ; 7 B - 29p 22 ; 7 C - 22 41p ; 7 D 6p 41p ; 7 Lời giải: Hai góc có tia đầu, tia cuối sai khác bội 2p Vì - 29p nên số - ỉ p÷ çç- ÷= (- 2).2p , - 22 ÷ çè ø ỉ p÷ ỉ ư 41p ỉ çç- ÷= - 3p , 6p - çç- p ÷ çç- p ÷ = p ÷ ÷= 3.2p ÷ çè ø çè ÷ çè ÷ ø ø 29p 41p số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc ; 7 cho Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov) = a sđ (Ou ', Ov ') = b Chứng minh hai góc hình học uOv, u ' Ov ' b - a = k 2p b + a = k 2p với k Ỵ Z http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Ta có sđ (Ou, Ov) = a sđ (Ou ', Ov ') = b suy tồn a , p < a £ p , f , p < b £ p số nguyên k0 , l0 cho a = a0 + k0 2p , b = b + l0 2p · Khi a số đo uOv b số đo u·' Ov ' é a = b0 Hai góc hình học uOv, u ' Ov ' a = b Û ê êa = - b ë0 Û b - a = k 2p b + a = k 2p với k Ỵ Z Bài tập luyện tập Bài 6.0: a) Đổi số đo góc sau rađian: 200 ( xác đến 0,001 ) A.0,349 B 0,391 C 0,493 D 0,342 a) Đổi số đo góc sau rađian: 400 25' ( xác đến 0,001 ) A.0,705 B 0,732 C 0,752 D 0,051 a) Đổi số đo góc sau rađian: - 27 ( xác đến 0,001 ) A - 0, 471 B - 0, 477 b) Đổi số đo góc sau độ: A 100 35' 58'' D - 0, 472 C 1006' 58'' D 100 35'8'' C - 510 4'9'' D - 510 24'9'' C - 280 28' 44'' D - 2860 28' 44'' p 17 B 100 3' 58'' b) Đổi số đo góc sau độ: A - 510 24'7'' C - 0, 432 2p B - 50 24'9'' b) Đổi số đo góc sau độ: - A - 2860 28' 4'' B - 2860 2' 44'' http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Bài 6.0: a) 200 » 0,349, 400 25' » 0,705, - 270 » - 0,471 b) p 2p = 100 35' 58'', = - 510 24'9'', - = - 2860 28' 44'' 17 Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo mp 39p ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối khơng? A.Khơng B.Có C Có thể có D A, B, C sai Lời giải: Bài 6.1: Giả sử hai góc có tia đầu, tia cuối mp 39p = k 2p , k Ỵ Z Hay m - 9.39 = 9.7.k Û (m - 18 k) = 351 Û m - 18 k = 351 với k , m Ỵ Z Vì vế trái số nguyên, vế phải số thập phân nên dẫn tới vơ lí Vậy hai góc lương giác mp 39p ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối Bài 6.2: Một đường trịn có bán kính 25m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo a) 3p A.33,66m B 33,6m C 34,66m D 35,66m B 21,8m C 21,3m D 21,21m b) 490 A.21,38m 10 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) A.33,333m B 33,673m C 33,443m D 33,356m Lời giải: Bài 6.2: a) Ta có l = Ra = 25 b) Ta có l = 3p » 33,66m pa p 49 R = 25 » 21,38m 180 180 c) Ta có l = Ra = 25 » 33,333m Bài 6.3: Tìm số đo a0 góc lượng giác (Ou , Ov) với £ a £ 360 , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo là: a) 3950 A 350 B 950 C 300 D 460 B 87 C 22 D b) - 10520 A 280 c) (20p ) A (31p ) B (25p ) C (29p ) D (20p ) Lời giải: Bài 6.3: a) 350 b) 280 c) (20p ) 11 ... Bài tập luyện tập http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT... gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: 2 Góc cung lượng giác. .. đề thi, tài liệu file word CHƯƠNG VI §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ