TÍCH vô HƯỚNG TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: a) Góc hai vectơ r r r Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O dựng vectơ uuur r r OB  b Số đo góc AOB gọi số đo góc hai vectơ a uuur r OA  a r b r r r r r r + Quy ước : Nếu a b ta xem góc hai vectơ a b tùy ý (từ 00 đến 1800 ) r r + Kí hiệu: a; b   b) Tích vơ hướng hai vectơ r r Tích vơ hướng hai véc tơ a b số thực xác định bởi: rr r r r r ab  a b cos(a,b) r r r Tính chất: Với ba véc tơ a,b, c số thực k ta ln có: rr rr 1) ab  ba r r r rr rr 2) a(b�c)  ab �ac rr rr r r 3) (ka)b  k(ab )  a(kb) r2 r2 r r 4) a �0, a  � a  Chú ý: Ta có kết sau: r r r r r rr + Nếu hai véc tơ a b khác a  b � ab 0 r r r2 r r + aa  a  a gọi bình phương vô hướng véc tơ a r r r2 r r r2 r r r r r2 r2 + (a�b)2  a �2ab  b , (a b)(a b)  a  b Cơng thức hình chiếu phương tích điểm với đường trịn a) Cơng thức hình chiếu http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur Cho hai vectơ AB, CD Gọi A', B' hình chiếu A, B lên đường uuur uuur uuuuur uuur thẳng CD ta có ABCD  A ' B'.CD b) phương tích điểm với đường tròn Cho đường tròn  O; R  điểm M Một đường thẳng qua N cắt đường tròn uuuur uuuu r hai điểm A B Biểu thức MA MB gọi phương tích điểm M đường tròn  O; R  Kí hiệu PM /  O  uuuur uuuu r 2 Chú ý: Ta có PM /  O   MA MB  MO  R  MT với T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ tích vơ hướng r r Cho hai vectơ a  (x1; y1) b  (x2 ; y2 ) Khi rr 1) ab  x1x2  y1y2 r r 2) a  (x; y) �| a| x2  y2 rr r r ab 3) cos(a,b)  r r  ab x1x2  y1y2 x  y12 x22  y22 Hệ quả: r r + a  b � x1x2  y1y2  + Nếu A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG : Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc hai vectơ Phương pháp giải rr r r r r  a b cos a; b  Dựa vào định nghĩa ab    Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ Các ví dụ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có AB  a, BC  2a G trọng tâm uuur uuur uuur uuur a) Tính tích vơ hướng: BA.BC ; BC.CA uuur uuur uuur uuur A BA.BC  2a2 , BC.CA  3a2 uuur uuur uuur uuur B BA.BC  a2 , BC.CA  3a2 uuur uuur uuur uuur C BA.BC  a2 , BC.CA  a2 uuur uuur uuur uuur D BA.BC  a2 , BC.CA  3a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) Tính giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA AB uuur uuur uuu r uuur uuur uuur A AB.BC  BC.CA  CA.AB  4a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur B AB.BC  BC.CA  CA AB  a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur C AB.BC  BC.CA  CA.AB  4a2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur D AB.BC  BC.CA  CA.AB  2a2 uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur c) Tính giá trị biểu thức GA.GB  GBGC  GC.GA uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur a2 A GA.GB  GBGC  GC.GA   uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur 4a2 C GA.GB  GBGC  GC.GA   uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur 2a2 B GA.GB  GBGC  GC.GA   uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur 5a2 D GA.GB  GBGC  GC.GA   Bài làm: (hình 2.2) a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur BA.BC  BA BC cos BA , BC  2a2cos BA , BC     uuur uuur �  a1 Mặt khác cos BA , BC  cosABC 2a   uuur uuur Nên BA.BC  a2 uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur �   CB CA cosACB * Ta có BC.CA  CBCA Theo định lý Pitago ta có CA   2a uuur uuur a Suy BC.CA  a 3.2a  3a2 2a  a2  a Hình 2.2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông A nên CA.AB  từ câu a ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.BC   a2 , BC.CA  3a2 Suy AB.BC  BC.CA  CA.AB  4a2 uuur uuur uuur r Cách 2: Từ AB  BC  CA  đẳng thức  uuur uuur uuur AB  BC  CA  uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AB2  BC  CA  AB.BC  BC.CA  CA.AB Ta có   uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.BC  BC.CA  CA.AB   AB2  BC  CA  4a2 uuur uuu r uuur r c) Tương tự cách câu b) GA  GB  GC  nên   uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur GA.GB  GBGC  GC.GA   GA  GB2  GC 2   Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB �2 � 4a2 Dễ thấy tam giác ABM nên GA  � AM � �3 � Theo định lý Pitago ta có: GB2  4 �2 3a2 � 7a2 BN  AB2  AN  � a  � 9 9� �   4 � a2 � 13a2 GC  CP  AC  AP  � 3a  � 9 9� 4�   uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur �4a2 7a2 13a2 � 4a2  GC.GA   �   Suy GA.GB  GBGC �  �9 9 � Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức sau: uuur uuur uuur uuur a) (AB  AD )(BD  BC) uuur uuur uuur uuur A ( AB  AD )(BD  BC )  3a2 uuur uuur uuur uuur B ( AB  AD )(BD  BC )  2a2 uuur uuur uuur uuur C (AB  AD )(BD  BC )  a2 uuur uuur uuur uuur D ( AB  AD )(BD  BC )  4a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur uuuur b) CG CA  DM   21a2 A B 11a2 C 9a2 D a2 Bài làm: (hình 2.3) uuur uuur uuur a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do ( AB  AD)(BD  BC)  AC.BD  AC.BC uuur uuu r uuur uuu r �  CA.CB  CA CB cosACB uuur uuur uuur uuur ( AC.BD  AC  BD ) Mặt khác � ACB  450 theo định lý Pitago ta có : Hình 2.3 AC  a2  a2  a uuur uuur uuur uuur Suy ( AB  AD )(BD  BC)  aa 2cos450  a2 uuur uuur uuur uuuu r b) Vì G trọng tâm tam giác ADM nên CG  CD  CA  CM Mặt khác theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có uuur uuur uuur CA   AB  AD   uuuu r uuu r uuur r uuur uuur uuu uuur uuur CM  CB  CA  � CB  AB  AD �  AB  2AD � 2 2�       uuur uuur uuur uuur uuur uuur �5 uuur uuur � Suy CG   AB  AB  AD  AB  2AD   � AB  2AD � �2 �     uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur �1 uuur uuur � Ta lại có CA  DM   AB  AD  AM  AD   � AB  2AD � �2 �   uuur uuur uuuur �5 uuur uuur � �1 uuur uuur � Nên CG CA  DM  � AB  2AD � �2 AB  2AD � �2 � � �   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 21a2 AB  4AD  4  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c M trung điểm BC, D chân đường phân giác góc A uuur uuur a) Tính AB.AC A 2 c b a   B 2 c b a   C 2 c b a   D 2 c  b  2a2  uuur b) Tính AD uuur A AD  uuur C AD  4c  b c 4bc  b c p p  a uuur B AD  p p  a uuur D AD  4bc  b c  p a p p  a 4bc  b c Bài làm: (hình 2.3) uuur uuur � uuur2 uuur uuur uuur � AB AC  AB  AC  AB  AC � a) Ta có 2� � �   1 2 � � c2  b2  a2 AB  AC  CB � 2�    Hình 2.3 uuur uuur Mặt khác AB.AC  AB.AC cos A  cbcos A 2 c2  b2  a2 c  b  a  cb cos A Suy hay cos A  2bc   uuuur uuur uuur b) * Vì M trung điểm BC nên AM  AB  AC  uuuur uuur uuur Suy AM  AB  AC    �uuur2 uuuruuur uuur � �AB  2ABAC  AC � 4� �   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur Theo câu a) ta có AB.AC  c2  b2  a2 nên     uuuur � b2  c2  a2 2 2 2� AM  � c  c  b  a  b � 4� �   * Theo tính chất đường phân giác uuur BD uuur DC  Suy BD  DC BD AB c   DC AC b b uuur DC (*) c uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác BD  AD  AB DC  AC  AD thay vào (*) ta uuur uuur b uuur uuur uuur uuur uuur AD  AB  AC  AD �  b c AD  bAB  cAC c uuur uuur uuuruuur uuur 2 �  b c AD  bAB  2bcABAC  cAC uuur 2 �  b c AD  b2c2  2bc c2  b2  a2  c2b2 uuur bc � AD  b c  a  b c  a 2  b c       uuur Hay AD  4bc  b c   p p  a Nhận xét : Từ câu b) suy độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A la  bc p p  a b c Bài tập luyện tập: Bài 2.13 Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng: uuur uuur a) AB.AC A 5a2 uuur uuu r b) AC.CB B a2 C 3a2 D  a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A  a2 B  5a2 C  7a2 B  a2 C a2 D  3a2 D  5a2 uuur uuur c) AB.BC A  a2 Bài làm: uuur uuur uuur uuur a2 Bài 2.13 a) AB.AC  AB.AC.cos AB; AC  a2 cos600    uuur uuu r uuur uuu r a2 b) AC.CB  CA.CB  CA.CB.cos600   uuur uuur a2 c) AB.BC   Bài 2.14 Cho tam giác ABC có AB  5, BC  7, AC  uuur uuur a) Tính AB.AC uuur uuur A AB.AC  40 uuur uuur B AB.AC  10 uuur uuur C AB.AC  30 uuur uuur D AB.AC  20 uuur uuur B AC.BC  41 uuur uuur C AC.BC  42 uuur uuur D AC.BC  44 uuur uuur b) Tính AC.BC uuur uuur A AC.BC  45 uuur uuu r c) Gọi D điểm CA cho CD  Tính CD.CB uuur uuu r 31 A CD.CB  uuur uuu r 35 B CD.CB  uuur uuu r 33 C CD.CB  uuur uuu r 37 D CD.CB  Bài làm: uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur Bài 2.14 a) 2AB.AC  AB  AC  AB  AC  uuur uuur Suy AB.AC  20   AB2  AC  BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur Ta có AB.AC  20 � AB.AC.cos A  20 � cos A  � A  600 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AC.BC  AC AC  AB  AC  AB.AC  82  20  44   uuur uuur 11 c) Ta có AC.BC  AC.BC.cosC  44 � cosC  14 uuur uuu r 11 33 Do CD.CB  CD.CB.cosC  3.7  14 r r Bài 2.15 Cho véctơ a,b có độ dài thoả mãn điều kiện r r r r 2a 3b  Tính cos a,b   r r B cos a, b  r r A cos a, b      r r C cos a, b    r r D cos a, b    Bài làm: r r r2 r r r2 r r  9b  � cos a,b  Bài 2.15 2a 3b  � 4a  12ab   r r Bài 2.16 Cho véctơ a,b có độ dài góc tạo hai véc tơ r r r r r r r r 600 Xác định cosin góc hai vectơ u v với u  a 2b, v  a b r r A cos u; v   r r B cos u; v       r r r r 1 C cos u; v   D cos u; v       Bài làm: rr r r r r 1 Bài 2.16 u.v  a 2b a b  1    2    r r2 r2 r r r r r2 r2 r r r  � u  , v  a  b  2ab  1� v  Mặt khác u  a  4b  8ab r r Suy cos u; v     Bài 2.17 Cho hình vuông ABCD cạnh Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM  1, cạnh CD lấy điểm N cho DN  P trung điểm BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � Tính cosMNP � A cos MNP  13 � B cos MNP  10 � C cos MNP  13 � D cos MNP  10 13 10 13 45 10 Bài làm: uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 2.17 Ta có NM  AB  AD , NP  AB  AD 3 uuuur uuur 13 Suy NM NP    18 uuuur uuur 13 � NM  10, NP  � cos MNP  Mặt khác 45 10 Bài 2.18 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  M điểm xác định uuuur uuuu r uuuu r uuur AM  3MB , G trọng tâm tam giác ADM Tính MBGC uuuu r uuur  A MBGC uuuu r uuur  B MBGC uuuu r uuur  C MBGC Bài làm: uuuu r uuur Bài 2.18 Ta có MB  AB uuur uuur uuur uuuu r Vì G trọng tâm tam giác ADM nên 3CG  CA  CD  CM uuur uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur uuur � 3CG   AB  AD  AB  CB  BM   AB  2AD   uuur uuur uuur � GC  AB  AD uuuu r uuur uuur �3 uuur uuur � MBGC  AB.� AB  AD � Suy �4 � uuuu r uuur  D MBGC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với  M' Bài 2.39: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M trường hợp sau: uuuur uuuu r uuuu r uuuu r a) MA  MB 2MB  MC   b)  uuuur  uuuu r uuuu r uuuu r  MA  2MB  MB  2MC   uuuur uuuu r uuuu r uuuu r c) 2MA  MA.MB  MA MC Bài làm: uu r uur r Bài 2.39: a) Gọi I điểm thoả mãn 2IB  IC  ta có: uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur MA  MB 2MB  MC  � BA.MI     Suy tập hợp điểm M đường thẳng qua I vng góc với AB uuur uuur r uuu r uuur r b) Gọi D E điểm thoả mãn: DA  2DB  0; EB  2EC  ta có: uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r MA  2MB MB  2MC  � MD.ME     Tập hợp điểm M đường tròn đường kính DE uuuur uuuur uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuu r uuuu r c) Ta có: 2MA  MA MB  MA MC � MA 2MA  MB  MC  (*) uur uur uur r Gọi J điểm xác định 2JA  JB  JC  ta có: uuuur uuur uuuur uuur (*) � 2MA.MJ  � MA  MJ Tập hợp điểm M đường trịn đường kính AJ   Bài 2.40: Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho: a) 2MA  MB2  MC  MD uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r b) MA  MB  MC MC  MB  3a    Bài làm: uur uu r uur uur r Bài 2.40: a) Gọi điểm I thỏa mãn điều kiện 2.IA  IB  IC  ID  Ta có : 2MA  MB2  MC  MD uuur uur � MI  IA  � MI uuur uu r uuur uur uuur uur  IB   MI  IC    MI  ID    uMI uur uur uu r uur uur  2IA  2MI  2IA  IB  IC  ID   IB  IC  ID 2 � MI  IC  ID  2IA  IB2  k 2 2 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải + k  : Tập hợp điểm M tập rỗng + k  : Tập hợp điểm M điểm I (tức M trùng với I)  + k  : Tập hợp điểm M đường tròn I , k  uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r b) MA  MB  MC MC  MB  3a    Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có : uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r MA  MB  MC MC  MB  3a2 uuuur uuur uuuur uuur � 3MG.BC  3a2 � MG.BC  a2    Gọi M', G' hình chiếu M, G lên đường thẳng BC uuuuuu r uuur Suy M 'G '.BC  BC � M 'G '  BC Do G cố định nên G' cố định suy M' cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vng góc với BC Bài 2.41 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập uuuur uuuu r uuuu r uuuur hợp điểm M cho: MA.MB  MC.MD  IJ Bài làm: uuuur uuuu r uuuu r uuuur Bài 2.41 MA.MB  MC.MD  IJ 2 uuur2 uuur2 � MI  MJ  IA  JC  IJ 2 uuur2 uuur2 Goi K trung điểm IJ suy MI  MJ  2MK  2IK Do MK  IA  JC 2 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm K bán kính R  IA  JC 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.42 : Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur a2 cho : MA.MB  MB.MC  MC.MA  Bài làm: uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur Bài 2.42 Ta chứng minh MA.MB  MB.MC  MC.MA  3MO  a2 với O trọng tâm tam giác Do MO  a a suy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính R  2 Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho : AB.AH  AC.AK  AI H K theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên AB AC Bài làm: Bài 2.43 : Sử dụng cơng thức hình chiếu ta có: uur uuur uuuu r uuur uuur AB.AH  AC.AK  AI � AI  AB.AH  AC.AK uur uuur uuuur uuur uuuur uur uur uuuur � AI  AB.AM  AC.AM � AI  2AI AM Gọi M hình chiếu M lên AI ta có AI  2AI AM � AM  AI ( M nằm tia AI) Suy tập hợp điểm M đoạn trung trực AI nằm góc BAC Bài 2.44 : Cho tam giác ABC k số thực cho trước Tìm tập hợp điểm M cho MA  MB2  k Bài làm: Bài 2.44 : Gọi I trung điểm AB ta có uuur uuur MA  MB2  k � 2MI BA  k � M ' I  k 2BA Với M' hình chiếu M lên AB suy M' điểm cố định http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vng góc với AB Bài 2.45 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho MA   MB2  MC  k với k số cố định cho trước : a)       b)      �0 Bài làm: Bài 2.45 : a) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uuuur uuur uuur uuur MA  MB2  MC  k � 2MO OA  OB  OC  k  uuur uuur uuur r Đặt OA  OB  OC  u    r r uuuur r k u đo MO.u  k � MO  u r Với M', O' hình chiếu M, O lên giá vectơ u suy M' điểm cố định r Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua M' vuông góc với giá vectơ u uur uu r uur r b) Gọi I điểm thỏa mãn  IA  IB   IC  ,      �0 nên I tồn I Khi ta chứng minh MI  � k  IA  IB2  IC � � �     DẠNG 4: Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Phương pháp giải r r  Cho a  (x1; y1), b  (x2 ; y2 ) Khi rr + Tích vơ hướng hai vectơ ab  x1x2  y1y2 + Góc hai vectơ xác định công thức rr r r ab cos(a,b)  r r  ab x1x2  y1y2 x12  y12 x22  y22 r r rr Chú ý: a  b � ab  � x1x2  y1y2   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  Để xác định độ dài vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức r r 2 + Nếu a  (x; y) a  x  y + Nếu A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A  1;2 , B 2;6 , C  9;8 a) tam giác ABC tam giác gì? A.Tam giác vng A B.Tam giác vng B C.Tam giác vuông C D.Tam giác b) Tính cosin góc B tam giác ABC A cos B  B cos B  C cos B  D cos B  c) Xác định hình chiếu A lên cạnh BC �1 32 � A H � ; � �5 � � 32 �  ; � B H � �5 5� �1 � C H � ; � �5 � Bài làm: uuur uuur uuur uuur a) Ta có AB 3;4 , AC  8;6 � AB AC  3.8  4.6  uuur uuur Do AB  AC hay tam giác ABC vuông A uuur uuur b) Ta có BC  11;2 , BA  3; 4 uuur uuur cos B  cos BC , BA  Suy   11.3 2. 4 112  22 32   4 c) Gọi H  x; y hình chiếu A lên BC uuuu r uuur uuur Ta có AH  x  1; y  2 , BH  x  2; y  6 , BC  11;2  �1 � D H � ; � �5 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r uuur AH  BC � AH BC  � 11 x  1  2 y  2  Hay 11x  2y  15  (1) uuur uuur x y  � 2x  11y  70  (2) Mặt khác BH , BC phương nên 11 Từ (1) (2) suy x  32 , y 5 �1 32 � Vậy hình chiếu A lên BC H � ; � �5 � Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I  1;1 , đỉnh A  3;2 đỉnh B nằm trục hồnh Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi A B 0;3 , C  1;0 , D  2;1 B B 0; 3 , C  1;0 , D  2;1 C B 0; 3 , C  1;0 , D  2; 1 D B 0;3 , C  1;0 , D  2; 1 Bài làm: Vì B nằm trục hồnh nên giả sử B 0; y Vì I tâm hình thoi ABCD nên I trung điểm AC BD Suy C   2xI  xA ;2yI  yA    1;0 , D   2xI  xB ;2yI  yB    2;2  y Do AB  AD � AB2  AD � 9  y  2  1 y2 � y  Vậy B 0;3 , C  1;0 , D  2; 1 Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3;4), B(2;1) C(1; 2) Tìm điểm M đường �  450 thẳng BC để góc AMB A M  5; 4 B M  5;4 C M  5; 4 D M  5;4 Bài làm: uuuur uuuu r uuur Giả sử M  x; y suy MA  3 x;4  y , MB  x;1 y , BC  3; 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuur uuur � �  450 suy cos AMB  cos MA ; BC Vì AMB  uuuur uuur MA.BC � cos450  uuuu  r uuur � MA BC �  3 x   4 y 2  3 3 x  3 4 y  3 x   4 y 2 9  x  y  (*) uuuu r uuur Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB, BC phương Suy 2 x 1 y  � x  y  vào (*) ta 3 3  2 y   4 y 2  2y  � y2  6y   � y  y  uuuur uuuu r uuuur uuuu r � + Với y  � x  , ta có MA  0;2 , MB 1; 1 � cos AMB  cos MA ; MB     �  1350 (không thỏa mãn) Khi AMB uuuur uuuu r uuuur uuuu r � + Với y  � x  , MA  2;0 , MB 3; 3 � cos AMB  cos MA ; MB    �  450 Khi AMB Vậy M  5;4 điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trục hồnh có hồnh độ khơng âm điểm C trục tung có tung độ dương cho tam giác ABC vng A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn A B 1;0 , C  0;5 B B 0;0 , C  1;5 C B 1;1 , C  1;5 D B 0;0 , C  0;5 Bài làm: Gọi B b;0 , C  0; c với b�0 , c  uuur uuur Suy AB b 2; 1 , AC  2;c  1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng A nên uuur uuur AB.AC  �  b 2  2  1. c  1  � c  2b Ta có SABC  1 AB.AC  (b 2)2  22  (c  1)2 2  (b 2)2   b2  4b  Vìc0 nên 2b 0 b Xét hàm số y  x2  4x  với �x  Bảng biến thiên x 5 y 5 y  x  Do diện tích tam giác ABC lớn b , suy c  Suy giá trị lớn hàm số y  x2  4x  với �x  Vậy B 0;0 , C  0;5 điểm cần tìm Bài tập luyện tập r r Bài 2.46: Cho hai vectơ a(0;4) ; b(4; 2) r r a) Tính cosin góc hai vectơ a b r r A cos a; b     r r r r r r B cos a; b   C cos a;b   D cos a; b  5     r r r r r r r b) Xác định tọa độ vectơ c biết (a 2b).c  1 (b 2c).a    http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải r � 1�  ; � A c� � 4� r � 1�  ; � B c� � 4� r � 1�  ; � C c� � 4� r � 1�  ; � D c� � 2� Bài làm: rr r r ab 8  Bài 2.46: a) cos a; b  r r  a b 4.2   r r r r r b) Gọi c x; y , ta có a 2b   8;0 ,  b 2c   2x  4;2y  2 r r r r r r 1 Suy (a 2b).c  1� 8x  1� x   , (b 2c).a  6� 4 2y  2  � y   r � 1� c  ; � Do � � 4� Bài 2.47: Cho tam giác ABC có A(5;3), B(2; 1), C(1;5) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC A H  2;2 B H  3;2 C H  3;2 D H  3; 2 C A ' 1;2 D A ' 1; 1 C S  17 D S  16 b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A A A ' 2;2 B A ' 1;1 c) Tính diện tích tam giác ABC A S  18 B S  15 Bài làm: Bài 2.47: a) Gọi H  x; y trực tâm tam giác ABC uuuu r uuur uuur uuur AH  x  5; y  3 , BC  3;6 , BH  x  2; y  1 , AC  6;2 uuuu r uuur � �AH  BC AH � BC  �x  2y  1 �x  � �uuur uuur �� �� � H  3;2 � BH  AC x  y   y  BH AC  � � � � b) Gọi A ' x; y tọa độ chân đường cao vẽ từ A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuur uuur Ta có AA '  BC � AA '.BC  � x  2y  1 (1) uuuu r uuur Và BA ' x  2; y  1 , BC phương nên 2x  y   (2) Từ (1) (2) suy x  y  1� A ' 1;1 c) Ta có AA '  Suy S   5 1   3 1 2  , BC  9 36  AA '.BC  15 Bài 2.48: Cho tam giác ABC với A  3;1 , B 1; 1 , C  6;0 a) Tính góc A tam giác ABC A A  1450 B A  1350 C A  1200 D A  1300 b) Tính tọa độ giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OC    A M 1; , M 1;         B M 1;  , M 1;  C M 1; , M 1;     D M 1;  , M 1; Bài làm: uuur uuur uuur uuur Bài 2.48: a) AB 4; 2 , AC  3; 1 � cos A  cos AB; AC     Suy A  1350 b) Gọi M  x; y giao điểm đường trịn đường kính AB đường trịn đường kính OC uuuur uuuu r uuuu r uuuur Ta có MA  3 x;1 y , MB 1 x; 1 y , MC   x;  y , MO   x;  y uuuur uuuu r 2 � �MA  MB �MA.MB  �x  y  2x   � � x � �uuuu �� � r uuuur � � �y  � �MC  MO �MC.MO  � x  y  6x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải     Vậy có hai giao điểm M 1;  , M 1; Bài 2.49: Cho ba điểm A(6;3), B(3;6), C(1; 2) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A O  1; 3 B O  1;3 C O  1;3 D O  1; 3 Bài làm: Bài 2.49: Ta có O  xO ; yO  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � OA  OB2 OA  OB  OC � � OA  OC � 2 2 �  xO    3 yO    3 xO     yO   � �� 2 2 �  6 xO    3 yO    1 xO    2 yO  � � 12xO  6yO  6xO  12yO �x  �� � �O � O  1;3 12xO  6yO  40  2xO  4yO � �yO  Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O  1;3 uuuur uuur � OM � BC  r uuur Cách khác: Ta thiết lập hệ phương trình từ điều kiện �uuuu M, N ON � CA  trung điểm BC, CA Bài 2.50 Các điểm B 1;3 , C  3;1 hai đỉnh tam giác ABC vng cân A Tìm tọa độ đỉnh A A A1  2; 4 , A2  0;0 B A1  2;4 , A2  1;0 C A1  2;4 , A  0;0 D A1  2; 4 , A2  0;1 Bài làm: uuur uuur Bài 2.50 Gọi A  x; y � AB 1 x;3 y , AC  3 x;1 y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuur uuur �AB.AC  �x  �x  � Tam giác ABC vuông cân A � �uuur uuur � � � AB  AC �y  �y  � � Vậy có hai điểm thỏa mãn A1  2;4 , A  0;0 Bài 2.51: Cho bốn điểm A  8;0 , B 0;4 , C  2;0 , D  3; 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Bài làm: uuur uuur uuu r uuur Bài 2.51: Ta có AB 8;4 , AD  5; 5 ,CB 2;4 , CD  5; 5 uuur uuur uuu r uuur 1 � cos AB, AD  cos CB,CD   0 10 10     �  BCD �  1800 Suy tứ giác nội tiếp Do BAD Bài 2.52: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A  2; 1 , B 2; 4 �  450 Tìm trục Oy điểm M cho MBA � 3� 0;  � ; M   0;10 A M  � � 7� � 3� 0;  � ; M   0;1 B M  � � 7� � 30 � 0;  � ; M   0;10 C M  � � 7� � 3� 0; � ; M   0; 1 D M  � � 7� Bài làm: Bài 2.52: a) M �Oy � M  0; y Do ta có: uuuu r uuuu r BM  (2; y  4) � BM  y2  8y  20 uuur uuur BA  (4;3) � BA  uuuu r uuur Do ta có: BM BA  3y  20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải uuuu r uuur �  450 � cos(BM , BA )  Ta có: MBA � 30 y  2�� � 3y  20  y  8y  20 � y  10 � � 30 � 0;  � ; M   0;10 Vậy có điểm thoả mãn yêu cầu toán M  � � 7� Bài 2.53: Cho hai điểm A  4; 3 , B 3;1 Tìm M trục hoành cho �  1350 AMB �11 � A M 1(4;0); M � ;0� �2 � � 33 � ;0� B M 1(4;0); M � � � � � �11 33 � ;0� C M 1(4;0); M � � � � � � 33 � ;0� D M 1(5;0); M � �2 � � � Bài làm: uuuur uuuu r Bài 2.53: Gọi M  a;0 ; MA  (4 a; 3); MB  (3 a;1) uuuur uuuu r MA MB a2  7a � cos AMB    MA.MB (a 4)2  (a 3)2  � a2  7a  (*) �� 2(a  7a 9)2  (a2  8a 25)(a2  6a 10) (**) � Ta có:  ** � a  14a  51a  22a 88  � (a 4)(a 1)(a2  11a 22)  � a  , a 1 a  11� 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Thử nghiệm với đk (*) ta nhận a  4; a  11 33 �11 33 � ;0� Từ ta có điểm M thoả mãn M 1(4;0); M � � � � � Bài 2.54: Biết A  1; 1 , B 3;0 hai đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ đỉnh C D A C  4; 2 , D  1; 3 C  2; 2 , D  0; 1 B C  4; 2 , D  2; 3 C  2;2 , D  0; 1 C C  4; 2 , D  2; 3 C  2; 2 , D  0; 1 D C  4; 2 , D  2; 3 C  2;2 , D  0;1 Bài làm: Bài 2.54: Giả sử C  x; y Ta có : uuur uuur � �x  �x  �AB  BC �� Tứ giác ABCD hình vng � � � �y  2 �y  �AB  BC Từ suy C  4; 2 , D  2; 3 C  2;2 , D  0;1 Bài 2.55 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A  1;4 , B 2; 2 C  4;2 Xác định tọa độ điểm M cho tổng MA  2MB2  3MC nhỏ �3 �  ;1� A M � �2 � �3 � B M � ; 1� �2 � �3 � C M � ;1� �2 � Bài làm: Bài 2.55 MA  2MB2  3MC �3 � D M � ; 1� �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2 2 2 �   x  1   y  4  2�  x  2   y  2 �  x  4   y  2 � � � 3� � 2 147 147  6x2  18x  6y2  93   2x  3  6 y  1  � 2 �3 � Suy M � ;1� �2 � ...   DẠNG 4: Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Phương pháp giải r r  Cho a  (x1; y1), b  (x2 ; y2 ) Khi rr + Tích vơ hướng hai vectơ ab  x1x2  y1y2 + Góc hai vectơ xác định công thức rr r... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải + k  : Tập hợp điểm M tập rỗng + k  : Tập hợp điểm M điểm I (tức M trùng với I)  + k  : Tập hợp điểm M đường tròn I , k  uuuur... k  a2 : Tập hợp điểm M tập rỗng  0 Nếu k  a2 MI Nếu k  a2 MI  M I suy tập hợp điểm M điểm I k  a2 suy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính R  k  a2 Bài tập luyện tập Bài 2.38: