TÍCH vô HƯỚNG hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b AB = c Ta có : a = b2 + c - 2bc.cos A b2 = c + a - 2ca.cos B A c = a + b2 - ab.cos C b c Hệ quả: b2 + c - a2 cos A = C 2bc B a 2 c + a -b Hình 2.6 cos B = 2ca a2 + b2 - c cos C = ab Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b , AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có : 2(b2 + c ) - a ma2 = 2( a + c ) - b2 mb2 = 2( a + b2 ) - c mc2 = 4 Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R a+b+c nửa chu vi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải = pr = p( p - a)( p - b)( p - c ) (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác Phương pháp  Sử dụng định lí cơsin định lí sin  Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố cơng thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A A BC = , = 29 29 B BC = 29 , = 29 29 16 29 29 D BC = 29 , = 29 29 C BC = 29 , = Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có BC = AB2 + AC - AB AC.cos A = + 52 - 2.4.5 = 29 Suy BC = 29 Vì sin A + cos A = nên sin A = - cos A = Theo công thức tính diện tích ta có SABC = Mặt khác SABC = 1 a.ha = 29.ha (2) 2 = 25 1 AB AC.sin A = 4.5 = (1) 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Từ (1) (2) suy 16 29 29.ha = Þ = 29 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A = 16 29 29  = 300 , B  = 450 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính 3, biết A Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A A ma = 22, 547 B ma = 27, 54 C ma = 19, 57 Lời giải  = 1800 - A - B  = 1800 - 300 - 450 = 1050 Ta có C Theo định lí sin ta có a = R sin A = 2.3.sin 300 = , b = R sin B = 2.3.sin 450 = =3 2 c = R sin C = 2.3.sin 1050 » 5,796 Theo cơng thức đường trung tuyến ta có m = a (b + c ) - a » (18 + 5,796 ) - = 23, 547 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có bc sin A 2.5,796 sin 300 SABC = pr = bc sin A Þ r = » » 0,943 2p + + 5,796 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Biết  = 13 AB = 3, BC = 8, cos AMB 26 Tính độ dài cạnh AC góc lớn tam giác ABC Lời giải hình 2.7) D ma = 23, 547 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải BC = Þ BM = Đặt AM = x A Theo định lí cơsin ta có = cos AMB Suy AM + BM - AB2 AM AB B 13 x + 16 - = 26 2.4.x M Hình 2.7 é x = 13 ê Û 13 x - 20 13 x + 91 = Û êê 13 êx = êë 13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có AM = 2 ( AB2 + AC ) - BC 2 AB AC TH1: Nếu x = 13 Þ 13 = (32 + AC ) - Þ AC = Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có cos A = AB2 + AC - BC + 49 - 64 = =2 AB AC 2.3.7 Suy A » 98012' 2 13 49 (3 + AC ) - 397 Þ = Þ AC = TH2: Nếu x = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có 397 - 64 AB + AC - BC 53 13 cos A = = =2 AB AC 397 5161 2.3 13 2 Suy A » 137 32' 9+ C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = Giả sử E trung điểm AB thỏa mãn = sin BDE Tính độ dài cạnh AB A B C 2 D Lời giải: (hình 2.8) Đặt AB = x ( x > 0) Þ AE = EB = x A E B  nhọn nên cos BDE  > suy Vì góc BDE  = - sin BDE =2 cos BDE D C Hình 2.8 Theo định lí Pitago ta có: DE2 = AD + AE2 = + x Þ DE = + x BD = DC + BC = x + Þ BD = x + Áp dụng định lí cơsin tam giác BDE ta có = cos BDE DE2 + DB2 - EB2 2 4x2 + Û = DE.DB (1 + x )(4 x + 1) Û 4x4 - 4x2 + = Û 2x2 = Û x = Vậy độ dài cạnh AB (Do x > ) 2 Bài tập luyện tập Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, cạnh  = 600 Tính cạnh BC AB = ACB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ( A BC = + ( ) C BC = + ( ) ( ) B BC = + ) D BC = + Lời giải: Bài 2.56: Đặt BC = x ( x > 0) MN = Þ AC = Theo định lí cơsin ta có AB2 = CA + CB2 - 2.CA.CB.cos C ( Hay 81 = 36 + x - 2.6.x Û x = + ) Bài 2.57: Cho tam giác ABC vng B có AB = Trên tia đối AC lấy điểm D  = 300 Tính AC cho CD = AB Giả sử CBD A AC = B AC = - C AC = + D AC = + Lời giải: Bài 2.57: Đặt AC = x ( x > 0) Áp dụng định lí cơsin tam giác ABD ta có BD = + (1 + x) - (1 + x) Áp dụng định lí sin tam giác BCD ta có BD = x =2 sin BCD x sin 30 Suy ta phương trình x + x - x - = Û ( x + 2)( x - 2) = Û x = Vậy AC = Bài 2.58 Cho a = x + x + 1; b = x + 1; c = x - Giả sử a , b , c ba cạnh tam giác Chứng minh tam giác có góc 1200 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.58: cos A = b2 + c - a2 1- x2 = = - Þ A = 1200 2bc 2 ( x - 1) Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = a) Tính diện tích tam giác ABC A S = B S = C S = D S = 3 b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A R = 3 , r= B R = , r= 3 C R = 3 , r= 3 D R = 3 , r= 3 C = c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A A = B = - D = Lời giải: Bài 2.59: a) Áp dụng cơng thức Hê - rơng ta có S = p( p - a)( p - b)( p - c ) = b) Áp dụng cơng thức tính diện tích S = c) = 3 abc , r= S = pr suy R = 3 4R 2S 12 6 = = a Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b = 2c 6- a) Tính góc tam giác A B = 1200 , A = 450 , C = 150 B C = 1200 , B = 450 , A = 150 C A = 1200 , C = 450 , B = 150 D A = 1200 , B = 450 , C = 150 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Cho a = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Bài 2.60: HD: a) Đặt a 6- t = t > Þ a = 3t , b = 2t , c = Áp dụng định lí cơsin ta có ( ( ) ) ( ) 2 b + c - a 2t + - t - 3t cos A= = = - Þ A = 1200 2bc 2 -1 t2 2 a + c - b2 3t + - t - 2t cos B= = = Þ B = 450 , C = 150 2 ac 2 3- t ( b) Áp dụng định lí sin, ta có: R = ) a = =2 sin A sin 1200  = 600 , a = 10, r = Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A a) Tính R A R = 3 B R = 3 C R = 3 D R = 10 3 b) Tính b, c A b = c = 10 B b = c = C b = c = D b = c = Lời giải: Bài 2.61: (hình 2.22) A N P r B 10 I M Hình 2.22 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) R = a 20 10 = ÞR= sin A 3 b) Gọi M, N, P tiếp điểm BC, CA AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có AP = AN - r.cot 300 = 5, BP + NC = BM + MC = a = 10 Þ (b - AN ) + (c - AP) = 10 Þ b + c = 20 (1) (b + c ) Theo định lí cơsin ta có a = b + c - 2bc cos 60 Þ bc = 2 - a2 = 100 (2) Từ (1) (2) suy b, c nghiệm phương trình x - 20 x + 100 = Û x = 10 Vậy b = c = 10 Þ DABC  = 600 Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = A a) Tính chu vi tam giác A P = 22,72 B P = 20,72 C P = 22 D P = 21,72 B tan C = -5 C tan C = D tan C = -5 b) Tính tan C A tan C = - c) Lấy điểm D tia đối tia AB cho AD = điểm E tia AC cho AE = x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE A x = + 85 B x = -5 + 85 C x = + 85 Lời giải: Bài 2.62: a) Theo định lí cơsin ta có BC = 10 + - 2.10.4 cos 600 = 76 Þ BC » 8,72 D x = + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy chu vi tam giác p » 10 + + 8,72 = 22,72 b) (Hình 51a.) A Kẻ đường cao BH ta có 10 AH = AB cos 60 = Þ HC = - = BH = AB.sin 600 = C H B Hình 2.23a  = - HB = -5 Vậy tan C = - tan BCH HC c) (Hình 51b.) D Để BE tiếp tuyến đường trịn (C) ta phải có BE2 = BA.BD = 10 (10 + 6) = 160 Áp dụng định lí cơsin tam giác ABE ta có BE2 = x + 100 - 10 x Þ x - 10 x - 60 = Þ x = + 85 A B C E Hình 2.23b Bài 2.63 Cho tam giác ABC cân có cạnh bên b nội tiếp đường tròn (O;R) a) Tính cơsin góc tam giác A cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 B cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 C cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 D cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải sin A = sin B cos C + sin C cos B Û a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R Û a = b.cos C + c.cos B (câu a) c) = R sin B sin C Û 2S b = 2R sin C Û S = ab sin C (đúng) a 2R d) Áp dụng công thức đường trung tuyến e)   AB2 AC - ( AB AC ) = AB AC - cos A = AB AC.sin A Từ suy đpcm Bài 2.69: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) b + c = a Û 1 = + hb hc b) Góc A vng Û mb2 + mc2 = 5ma2 Lời giải: Bài 2.69: a) b + c = a Û b) mb2 + mc2 = 5ma2 Û 2S 2S 2S 1 + = Û + = hb hc hb hc 2( a + c ) - b2 2( a + b2 ) - c 2(b2 + c ) - a + = 4 Û b2 + c = a Û Góc A vng Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b4 + c Chứng minh a) Tam giác ABC nhọn b) sin A = tan B tan C Lời giải: Bài 2.70: a) Dễ thấy a > b , a > c Þ góc A lớn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Và a = b4 + c < a b2 + a c Þ a < b2 + c Mặt khác theo định lí cơsin ta có cos A = b2 + c - a2  < 900 Vậy Þ cos A > A 2bc tam giác ABC nhọn b) sin A = tan B tan C Û sin A.cos B.cos C = sin B sin C ỉ a ư÷ a + c - b2 a + b2 - c b c ỗỗ ữữ = ỗố R ứ ac ab 2R 2R Û a4 = b4 + c Bài 2.71: Cho tam giác ABC Chứng minh cot A = b2 = (cot B + cot C ) 2 a + c2 ) ( Lời giải: b2 + c - a2 Bài 2.71: Áp dụng cot A = 4S Bài 2.72: Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S = R2 sin A sin B sin C b) S = Rr(sin A + sin B + sin C ) Lời giải: Bài 2.72: a) Ta có S = b) S = pr = abc R sin A.2 R sin B.2 R sin C = = R2 sin A sin B sin C 4R 4R a+b+c R sin A + R sin B + R sin C r = r 2 Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi  góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S = AC.BD.sin a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 2.73: Gọi I giao điểm hai đường chéo Khi S = SABI + SBCI + SCDI + SDAI  + BI CI sin BIC  + CI DI sin CID  + DI AI sin DIA  Ta có góc AI BI sin AIB 2 2  , BIC  , CID  DIA  đôi bù suy AIB =  = sin BIC  = sin CID  = sin DIA  = sin a sin AIB Do S = 1 BI AC.sin a + ID AC.sin a = AC.BD.sin a 2  = 1200 , AD đường phân giác (D thuộc BC) Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC Chứng minh 1 = + AD AB AC Lời giải: Bài 2.74: Với AB = AC ta có đpcm Với AB ¹ AC Ta có: BD AB = DC AC BD = AB2 + AD - AB AD.cos 60 o = AB2 + AD - AB AD CD = AC + AD - AC AD.cos 60 o = AC + AD - AC AD AB2 BD AB2 + AD - AB AD Þ = = AC DC AC + AD - AC AD Û AB2 ( AC + AD - AC AD) = AC ( AB2 + AD - AB AD) Û ( AB2 - AC ) AD = AB AC AD( AB - AC ) é AB = AC ê 1 Ûê Û = + ê AD = AB AC AD AB AC êë AB + AC Bài 2.75: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) cos A + cos B (b + c - a)(c + a - b) = a+b abc b) (c + b2 - a )tan A = (c + a - b2 ) tan B Lời giải: Bài 2.75: a) Áp dụng định lí cơsin, ta có: ỉ b2 + c - a a + c - b2 ư÷ ÷÷ abc (cos A + cos B) = abc.ỗỗỗ + ỗố 2bc ac ứữ 2ù é = a (b2 + c - a ) + b (a + c - b2 ) = (a + b) ê c - (a + b) ú ë û = (a + b)(b + c - a)(c + a - b) Suy cos A + cos B (b + c - a)(c + a - b) = a+b abc b) Áp dụng định lí sin cơsin, ta có: a a2 + c - b2 tan A sin A cos B R a2 + c - b2 ac = = = tan B sin B cos A b b2 + c - a2 b2 + c - a2 2R 2bc Suy (c + b2 - a )tan A = (c + a - b2 ) tan B Bài 2.76 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh a) £ p( p - a) b) a b2 + b2 c + c a £ R2 ( a + b + c )2 Lời giải: Bài 2.76: a) Ta có SABC = p( p - a)( p - b)( p - c ) = a.h a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Mặt khác ( a + b - c )( a + c - b) = a - (b - c )2 £ a Þ ( p - b)( p - c ) £ a Þ £ p( p - a) b) Vì S = abc 1 = aha = bhb = chc nên bất đẳng thức tương đương với 4R 2 a2 b2 b2 c c a2 + + £ ( a + b + c )2 Û (ha + hb + hc ) £ ( a + b + c )2 R R R Sử dụng câu a) suy (ha + hb + hc ) £ (b + c )2 - a + (c + a)2 - b2 + ( a + b)2 - c = ( a + b + c )2 Vậy a b + b c + c a £ R ( a + b + c )2 Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: r + ( p - a) + r + ( p - b) + r + ( p - c) £ ab + bc + ca 2 Lời giải: Bài 2.77: Ta có S = pr Þ r = Þ r + ( p - a)2 = ( p - a)[ S2 ( p - a)( p - b)( p - c ) = p p2 ( p - b)( p - c ) ( p - a)bc + p - a] = p p Tương tự r + ( p - b)2 = ( p - b)ac ( p - c )ab , r + ( p - c )2 = p p Do BĐT cần chứng minh tương đương với ( p - a)bc + ( p - b)ac + ( p - c )ab £ p( ab + bc + ca) BĐT theo CauChy-Schwarz ta có ( p - a)bc + ( p - b)ac + ( p - c )ab £ ( p - a + p - b + p - c )( ab + bc + ac ) = p( ab + bc + ca) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.78 Cho tam giác ABC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh r = ( p - a) tan A B C = ( p - c ) tan = ( p - c ) tan 2 Lời giải: Bài 2.78: Ta có: S = pr Û r = ( p - a) tan p( p - a)( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - b)( p - c ) S = = p p p ( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - b)( p - c ) A = ( p - a) = p( p - a) p Từ đó: r = ( p - a) tan A Tương tự: r = ( p - b) tan Do : r = ( p - a) tan B C r = ( p - c ) tan 2 A B C = ( p - b) tan = ( p - c ) tan 2 Bài 2.79 Cho tam giác ABC có c mb = ¹ Chứng minh cot A = cot B + cot C b mc Lời giải: Bài 2.79: Áp dụng cot A = b2 + c - a2 suy cot A = cot B + cot C Û b2 + c = a 4S Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có c mb 2( a + b2 ) - c 2( a + c ) - b2 = Û c2 = b2 Û b4 - c = a (b2 - c ) Suy b mc 4 b2 + c = a đpcm  = MBC  = MCA  =a Bài 2.80 Cho M điểm nằm tam giác ABC cho MAB Chứng minh : cot a = cot A + cot B + cot C Lời giải: Bài 2.80: Áp dụng định lí cơsin tam giác MAB , ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải BM = AB2 + AD - AB AD.cos a Mặt khác SABM = AB AM.sin a Þ BM = AB2 + AD - 4SMAB cot a Tương tự ta có CD = BC + BD - 4SMBC cot a , AD = AC + CD - 4SMCA cot a Cộng vế với vế suy cot a = a2 + b2 + c = cot A + cot B + cot C 4S  = a , GBC  = b , GCA =g Bài 2.81 Cho tam giác ABC có trọng tâm G GAB Chứng minh cot a + cot b + cot g = (a2 + b2 + c ) 4S Lời giải: Bài 2.81: Áp dụng cot A = SGBC = SGCA = SGAB b2 + c - a2 công thức đường trung tuyến với ý 4S Bài 2.82 Cho tam giác ABC Chứng minh (a - b) cot C A B + (b - c) cot + (c - a) cot = 2 Lời giải: Bài 2.82: C1: Gọi D điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp ( I ; r ) tam giác với BC Suy ỉ ỉ B Cư C a = BD + DC = r ỗỗcot + cot ữữ , tng t ta cú b = r ỗỗcot + cot ữữ ỗố ỗố 2 ữứ 2 ữứ Do (a - b) cot ỉ C B C C Aử = r ỗỗcot cot - cot cot ữữữ ỗố 2 2 2ø Xây dựng biểu thức tương tự cộng lại suy đpcm C2: ( a - b) cot C A B + (b - c ) cot + (c - a) cot = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û ( a - b) +(b - c ) p( p - c ) + ( p - a)( p - b) p( p - a) p( p - b) + ( c - a) =0 ( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - c ) Û ( a - b)( p - c ) + (b - c )( p - a) + (c - a)( p - b) = Û a - b2 - c( a - b) + b2 - c - a(b - c ) + c - a - b(c - a) = Điều luông Vậy ta có đpcm ³ Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC = AD Chứng minh cot BAD Lời giải: Bài 2.83: Ta có AC + BD = 2( AB2 + AD ) Þ AB2 + AC = BD Sử dụng định lý côsin bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh ³ cos BAD ³4 Þ cot BAD Bài 2.84 Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh a + b2 + c ³ 3.S Lời giải: Bài 2.84: C1: Áp dụng cơng thức diện tích Hêrơng bất đẳng thức cauchy C2: Áp dụng định lí cơsin cơng thức tính diện tích ta có a + b2 + c ³ 3.S Û (b2 + c + bc cos A) ³ bc sin A Û b2 + c ³ bc ( sin A + cos A Bất đẳng thức cuối ( ) ) sin A + cos A £ (sin A + cos A) = b2 + c ³ 2bc  DẠNG 4: Nhận dạng tam giác Phương pháp giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = sin B cos A Chứng minh minh tam giác ABC cân Lời giải: Áp dụng định lí cơsin sin ta có: sin C = sin B cos A Û c b b2 + c - a2 = 2R 2R 2bc c = b2 + c - a2 Û a = b Suy tam giác ABC cân đỉnh C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = ABC vuông sin B + sin C Chứng minh tam giác cos B + cos C Lời giải: Ta có: sin A = Û sin B + sin C Û sin A(cos B + cos C ) = sin B + sin C cos B + cos C a c + a2 - b2 a2 + b2 - c b+c ( + )= 2R 2ca ab 2R Û b(c + a - b2 ) + c( a + b2 - c ) = 2b2 c + 2c b Û b3 + c + b2 c + bc - a b - a c = Û (b + c )(b2 + c ) - a (b + c ) = b2 + c = a Û DABC vng A Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) a.sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B Lời giải: 1 a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = aha suy 2 a.sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc Û a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c Û a + b2 + c = ab + bc + ca Û (a - b) + (b - c) + (c - a) = 2 Û a=b=c Vậy tam giác ABC b) Ta có: cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B Û cos A + cos B + sin A + sin B = (cot A + + cot B + 1) sin A + sin B Û 1 = ( + ) Û (sin A + sin B)2 = sin A sin B 2 sin A + sin B sin A sin B ỉ a ỉ b Û sin A = sin B ỗỗ ữữữ = ỗỗ ÷÷ Û a = b Û DABC cân C çè R ø çè R ÷ø 2 2 Bài tập luyện tập Bài 2.85: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân = c.sin A Lời giải: Bài 2.85: Sử dụng công thức S = 1 aha = bc sin A ta có 2 = c.sin A Û bha = aha Û a = b suy tam giác ABC cân C Bài 2.86: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân ma2 = b (b + 4c.cos A) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 2.86: Sử dụng công thức đường trung tuyến định lí sin m = b (b + 4c.cos A) Û a (b + c ) - a æ b2 + c - a ư÷ ÷÷ Û a = b = b ỗỗỗb + 4c ỗố 2bc ø÷ Bài 2.87: Chứng minh tam giác ABC a + b2 + c = 36r Lời giải: Bài 2.87: Ta có r = S2 ( p - a)( p - b)( p - c) = p p2 æ p - a - b - c ư÷ ỉ p ư÷ ữữ = ỗỗ ữữ Theo Cauchy ( p - a)( p - b)( p - c) Ê ỗỗ ốỗ ứữ ỗố ứữ 3 p (a + b + c) = £ a2 + b2 + c Suy 36r £ 3p 2 Dấu xảy a = b = c hay tam giác ABC Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: b(b2 - a ) = c(c - a ),(b ¹ c ) Lời giải: Bài 2.88: b(b2 - a ) = c(c - a ) Û b3 - c = a (b - c) Û b2 + bc + c = a Theo định lí cơsin a = b2 + c - 2bc cos A Do b2 + bc + c = b2 + c - 2bc cos A Û cos A =  = 600 ÛA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï a + c - b3 ïï = b2 Bài 2.89: Cho DABC thoả mãn điều kiện: í a + c - b Chứng minh DABC ïï ïïỵa = 2b cos C Lời giải: Bài 2.89: Ta có Û cos A = a3 + c - b3 = b2 Û (b + c)(b2 - bc + c ) = a (b + c) a + c-b  = 600 ÛA a = 2b cos C Û a = 2b a2 + b2 - c Ûb=c ab Vậy tam giác ABC Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh diện tích tính theo cơng thức S= (a + b - c)(a - b + c) tam giác ABC Lời giải: Bài 2.90: Ta có S = = 1 (a + b - c)(a - b + c) = éêë a2 -(b - c) ùúû 4 2ù 1é 1 ê(b + c - cos A) - (b - c) ú = (2bc)(1 - cos A) = bc (1 - cos A) û 4ë Mặt khác ta lại có S = bc sin A nên - cos A = sin A Û - cos A + cos A = sin A Û cos A (cos A - 1) = Û cos A = Û A = 900 Vậy DABC vuông A Bài 2.91: Cho DABC thỏa mãn: tam giác cân + cos B 2a + c Chứng minh tam giác ABC = sin B 4a2 - c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: + cos B 2a + c (1 + cos B)2 a + c = Û = sin B 2a - c sin B 4a2 - c Bài 2.91: Ta có: (1 + cos B + cos B) + sin B a + c + a - c = 2a - c sin B + cos B 2a Û = Û a - c = a - a.cos B - cos B a - c Û Û 2a c + a2 - b2 = c Û a2 - b2 = Û a = b ac Û DABC tam giác cân C Bài 2.92: Chứng minh tam giác ABC vuông A B sin C = cos A + cos B Lời giải: Bài 2.92: Ta có: cos A + cos B = b2 + c - a c + a - b2 2( a + b)( p - a)( p - b) + = 2bc 2ca abc Vậy sin C = cos A + cos B Û Û 2( a + b)( p - a)( p - b) c = 2R abc 2cS 2( a + b)( p - a)( p - b) Û c [( a + b)2 - c ] = ( a + b)2 [c - ( a - b)2 ] = abc abc é a2 = b2 + c Û c = ( a - b ) Û êê Û DABC vuông A B 2 êë b = c + a 2 Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với có R.r = ( bc + 10 ) Chứng tam giác ABC cân Lời giải: Bài 2.93: Gọi G trọng tâm, tam giác GBC vng G Theo định lí pitago http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải cơng thức đường trung tuyến suy b2 + c = 5a Sử dụng R.r = ( bc + 10 ) , R = abc S , r = suy b + c = a 10 4S p Từ giả thiết suy b = c = a Bài 2.94: Chứng minh tam giác ABC sin A B ab sin = 2 4c Lời giải: Bài 2.94: HD: Ta có: sin ( p - b)( p - c ) ( p - c )( p - a) A B ab ab sin = Û = 2 4c bc ca 4c a2 b2 16 Û [( a + b - c )(b + c - a)][( a + b - c )(c + a - b)] = a b2 Û ( p - c )2 ( p - a)( p - b) = Û [b2 - (c - a)2 ][a - (b - c )2 ] = a b2 (1) Nhận thấy: < b2 - (c - a)2 < b2 < a - (b - c )2 < a Nên [b2 - (c - a)2 ][a - (b - c )2 ] £ a b2 ìïc - a = Vậy (1) Û ïí Û a = b = c Û DABC ïïỵb - c = Bài 2.95: Chứng minh tam giác ABC cân tại B p tan B C tan = p - c 2 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.95: Ta có p tan ( p - c )( p - a) ( p - a)( p - b) B C tan = p - c Û p = p-c 2 p( p - b) p( p - c ) Û p - a = p - c Û a = c Û DABC cân ... (ha + hb + hc ) £ ( a + b + c )2 R R R Sử dụng câu a) suy (ha + hb + hc ) £ (b + c )2 - a + (c + a)2 - b2 + ( a + b)2 - c = ( a + b + c )2 Vậy a b + b c + c a £ R ( a + b + c )2 Bài 2.77.Cho tam. .. AB2 + BC + CD + DA = AC + BD + EF Bài tập luyện tập Bài 2.68: Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a = b.cos C + c.cos B b) sin A = sin B cos C + sin C cos B c) = R sin B sin C d) ma2 + mb2 + mc2... sin B + sin C cos B + cos C a c + a2 - b2 a2 + b2 - c b+c ( + )= 2R 2ca ab 2R Û b(c + a - b2 ) + c( a + b2 - c ) = 2b2 c + 2c b Û b3 + c + b2 c + bc - a b - a c = Û (b + c )(b2 + c ) - a (b + c