LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word image marked

http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word §3 MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức cộng: sin( a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin( a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a cos( a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b cos( a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b tan a + tan b tan( a + b) = - tan a.tan b tan a - tan b tan( a - b) = + tan a.tan b Công thức nhân đôi, hạ bậc: a) Công thức nhân đôi sin 2a = sin a.cos a cos 2a = cos a - sin a = cos a - = - sin a tan 2a = b) Công thức hạ bậc tan a - tan a - cos 2a + cos 2a cos a = cos 2a tan a = + cos 2a Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = éë cos( a + b) + cos( a - b)ùû sin a sin b = - éë cos( a + b) - cos( a - b)ùû 1é sin a cos b = ë sin( a + b) + sin( a - b)ùû sin a = http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Công thức biển đổi tổng thành tích cos a + cos b = cos a+b a-b cos 2 tan a + tan b = a+b a-b sin 2 a+b a-b sin a + sin b = sin cos 2 a+b a-b sin a - sin b = cos sin 2 cos a - cos b = - sin sin( a + b) cos a.cos b tan a - tan b = sin( a - b) cos a.cos b cot a + cot b = sin( a + b) sin a.sin b cot a - cot b = sin(b - a) sin a.sin b B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc không đặc biệt đưa giá trị lượng giác đặc biệt Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos 7950 A 6- B 6+ C D D -1 b)Tính giá trị lượng giác sau: sin 180 A -1 B -2 c)Tính giá trị lượng giác sau: tan C -1 7p 12 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A -2 - B -2 + d)Tính giá trị lượng giác sau: cot A - C - D -2 - C - D - 2 5p B - Lời giải: a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên cos 7950 = cos 750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 = 2 6- - = 2 2 b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360 Mà cos 360 = cos (2.180 ) = - sin 180 sin 540 = sin (180 + 360 ) = sin 180 cos 360 + sin 360 cos180 = sin 180.(1 - sin 180 ) + sin 180 cos 180 = sin 180.(1 - sin 180 ) + sin 180 (1 - sin 180 ) = sin 180 - sin 180 Do sin 180 - sin 180 = - sin 180 Û (sin 180 - 1)(4 sin 180 + sin 180 - 1) = Û sin 180 = sin 180 = -1 +1 sin 180 = 2 Vì < sin 180 < nên sin 180 = -1 p p ỉ p p ư÷ tan + tan 7p +1 = tan çç + ÷÷ = = = -2 - c) tan ỗố ứ p p 1- 12 - tan tan http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) cot ổp pử 5p p = cot ỗỗ + ữữữ = - tan 8 ốỗ ứ p tan ỉ p ÷ư p suy Ta lại cú = tan = tan ỗỗ2 ữữ = ỗố ø p - tan - tan Û tan p p p p = tan Û tan + tan - = 8 8 p p = -1 - tan = -1 + 8 Do tan p p > nên tan = -1 + 8 Vậy cot 5p = 1- Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 220 30' cos 2020 30' A - b) B = sin A B - C - D- D 6- p p + cos 16 6+ B 5+ C 3+ p 2p sin - sin 15 c) C = p 2p cos - cos 15 A - B C -3 D -2 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word p 5p 7p d) D = sin - sin + sin 9 A.0 B C -3 3 D -2 Lời giải: a) Cách 1: Ta có cos 2020 30' = cos (1800 + 220 30') = - cos 220 30' Do A = - sin 220 30' cos 220 30' = - sin 450 = Cách 2: A = = 1é sin (220 30'+ 2020 30') + sin (220 30'- 2020 30')ùú = éê sin 2250 + sin (-1800 )ùú ê û 2ë û 2ë 1é sin (1800 + 450 ) - sin 1800 ùú = - sin 450 = ê ë û 2 ỉ ỉ p ứ p ộ p p ữ ỗ b) B = ç2 sin ÷÷ + cos = ê1 - cos çç2 ÷÷÷ú + cos çè çè 16 øú 16 ø êë û p p p = - cos + cos + cos = + 8 p 1+ = 1+ = 6+ 2 + cos ỉ p 2p ỉ p 2p p 2p p cos ỗỗ + ữữ sin ỗỗ - ữữ sin - sin cos ữ ữ ç ç 15 15 è ø è ø 15 = = - cot p = - =c) C = p 2p p ỉ p 2p ỉ p 2p cos - cos sin -2 sin ỗỗ + ữữữ sin çç - ÷÷÷ 15 èç 15 ứ ốỗ 15 ứ ổ p 7p 5p 4p p 5p 4p 5p d) D = ỗỗsin + sin ÷÷ - sin = sin cos - sin = sin - sin =0 ỗố ữ 9ứ 9 9 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) A = 1 + cos 290 sin 2500 A 3 B C 3 D 3 b) B = (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) A.2 B.1 C.3 D.5 C.3 D.5 D.5 c) C = tan 90 - tan 27 - tan 630 + tan 810 A.2 d) D = sin B.4 p 2p p 2p + sin + sin sin 9 9 A.2 B C Lời giải: a) Ta có cos 2900 = cos (1800 + 900 + 200 ) = - cos (900 + 200 ) = sin 200 sin 2500 = sin (1800 + 900 - 200 ) = - sin (900 - 200 ) = - cos 200 cos 200 - sin 200 1 sin 200 - sin 200 C= = =4 0 0 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 3.2.sin 20 cos 200 =4 sin 600 cos 200 - cos 600 sin 200 sin 40 = sin 400 sin 40 = 3 0 0 ổ sin 200 ửổ ữữỗỗ1 + sin 25 ư÷÷ = sin 20 + cos 20 sin 25 + cos 25 b) Cách 1: Ta có B = ỗỗỗ1 + ữ ữ ỗố cos 200 ữứốỗỗ cos 250 ÷ø cos 200 cos 250 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word = sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450 sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450 cos 200 cos 250 sin 650 sin 700 =2 =2 cos 200 cos 250 Cách 2: Ta có tan 450 = tan (200 + 500 ) = Suy = tan 200 + tan 250 - tan 200 tan 250 tan 200 + tan 250 Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 0 - tan 20 tan 25 Û (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) = Vậy B = c) C = tan 90 + tan 810 - (tan 27 + tan 630 ) sin 90 cos 810 + sin 810 cos 90 sin 27 cos 630 + sin 630 cos 27 = cos 90 cos 810 cos 27 cos 630 (sin 540 - sin 180 ) 1 2 = = = cos 90 sin 90 cos 27 sin 27 sin 180 sin 540 sin 180 sin 540 = cos 360.sin 180 =4 sin 180.sin 540 p 2p p 2p ổỗ p 2p p 2p + sin sin = ỗsin + sin ữữữ - sin sin d) D = sin + sin 9 9 ốỗ 9ứ 9 2 ỉ p pư 1ỉ p pư p 1ỉ1 pư = ỗỗ2 sin cos ữữữ + ỗỗcos - cos ữữữ = cos + ỗỗ - cos ữữữ ỗố 18 ứ ỗố 9ứ 18 ỗố 9ứ p + cos + ổỗ - cos p ửữữ = = ỗ 2 çè ÷ø http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên sử dụng é1 ù p  sin x ± cos x = êê sin x ± cos xúú = sin( x ± ) êë úû é ù p  sin x ± cos x = êê sin x ± cos xúú = sin( x ± ) ëê ûú é ù p  sin x ± cos x = ê sin x ± cos xú = sin( x ± ) ê ú ë û Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin A p p p p cos cos cos 32 32 16 16 B 16 12 16 C D 16 b) B = sin 10 o.sin 30 o.sin 50 o.sin 70 o A 16 c) C = cos C D.5 B C D.5 C D.5 p 3p + cos 5 A.2 d) D = cos A.2 B p 2p 3p + cos + cos 7 B Lời giải: http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) 1ỉ p pư p p p p p p p p A = ỗỗ2 sin cos ÷÷ cos cos = sin cos cos = sin cos = sin = ỗ ữ 2ố 32 32 ứ 16 16 16 8 8 16 b) Ta có B = cos 200 cos 400 cos 80 o 16 sin 200.B = sin 200 cos 200 cos 400 cos 80 o = sin 400 cos 400 cos 80 o = sin 800 cos 800 = sin 1600 Suy B = sin 1600 = 16 16 sin 20 p 2p p c) Ta có C = cos cos Vì sin ¹ nên 5 p p p 2p 2p 2p 4p sin C = sin cos cos = sin cos = sin 5 5 5 Suy C = c) D = 2p 4p 6p + cos + cos + + = + ổỗcos 2p + cos 4p + cos 6p ửữữ ỗ 2 2 ỗố 7 ữứ + cos Xét T = cos 2p 4p 6p p , sin ¹ nên + cos + cos 7 7 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) cos A + cos B + cos C £ b) sin A + sin B + sin C £ 3 3 c) tan A tan B tan C ³ 3 với ABC tam giác nhọn Lời giải: a) Ta có cos A + cos B + cos C = cos Vì A+B A-B cos + cos C 2 A+B p C A+B C = - nên cos = sin 2 2 Mặt khác cos C = - sin C cos A + cos B + cos C = sin æ C A-B C C C A - B ư÷ cos + - sin = -2 ỗỗsin - sin cos - ữữ 2 2 2 2ứ ốỗ ổ C C A-B A - B ư÷ A-B = -2 ỗỗsin - sin cos + cos ữ + + cos ỗố ữ 2 2 ø 2 æ C A - B ư÷ A-B = -2 ççsin + cos ÷ + + cos çè ÷ 2 ø 2 Vì cos A-B A-B £ Þ cos £ nên 2 cos A + cos B + cos C £ + = Þ ĐPCM 2 b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 55 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nếu £ x £ p , £ y £ p Thật vậy, £ sin x + sin y x+y £ sin 2 x+y x+y x- y £ p Þ sin > cos £ nên 2 sin x + sin y x+y x- y x+y = sin cos £ sin 2 2 Áp dụng bổ đề ta có: sin A + sin B A+B , £ sin 2 sin C + sin p p C+ £ sin Suy sin A + sin B + sin C + sin ổ p p pử ỗỗ C+ C + ữữữ £ sin A + B + sin £ sin ỗỗ A + B + ữữ = sin p ỗỗ 2 2ỗ 2 ữữữ ữữ ỗỗố ứ Do ú sin A + sin B + sin C £ sin 3 p hay sin A + sin B + sin C £ ĐPCM 3 c) Vì ABC tam giác nhọn nên tan A > 0, tan B > 0, tan C > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tan A + tan B + tan C ³ 3 tan A.tan B.tan C Theo ví dụ ta có tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C nên ỉ tan A tan B tan C ³ 3 tan A.tan B.tan C tan A.tan B.tan C ỗỗ (tan A tan B tan C ) - 3÷÷÷ ỗố ứ (tan A tan B tan C ) ³ Û tan A tan B tan C ³ 3 ĐPCM Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos 2 56 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) cos A cos B cos C £ sin A B C sin sin 2 c) tan A + tan B + tan C ³ cot A B C + cot + cot Với tam giác ABC không vuông 2 Lời giải: a) Vì sin A+B C A-B = cos > cos £ nên 2 sin A + sin B = sin A+B A-B C cos £ cos 2 Hoàn toàn tương tự ta có sin B + sin C £ cos A B , sin C + sin A £ cos 2 Công vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos ĐPCM 2 b) +TH1: Nếu tam giác ABC tù: khơng tính tổng qt giả sử A > p p p Þ B < ,C < 2 suy cos A < 0, cos B > 0, cos C > cos A cos B cos C < Mà sin A B C sin sin > bất đẳng thức 2 + TH2: Nếu tam giác ABC nhọn: cos A cos B = 1é cos ( A + B) + cos ( A - B)ùú û êë Vì cos ( A + B) = - cos C cos ( A - B) £ nên cos A cos B £ Chứng minh tương tự ta có cos B cos C £ sin C (1 - cos C ) = sin 2 A B , cos C cos A £ sin 2 57 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do vế không âm nên nhân vế với vế bất đẳng thức ta (cos A cos B)(cos B cos C )(cos C cos A) £ sin Û cos A cos B cos C £ sin c) Ta có tan A + tan B = C A B sin sin 2 2 A B C sin sin ĐPCM 2 sin ( A + B) cos A cos B = sin ( A + B) cos ( A + B) + cos ( A - B) Mà sin ( A + B) = sin C , cos ( A + B) = - cos C nên sin C sin C tan A + tan B = ³ = - cos C + cos ( A - B) - cos C Tương tự ta có tan B + tan C ³ cot C C cos 2 = cot C C 2 sin 2 sin A B , tan C + tan A ³ cot 2 Công vế với vế rút gọn ta tan A + tan B + tan C ³ cot A B C + cot + cot ĐPCM 2 Nhận xét: + Để chứng minh x + y + z ³ a + b + c ta chứng minh x + y ³ a (hoặc 2b , 2c ) xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy đpcm + Để chứng minh xyz ³ abc với x , y , z , a , b , c không âm ta chứng minh xy ³ a (hoặc b2 , c ) xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy đpcm Ví dụ 5: Chứng minh tam giác ABC ta có: 58 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) sin A + sin B + sin C £ 3 ổ ữử ổỗ ữử ổỗ ữử ổỗ ửữ ữữ b) ỗỗ1 + ữữ ỗ1 + ữữ ỗ1 + ữữ ỗỗ1 + sin A ứ ốỗ sin B ứ ốỗ sin C ứ ố ốỗ ứữ Li gii: a) p dng bt đẳng thức x + y £ ( x + y ) với x , y không âm ta có sin A + sin B £ (sin A + sin B) = 2.2 sin Tương tự ta có sin C + sin A+B A-B A+B cos £ sin 2 p 1ỉ pư £ sin ỗỗC + ữữ ỗố ữứ Cơng vế với vế ta ỉ p A+B ổỗ p ửữửữữ ỗỗ sin A + sin B + sin C + sin Ê ỗ sin + sin çC + ÷÷÷ ççè 2 çè ÷ø÷ø Mà sin Suy Hay éA+B 1ỉ ỉp pư A+B 1ổ pử p ửự p + sin ỗỗC + ữữữ Ê sin + ỗỗC + ữữữỳ = sin ỗỗ + ữữữ = sin ỗố ứ 2 ỗố 3ứ ỗố øúû ë sin A + sin B + sin C + sin sin A + sin B + sin C £ sin p p £ sin 3 p =3 3 ĐPCM ỉ ư÷ ổỗ ửữ 1 b) Ta cú ỗỗ1 + + + ữ ỗ1 + ữ = 1+ çè ç ÷ ÷ sin A ø è sin B ø sin A sin B sin A sin B 59 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức 1 + ³ với x , y dương ta có x y x+y 1 4 + ³ = = sin A sin B sin A + sin B sin A sin B sin A sin B æ ửữ ổ ửữ ổỗ ữử 1 ữữ + = ỗỗ1 + Do ú ỗỗ1 + ữữ ç1 + ÷ ³ 1+ çè sin A ø çè sin B ÷ø sin A sin B sin A sin B ỗố sin A sin B ữứ Mt khỏc 1 sin A sin B = - éê cos ( A + B) - cos ( A - B)ùú = éê cos ( A + B) + cos ( A - B)ùú ë û û 2ë cos ( A + B) + A+B ³ = sin 2 ổ ửữ ỗỗ ữữ ổ ửữ ổỗ ửữ ỗỗ ữữ (1) Nờn ỗỗ1 + ữữ ç1 + ÷÷ ³ ç1 + A + B ÷÷÷ sin A ứ ốỗ sin B ứ ỗỗ ốỗ sin ữ ỗỗố ữứ ửữ ổ ửữ ổỗ ữữ çç ç ÷÷ ç ỉ ưç ÷÷ 1 ç ÷ ÷ ÷÷ ³ çç1 + Tương tự ta cú ỗỗ1 + ữ (2) ữữ ỗỗ1 + ỗố p ữữ ỗỗ sin C ứ ỗỗ ổỗ p ửữữữữ sin ữữ ỗ sin ỗC + ữữ ỗỗố ứ çè çè ÷÷÷ ø÷ø Nhân vế với vế (1) (2) ta ỉ ư÷ ổ ửữ ổỗ ữữử ỗỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữữ ç ÷÷ ỉ ưỉ ưỉ 1 ÷÷ çç1 + ữữ ỗỗ1 + ữữ ỗỗ1 + ữữ çç1 + ÷÷ çç1 + ÷÷÷ ³ çç1 + ỗ ỗố ổ p ữữữ ỗỗỗ A + B ữữữ ỗỗỗ sin A ứữ ỗố sin B ứữ çè sin C ÷ø çç 1ç p ÷÷÷÷ sin sin sin C + ữ ữ ữữ ỗ ỗ ỗ ỗỗố ữứ ỗố ữứ ỗố ỗố ứữữữữứ 60 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht ửữ ổ ổ ửữ ổỗ ửữ ổ ữữ ỗ ữữửỗỗ ữữ ỗỗ ỗỗ ữữ ỗỗ ữữỗỗ ữữ ỗỗ 1 1 ữữữ ỗỗ ỗ ữ ç ÷ ÷ç1 + Ta lại có ç1 + = 1+ ữ ỗ1 + ộA+B 1ổ ỗỗ ửữự ữữữ ççç A + B ÷÷ç p ÷÷÷ ỉç p ửữữữữ ỗỗ p ữ ỗ ỗ sin sin ữữ ç sin çC + ÷÷ ÷ç sin ê + çC + ữữỳ ữữ ỗốỗ ỗốỗ ữứỗố 3ứ ốỗ ữữữ ứứữ ỗỗố ờở 2 ỗố ứỳỷ ữứ ổ ữữử ổỗỗ ữữử ỗ ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ ỗỗ ữ ữữ 1 1 ữữ ỗỗ1 + ữ Suy ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ữ ỗỗ1 + ç ÷ çè p ÷÷ çç p ÷÷÷ sin A ữứ ỗố sin B ữứ ỗố sin C ữứ ỗỗ sin ữữ ỗỗ sin ữữ ỗốỗ 3ứ ố 3ứ ổ ữữử ỗỗ ổ ổ ổ ữỗ ữỗ ữ ỗỗ ữữ ổỗ ửữ ỗ ữữ PCM ữ = ỗ1 + Hay ç1 + ÷ ç1 + ÷ ç1 + ÷ ³ ç1 + çè ÷ p ÷÷÷ çè sin A ÷ø çè sin B ø÷ çè sin C ÷ø çç ø sin ữữ ỗỗố 3ứ Nhn xột: Cho tam giác ABC hàm số f ỉpư  Để chứng minh f ( A) + f ( B) + f (C ) f ỗỗ ữữữ Ta i chng minh ốỗ ứ ổ A + B ửữ f ( A) + f ( B) ³ f çç ÷ èç ÷ø ỉ çç C + p ữữ ổ p ữử ỗ ữữữ t ú suy ú f (C ) + f ỗỗ ữ f ỗỗ ỗố ữứ ỗỗ ữữữ ỗỗố ữữứ ộ ổ p ửữ ổ A + B ửữ ỗ f ( A) + f ( B) + f (C ) + f ỗ ữ f ỗỗ ữ+ ỗố ữứ çè ÷ø ê ëê ỉ ứ çç C + p ữữỳ ỗ ữữữỳỳ f ổỗ p ửữữ f ỗỗ ỗỗ ữ ỗỗ ữữữỳ ố3ứ ữ ççè ø÷úûú ỉpư Do f ( A) + f ( B) + f (C ) f ỗỗ ữữữ ốỗ ứ ổpử ổ A + B ö÷  Để chứng minh f ( A) f ( B) f (C ) f ỗỗ ữữữ Ta chứng minh f ( A) f ( B) f ỗỗ ữ ỗố ứ ỗố ÷ø 61 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht ổ ỗỗ C + p ữữ ổ p ửữ ỗ ữữữ t ú suy ú f (C ) f ỗỗ ữ f ỗỗ ỗố ữứ ỗỗ ữữữ ỗỗố ữữứ ổ ỗỗ C + p ữữ ổ p ửữ ỉ A + B ÷÷÷ ³ f ổỗ p ửữữ ữữ f ỗỗ f ( A) f ( B) f (C ) f ỗỗ ữ f ỗỗ ỗỗ ữ ỗ ỗố ữứ ỗố ữứ ỗ ữữ ố3ứ ỗỗ ữữ ữứ ỗố ỉpư Do f ( A) f ( B) f (C ) f ỗỗ ữữữ ỗố ø Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos A B -C cos( B - C ) + cos A cos = 2 Chứng minh cos B + cos 2C £ Lời gii: T gi thit ta cú cos A ổỗ B - C ổỗ A B -C - 1÷÷ + cos cos - 1÷÷÷ = çç2 cos ç ÷ø 2è 2 çè ø cos A B - C ổỗ B -C ỉ A B - C ư÷ cos + cos ữữ - ỗỗcos + cos ữ= ỗỗcos 2 ố 2 ứữ ỗố 2 ữứ ổ A B - C ữửổỗ A B -C ỗỗcos + cos - 1ữữ = (1) ữỗ2 cos cos çè ÷ø 2 ÷øèç 2 A p A p B -C p B -C < Þ cos > , - < < Þ cos > 2 2 2 B+C p A A B+C A B -C nên (1) Û cos cos = - Þ cos = sin -1 = 2 2 2 B+C B -C Û sin cos = Û sin B + sin C = 2 Vì < 62 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( x + y) Áp dụng bất đẳng thức x + y ³ 2 (sin B + sin C ) suy sin B + sin C ³ 2 = Do cos y + cos z = - (sin y + sin z) £ - = ĐPCM Ví dụ 7: Chứng minh tam giác ABC ta có sin A B B C C A 3 cos + sin cos + sin cos £ 2 2 2 Lời giải: Do A , B, C bình đẳng nên khơng tính tổng qt giả sử A ³ B³C Þ Suy sin p A B C > ³ ³ >0 2 2 A B C A B C ³ sin ³ sin > 0,cos ³ cos ³ cos > 2 2 2 ỉ A B ưỉ B Cử ị ỗỗsin - sin ữữỗỗcos - cos ữữ ỗố 2 ữứốỗ 2 ứữ sin A B A C B B B C cos - sin cos - sin cos + sin cos ³ 2 2 2 2 Û sin A B B C A C B B cos + sin cos £ sin cos + sin cos 2 2 2 2 Do sin A B B C C A A C C A B B cos + sin cos + sin cos £ sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 Mà sin ỉA Cư A C C A B B B B B B B cos + sin cos + sin cos = sin ỗỗ + ữữ + sin cos = cos + sin cos ỗ ữ 2 2 2 2 2 è 2ø (1) 63 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: cos B 3 B B + ³ cos = cos , 4 2 sin B B B B B B + cos ³ sin cos = sin cos 2 2 2 ỉ B 3ư ỉ B Bư B B B Suy ỗỗcos + ữữữ + ỗỗ3 sin + cos ÷÷÷ ³ cos + sin cos ứ ỗố 2ứ 2 ốỗ ổ ổ B B Bử B Bử Hay ỗỗcos + sin cos ữữ Ê + ỗỗsin + cos ữữ = ỗố ỗố 2 ứữ 2 ữứ ị cos B B B 3 + sin cos £ (2) 2 Từ (1) (2) ta có sin A B B C C A 3 cos + sin cos + sin cos £ ĐPCM 2 2 2 Bài tập luyện tập Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A b) sin C = tan A + tan B ( A , B ¹ 900 ) cos A.cos B c) cot B + cos C cos B = cot C + ( A ¹ 90 o ) sin B.cos A sin C.cos A d) cos A B C A B C A B C A B C cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 e) sin A B C A B C + sin + sin = + sin sin sin 2 2 2 Lời giải: 64 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 6.58: c) VT = VP = tanA æA B Cử d) Khai trin cos ỗỗỗ + + ữữữ è 2 2ø ỉA B Cư e) Khai triển sin ỗỗỗ + + ữữữ ố 2 2ứ æB Cö A B C A B C Chú ý: T cos ỗỗỗ + ữữữ = sin cos cos = sin + sin sin è2 2ø 2 2 2  sin A B C A A B C cos cos = sin + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh: a) tan A + tan B + tan C ³ 3 , " DABC nhọn b) tan A + tan B + tan C ³ 9, " DABC nhọn c) tan A + tan B + tan C ³ 81, " DABC nhọn d) tan e) tan A B C + tan + tan ³ 2 A B C + tan + tan ³ 2 Lời giải: Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si d) Sử dụng a + b2 + c ³ ab + bc + ca tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 ổ A B Cử e) Khai trin ỗỗỗtan + tan + tan ÷÷÷ sử dụng câu c) è 2 2ø Bài 6.70: Chứng minh tam giác ABC ta có + cos A cos B cos C ³ sin A sin B sin C 65 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin A + sin B + sin C )(sin A + sin B + sin C ) ³ 3 sin A sin B sin C 3 sin A sin B sin C hay (sin A + sin B + sin C )(sin A + sin B + sin C ) ³ sin A sin B sin C Mặt khác: sin A + sin B + sin C £ (sin A + sin B + sin C ) 3 nên 3 ³ sin A sin B sin C Mà theo ví dụ sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) 2(1 + cos A cos B cos C ) 3 ³ sin A sin B sin C Do + cos A cos B cos C ³ sin A sin B sin C ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin A + sin B + sin 2C = sin A sin B sin C cos A + cos B + cos 2C = - (sin A + sin B + sin C ) = - 4(1 + cos A cos B cos C ) = -1 - cos A cos B cos C Do bất đẳng thức tương đương với - - (cos A + cos B + cos 2C ) ³ 3(sin A + sin B + sin 2C ) Û( 3 3 sin A + cos A) + ( sin B + cos B) + ( sin 2C + cos 2C ) £ 2 2 2 p p p Û cos(2 A - ) + cos(2 B - ) + cos(2C - ) £ (*) 3 ỉ pư ỉ pư ổ pử Ta cú ỗỗ2 A - ữữữ + ỗỗ2 B - ữữữ + ỗỗ2C - ữữữ = ( A + B + C ) - p = p nờn ỗố ứ ỗố ứ ỗố 3ứ 66 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word nht ổ ổ ổ ỗỗ2 A - p ữữ , ỗỗ2 B - p ữữ , ỗỗ2C - p ÷÷ ba góc tam giác ú bt ng thc (*) ỳng ứữ ốỗ ứữ ốỗ ữứ ốỗ theo vớ d Þ ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với 1+ - (cos A + cos B + cos C ) - (1 - cos A)(1 - cos B)(1 - cos C ) ³ (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: ỉ - (cos A + cos B + cos C ) ư÷ - (cos A + cos B + cos C ) ữữ VT(**) - ỗỗỗ ữứ ỗố 3 t t = cos A + cos B + cos C dễ thấy ³ t ³ æ - t ư÷ ỉ1 3-t VT(**) ³ - ỗỗ - t ữữ vỡ t điều kiện ³ t ³ ÷ = (3 - t ) ỗỗ ỗố ữứ ỗố ữứ ta có - t ³ 0, 1 1 3-t ³ - = Þ ĐPCM 3 Cách 4: Đặt x = tan A B C , y = tan , z = tan 2 ìïxy + yz + zx = Bài toán trở thành : cho ï chứng minh: í ïïỵ x , y , z > 2y 1- x2 1- y 1- z2 2x 2z 1+ ³ 2 2 1+ x 1+ y 1+ z + x + y + z2 (***) Ta có : (4) Û (1 + x )(1 + y )(1 + z ) + (1 - x )(1 - y )(1 - z ) ³ xyz Khai triển rút gọn ta có: (***) Û x y + y z + z x + ³ xyz 67 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có 1 x y + y z + z x ³ ( xy + yz + zx)2 = 3 ỉ xy + yz + zx ư÷ xyz = xy.yz.zx Ê ỗỗ ữữ = ữ ỗố 27 ø 1 Nên x y + y z + z x + ³ + = ³ xyz 27 Þ ĐPCM Bài 6.71: Cho DABC Chứng minh sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos 2 Lời giải: Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = sin Tương tự A+B A-B C cos £ cos 2 A B (sin B + sin C ) £ cos , (sin C + sin A) £ cos 2 2 Cộng vế với vế ta sin A + sin B + sin C £ cos A B C + cos + cos 2 Bài 6.72: Cho DABC Chứng minh x - 2(cos B + cos C )x + - cos A ³ "x Đẳng thức xảy ? Lời giải: Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a = > Do để chứng minh ta cần chứng minh: D £ Ta có: D ' = (cos B + cos C )2 - 2(1 - cos A) = cos B+C B -C A cos - sin 2 2 68 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word nht = sin A ổỗ B - C A B -C - 1÷÷÷ = -4 sin sin Ê0 ỗỗcos 2ố 2 ứ B -C ïìï ìïB = C sin =0 ï Û ïí Đẳng thức có Û í ïï ïïỵx = cos B ỵïx = cos B + cos C Bài 6.73: Cho DABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau: (tan B + tan C )x - x + tan A ³ "x Đẳng thức xảy ? Lời giải: Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a = tan B + tan C = = sin( B + C ) cos B.cos C sin A sin A A ³ = cot > (do DABC nhọn) Nên để chứng cos( B + C ) + cos( B - C ) - cos A minh (1) ta cần chứng minh D ' £ Ta có: D ' = - tan A A A (tan B + tan C ) £ - tan cot = 2 ìïcos( B - C ) = ìïB = C ïï ï Û ïí Đẳng thức xảy Û í ïïx = ïïx = ïỵ ïỵ tan B + tan C tan B 69 ... tài liệu file word + tan a + tan b + tan a + = + Khi ta có: A = tan a + tan b + tan a + A= tan a +3 tan a 1+ + tan a tan a + 10 tan a + 15 + = = 2 2 tan a + (2 tan a + 3) (2 tan a + 3) Bài 6.38:... ửữữ ổỗ ửữữ -2 + 2 ç ç = ç-1 + sin b + ÷ = -1 + + ữ= ỗố ữữứ ỗỗố ứữữ 12 24 http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi, tài liệu file word Do A = - + -2 + + =12 12 Bài tập luyện tập Bài 6.35: Cho... TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng công thức lượng giác cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu giá trị lượng giác góc khơng đặc