Thông tin tài liệu
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b AB = c Ta có : a = b2 + c - 2bc.cos A b2 = c + a - 2ca.cos B A c = a + b2 - ab.cos C b c Hệ quả: b2 + c - a2 cos A = C 2bc B a 2 c + a -b Hình 2.6 cos B = 2ca a2 + b2 - c cos C = ab Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a , AC = b , AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có : 2(b2 + c ) - a ma2 = 2( a + c ) - b2 mb2 = 2( a + b2 ) - c mc2 = 4 Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R a+b+c nửa chu vi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải = pr = p( p - a)( p - b)( p - c ) (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác Phương pháp Sử dụng định lí cơsin định lí sin Sử dụng cơng thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố cơng thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A A BC = , = 29 29 B BC = 29 , = 29 29 16 29 29 D BC = 29 , = 29 29 C BC = 29 , = Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có BC = AB2 + AC - AB AC.cos A = + 52 - 2.4.5 = 29 Suy BC = 29 Vì sin A + cos A = nên sin A = - cos A = Theo công thức tính diện tích ta có SABC = Mặt khác SABC = 1 a.ha = 29.ha (2) 2 = 25 1 AB AC.sin A = 4.5 = (1) 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Từ (1) (2) suy 16 29 29.ha = Þ = 29 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A = 16 29 29 = 300 , B = 450 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính 3, biết A Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A A ma = 22, 547 B ma = 27, 54 C ma = 19, 57 Lời giải = 1800 - A - B = 1800 - 300 - 450 = 1050 Ta có C Theo định lí sin ta có a = R sin A = 2.3.sin 300 = , b = R sin B = 2.3.sin 450 = =3 2 c = R sin C = 2.3.sin 1050 » 5,796 Theo cơng thức đường trung tuyến ta có m = a (b + c ) - a » (18 + 5,796 ) - = 23, 547 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có bc sin A 2.5,796 sin 300 SABC = pr = bc sin A Þ r = » » 0,943 2p + + 5,796 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Biết = 13 AB = 3, BC = 8, cos AMB 26 Tính độ dài cạnh AC góc lớn tam giác ABC Lời giải hình 2.7) D ma = 23, 547 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải BC = Þ BM = Đặt AM = x A Theo định lí cơsin ta có = cos AMB Suy AM + BM - AB2 AM AB B 13 x + 16 - = 26 2.4.x M Hình 2.7 é x = 13 ê Û 13 x - 20 13 x + 91 = Û êê 13 êx = êë 13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có AM = 2 ( AB2 + AC ) - BC 2 AB AC TH1: Nếu x = 13 Þ 13 = (32 + AC ) - Þ AC = Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có cos A = AB2 + AC - BC + 49 - 64 = =2 AB AC 2.3.7 Suy A » 98012' 2 13 49 (3 + AC ) - 397 Þ = Þ AC = TH2: Nếu x = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB Þ góc A lớn Theo định lí cơsin ta có 397 - 64 AB + AC - BC 53 13 cos A = = =2 AB AC 397 5161 2.3 13 2 Suy A » 137 32' 9+ C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = Giả sử E trung điểm AB thỏa mãn = sin BDE Tính độ dài cạnh AB A B C 2 D Lời giải: (hình 2.8) Đặt AB = x ( x > 0) Þ AE = EB = x A E B nhọn nên cos BDE > suy Vì góc BDE = - sin BDE =2 cos BDE D C Hình 2.8 Theo định lí Pitago ta có: DE2 = AD + AE2 = + x Þ DE = + x BD = DC + BC = x + Þ BD = x + Áp dụng định lí cơsin tam giác BDE ta có = cos BDE DE2 + DB2 - EB2 2 4x2 + Û = DE.DB (1 + x )(4 x + 1) Û 4x4 - 4x2 + = Û 2x2 = Û x = Vậy độ dài cạnh AB (Do x > ) 2 Bài tập luyện tập Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, cạnh = 600 Tính cạnh BC AB = ACB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ( A BC = + ( ) C BC = + ( ) ( ) B BC = + ) D BC = + Lời giải: Bài 2.56: Đặt BC = x ( x > 0) MN = Þ AC = Theo định lí cơsin ta có AB2 = CA + CB2 - 2.CA.CB.cos C ( Hay 81 = 36 + x - 2.6.x Û x = + ) Bài 2.57: Cho tam giác ABC vng B có AB = Trên tia đối AC lấy điểm D = 300 Tính AC cho CD = AB Giả sử CBD A AC = B AC = - C AC = + D AC = + Lời giải: Bài 2.57: Đặt AC = x ( x > 0) Áp dụng định lí cơsin tam giác ABD ta có BD = + (1 + x) - (1 + x) Áp dụng định lí sin tam giác BCD ta có BD = x =2 sin BCD x sin 30 Suy ta phương trình x + x - x - = Û ( x + 2)( x - 2) = Û x = Vậy AC = Bài 2.58 Cho a = x + x + 1; b = x + 1; c = x - Giả sử a , b , c ba cạnh tam giác Chứng minh tam giác có góc 1200 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.58: cos A = b2 + c - a2 1- x2 = = - Þ A = 1200 2bc 2 ( x - 1) Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = a) Tính diện tích tam giác ABC A S = B S = C S = D S = 3 b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A R = 3 , r= B R = , r= 3 C R = 3 , r= 3 D R = 3 , r= 3 C = c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A A = B = - D = Lời giải: Bài 2.59: a) Áp dụng cơng thức Hê - rơng ta có S = p( p - a)( p - b)( p - c ) = b) Áp dụng cơng thức tính diện tích S = c) = 3 abc , r= S = pr suy R = 3 4R 2S 12 6 = = a Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b = 2c 6- a) Tính góc tam giác A B = 1200 , A = 450 , C = 150 B C = 1200 , B = 450 , A = 150 C A = 1200 , C = 450 , B = 150 D A = 1200 , B = 450 , C = 150 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Cho a = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Bài 2.60: HD: a) Đặt a 6- t = t > Þ a = 3t , b = 2t , c = Áp dụng định lí cơsin ta có ( ( ) ) ( ) 2 b + c - a 2t + - t - 3t cos A= = = - Þ A = 1200 2bc 2 -1 t2 2 a + c - b2 3t + - t - 2t cos B= = = Þ B = 450 , C = 150 2 ac 2 3- t ( b) Áp dụng định lí sin, ta có: R = ) a = =2 sin A sin 1200 = 600 , a = 10, r = Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A a) Tính R A R = 3 B R = 3 C R = 3 D R = 10 3 b) Tính b, c A b = c = 10 B b = c = C b = c = D b = c = Lời giải: Bài 2.61: (hình 2.22) A N P r B 10 I M Hình 2.22 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) R = a 20 10 = ÞR= sin A 3 b) Gọi M, N, P tiếp điểm BC, CA AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có AP = AN - r.cot 300 = 5, BP + NC = BM + MC = a = 10 Þ (b - AN ) + (c - AP) = 10 Þ b + c = 20 (1) (b + c ) Theo định lí cơsin ta có a = b + c - 2bc cos 60 Þ bc = 2 - a2 = 100 (2) Từ (1) (2) suy b, c nghiệm phương trình x - 20 x + 100 = Û x = 10 Vậy b = c = 10 Þ DABC = 600 Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = A a) Tính chu vi tam giác A P = 22,72 B P = 20,72 C P = 22 D P = 21,72 B tan C = -5 C tan C = D tan C = -5 b) Tính tan C A tan C = - c) Lấy điểm D tia đối tia AB cho AD = điểm E tia AC cho AE = x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE A x = + 85 B x = -5 + 85 C x = + 85 Lời giải: Bài 2.62: a) Theo định lí cơsin ta có BC = 10 + - 2.10.4 cos 600 = 76 Þ BC » 8,72 D x = + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy chu vi tam giác p » 10 + + 8,72 = 22,72 b) (Hình 51a.) A Kẻ đường cao BH ta có 10 AH = AB cos 60 = Þ HC = - = BH = AB.sin 600 = C H B Hình 2.23a = - HB = -5 Vậy tan C = - tan BCH HC c) (Hình 51b.) D Để BE tiếp tuyến đường trịn (C) ta phải có BE2 = BA.BD = 10 (10 + 6) = 160 Áp dụng định lí cơsin tam giác ABE ta có BE2 = x + 100 - 10 x Þ x - 10 x - 60 = Þ x = + 85 A B C E Hình 2.23b Bài 2.63 Cho tam giác ABC cân có cạnh bên b nội tiếp đường tròn (O;R) a) Tính cơsin góc tam giác A cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 B cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 C cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 D cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = R2 R2 b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải sin A = sin B cos C + sin C cos B Û a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R Û a = b.cos C + c.cos B (câu a) c) = R sin B sin C Û 2S b = 2R sin C Û S = ab sin C (đúng) a 2R d) Áp dụng công thức đường trung tuyến e) AB2 AC - ( AB AC ) = AB AC - cos A = AB AC.sin A Từ suy đpcm Bài 2.69: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) b + c = a Û 1 = + hb hc b) Góc A vng Û mb2 + mc2 = 5ma2 Lời giải: Bài 2.69: a) b + c = a Û b) mb2 + mc2 = 5ma2 Û 2S 2S 2S 1 + = Û + = hb hc hb hc 2( a + c ) - b2 2( a + b2 ) - c 2(b2 + c ) - a + = 4 Û b2 + c = a Û Góc A vng Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b4 + c Chứng minh a) Tam giác ABC nhọn b) sin A = tan B tan C Lời giải: Bài 2.70: a) Dễ thấy a > b , a > c Þ góc A lớn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Và a = b4 + c < a b2 + a c Þ a < b2 + c Mặt khác theo định lí cơsin ta có cos A = b2 + c - a2 < 900 Vậy Þ cos A > A 2bc tam giác ABC nhọn b) sin A = tan B tan C Û sin A.cos B.cos C = sin B sin C ỉ a ư÷ a + c - b2 a + b2 - c b c ỗỗ ữữ = ỗố R ứ ac ab 2R 2R Û a4 = b4 + c Bài 2.71: Cho tam giác ABC Chứng minh cot A = b2 = (cot B + cot C ) 2 a + c2 ) ( Lời giải: b2 + c - a2 Bài 2.71: Áp dụng cot A = 4S Bài 2.72: Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S = R2 sin A sin B sin C b) S = Rr(sin A + sin B + sin C ) Lời giải: Bài 2.72: a) Ta có S = b) S = pr = abc R sin A.2 R sin B.2 R sin C = = R2 sin A sin B sin C 4R 4R a+b+c R sin A + R sin B + R sin C r = r 2 Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S = AC.BD.sin a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 2.73: Gọi I giao điểm hai đường chéo Khi S = SABI + SBCI + SCDI + SDAI + BI CI sin BIC + CI DI sin CID + DI AI sin DIA Ta có góc AI BI sin AIB 2 2 , BIC , CID DIA đôi bù suy AIB = = sin BIC = sin CID = sin DIA = sin a sin AIB Do S = 1 BI AC.sin a + ID AC.sin a = AC.BD.sin a 2 = 1200 , AD đường phân giác (D thuộc BC) Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC Chứng minh 1 = + AD AB AC Lời giải: Bài 2.74: Với AB = AC ta có đpcm Với AB ¹ AC Ta có: BD AB = DC AC BD = AB2 + AD - AB AD.cos 60 o = AB2 + AD - AB AD CD = AC + AD - AC AD.cos 60 o = AC + AD - AC AD AB2 BD AB2 + AD - AB AD Þ = = AC DC AC + AD - AC AD Û AB2 ( AC + AD - AC AD) = AC ( AB2 + AD - AB AD) Û ( AB2 - AC ) AD = AB AC AD( AB - AC ) é AB = AC ê 1 Ûê Û = + ê AD = AB AC AD AB AC êë AB + AC Bài 2.75: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) cos A + cos B (b + c - a)(c + a - b) = a+b abc b) (c + b2 - a )tan A = (c + a - b2 ) tan B Lời giải: Bài 2.75: a) Áp dụng định lí cơsin, ta có: ỉ b2 + c - a a + c - b2 ư÷ ÷÷ abc (cos A + cos B) = abc.ỗỗỗ + ỗố 2bc ac ứữ 2ù é = a (b2 + c - a ) + b (a + c - b2 ) = (a + b) ê c - (a + b) ú ë û = (a + b)(b + c - a)(c + a - b) Suy cos A + cos B (b + c - a)(c + a - b) = a+b abc b) Áp dụng định lí sin cơsin, ta có: a a2 + c - b2 tan A sin A cos B R a2 + c - b2 ac = = = tan B sin B cos A b b2 + c - a2 b2 + c - a2 2R 2bc Suy (c + b2 - a )tan A = (c + a - b2 ) tan B Bài 2.76 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh a) £ p( p - a) b) a b2 + b2 c + c a £ R2 ( a + b + c )2 Lời giải: Bài 2.76: a) Ta có SABC = p( p - a)( p - b)( p - c ) = a.h a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Mặt khác ( a + b - c )( a + c - b) = a - (b - c )2 £ a Þ ( p - b)( p - c ) £ a Þ £ p( p - a) b) Vì S = abc 1 = aha = bhb = chc nên bất đẳng thức tương đương với 4R 2 a2 b2 b2 c c a2 + + £ ( a + b + c )2 Û (ha + hb + hc ) £ ( a + b + c )2 R R R Sử dụng câu a) suy (ha + hb + hc ) £ (b + c )2 - a + (c + a)2 - b2 + ( a + b)2 - c = ( a + b + c )2 Vậy a b + b c + c a £ R ( a + b + c )2 Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: r + ( p - a) + r + ( p - b) + r + ( p - c) £ ab + bc + ca 2 Lời giải: Bài 2.77: Ta có S = pr Þ r = Þ r + ( p - a)2 = ( p - a)[ S2 ( p - a)( p - b)( p - c ) = p p2 ( p - b)( p - c ) ( p - a)bc + p - a] = p p Tương tự r + ( p - b)2 = ( p - b)ac ( p - c )ab , r + ( p - c )2 = p p Do BĐT cần chứng minh tương đương với ( p - a)bc + ( p - b)ac + ( p - c )ab £ p( ab + bc + ca) BĐT theo CauChy-Schwarz ta có ( p - a)bc + ( p - b)ac + ( p - c )ab £ ( p - a + p - b + p - c )( ab + bc + ac ) = p( ab + bc + ca) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.78 Cho tam giác ABC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh r = ( p - a) tan A B C = ( p - c ) tan = ( p - c ) tan 2 Lời giải: Bài 2.78: Ta có: S = pr Û r = ( p - a) tan p( p - a)( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - b)( p - c ) S = = p p p ( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - b)( p - c ) A = ( p - a) = p( p - a) p Từ đó: r = ( p - a) tan A Tương tự: r = ( p - b) tan Do : r = ( p - a) tan B C r = ( p - c ) tan 2 A B C = ( p - b) tan = ( p - c ) tan 2 Bài 2.79 Cho tam giác ABC có c mb = ¹ Chứng minh cot A = cot B + cot C b mc Lời giải: Bài 2.79: Áp dụng cot A = b2 + c - a2 suy cot A = cot B + cot C Û b2 + c = a 4S Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có c mb 2( a + b2 ) - c 2( a + c ) - b2 = Û c2 = b2 Û b4 - c = a (b2 - c ) Suy b mc 4 b2 + c = a đpcm = MBC = MCA =a Bài 2.80 Cho M điểm nằm tam giác ABC cho MAB Chứng minh : cot a = cot A + cot B + cot C Lời giải: Bài 2.80: Áp dụng định lí cơsin tam giác MAB , ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải BM = AB2 + AD - AB AD.cos a Mặt khác SABM = AB AM.sin a Þ BM = AB2 + AD - 4SMAB cot a Tương tự ta có CD = BC + BD - 4SMBC cot a , AD = AC + CD - 4SMCA cot a Cộng vế với vế suy cot a = a2 + b2 + c = cot A + cot B + cot C 4S = a , GBC = b , GCA =g Bài 2.81 Cho tam giác ABC có trọng tâm G GAB Chứng minh cot a + cot b + cot g = (a2 + b2 + c ) 4S Lời giải: Bài 2.81: Áp dụng cot A = SGBC = SGCA = SGAB b2 + c - a2 công thức đường trung tuyến với ý 4S Bài 2.82 Cho tam giác ABC Chứng minh (a - b) cot C A B + (b - c) cot + (c - a) cot = 2 Lời giải: Bài 2.82: C1: Gọi D điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp ( I ; r ) tam giác với BC Suy ỉ ỉ B Cư C a = BD + DC = r ỗỗcot + cot ữữ , tng t ta cú b = r ỗỗcot + cot ữữ ỗố ỗố 2 ữứ 2 ữứ Do (a - b) cot ỉ C B C C Aử = r ỗỗcot cot - cot cot ữữữ ỗố 2 2 2ø Xây dựng biểu thức tương tự cộng lại suy đpcm C2: ( a - b) cot C A B + (b - c ) cot + (c - a) cot = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û ( a - b) +(b - c ) p( p - c ) + ( p - a)( p - b) p( p - a) p( p - b) + ( c - a) =0 ( p - b)( p - c ) ( p - a)( p - c ) Û ( a - b)( p - c ) + (b - c )( p - a) + (c - a)( p - b) = Û a - b2 - c( a - b) + b2 - c - a(b - c ) + c - a - b(c - a) = Điều luông Vậy ta có đpcm ³ Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC = AD Chứng minh cot BAD Lời giải: Bài 2.83: Ta có AC + BD = 2( AB2 + AD ) Þ AB2 + AC = BD Sử dụng định lý côsin bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh ³ cos BAD ³4 Þ cot BAD Bài 2.84 Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh a + b2 + c ³ 3.S Lời giải: Bài 2.84: C1: Áp dụng cơng thức diện tích Hêrơng bất đẳng thức cauchy C2: Áp dụng định lí cơsin cơng thức tính diện tích ta có a + b2 + c ³ 3.S Û (b2 + c + bc cos A) ³ bc sin A Û b2 + c ³ bc ( sin A + cos A Bất đẳng thức cuối ( ) ) sin A + cos A £ (sin A + cos A) = b2 + c ³ 2bc DẠNG 4: Nhận dạng tam giác Phương pháp giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = sin B cos A Chứng minh minh tam giác ABC cân Lời giải: Áp dụng định lí cơsin sin ta có: sin C = sin B cos A Û c b b2 + c - a2 = 2R 2R 2bc c = b2 + c - a2 Û a = b Suy tam giác ABC cân đỉnh C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = ABC vuông sin B + sin C Chứng minh tam giác cos B + cos C Lời giải: Ta có: sin A = Û sin B + sin C Û sin A(cos B + cos C ) = sin B + sin C cos B + cos C a c + a2 - b2 a2 + b2 - c b+c ( + )= 2R 2ca ab 2R Û b(c + a - b2 ) + c( a + b2 - c ) = 2b2 c + 2c b Û b3 + c + b2 c + bc - a b - a c = Û (b + c )(b2 + c ) - a (b + c ) = b2 + c = a Û DABC vng A Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) a.sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B Lời giải: 1 a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = aha suy 2 a.sin A + b sin B + c sin C = + hb + hc Û a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c Û a + b2 + c = ab + bc + ca Û (a - b) + (b - c) + (c - a) = 2 Û a=b=c Vậy tam giác ABC b) Ta có: cos A + cos B = (cot A + cot B) 2 sin A + sin B Û cos A + cos B + sin A + sin B = (cot A + + cot B + 1) sin A + sin B Û 1 = ( + ) Û (sin A + sin B)2 = sin A sin B 2 sin A + sin B sin A sin B ỉ a ỉ b Û sin A = sin B ỗỗ ữữữ = ỗỗ ÷÷ Û a = b Û DABC cân C çè R ø çè R ÷ø 2 2 Bài tập luyện tập Bài 2.85: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân = c.sin A Lời giải: Bài 2.85: Sử dụng công thức S = 1 aha = bc sin A ta có 2 = c.sin A Û bha = aha Û a = b suy tam giác ABC cân C Bài 2.86: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân ma2 = b (b + 4c.cos A) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 2.86: Sử dụng công thức đường trung tuyến định lí sin m = b (b + 4c.cos A) Û a (b + c ) - a æ b2 + c - a ư÷ ÷÷ Û a = b = b ỗỗỗb + 4c ỗố 2bc ø÷ Bài 2.87: Chứng minh tam giác ABC a + b2 + c = 36r Lời giải: Bài 2.87: Ta có r = S2 ( p - a)( p - b)( p - c) = p p2 æ p - a - b - c ư÷ ỉ p ư÷ ữữ = ỗỗ ữữ Theo Cauchy ( p - a)( p - b)( p - c) Ê ỗỗ ốỗ ứữ ỗố ứữ 3 p (a + b + c) = £ a2 + b2 + c Suy 36r £ 3p 2 Dấu xảy a = b = c hay tam giác ABC Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: b(b2 - a ) = c(c - a ),(b ¹ c ) Lời giải: Bài 2.88: b(b2 - a ) = c(c - a ) Û b3 - c = a (b - c) Û b2 + bc + c = a Theo định lí cơsin a = b2 + c - 2bc cos A Do b2 + bc + c = b2 + c - 2bc cos A Û cos A = = 600 ÛA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï a + c - b3 ïï = b2 Bài 2.89: Cho DABC thoả mãn điều kiện: í a + c - b Chứng minh DABC ïï ïïỵa = 2b cos C Lời giải: Bài 2.89: Ta có Û cos A = a3 + c - b3 = b2 Û (b + c)(b2 - bc + c ) = a (b + c) a + c-b = 600 ÛA a = 2b cos C Û a = 2b a2 + b2 - c Ûb=c ab Vậy tam giác ABC Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh diện tích tính theo cơng thức S= (a + b - c)(a - b + c) tam giác ABC Lời giải: Bài 2.90: Ta có S = = 1 (a + b - c)(a - b + c) = éêë a2 -(b - c) ùúû 4 2ù 1é 1 ê(b + c - cos A) - (b - c) ú = (2bc)(1 - cos A) = bc (1 - cos A) û 4ë Mặt khác ta lại có S = bc sin A nên - cos A = sin A Û - cos A + cos A = sin A Û cos A (cos A - 1) = Û cos A = Û A = 900 Vậy DABC vuông A Bài 2.91: Cho DABC thỏa mãn: tam giác cân + cos B 2a + c Chứng minh tam giác ABC = sin B 4a2 - c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: + cos B 2a + c (1 + cos B)2 a + c = Û = sin B 2a - c sin B 4a2 - c Bài 2.91: Ta có: (1 + cos B + cos B) + sin B a + c + a - c = 2a - c sin B + cos B 2a Û = Û a - c = a - a.cos B - cos B a - c Û Û 2a c + a2 - b2 = c Û a2 - b2 = Û a = b ac Û DABC tam giác cân C Bài 2.92: Chứng minh tam giác ABC vuông A B sin C = cos A + cos B Lời giải: Bài 2.92: Ta có: cos A + cos B = b2 + c - a c + a - b2 2( a + b)( p - a)( p - b) + = 2bc 2ca abc Vậy sin C = cos A + cos B Û Û 2( a + b)( p - a)( p - b) c = 2R abc 2cS 2( a + b)( p - a)( p - b) Û c [( a + b)2 - c ] = ( a + b)2 [c - ( a - b)2 ] = abc abc é a2 = b2 + c Û c = ( a - b ) Û êê Û DABC vuông A B 2 êë b = c + a 2 Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với có R.r = ( bc + 10 ) Chứng tam giác ABC cân Lời giải: Bài 2.93: Gọi G trọng tâm, tam giác GBC vng G Theo định lí pitago http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải cơng thức đường trung tuyến suy b2 + c = 5a Sử dụng R.r = ( bc + 10 ) , R = abc S , r = suy b + c = a 10 4S p Từ giả thiết suy b = c = a Bài 2.94: Chứng minh tam giác ABC sin A B ab sin = 2 4c Lời giải: Bài 2.94: HD: Ta có: sin ( p - b)( p - c ) ( p - c )( p - a) A B ab ab sin = Û = 2 4c bc ca 4c a2 b2 16 Û [( a + b - c )(b + c - a)][( a + b - c )(c + a - b)] = a b2 Û ( p - c )2 ( p - a)( p - b) = Û [b2 - (c - a)2 ][a - (b - c )2 ] = a b2 (1) Nhận thấy: < b2 - (c - a)2 < b2 < a - (b - c )2 < a Nên [b2 - (c - a)2 ][a - (b - c )2 ] £ a b2 ìïc - a = Vậy (1) Û ïí Û a = b = c Û DABC ïïỵb - c = Bài 2.95: Chứng minh tam giác ABC cân tại B p tan B C tan = p - c 2 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.95: Ta có p tan ( p - c )( p - a) ( p - a)( p - b) B C tan = p - c Û p = p-c 2 p( p - b) p( p - c ) Û p - a = p - c Û a = c Û DABC cân ... (ha + hb + hc ) £ ( a + b + c )2 R R R Sử dụng câu a) suy (ha + hb + hc ) £ (b + c )2 - a + (c + a)2 - b2 + ( a + b)2 - c = ( a + b + c )2 Vậy a b + b c + c a £ R ( a + b + c )2 Bài 2.77.Cho tam. .. AB2 + BC + CD + DA = AC + BD + EF Bài tập luyện tập Bài 2.68: Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a = b.cos C + c.cos B b) sin A = sin B cos C + sin C cos B c) = R sin B sin C d) ma2 + mb2 + mc2... sin B + sin C cos B + cos C a c + a2 - b2 a2 + b2 - c b+c ( + )= 2R 2ca ab 2R Û b(c + a - b2 ) + c( a + b2 - c ) = 2b2 c + 2c b Û b3 + c + b2 c + bc - a b - a c = Û (b + c )(b2 + c ) - a (b + c
Ngày đăng: 11/12/2021, 20:27
Xem thêm:
