TỔ hợp xác SUẤT BIẾN cố xác SUẤT của BIẾN cố (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phép thử biến cố a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà : �Kết khơng đốn trước được; �Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Phép thử thường kí hiệu chữ T Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử kí hiệu chữ  (đọc ô-mê-ga) b Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A Tập hơp kết thuận lợi cho A kí hiệu  A n( A ) Với phép thử T có biến cố ln xảy ra, gọi biến cố chắn Với phép thử T có biến cố khơng xảy ra, gọi biến cố khơng thể Kí hiệu � Tính chất Giải sử  khơng gian mẫu, A B biến cố �  \ A  A gọi biến cố đối biến cố A � A �B biến cố xảy A B xảy � A �B biến cố xảy A B xảy A  B viết AB �Nếu AB  �, ta nói A B xung khắc Xác suất biến cố a Định nghĩa cổ điển xác suất: Cho T phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  tập hữu hạn Giả sử A biến cố mô ta  A � Xác suất biến cố A, kí hiệu P(A), cho cơng thức  Số kết thuận lợi cho A P( A )  A  Số kết xaûy  Chú ý: �Xác suất biến cố A phụ thuộc vào số kết thuận lợi cho n(A ) A, nên ta đồng  A với A nên ta có : P( A )  n() � P()  1, P(�)  0, �P( A ) �1 b Định nghĩa thống kê xác suất http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Xét phép thử ngẫu nhiên T biến cố A liên quan tới phép thử Nếu tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử T thống kê số lần xuất A Khi xác suất biến cố A định nghĩa sau: Số lần xuất biến coá A P( A )  N B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề Xác định khơng gian mẫu biến cố Phương pháp Phương pháp: Để xác định không gian mẫu biến cố ta thường sử dụng cách sau Cách 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm Cách 2:Sử dụng quy tắc đếm để xác định số phần tử không gian mẫu biến cố Các ví dụ Ví dụ Trong hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh, 10 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử của: Khơng gian mẫu A.10626 B.14241 C.14284 D.31311 Các biến cố: A: “ viên bi lấy có hai viên bi màu trắng” A n( A )  4245 B n( A )  4295 C n( A )  4095 D n( A )  3095 B: “ viên bi lấy có viên bi màu đỏ” A n(B)  7366 B n(B)  7563 C n(B)  7566 D n(B)  7568 C: “ viên bi lấy có đủ màu” A n(C )  4859 B n(C)  58552 D n(C)  8859 C n(C)  5859 Lời giải: Ta có: n()  C  10626 24 2 C14  4095 Số cách chọn viên bi có hai viên bị màu trắng là: C10 Suy ra: n( A )  4095 Số cách lấy viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ chọn là: C18 4  C18  7566 Suy : n(B)  C24 Số cách lấy viên bi có màu là: C64  C84  C10 Số cách lấy viên bi có hai màu là: 4 4 C14  C18  C14  2(C64  C84  C10 ) Số cách lấy viên bị có đủ ba màu là: 4 4 C24  (C14  C18  C14 )  (C64  C84  C10 )  5859 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy n(C)  5859 Ví dụ Một xạ thủ bắn liên tục phát đạn vào bia Gọi A k biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ k ” với k  1,2,3,4 Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A1 , A , A , A A: “Lần thứ tư bắn trúng bia’’ A A  A1 �A �A3 �A4 B A  A1 �A2 �A3 �A4 C A  A1 �A �A3 �A4 B: “Bắn trúng bia lần’’ A B  A1 �A2 �A3 �A4 C B  A1 �A2 �A3 �A4 D A  A1 �A2 �A3 �A4 B B  A1 �A2 �A �A D B  A1 �A2 �A �A c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’ A C  Ai �A j �A k �Am , i , j , k, m� 1,2,3,4 đôi khác B C  Ai �A j �A k �Am , i , j , k, m� 1,2,3,4 đôi khác C C  Ai �A j �A k �Am , i , j , k, m� 1,2,3,4 đôi khác D C  Ai �A j �A k �Am , i , j , k, m� 1,2,3,4 đôi khác Lời giải: Ta có: A k biến cố lần thứ k ( k  1,2,3,4 ) bắn không trúng bia Do đó: A  A1 �A2 �A3 �A4 B  A1 �A �A3 �A C  Ai �A j �A k �Am với i , j , k, m� 1,2,3,4 đôi khác CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Xét phép thử tung súc sắc mặt hai lần Tính số phần tử của: Xác định không gian mẫu A.36 B.40 C.38 D.35 Các biến cố: A:“ số chấm xuất hai lần tung giống nhau” A n( A )  12 B n( A )  C n( A )  16 D n( A )  B:“ Tổng số chấm xuất hai lần tung chia hết cho 3” A n(B)  14 B n(B)  13 C n(B)  15 D n(B)  11 C: “ Số chấm xuất lần lớn số chấm xuất lần hai” A n(C)  16 B n(C)  17 C n(C)  18 D n(C)  15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Không gian mẫu gồm (i ; j ) , i , j � 1,2,3,4,5,6 i nhận giá trị, j nhận giá trị nên có 6.6  36 (i ; j ) Vậy    (i , j )| i , j  1,2,3,4,5,6 n()  36 Ta có: A   (1,1);(2,2);(3,3),(4;4),(5;5),(6;6) , n( A )  Xét cặp (i , j ) với i , j � 1,2,3,4,5,6 mà i  j M3 Ta có cặp có tổng chia hết cho (1,2);(1,5);(2,4),(3,3),(3,6),(4,5) Hơn cặp (trừ cặp (3,3)) hoán vị ta cặp thỏa yêu cầu toán Vậy n(B)  11 Số cặp (i , j ); i  j (2,1);(3,1);(3,2);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1) (5,2);(5,3);(5,4),(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5) Vậy n(C)  15 Bài 2: Gieo đồng tiền lần Xác định tính số phần tử Không gian mẫu A n()  B n()  16 C n()  32 D n()  64 Các biến cố: A: “ Lần xuất mặt ngửa” A n( A )  16 B n( A )  18 C n( A )  20 D n( A )  22 B: “ Mặt sấp xuất lần” A n(B)  31 B n(B)  32 C n(B)  33 D n(B)  34 C: “ Số lần mặt sấp xuất nhiều mặt ngửa” A n(C)  19 B n(C)  18 C n(C)  17 D n(C)  20 Lời giải: Kết lần gieo dãy abcde với a, b, c, d, e nhận hai giá trị N S Do số phần tử không gian mẫu: n()  2.2.2.2.2  32 Lần xuất mặt sấp nên a nhận giá trị S; b, c,d, e nhận S N nên n( A )  1.2.2.2.2  16 Kết lần gieo mà lần xuất mặt sấp Vậy n(B)  32   31 Kết lần gieo mà mặt N xuất lần: C51 Kết lần gieo mà mặt N xuất hai lần: C52 Số kết lần gieo mà số lần mặt S xuất nhiều số lần mặt N là: n(C)  32  C52  C51  17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 3: Có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên thẻ Tính số phần tử của: Không gian mẫu 5 1 A n()  C100 B n()  A100 C n()  C100 D n()  A100 Các biến cố: A: “ Số ghi thẻ chọn số chẵn” 5 A n( A )  A50 B n( A )  A100 C n( A )  C50 D n( A )  C100 B: “ Có số ghi thẻ chọn chia hết cho 3” 5 5 5 5  C67  C50  C50  C67 A n(B)  C100 B n(B)  C100 C n(B)  C100 D n(B)  C100 Lời giải: Ta có n()  C100 Trong 100 thẻ có 50 ghi số chẵn, n( A )  C50 Từ đến 100 có 33 số chia hết cho Do đó, số cách chọn thẻ mà khơng có thẻ ghi số chia hết cho là: C67 5  C67 Vậy n(B)  C100 Vấn đề Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Phương pháp: �Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức: P( A )  Số lần xuất biến cố A N �Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức : n(A ) P( A )  n() Các ví dụ Ví dụ Bộ tú - lơ khơ có 52 quân Rút ngẫu nhiên quân Tìm xác suất biến cố: A: “Rút tứ quý K ‘’ 1 1 A P( A )  B P(A )  C P(A )  D P( A )  2707 20725 70725 27025 B: “4 qn rút có Át” 15229 129 159 1229 A P(B)  B P(B)  C P(B)  D P(B)  54145 54145 54145 4145 C: “4 qn lấy có hai quân bích’’ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A P(C)  539 20825 B P(C)  535 2085 C P(C)  539 20825 D P(C)  5359 20825 Lời giải:  270725 Ta có số cách chọn ngẫu nhiên quân là: C52 Suy n()  270725 Vì có tứ quý K nên ta có n( A )  1 Vậy P( A )  270725 Vì có C48 cách rút qn mà khơng có Át nào, 15229 54145 Vì có 13 qn bích, số cách rút bốn quân mà số 2 C39  C13 C39  C13 C39  69667 qn bích khơng là: C13 4  C48 � P(B)  suy N (b)  C52 5359 20825 Ví dụ Trong hộp có 20 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh viên bi màu vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để: viên bi lấy màu đỏ 14 14 A P(A )  B P( A )  C P( A )  D P(A )  285 285 25 285 Suy n(C)  69667 � P(C)  viên bi lấy có không hai màu 43 A P(B)  B P(B)  C P(B)  57 57 D P(B)  Lời giải: Gọi biến cố A :“ viên bi lấy màu đỏ” B : “3 viên bi lấy có khơng q hai màu” 3 Số lấy viên bi từ 20 viên bi là: C20 nên ta có:   C20  1140 Số cách lấy viên bi màu đỏ là: C83  56 nên  A  56 Do đó: P(A )  A   56 14  1140 285 Ta có: �Số cách lấy viên bi có màu: C83  C73  C53  101 �Số lấy viên bi có hai màu 3 Đỏ xanh: C15  C8  C7   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 57  3 Đỏ vàng: C13  C8  C5   3 Vàng xanh: C12  C5  C7  Nên số cách lấy viên bi có hai màu: 3 C15  C13  C12  C83  C73  C53  759  Do đó:  B  860 Vậy P(B)  B    43 57 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên số 80 số tự nhiên 1,2,3, ,80 Tính xác suất biến cố A : “trong số có có số bội số 5” 96 96 96 A n( A )  B n( A )  C n( A )  D n( A )  127 1027 107 1027 Tính xác suất biến cố B : “trong số có số phương” 53 56 563 53 A n(B)  B n(B)  C n(B)  D n(B)  254 205 2054 204 Lời giải:  82160 Số cách chọn số từ 80 số là: n()  C80 � 80� Từ đến 80 có � � 16 số chia hết cho có 80  16  64 số không chia �5 � hết cho C64 C16 96  Do đó: n( A )  C64.C16 � P(A )  1027 C80 Từ đến 80 có số phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64 Số cách chọn số khơng có số phương chọn là: C72 3 C80  C72 563  Suy n(B)  C  C � P(B)  2054 C80 80 72 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Gieo súc sắc 100 lần, kết thu ghi bảng sau Số chấm Số lần xuất 14 18 30 12 14 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hãy tìm xác suất biến cố A: “mặt sáu chấm xuất hiện” 11 A P( A )  B P( A )  25 100 B: “ mặt hai chấm xuất hiện” 12 11 A P(B)  B P(B)  50 50 C P(A )  13 100 D P(A )  17 100 C P(B)  50 D P(B)  50 D P(C)  50 C: “ mặt lẻ xuất hiện” 29 A P(C)  B P(C)  C P(C)  50 50 50 Lời giải: Xem việc tung súc sắc phép thử ngẫu nhiên Số lần thực phép thử: N  100 Số lần xuất biến cố A: 12 12  Suy : P(A )  100 25 Số lần xuất biến cố B: 18 18  Suy P(B)  100 50 Số lần xuất biến cố C: 14  30  14  58 58 29  Suy P(C)  100 50 Bài Tung đồng tiền hai lần Tìm xác suất để hai lần tung Đều mặt S 1 A P( A )  B P( A )  C P( A )  D P( A )  4 Một S N A P(B)  B P(B)  C P(B)  D P(B)  Lời giải: Ta có khơng gian mẫu    SS,SN , NN , NS � n()  Gọi biến cố: A: “ hai lần tung mặt sấp” B: “ hai lần tung có S N” Suy A   SS � n(A )  1; B   SN , NS � n(B)  n(A )  n() n(B)   Ta có: P(B)  n() Ta có: P( A )  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất biến cố : A: “Lấy viên đỏ “ 1 1 A P( A )  B P( A )  C P( A )  D P(A )  50 60 56 560 B: “ Lấy ba viên bi khơng có bi đỏ” 143 13 14 A P(B)  B P(B)  C P(B)  280 280 280 C: “ Lấy bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ” 13 11 A P(C)  B P(C)  C P(C)  40 40 40 Lấy ngẫu nhiên viên bi Tình xác suất biến cố X: “Lấy viên bi trắng” 22 21 23 A P(X )  B P(X )  C P(X )  65 65 65 Y: “ Lấy viên bi trắng” 27 21 A P(Y )  B P(Y )  65 65 C P(Y )  22 65 D P(B)  13 20 D P(C)  40 D P(X )  65 D P(Y )  65 Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất biến cố D: “lấy viên bi trắng , bi đen, bi đỏ” 15 25 45 A P(D)  B P(D )  C P(D)  D P(D)  286 286 286 286 Lời giải:  560 Ta có: n()  C16 560 143 n(B)  C13  286 � P(B)  280 n(A )  C33  1� P( A )  n(C )  C71C61C31  126 � P(C)  40  1820 Ta có : n()  C16 21 65 27 n(Y )  C72.C92  756 � P(Y )  65 n(X )  C71.C93  588 � P(X )  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10  8008 Ta có: n()  C16 n(D )  C75.C63.C32  1260 � P(D)  45 286 Bài Tung đồng tiền ba lần Mô tả không gian mẫu A    SSS,SSN ,SNS,SNN , NSN , NNS, NNN  B    SSS,SSN ,SNN , NSN , NSS, NNS, NNN  C    SSS,SSN ,SNS,SNN , NSS, NNS, NNN  D    SSS,SSN ,SNS,SNN , NSN , NSS, NNS, NNN  Xác định biến cố sau tính xác suất biến cố A: “ Có lần xuất mặt S” A B C D 8 8 B: “ Mặt N xuất hai lần” A B 8 C C: “ Lần thứ hai xuất mặt S” A B C 8 Lời giải: Ta có:    SSS,SSN ,SNS,SNN , NSN , NSS, NNS, NNN  D D Ta có: A   SSS,SSN ,SNS,SNN , NSN , NSS, NNS B   NNS, NSN ,SNN , NNN  C   SSS,SSN , NSS, NSN  Bài Trong hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ 10 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính số phần tử khơng gian mẫu A n()  177100 B n()  177121 C n()  1771001 D n()  17700 Tính xác suất biến cố sau A: “ viên bi lấy màu” 17 A P( A )  B P( A )  5060 5060 C P( A )  73 5060 D P( A )  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 27 5060 P  B1   C52 C42 C62 , P B  , P B      C72 C72 C72 1�C52  C42  C62 � 31 Vậy có P  B  � � � 63 3� C72 � � Bài 4: Cả hai xạ thủ bắn vào bia Xác suất người thứ bắn trúng bia 0,8; người thứ hai bắn trúng bia 0,7 Hãy tính xác suất để : Cả hai người bắn trúng ; A P( A )  0,56 B P( A )  0,6 C P( A )  0,5 D P( A )  0,326 Cả hai người không bắn trúng; A P(B)  0,04 B P(B)  0,06 C P(B)  0,08 Có người bắn trúng A P(C)  0,95 B P(C)  0,97 C P(C)  0,94 Lời giải: Gọi A1 biến cố “ Người thứ bắn trúng bia” D P(B)  0,05 D P(C)  0,96 A2 biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia” Gọi A biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy A  A1 �A2 Vì A1 , A độc lập nên P( A )  P( A1)P(A )  0,8.0,7  0,56 Gọi B biến cố "Cả hai người bắn không trúng bia" Ta thấy B  A1 A Hai biến cố A1 A2 hai biến cố độc lập nên     P(B)  P A1 P A  � 1 P( A1)� 1 P( A2 )� � �� � � 0,06 Gọi C biến cố "Có người bắn trúng bia", biến cố đối B biến cố C Do P(C )  1 P(D)  1 0,06  0,94 Bài Một máy có hai động I II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động I động II chạy tốt 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để Cả hai động chạy tốt ; A P(C)  0,56 B P(C)  0,55 C P(C)  0,58 D P(C)  0,50 Cả hai động không chạy tốt; A P(D )  0,23 B P(D )  0,56 C P(D )  0,06 D P(D )  0,04 Có động chạy tốt A P(K )  0,91 B P(K )  0,34 C P(K )  0,12 Lời giải: D P(K )  0,94 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi A biến cố "Động I chạy tốt", B biến cố "Động II chạy tốt" C biến cố "Cả hai động chạy tốt".Ta thấy A, B hai biến cố độc lập với C  AB Ta có P(C)  P( AB)  P(A )P(B)  0,56 Gọi D biến cố "Cả hai động chạy không tốt".Ta thấy D  AB Hai biến cố A B độc lập với nên P(D)   1 P(A )  1 P(B)  0,06 Gọi K biến cố "Có động chạy tốt",khi biến cố đối K biến cố D Do P(K )  1 P(D)  0,94 Bài Có hai xạ thủ I xạ tám xạ thủ II Xác suất bắn trúng I 0,9 ; xác suất II 0,8 lấy ngẫu nhiên hai xạ thủ, bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn bắn trúng đích A P  A   0,4124 B P  A   0,842 C P  A   0,813 D P  A   0,82 Lời giải: Gọi Bi biến cố “Xạ thủ chọn lọa i ,i=1,2 A biến cố viên đạn trúng đích Ta có : P  Bi   , P  B2   & P  A / B1   0,9P  A / B2   0,8 10 10 8 Nên P  A   P  B1  P  A / B1   P  B2  P  A / B2     0,82 10 10 10 10 Bài Bốn pháo cao xạ A,B,C,D bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng pháo tương ứng P  A   P  B  , P  C   , P  D   Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng 14 A P  D   B P  D   105 15 104 C P  D   D P  D   105 105 Lời giải: 1 Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng: P  H    105 104  Vậy xác suất trúng đích P  D   1 105 105 Bài Một hộp đựng 10 viên bi có viên bi đỏ ,3 viên bi xanh, viên bi vàng,1 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố viên lấy màu đỏ C2 C2 C2 C2 A n( A )  24 B n( A )  25 C n( A )  42 D n( A )  27 C10 C10 C8 C10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 viên bi đỏ ,1 vàng A n(B)  B n(B)  55 C n(B)  15 D n(B)  45 viên bi màu A P  C   B P  C   C P  C   D P  C   9 9 Lời giải:   C10 ; A biến cố câu a, B biến cố câu b, C biến cố câu c n( A )  C4 � P  A   C42 C10 C41.C21  45 C10 Đ biến cố viên đỏ ,X biến cố viên xanh ,V biến cố viên vàng Đ , X, V biến cố đôi xung khắc C 10 P  C  P  D  P  X   P  V       45 15 45 1 n(B)  C4.C2 � P  B  Bài Gieo ngẫu nhiên xúc xắc lần Tính xác suất để số lớn hay xuất lần lần gieo 23 13 13 13 A B C D 729 79 29 729 Lời giải: Gọi A biến cố số lớn hay bẳng chấm lần gieo A xảy ,con xúc xắc xuất mặt ,chấm chấm ta có P  A    6 �1 � Trong lần gieo xác suất để biến cố A xảy lần P  A.A.A.A.A.A   � � �3 � Xác suất để lần xuất A lần không xuất A theo �1 � thứ tự � � �3 � �1 � 12 Vì có cách để biến cố xuất : 6.� �  �3 � 729 12 �1 � 13 Vậy xác xuất để A xuất lần  � 729 � �3 � 729 Bài 10 Một người bắn liên tiếp vào mục tiêu viên đạn trúng mục tiêu thơi (các phát súng độc lập ) Biết xác suất trúng mục tiêu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word lần bắn 0,6 Tính xác suất để bắn đến viên thứ ngừng bắn A P  H   0,03842 B P  H   0,384 C P  H   0,03384 D P  H   0,0384 Lời giải: Gọi Ai biến cố trúng đích lần thứ H biến cố bắn lần thứ ngừng H  A1 �A2 �A3 �A4 P  H   0,4.0,4.0,4.0,6  0,0384 Bài 11 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số lập từ chữ số từ đến Tính xác suất biến cố X: “lấy vé khơng có chữ số chữ số 2” A P(X )  0,8534 B P(X )  0,84 C P(X )  0,814 D P(X )  0,8533 Lời giải: Ta có   10 Gọi A: “lấy vé khơng có chữ số 1” B: “lấy vé số khơng có chữ số 2” Suy  A   B  95 � P  A   P  B   0,9 5 Số vé số khơng có chữ số là: 85 , suy  A �B  Nên ta có: P( A �B)  (0,8)5 Do X  A �B Vậy P(X )  P  A �B  P  A   P  B  P  A �B  0,8533 Bài 12 Một máy có động gồm động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0,09, động bên cánh trái có xác suất bị hỏng 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn có hai động làm việc Tìm xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn A P( A )  0,9999074656 B P( A )  0,981444 C P( A )  0,99074656 D P( A )  0,91414148 Lời giải: Gọi A biến cố: “Máy bay bay an tồn” Khi A biến cố: “Máy bay bay khơng an tồn” Ta có máy bay bay khơng an tồn xảy trường hợp sau TH 1: Cả động bị hỏng Ta có xác suất để xảy trường hợp là:  0,09  0,04 TH 2: Có động cánh phải hoạt động động lại bị hỏng Xác suất để xảy trường hợp là: 3. 0,09 0,91.(0,04)2 TH 3: Có động bên cánh trái hoạt động, động lại bị hỏng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Xác suất xảy trường hợp là: 2.0,04.0,96.(0,09)3   P A   0,09  0,04  3. 0,09 0,91.(0,04)2  2.0,04.0,96.(0,09)3 2  0,925344.104   Vậy P( A )  1 P A  0,9999074656 Bài 13 Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng x , y 0,6 (với x  y ) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi ban 0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn A P(C)  0,452 B P(C)  0,435 C P(C)  0,4525 D P(C)  0,4245 Lời giải: Gọi Ai biến cố “người thứ i ghi bàn” với i  1,2,3 Ta có Ai độc lập với P  A1   x, P  A2   y, P  A3   0,6 Gọi A biến cố: “ Có ba cầu thủ ghi bàn” B: “ Cả ba cầu thủ ghi bàn” C: “Có hai cầu thủ ghi bàn”         Ta có: A  A1.A2.A � P A  P A1 P A2 P A  0,4(1 x)(1 y)   Nên P( A )  1 P A  1 0,4(1 x)(1 y)  0,976 47 � xy  x  y   (1) 50 50 Tương tự: B  A1.A2.A3 , suy ra: Suy (1 x)(1 y)  P  B  P  A1  P  A  P  A   0,6xy  0,336 xy  14 (2) 25 � 14 xy  � � 25 Từ (1) (2) ta có hệ: � , giải hệ kết hợp với x  y ta tìm �x  y  � x  0,8 y  0,7 Ta có: C  A1A2A3  A1 A2 A3  A1A2 A Nên P(C)  (1 x)y.0,6 x(1 y).0,6  xy.0,4  0,452 Bài 14 Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm A P(A )  0,7124 B P( A )  0,7759 C P( A )  0,7336 D P( A )  0,783 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word xác suất trả lời câu sai Ta có xác suất để học sinh trả lời câu Gọi x số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai 10  x Số điểm học sinh đạt : 4x  2(10  x)  6x  20 21 Nên học sinh nhận điểm 6x  20  � x  x x Mà nguyên nên nhận giá trị: 0,1,2,3 Gọi Ai ( i  0,1,2,3) biến cố: “Học sinh trả lời i câu” A biến cố: “ Học sinh nhận điểm 1” Suy ra: A  A0 �A1 �A2 �A3 P( A )  P( A0 )  P(A1)  P( A2)  P( A3) 10 i i i 10 i �1 ��3 � ��3 � i � Mà: P( Ai )  C � �� � nên P(A )  �C10 � �� �  0,7759 i 0 �4 ��4 � �4 ��4 � i 10 Vấn đề Biến cố ngẫu nhiên Phương pháp Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên quy tắc cho ứng kết phép thử với số thực: Giả sử X biến ngẫu nhiên a giá trị biến cố “X nhận X  a� giá trị a” kí hiệu � � �hay  X  a Giải sử X có tập giá trị {x1, x2,…,xn} Đặt: p1  P  X  x1  ,� , pn  P  X  xn  Ta có bảng sau gọi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X X x1 x2 … … xn P p1 p2 … … pn Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Giả sử X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1) Kì vọng X, kí hiệu E (X), số cho công thức: n E  X   x1p1  �  xn pn  �xi pi (2) i 1 Phương sai biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V (X ) , số cho công thức: n n V (X )  � xi  E(X ) pi  �xi2pi   E(X ) i 1 2 i 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: (X ) , số cho công thức: (X )  V (X ) Kì vọng X số đặc trưng cho giá trị trung bình X Phương sai độ lệch chuẩn số đặc trung cho độ phân tán X so với kì vọng X Bài toán 01: Lập bảng phân bố xác suất Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất biến ngãu nhiên X ta làm sau �Tìm tập giá trị X Để tìm tập giá trị X ta tiến hành theo hai cách sau Cách 1: Dựa vào cách mô tả X ta liệt kê giá trị cảu X nhận, khơng cần mơ tả khơng gian mẫu Cách 2: Liệt kê kết không gian mẫu  ; với kết a, tính giá trị X (a) biến cố X a Từ ta có tập giá trị X () (X  xi ) � Giả sử X ()   x1 , x2 , , xn , tính pi  P(X  xi )   �Lập bảng phân bố xác suất Ví dụ Ta có hai hộp bi: hộp có bi trắng bi đỏ; hộp có bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi bỏ vào hộp Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bỏ vào hộp Gọi X số bi trắng hộp sau hai lần chuyển bi Lập bảng phân phối xác suất X Lời giải: �Lấy viên từ hộp Có thể có trường hợp sau: TH 1: đỏ, trắng, suy hộp có trắng, hộp có đỏ, trắng TH 2: trắng, suy hộp có trắng, 1đỏ, hộp có trắng, đỏ �Lấy viên từ hộp Với TH1 ta có khả Khả 1: đỏ, trắng suy hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ Khả 2: đỏ, suy hộp có đỏ, trắng; hộp có đỏ, trắng Khả 3: trắng, suy hộp có đỏ, trắng; hộp có trắng Với TH2 ta có khả sau Khả 1: đỏ, trắng, suy hộp có đỏ, trắng, hộp có trắng, đỏ Khả 2: đỏ, suy hộp có trắng; hộp có đỏ, trắng Khả 3: trắng suy hộp có đỏ, trắng; hộp có trắng, đỏ Vậy sau chuyển qua, chuyển hộp có X = 1, 2, 3, hộp có Y = 1, 2, 3, Ta có: P(X=1)= P(lần đầu chọn trắng lần sau chọn đỏ) C32 C22 Suy : P(X  1)   C4 C6 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tương tự: P  X  2  C11C31 C32 C32 C41C21 11   30 C42 C62 C42 C62 C11C31 C31C31 C32 C42 P  X  3    C4 C6 C4 C6 P(X  4)  C11C31 C32  C42 C62 10 Bảng phân bố xác suất 11 1 P 30 30 10 Bài tốn 02: Tính kỳ vọng phương sai Phương pháp: Để tính kỳ vọng phương sai biến cố ngẫu nhiên X ta làm sau: �Tìm tập giá trị X ()   x1 , x2 , , xn �Lập bảng phân bố xác suất X X x1 x2 … … xn P p1 p2 … … pn n �Tính kì vọng theo công thức: E(X )  �xi pi i 1 �Tính phương sai theo cơng thức: n n V (X )  � xi  E(X ) pi  �xi2pi   E(X ) i 1 i 1 Các ví dụ Ví dụ Ta có hai hộp bi: hộp có bi trắng bi đỏ; hộp có bi trắng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi bỏ vào hộp Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bỏ vào hộp Gọi X số bi trắng hộp sau hai lần chuyển bi Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X Lời giải: Ta có bảng phân bố xác suất 11 1 P 30 10 11 1 Kì vọng X là: E(X )      30 30 10 Phương sai X là: X 1 30 2 � � � � 11 � � � � 22 V (X )  � 1 �  �  �  � 3 �  �  �  � � 30 � � 30 � � � � 10 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Độ lệch chuẩn X: (X )  V (X ) �0,699 Ví dụ Số vị vi phạm an tồn giao thơng đoạn đường vào cao điểm làm biến ngẫu nhiên rời rạc cho biết X � 0,1,2,3,4,5 : P(X  0)  0,2 , P(X  1)  0,15 , P(X  2)  0,15 , P(X  3)  0,4 , P(X  4)  0,05 , P(X  6)  0,05 Lập bảng phân bố xác suất tính xác suất để đoạn đường vào cao điểm có khơng q vụ tai nạn giao thơng; Tính kì vọng phương sai X Lời giải: Ta có bảng phân bố sau X 0,4 0,15 0,15 0,2 0,05 0,05 P P(X �3)  0,4  0,15 0,15 0,2  0,9 Ta có: E(X )  �xi pi  0.0,4  1.0,15 2.0,15 3.0,2 4.0,05 5.0,05 i 1 Suy E(X )  1,95 n Phương sai: V (X )  �xi pi   E(X )  2,5975 i 1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Xét phép thử gieo đồng tiền lần Xác định không gian mẫu Gọi X số lần xuất mặt gấp S, liệt kê giá trị mà X nhận Tính xác suất để X nhận giá trị Lập bảng phân phối xác suất X Lời giải: Trong phép thử gieo đồng tiền lần, không gian mẫu gồm 23 = phần tử    SSS, SSN , SNS, NSS, SNN , NSN , NNS, NNN  X nhận giá trị 0, 1, 2, Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1”: xảy kết SNN , NSN , NNS , nghĩa là:  X  1   SNN , NSN , NNS Vì  X  0   NNN  nên P  X  0  8  X  2   SSN , SNS, NSS nên P  X  2   X  3   SSS nên P  X  3  Từ ta có bảng phân phối sau: Tương tự  X  1   NNS, SNN , NSN  nên P  X  1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word X P 8 8 Bài Từ hộp có bi xanh bi đỏ, chọn ngẫu nhiên bi Gọi X số bi xanh bi chọn Lập bảng phân phối xác suất X Tính xác suất cho bi chọn có bi xanh Tính xác suất cho bi chọn có nhiều bi đỏ, Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Lời giải: X có tập giá trị 0,1,2,3 C kC 4 k Ta có: P  X  k  46 , k  0,1,2,3 C9 Từ ta có bảng phân phối sau: X 15 60 45 P 126 126 126 126 Kí hiệu  X �a biến cố “X nhận giá trị lớn a” Ta tính P  X �1 Vì  X �1 biến cố đối biến cố  X  0 nên: P  X �1  1 P  X  0  1 Vì số bi đỏ lấy là 4 X X nên 111  126 126 P  X �2  P  X  2  P  X  3  51 126 15 60 45     126 126 126 126 15 60 45 V (X )  02  12  22  32  (E(X ))2  126 126 126 126 (X )  V (X )  Ta có: E(X )  Bài Trong hộp kín có cầu trắng cầu đen có kích thước Lấy ngẫu nhiên cầu khỏi hộp Gọi X số cầu đen cầu lấy Lập bảng phân bố xác xuất X Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bảng phân bố xác suất X P 42 10 21 15 42 21 37 42 Phương sai X là: V (X ) �0,75 Kì vọng X: E(X )  Độ lệch chuẩn X: (X )  V (X ) �0,87 Bài Gieo đồng thời hai súc sắc đồng chất Gọi X tổng số chấm xuất hai súc sắc Lập bảng phân bố xác suất X Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Lời giải: Bảng phân bố xác suất X 10 11 12 X P 1 1 5 1 1 36 18 12 36 6 12 18 36 211 Kì vọng X: E(X )  18 V ( X ) � 37,75; độ lêch chuẩn: (X ) �6,14 Phương sai X: Bài Một túi chứa cầu trắng cầu đen Hai người chơi A B rút cầu túi (rút xong khơng trả lại vào túi).Trò chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua phải trả cho người số tiền X (X số cầu rút nhân với 5USD) Giả sử A người rút trước X số tiền A thu Lập bảng phân bố xác suất X Tính E(X) Nếu chơi 150 ván trung bình A Lời giải: Gọi D bi đen, T bi trắng ta có trường hợp sau D, TD, TTD, TTTD, TTTTD Khi X nhận giá trị: 5,10, 15,20, 25 Bảng phân bố xác suất X P 5 10 15 18 35 20 12 35 25 Kì vọng X: E(X )   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bình quân ván A thua  USD nên chơi 150 ván số tiền A thua là: 150 �128,6 USD Bài Trong hộp có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ cộng số ghi thẻ với Gọi X kết Lập bảng phân bố xác suất X tính E(X) Lời giải: Ta có giá trị X nhận là: 3,4,5,6,7 Bảng phân bố xác suất X P 1 1 6 6 Do đó, kì vọng X là: E(X )  Bài Trong hộp có bóng đèn có bóng đèn tốt, bóng hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng để thử (thử xong không trả lại) thu bón đèn tốt Gọi X số lần thử Lập bảng phân phối xác suất X, tính E(X) Lời giải: 2,3,4,5 Ta có giá trị X nhận là: Bảng phân bố xác suất X P 1 10 10 E ( X )  Do đó, kì vọng X là: Bài Trong hộp có bóng đèn, có bóng tốt bóng bị hỏng Ta chọn ngẫu nhiên bóng đèn để thử (khi thử xong khơng trả lại) tìm hai bóng bị hỏng Gọi X số cần thử cần thiết: Lập bảng phân bố đại lượng ngẫu nhiên X Trung bình cần lần thử Lời giải: Gọi Ai biến cố “ Lần thứ i lấy bóng tốt” Ai biến cố: “ lần thứ i lấy bóng hỏng” Ta có X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị tập  2,3,4,5,6,7 Ta tính P(X  2) ?     Ta có: P(X  2)  P A1 P A2 Xác suất chọn bóng hỏng lần thứ là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Xác suất chọn bóng hỏng lần thứ hai là: 1 Nên P(X  2)   21       Tương tự: P(X  3)  P( A1)P A P A  P(A1)P  A  P A 2    7 21         5 1 P  A  P  A  P  A  P  A      7 7 P(X  5)  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A   P  A  P  A  P  A  P  A  P  A   P  A  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A  P  A   P(X  4)  P  A1  P  A  P A P A  P  A1  P A P  A  P A  1 2 3 4 5 4 5 5 5 4      7 7 21 P(X  6)  21 6 P(X  7)  1 �P(X  i)  21 i2 Bảng phân bố xác suất X P 21 21 21 21 21 104       21 21 21 21 21 21 Vậy trung bình cần lần thử Ta có: E(X )  Bài Có khối lập phương tạo thành từ 729 hình lập phương nhỏ giống hệt Ở mặt, khoét dãy khối lập phương nhỏ xuyên từ tâm mặt sang tâm mặt đối diện (có ba dãy, dãy chín khối) Lấy sơn bơi lên tồn bề mặt ngồi hình lập phương lớn Lấy ngẫu nhiên khối lập phương nhỏ Tính xác suất để Khối có mặt bị bôi đen 302 32 A P(A )  B P(A )  C P(A )  D P(A )  729 729 729 729 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Khối có hai mặt bị bơi đen 118 158 A P(B)  B P(B)  729 729 Khối có ba mặt bị bơi đen 24 A P(C )  B P(C)  243 2433 C P(B)  138 729 D P(B)  238 729 C P(C)  2433 D P(C)  1343 Khối khơng có mặt bị bơi đen 57 247 287 257 A P(D)= B P(D)= C P(D)= D P(D)= 729 729 729 729 Lời giải: Gọi T biến cố: “lấy ngẫu nhiên môt khối lập phương nhỏ hình lập phương” A “Khối có mặt bị bơi đen” B “Khối có hai mặt bị bơi đen” C “Khối có ba mặt bị bơi đen” D “Khối khơng có mặt bị bôi đen” Dựa vào quan sát hình vẽ, ta có:   729,  A  302,  B  158, C  12,  D  257 302 158 , P(B)  , 729 729 257 P(C)  , P(D)= 243 729 Do đó: P( A )  Bài 10 Cho cân trọng lượng 1kg, kg, …, 7kg, kg Chọn ngẫu nhiên nhiên cân Tính xác suất để tổng trọng lượng cân chọn không vượt kg A P( A )  B P( A )  C P(A )  D P( A )  8 8 Lời giải: Ta có:   C8  56 Gọi A biến cố “tổng trọng lượng cân lấy không vượt kg” Để ý rằng: 1+2+3=6 ; 1+2+4=7; 1+2+5=8; 1+2+6=9; 1+3+4=8; 1+3+5=9; 2+3+4=9 Vậy có cách chọn cân cho tổng chúng không vượt  9kg nên  A  � P( A )  56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 11 Có xe ơtơ màu đỏ, ơtơ màu vàng, ơtơ màu xanh đỗ bên đường.Tìm xác suất để khơng có xe màu đỗ cạnh 1 A P( A )  B P( A )  C P( A )  D P( A )  8 Lời giải: Gọi A biến cố “không có xe màu đỗ cạnh nhau” Ta có:   6!  720 Tính khả biến cố A Đánh số thứ tự xe từ đến 6, số thứ tự vị trì từ I đến VI TH1: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí III, xe đỏ thứ ba vi trí V số cách đỗ xe là: 3!.3!  36 TH2: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí IV, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2  24 TH3: Xe đỏ thứ vị trí II, xe đỏ thứ hai vị trí IV, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.3!  36 TH4: Xe đỏ thứ vị trí I, xe đỏ thứ hai vị trí III, xe đỏ thứ ba vi trí VI số cách đỗ xe là: 3!.2.2  24 Vậy  A  120 � P(A )  Bài 12 Một máy có động gồm động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0,09, động bên cánh trái có xác suất bị hỏng 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn cánh có động làm việc Tìm xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn A P( A )  0,99342 B P( A )  0,9924 C P( A )  0,9918 D P( A )  0,9934 Lời giải: Gọi A1 : “ Có động cánh trái hoạt động” A2 : “ Có động cánh phải hoạt động”   P  A   1 P  A   1 (0,09) Ta có: P  A1   1 P A1  1 (0,04) �0,9999 2  0,9919 Gọi A biến cố : “Máy bay thực chuyến bay an toàn” A  A1.A2 � P(A )  P  A1  P  A   0,9918 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ...  C10 ; A biến cố câu a, B biến cố câu b, C biến cố câu c n( A )  C4 � P  A   C42 C10 C41.C21  45 C10 Đ biến cố viên đỏ ,X biến cố viên xanh ,V biến cố viên vàng Đ , X, V biến cố đôi xung... hưởng đến xác suất B �Hai biến cố A B độc lập P  AB  P  A  P  B Bài toán 01: Tính xác suất quy tắc cộng Phương pháp: Sử dụng quy tắc đếm công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp � P(A...  C100 Vấn đề Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Phương pháp: �Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng cơng thức: P( A )  Số lần xuất biến cố A N �Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ