TỔ hợp xác SUẤT tổ hợp (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

TỔ HỢP Vấn đề Quy tắc đếm Phương pháp Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét cơng việc H Giả sử H có k phương án H , H , , H k thực cơng việc H Nếu có m1 cách thực phương án H , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i không trùng với cách thực phương án H j ( i ≠ j ; i , j ∈ { 1,2, , k} ) có m1 + m2 + + mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A , , An đơi rời Khi đó: A1 ∪ A ∪ ∪ An = A1 + A2 + + An Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H , H , , H k Cơng đoạn H có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A , , An đơi rời Khi đó: A1 ∩ A2 ∩ ∩ An = A1 A2 An Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực cơng việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn? Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H , H , , H n đếm số cách thực giai đoạn H i ( i = 1,2, , n ) Nhận xét: Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải toán ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp • Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy tốn cần đếm • Đếm số phương án thực trường hợp • Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử * Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù tốn sau: • Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta aphương án • Đếm số phương án thực hành động H không thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa u cầu tốn là: a− b Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x = a1 an ta cần lưu ý: * ∈ { 0,1,2, ,9} a1 ≠ * x số chẵn ⇔ an số chẵn * x số lẻ ⇔ an số lẻ * x chia hết cho ⇔ a1 + a2 + + an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an−1an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an ∈ { 0,5} * x chia hết cho ⇔ x số chẵn chia hết cho * x chia hết cho ⇔ an− 2an−1an chia hết cho * x chia hết cho ⇔ a1 + a2 + + an chia hết cho * x chia hết cho 11⇔ tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 * x chia hết cho 25⇔ hai chữ số tận 00,25,50,75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Các ví dụ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố B A.42 B.46 C.48 D.44 Lời giải: Để từ thành phố A đến thành phố B ta có đường để Với cách từ thành phố A đến thành phố B ta có cách từ thành phố B đến thành phố C Vậy có 6.7 = 42 cách từ thành phố A đến B Ví dụ Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? A.192 B.202 C.211 D.180 Lời giải: Đặt y = 23, xét số x = abcde a, b,c,d, e đôi khác thuộc tập { 0,1, y,4,5} Có P5 − P4 = 96 số Khi ta hoán vị 2,3 y ta hai số khác Nên có 96.2 = 192 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Có học sinh nữ hs nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để : học sinh nữ ngồi kề A.34 B.46 C.36 D.26 2 học sinh nam ngồi kề A.48 B.42 C.58 D.28 Lời giải: Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 3!.3! = 36 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2!.4! = 48 Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho: A F ngồi hai đầu ghế A.48 B.42 C.46 D.50 A F ngồi cạnh A.242 B.240 C.244 D.248 A F không ngồi cạnh A.480 B.460 C.246 D.260 Lời giải: Số cách xếp A, F: 2! = Số cách xếp B,C , D , E : 4! = 24 Số cách xếp thỏa yêu cầu toán: 2.24 = 48 Xem AF phần tử X , ta có: 5! = 120 số cách xếp X , B,C , D , E Khi hốn vị A , F ta có thêm cách xếp Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu toán Số cách xếp thỏa yêu cầu tốn: 6!− 240 = 480 cách Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A.252 B.520 Gọi x = abcd; a,b, c,d∈ { 0,1,2,4,5,6,8} C.480 Lời giải: D.368 Cách 1: Tính trực tiếp Vì x số chẵn nên d∈ { 0,2,4,6,8} TH 1: d = ⇒ có cách chọn d Với cách chọn d ta có cách chọn a∈ { 1,2,4,5,6,8} Với cách chọn a, d ta có cách chọn b∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a} Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a,b} Suy trường hợp có 1.6.5.4 = 120 số TH 2: d ≠ ⇒ d∈ { 2,4,6,8} ⇒ có cách chọn d Với cách chọn d , a≠ nên ta có cách chọn a∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { d} Với cách chọn a, d ta có cách chọn b∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a} Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c∈ { 1,2,4,5,6,8} \ { a,b} Suy trường hợp có 4.5.5.4 = 400 số Vậy có tất 120 + 400 = 520 số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) Gọi A = { số số tự nhiên có bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } B = { số số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } C = { số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } Ta có: C = A − B Dễ dàng tính được: A = 6.6.5.4 = 720 Ta tính B ? x = abcd số lẻ ⇒ d∈ { 1,5} ⇒ d có cách chọn Với cách chọn d ta có cách chọn a(vì a ≠ 0, a ≠ d ) Với cách chọn a, d ta có cách chọn b Với cách chọn a, b,d ta có cách chọn c Suy B = 2.5.5.4 = 200 Vậy C = 520 Ví dụ Cho tập A = { 1,2,3,4,5,6,7,8} http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác số lẻ không chia hết cho A.15120 B.23523 C.16862 D.23145 Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ A.11523 B.11520 C.11346 D.22311 Lời giải: Gọi x = a1 a8 số cần tìm Vì x lẻ khơng chia hết d∈ { 1,3,7} ⇒ d có cách chọn Số chọn chữ số lại là: 7.6.5.4.3.2.1 Vậy 15120 số thỏa u cầu tốn Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a1 có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên a8 có cách chọn Các số lại có 6.5.4.3.2.1 cách chọn Vậy có 42.6.5.4.3.2.1 = 11520 số thỏa yêu cầu tốn Ví dụ Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5,6} Từ tập A ta lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác A.720 B.261 C.235 D.679 Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho A.660 B.432 C.679 D.523 Lời giải: Gọi số cần lập x = abcd , a, b,c,d∈ { 0,1,2,3,4,5,6} ; a ≠ Chọn a: có cách; chọn b, c,d có 6.5.4 Vậy có 720 số Gọi x = abcde số cần lập, e∈ { 0,5} , a ≠ • e= ⇒ e có cách chọn, cách chọn a, b, c,d : 6.5.4.3 Trường hợp có 360 số e= ⇒ e có cách chọn, số cách chọn a, b, c,d : 5.5.4.3 = 300 Trường hợp có 300 số Vậy có 660 số thỏa u cầu tốn Ví dụ Cho tập hợp số : A = { 0,1,2,3,4,5,6} Hỏi thành lập số có chữ số khác chia hết cho A.114 B.144 C.146 D.148 Lời giải: Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập A có tập chữ số chia hết cho {0,1,2,3}, {0,1,2,6}, {0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, { 1,3,5,6} Vậy số số cần lập là: 4(4!− 3!) + 3.4! = 144 số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Từ số tập A = { 0,1,2,3,4,5,6} lập số chẵn gồm chữ số đôi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh A.360 B.362 C.345 D.368 Lời giải: Vì có số lẻ 1,3,5, nên ta tạo cặp số kép: 13,31,15,51,35,53 Gọi A tập số gồm chữ số lập từ X = { 0,13,2,4,6} Gọi A1 , A , A3 tương ứng số số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lập từ chữ số tập X = { 0,13,2,4,6} 13 đứng vị trí thứ nhất, thứ hai thứ ba Ta có: A1 = A = 24; A = A = 3.3.2 = 18 nên A = 24+ 2.18 = 60 Vậy số số cần lập là: 6.60 = 360 số Ví dụ 10 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên ,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị A.104 B.106 C.108 D.112 Lời giải: Cách 1: Gọi x = a1a2 a6 , ∈ { 1,2,3,4,5,6} số cần lập Theo ta có: a1 + a2 + a3 + 1= a4 + a5 + a6 (1) Mà a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈ { 1,2,3,4,5,6} đôi khác nên a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1+ + 3+ 4+ 5+ = 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 + a2 + a3 = 10 Phương trình có nghiệm là: (a1 , a2 , a3 ) = (1,3,6); (1,4,5); (2,3,5) Với ta có 3!.3! = 36 số Vậy có thảy 3.36 = 108 số cần lập Cách 2: Gọi x = abcdef số cần lập  a+ b+ c + d + e+ f = 1+ 2+ 3+ + 5+ = 21 Ta có:   a+ b+ c = d + e+ f + ⇒ a+ b+ c = 11 Do a, b,c∈ { 1,2,3,4,5,6} Suy ta có cặp sau: (a,b,c) = (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) Với ta có 3! cách chọn a, b, c 3! cách chọn d, e, f Do có: 3.3!.3! = 108 số thỏa u cầu tốn Ví dụ 11.Từ số 1,2,3 lập bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau Trong số, chữ số có mặt lần A.90 B.78 C.95 D.38 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh A.76 B.42 C.80 D.68 Lời giải: Đặt A = {1,2,3} Gọi S tập số thỏa yêu cầu thứ toán 6! = 90 (vì số có 23 dạng aabbcc hốn vị hai số a, a ta số không đổi) Gọi S1 ,S2 ,S3 tập số thuộc S mà có 1,2,3 cặp chữ số giống đứng cạnh • Số phần tử S3 số hoán vị cặp 11,22,33 nên S3 = Ta có số số thỏa điều kiện thứ tốn • Số phần tử S2 số hốn vị phần tử có dạng a, a,bb,cc 4! a, a khơng đứng cạnh Nên S2 = − = phần tử • Số phần tử S1 số hốn vị phần tử có dạng a, a,b,b,cc 5! a, a b, b không đứng cạnh nên S1 = − − 12 = 12 Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 90 − (6 + + 12) = 76 Ví dụ 12 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số 92011 − 2019.92010 + 92011 − 2.92010 + A B 9 2011 2010 2011 −9 +8 − 19.92010 + C D 9 Lời giải: Đặt X số tự nhiên thỏa yêu cầu toán A = { số tự nhiên không vượt 2011 chữ số chia hết cho 9} Với số thuộc A có m chữ số (m≤ 2008) ta bổ sung thêm 2011− m số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có dạng a1a2 a2011; ∈ { 0,1,2,3, ,9} A0 = { a∈ A | mà a khơng có chữ số 9} A1 = { a∈ A | mà a có chữ số 9} 92011 − phần tử • Tính số phần tử A0 • Ta thấy tập A có 1+ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với x ∈ A0 ⇒ x = a1 a2011; ∈ { 0,1,2, ,8} i = 1,2010 a2011 = 9− r với 2010 r ∈ 1;9 ,r ≡ ∑ Từ ta suy A0 có 92010 phần tử i =1 • Tính số phần tử A1 Để lập số thuộc tập A1 ta thực liên tiếp hai bước sau Bước 1: Lập dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập { 0,1,2 ,8} tổng chữ số chia hết cho Số dãy 92009 Bước 2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số Do A1 có 2010.92009 phần tử Vậy số số cần lập là: 92011 − 2010 92011 − 2019.92010 + 1+ − − 2010.92009 = 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Bạn cần mua áo sơ mi cỡ 30 32 Áo cỡ 30 có màu khác nhau, áo cỡ 32 có màu khác Hỏi bạn có cách lựa chọn ? A.7 B.8 C.9 D.4 Có 10 sách Tốn khác nhau, 11 sách Văn khác sách anh văn khác Một học sinh chọn sách sách Hỏi có cách lựa chọn A.26 B.28 C.32 D.20 Có cách xếp sách Tốn, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách môn học xếp cạnh nhau, biết sách đơi khác A 7.5!.6!.8! B 6.5!.6!.8! C 6.4!.6!.8! D 6.5!.6!.7! Lời giải: Công việc ta cần thực toán mua ao sơ mi cỡ 30 32 Để thực công việc ta có hai phương án Phương án 1: Mua áo cỡ 30: Phương án ta có cách chọn (chọn ba màu) Phương án 2: Mua áo cỡ 32: Phương án ta có cách chọn Vậy ta có thảy 3+ = cách lựa chọn Để chọn sách sách ta có phương án sau Phương án 1: Cuốn sách chọn sách Tốn: Ta có 10 cách chọn Phương án 2: Cuốn sách chọn sách Văn: Ta có 11 cách chọn Phương án 3: Cuốn sách chọn sách anh văn: Ta có cách chọn Vậy có 10 + 11+ = 28 cách lựa chọn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta xếp sách môn thành nhóm Trước hết ta xếp nhóm lên kệ sách có: 3! = cách xếp Với cách xếp nhóm lên kệ ta có 5! cách hốn vị sách Tốn, 6! cách hoán vị sách Lý 8! cách hốn vị sách Hóa Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp Bài Có cách xếp người A,B,C,D lên toa tàu, biết toa chứa người A.81 B.68 C.42 D.98 Trong giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn Cứ hai đội gặp lần Hỏi có tất trận đấu xảy A.190 B.182 C.280 D.194 Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ B đến D có đường, từ C đến D có 11 đường khơng có đường nối B với C Hỏi có cách từ A đến D A.156 B.159 C.162 D.176 Hội đồng quản trị cơng ty X gồm 10 người Hỏi có cách bầu ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch thư kí, biết khả người A.728 B.723 C.720 D.722 Lời giải: Để xếp A ta có cách lên ba toa Với cách xếp A ta có cách xếp B lên toa tàu Với cách xếp A,B ta có cách xếp C lên toa tàu Với cách xếp A,B,C ta có cách xếp D lên toa tàu Vậy có 3.3.3.3 = 81 cách xếp người lên toa tàu Cứ đội phải thi đấu với 19 đội lại nên có 19.20 trận đấu Tuy nhiên theo cách tính trận đấu chẳng hạn A gặp B tính hai lần Do 19.20 = 190 trận số trận đấu thực tế diễn là: Để từ A đến D ta có cách sau A → B → D : Có 10.6 = 60 A → C → D : Có 9.11 = 99 Vậy có tất 159 cách từ A đến D Chọn chủ tịch có 10 cách chọn, phó chủ tịch có cách thư kí có cách Do có tất 10.9.8 = 720 cách chọn Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? A.72 B.74 C.76 D.78 b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ? A.40 B.42 C.46 D.70 c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? A.32 B.30 C.35 D.70 Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau : a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường A.1036800 B.234780 C.146800 D.2223500 b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường A 33177610 B 34277600 C 33176500 D 33177600 Lời giải: a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách b) Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu Vậy có : 5.2.2.2.1.1 = 40 cách c) Số cách chọn để cặp nam nữ khơng ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề Vậy có : 72 − 40 = 32 cách Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi số từ đến thuộc dãy từ đến 12 thuộc dãy 12 a) Vị trí 11 10 8 10 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton n  1 n 20 7  + x ÷ , biết C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = − x  A.210 B.213 C.414 Lời giải: k 2n+1− k Do C2n+1 = C2n+1 ∀k = 0,1,2, ,2n + D.213 ⇒ C20n+1 + C21n+1 + + C2nn+1 = C2nn++11 + C2nn++21 + + C22nn++11 Mặt khác: C21n+1 + C22n+1 + + C22nn++11 = 22n+1 ⇒ 2(C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + + C2nn+1) = 22n+1 ⇒ C21n+1 + C22n+1 + + C2nn+1 = 22n − C20n+1 = 22n − ⇒ 22n − = 220 − 1⇒ n = 10 10   Khi đó:  + x7 ÷ = x−4 + x7 x  ( ) 10 10 k = ∑ C10 (x−4 )10− k.x7k k= 10 k 11k− 40 = ∑ C10 x k= Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k − 40 = 26 ⇒ k = = 210 Vậy hệ số chứa x26 là: C10 26 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức sau f (x) = (1− 2x)10 A −15360 h(x) = x(2 + 3x)9 A 489889 B 15360 C −15363 D 15363 B 489887 C −489888 D 489888 g(x) = (1+ x)7 + (1− x)8 + (2 + x)9 A.29 B.30 C.31 D.32 f (x) = (3+ 2x)10 A.103680 B.1301323 C.131393 D.1031831 h(x) = x(1− 2x)9 A −4608 B 4608 C −4618 D 4618 g(x) = 8(1+ x)8 + 9(1+ 2x)9 + 10(1+ 3x)10 A.22094 B.139131 C.130282 Lời giải: D.21031 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 10 k= k= k 10− k k k k k Ta có f (x) = ∑ Cn (−2x) = ∑ C10(−2) x Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k = 7 (−2)7 = −15360 Vậy hệ số x7 là: C10 9 k= k= k 9− k k k 9− k k k Ta có (2 + 3x) = ∑ C9 (3x) = ∑ C9 x ⇒ h(x) = ∑ C9k 29− k3k xk+1 k= Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa k + = ⇔ k = Vậy hệ số chứa x7 là: C96 2336 = 489888 k k Hệ số x khai triển (1+ x) = ∑ C7 x : C77 = 7 k= 8 k k k Hệ số x7 khai triển (1− x) = ∑ C8 (−1) x : C87 (−1)7 = −8 k= 9 k k Hệ số x7 khai triển (1+ x) = ∑ C9 x : C79 = 36 k= Vậy hệ số chứa x khai triển g(x) thành đa thức là: 29 Chú ý: * Với a≠ ta có: a− n = n với n∈ ¥ a * Với a≥ ta có: n m n a = a với m,n∈ ¥ ; n ≥ m 10 10 k= k=0 k 10− k (−2)k xk Ta có f (x) = ∑ Cnk 310− k(2x)k = ∑ C10 Số hạng chứa x ứng với giá trị k = 8 32.(−2)8 = 103680 Vậy hệ số x8 là: C10 9 k= k= Ta có (1− 2x)9 = ∑ C9k19− k(−2x)k = ∑ C9k(−2)k.xk ⇒ h(x) = ∑ C9k(−2)k xk+1 k= Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k thỏa k + = ⇔ k = Vậy hệ số chứa x8 là: C97 (−2)7 = −4608 n Ta có: ( 1+ ax) = ∑ Cnkakxk nên ta suy hệ số xk khai triển (1+ ax)n n i =0 k k n C a Do đó: Hệ số x8 khai triển (1+ x)8 : C88 Hệ số x8 khai triển (1+ 2x)9 : C98.28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 38 Hệ số x8 khai triển (1+ 3x)10 : C10 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g(x) thành đa thức là: 8C88 + 9.28.C98 + 10.38.C10 = 22094 Bài Tìm số hạng không chứa x khai triển sau f (x) = (x − )12 (x ≠ 0) x A.59136 B.213012 C.12373 g(x) = ( + x3 )17 x2 A.24310 D.139412 (x > 0) B.213012 C.12373 D.139412 Lời giải: 12 k 12− k x (−2x−1)k Ta có: f (x) = (x − 2.x−1)12 = ∑ C12 k= 12 ∑C k= k 12 (−2)k x12− 2k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = ⇔ k = ⇒ số hạng không chứa x là: C12 26 = 59136 Vì x2 − = x 3; x3 = x4 nên ta có 17− k k 17k−136 17  − 23   43  k f (x) = ∑ C  x ÷  x ÷ = ∑ C17.x 12 k=   k=0   x Hệ số không chứa ứng với giá trị k thỏa: 17k − 136 = ⇔ k = 8 = 24310 Vậy hệ số không chứa x là: C17 17 k 17 Bài 3: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn n  n+1 n 5  + x ÷ biết Cn+ − Cn+ = 7( n + 3) x  A.495 B.313 C.1303 D.13129 Xét khai triển f (x) = (2x + )20 x a Viết số hạng thứ k+ khai triển k 220− k.x20− k A Tk+1 = C20 k 220− k.x20−2k B Tk+1 = C10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word k 220− 4k.x20− 2k C Tk+1 = C20 k 220− k.x20− 2k D Tk+1 = C20 b Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 210 2 A C20 B A20 C C20 10 10 D C20 Xác định hệ số x4 khai triển sau: f (x) = (3x2 + 2x + 1)10 A.8089 B.8085 C.1303 D.11312 Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức (2 − 3x)2n , biết n số nguyên dương thỏa mãn : C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + + C22nn++11 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 Tìm hệ số x9 khai triển f (x) = (1+ x)9 + (1+ x)10 + + (1+ x)14 A.8089 B.8085 C.3003 D.11312 Lời giải: n+1 n n n+1 n Ta có: Cn+ − Cn+ = 7( n + 3) ⇔ Cn+ + Cn+ − Cn+ = 7( n + 3) ( ⇔ Cnn++31 = 7( n + 3) ⇔ ( n + 2) ( n + 3) = n + ( ) 2! ) ⇔ n + = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 n 12− k 60−11k 12 12 k     k −3 k Khi đó:  + x5 ÷ = ∑ C12 x  x ÷ = ∑ C12x k= k= x    60− 11k = 8⇔ k = Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! = 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 = 4!( 12 − 4) ! ( ) k = C20 220− k.x20−2k xk b Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k = ⇔ k = 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 k (2x)20− k a Ta có: Tk+1 = C20 ( f ( x) = 1+ 2x + 3x2 ) 10 10 ( k = ∑ C10 2x + 3x2 k= 10 k 10 k k= i =0 k= i =0 ) k k = ∑ C10 ∑ Cki (2x)k−i (3x2)i = ∑ C10k ∑ Cki 2k−i.3i xk+i với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i = với trường hợp i = 0, k = i = 1, k = i = k = C40 + 2231C10 C31 + 32C10 C22 = 8085 Vậy hệ số chứa x4 : 24C10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  2n+1 k 2n+1  ∑ C2n+1 = n  k=0 ⇒ C22ni ++11 = 22n = 1024 ⇒ n = Ta có:  n ∑ n i =0  C 2i +1 = C 2i ∑ 2n+ 2n+ ∑ i=0 i =0 10 2n k 10− k k k Suy (2 − 3x) = ∑ C10 (−3) x k= 23.(−3)7 = −2099520 Hệ số x7 C10 9 9 + C11 + C12 + C13 + C14 = 3003 Hệ số x9 : C99 + C10 Bài 4: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức n 1   x − x + x  với n số nguyên dương thoả mãn   Cn + 2n = An+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 B 98 C −96 D 96 ( ) Xác định hệ số x8 khai triển sau: a, f (x) = (3x2 + 1)10 A.17010 B.21303 C.20123 D.21313 2  b, f (x) =  − 5x3 ÷ x  A.1312317 B.76424 C.427700 D.700000 12  x c, f (x) =  + ÷  x 2 297 A 512 d, f (x) = (1+ x + 2x2 )10 A.37845 B 29 51 C B.14131 27 52 C.324234 D 97 12 D.131239 e, f (x) = 8(1+ 8x)8 − 9(1+ 9x)9 + 10(1+ 10x)10 108 A 8.C80.88 − C91.98 + 10.C10 108 C C80.88 − 9.C91.98 + 10.C10 108 B C80.88 − C91.98 + C10 108 D 8.C80.88 − 9.C91.98 + 10.C10 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có: C + 2n = A n n+1 n ≥  ⇔  n( n − 1) ( n − 2) + 2n = ( n + 1) n   n ≥ ⇔ ⇔ n = n − 9n + = Theo nhị thức Newton ta có: 8 1 1   1  x − x + x  =  x − x( 1+ x)  = C8 x8 − C8 x6 ( 1+ x) +     1 +C82 ( 1+ x) − C83 ( 1+ x) + C84 ( 1+ x) − + C88x8 ( 1+ x) x x Số hạng không phụ thuộc vào x có hai biểu thức −C83 ( 1+ x) C84 ( 1+ x) x Trong có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C83.C32 C84.C40 ( ) Do số hạng khơng phụ thuộc vào x là: −C83.C32 + C84.C40 = −98 10 k k 2k a,Ta có: f (x) = ∑ C10 x , số hạng chứa x8 ứng với k = nên hệ số x8 là: k= C = 17010 10 k 8− k k 4k− b,Ta có: f (x) = ∑ C8 (−5) x , số hạng chứa x8 ứng với k = nên hệ số k= x là: C (−5) = 700000 8 12 k 12− k − k 2k−12 c, Ta có: f (x) = ∑ C12 x , số hạng chứa x8 ứng với k = 10nên hệ số k= 10 −10 x8 là: C12 = 297 512 10 10 k k= k= j = j k 10− k k k 10− k 20− 2k+ j d, Ta có: f (x) = ∑ C10(2x ) (1+ x) = ∑∑ C10Ck.2 x 0 ≤ j ≤ k ≤ 10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k, j ) thỏa:   j = 2k − 12 Nên hệ số x8 là: 10 C10 C60.24 + C10 C72 23 + C10 C84 22 + C10 C96 + C10 C10 = 37845 e, Ta có: (1+ 8x)8 = ∑ C8k 88− k x8− k k= (1+ 9x)9 = ∑ C9k 99− k x9− k k= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 k (1+ 10x)10 = ∑ C10 1010− k x10− k k= 108 Nên hệ số chứa x là: 8.C80.88 − 9.C91.98 + 10.C10 Bài 5: 40  1 Trong khai triển f ( x) =  x + ÷ , tìm hệ số x31 x   A.9880 B.1313 C.14940 D.1147 18  1 Hãy tìm khai triển nhị thức  x3 + ÷ số hạng độc lập x x   A.9880 B.1313 C.14940 D.48620 12  x 3 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  − ÷  x 55 13 621 A B C 113 ( ) Tính hệ số x25y10 khai triển x3 + xy A.300123 B.121148 D 1412 3123 15 C.3003 Cho đa thức P ( x) = ( 1+ x) + 2( 1+ x) + + 20( 1+ x) 20 D.1303 có dạng khai triển P ( x) = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20 Hãy tính hệ số a15 A.400995 B.130414 ( Khai triển 1+ x + x2 + x3 ) C.511313 D.412674 = a0 + a1x + a2x2 + + a15x15 a) Hãy tính hệ số a10 A a10 = C50 + C54 + C54C53 B a10 = C50.C55 + C52C54 + C54C53 C a10 = C50.C55 + C52C54 − C54C53 D a10 = C50.C55 − C52C54 + C54C53 T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 B.147614 C.0 b) Tính tổng A.131 ( Khai triển 1+ 2x + 3x2 ) 10 D.1 = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20 a) Hãy tính hệ số a4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 24 A a4 = C10 B a4 = 24C10 C10 C a4 = C10 24C10 D a4 = C10 C S = 1720 D S = 710 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + 220 a20 A S = 1710 B S = 1510 Tìm số hạng khai triển A.8 4536 ( 3+ ) số nguyên B.1 4184 C.414 12 Lời giải: D 1313 = 9880 Đáp số: C40 = 48620 Đáp số : C18 55 (−3)4C12 = 10 Đáp số: C15 = 3003 Đáp số: Đáp số: a15 = 20 ∑ kC k=15 15 k = 400995 Đặt f (x) = (1+ x + x2 + x3)5 = (1+ x)5(1+ x2 )5 a) Do hệ số x10 bằng: a10 = C50.C55 + C52C54 + C54C53 b) T = f (1) = 45 ; S = f (−1) = 10 k k 2k x (1+ 2x)10− k Đặt f (x) = (1+ 2x + 3x2 )10 = ∑ C10 k= 10 10− k k= i=0 k k 2k i = ∑ C10 x ∑ C10 210− k−i x10− k−i −k 10 10− k k i = ∑ ∑ C10 C10 3k210− k−i x10+ k−i −k k= i = 0 24C10 + a) Ta có: a4 = C10 b) Ta có S = f (2) = 1710 Ta có ( ) 9 + = ∑ C9k k= ( 3) ( 2) k 9− k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa:  k = 2m  9 − k = 3n ⇔ k = 0, k =  k = 0, ,9  Các số hạng số nguyên: C90 ( 2) = C96 ( 3) ( 2) n Bài toán 2: Bài toán liên quan đến tổng 3 ∑aC b k= k k k n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a+ b)n = Cn0an + an−1bCn1 + an− 2b2Cn2 + + bnCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: * Cnk = Cnn− k * Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n * ∑ (−1) C k k= * =0 n n k= k= ∑ C22nk = ∑ C22nk−1 = n * k n ∑C a k= k k n 2n k ∑C k=0 2n = (1+ a)n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn Các ví dụ Ví dụ Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2nCnn = 243 A.4 B.11 C.12 D.5 Lời giải: n 2 Xét khai triển: (1+ x) = Cn + xCn + x Cn + + xnCnn Cho x = ta có: Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn = 3n Do ta suy 3n = 243 = 35 ⇒ n = 1 1 (−1)n n S = C − C + C − C + + C Ví dụ Tính tổng sau: n n n n 2(n + 1) n 1 A B.1 C.2 D 2(n+ 1) (n+ 1) Lời giải: 1 1 (−1) n  C ÷ Ta có: S =  Cn − Cn + Cn − + 2 n+ n  n (−1)k k (−1)k k+1 (−1)kCnk++11 Vì Cn = Cn+1 nên: S = ∑ 2(n + 1) k=0 k+ n+ n = −1  n+1 k k   ∑ (−1) Cn+1 − Cn+1 ÷ = 2(n + 1)  k=0  2(n + 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Tính tổng sau: S = Cn1 3n−1 + 2Cn2 3n− + 3Cn3 3n− + + nCnn A n.4n−1 B.0 C.1 D 4n−1 Lời giải: k n  1 Ta có: S = 3n ∑ kCnk  ÷ k=1  3 k k  1  1 Vì kC  ÷ = n ÷ Cnk−−11  3  3 ∀k ≥ 1nên k n k k n−1  1  1 S = n∑  ÷ Cnk−−11 = 3n−1.n∑  ÷ Cnk−1 = 3n−1.n(1+ )n−1 = n.4n−1 k=1   k=   Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau k k−1 k k Cn + Cm Cn + + Cm Cn = Cm Cm với m,n∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ min{ m,n} +n n n C20n + C22n + + C22nn = C21n + C23n + + C22nn−1 Cn0Cnk + Cn1Cnk−−11 + + CnkCn0− k = 2kCnk với ≤ k ≤ n Lời giải: m+ n k xk Xét khai triển: f (x) = (1+ x)m+n = ∑ Cm +n (1) i =0 Ta khai triển f (x) theo cách khác sau   n  n f (x) = (1+ x)n(1+ x)m =  ∑ Cni xi ÷ ∑ Cnj xj ÷ (2)  i=0   j =0  k Hệ số xk khai triển (1) là: Cm +n Hệ số xk khai triển (2) là: k Từ ta suy ra: ∑C C i =0 i n k− i m ∑ k k− i Cni Cmj = ∑ Cni Cm i = 0,n j = 0,m i + j =k i=0 k = Cm +n Xét khai triển: (1+ x)2n = C20n + C21nx + C22nx2 + + C22nnx2n Cho x = −1 ta có được: = C20n − C21n + C22n − C23n + − C22nn−1 + C22nn Hay C21n + C23n + + C22nn−1 = C20n + C22n + + C22nn i k− i Ta có: CnCn−i = n! (n − i )! n! = i !(n − i )! (n − k)!(k − i )! i !(n − k)!(k − i )! n! k! = = Cnk Cki (n − k)!k! (k − i )!i ! http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word k ∑C C Suy ra: i =0 i n k− i n−i k k i =0 i =0 = ∑ CnkCki = Cnk ∑ Cki = 2kCnk CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh đẳng thức sau: C20n + C22n + + C22nn = C21n + C23n + + C22nn−1 k k−1 k k Cn + Cm Cn + + Cm Cn = Cm Cm +n 2010 C2011 + 22C2011 + + 22010C2011 = 32011 − Bài Tính tổng sau: 1 n C S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n+ n 2n+1 + 2n+1 − A B n+ n+ 1 n S2 = Cn + 2Cn + + nCn A 2n.2n−1 B n.2n+1 C 2n+1 − +1 n+ C 2n.2n+1 D 2n+1 − −1 n+ D n.2n−1 S3 = 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn A n(n − 1)2n− B n(n + 2)2n− C n(n − 1)2n− Lời giải: D n(n − 1)2n+ Ta có: k n! (n + 1)! Cn = = k+ k + k!(n − k)! n + 1(k + 1)![(n + 1) − (k + 1))! k+1 = C (*) n + n+1 n k+1  n+1 k 2n+1 −  ⇒ S1 = C = C − C = ∑ ∑ n+ ÷ n + k= n+1 n + 1 k=0 n+1 n+  n! n! k = Ta có: kCn = k k!(n − k)! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (n − 1)! =n = nCnk−−11 , ∀k ≥ (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! n n−1 k=1 k= ⇒ S2 = ∑ nCnk−−11 = n∑ Cnk−1 = n.2n−1 k Ta có k(k − 1)Cn = n! = n(n − 1)Cnk−−22 (k − 2)!(n − k)! n ⇒ S3 = n(n − 1)∑ Cnk−−22 = n(n − 1)2n− k= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 3: Tính tổng S = Cn0 + 32 − 1 3n+1 − n Cn + + C n+ n 4n+1 − 2n+1 n+ n+1 − 2n+1 C S = +1 n+ A S = 4n+1 + 2n+1 −1 n+ 4n+1 − 2n+1 D S = −1 n+ Lời giải: B S = Ta có S = S1 − S2 , 32 33 3n+1 n Cn + Cn + + C n+ n 1 n S2 = Cn1 + Cn2 + + C n+ n 2n+1 − Ta có S2 = −1 n+ Tính S1 = ? S1 = Cn0 + Ta có: 3k+1 k n! Cn = 3k+1 k+ (k + 1)!(n − k)! = 3k+1 (n + 1)! 3k+1 k+1 = C n + 1(k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! n + n+1 n k+1 k+1 ∑ Cn+ − 2Cn0 n + k=  n+1 k k 4n+1 − 0 = C − C − C = − ∑  n+1 n÷ n n + 1 k=0 n+  4n+1 − 2n+1 Vậy S = − n+ ⇒ S1 = Bài 4: Tính tổng S = Cn0 + A S = 3n+1 − 2n+1 n+ 22 − 1 2n+1 − n Cn + + C n+ n 3n − 2n+1 3n+1 − 2n B S = C S = n+ n+ Tìm số nguyên dương n cho : C21n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22C23n+1 − + (2n + 1)2n C22nn++11 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D S = 3n+1 + 2n+1 n+ D n = 102 Chứng minh: 1.30.5n−1Cnn−1 + 2.31.5n− 2Cnn− + + n.3n−150Cn0 = n.8n−1 Tính tổng S = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A n(n + 1)2n− B n(n − 1)2n− ( ) +(C ) +(C ) Chứng minh Cn0 n 2 n D (n − 1)2n− C n(n− 1)2n ( ) + + Cnn = C2nn Lời giải: Ta có: S = S1 − S2 n Ck 2k+1 2n+1 − ; S2 = ∑ n = −1 k+ n+ k= k= k + 2k+1 k 2k+1 k+1 3n+1 − Mà Cn = Cn+1 ⇒ S1 = −1 k+ n+ n+ 3n+1 − 2n+1 Suy ra: S = n+ n Trong S1 = ∑ Cnk Đặt S = 2n+1 ∑ (−1) k−1 k.2k−1C2kn+1 k=1 k−1 Ta có: (−1) k.2k−1C2kn+1 == (−1)k−1.(2n + 1).2k−1C2kn−1 Nên S = (2n + 1)(C20n − 2C21n + 22C22n − + 22nC22nn ) = 2n + Vậy 2n + = 2005 ⇔ n = 1002 n k−1 n− k n− k Ta có: VT = ∑ k.3 Cn k=1 k−1 n− k n− k n Mà k.3 C = n.3k−1.5n− k.Cnk−−11 Suy ra: VT = n(30.5n−1Cn0−1 + 31.5n− 2Cn1−1 + + 3n−150Cnn−−11) = n(5+ 3)n−1 = n.8n−1 n k Ta có: S = ∑ k(k − 1)Cn k= Mà k(k − 1)C = n(n − 1)Cnk−−22 k n Suy S = n(n − 1)(Cn0− + Cn1− + Cn2− + + Cnn−−22 ) = n(n − 1)2n− Ta có: ( x + 1) n ( 1+ x) n = ( x + 1) 2n Vế trái hệ thức là: Cn0xn + Cn1xn−1 + + Cnn Cn0 + Cn1x + + Cnnxn ( )( Và ta thấy hệ số xn vế trái (C ) +(C ) +(C ) n n Còn hệ số xn vế phải ( x+ 1) ( ) +(C ) +(C ) Do Cn0 n 2 n ( ) + + Cnn 2 n 2n ( ) + + Cnn ) C2nn = C2nn Bài 5: Tính tổng sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word S1 = 5n Cn0 + 5n−1.3.Cnn−1 + 32.5n−2Cnn− + + 3n Cn0 A 28n B 1+ 8n C 8n−1 D 8n 2010 + 22C2011 + + 22010C2011 S2 = C2011 A 32011 + B 3211 − C 32011 + 12 D 32011 − S3 = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn A 4n.2n−1 B n.2n−1 C 3n.2n−1 D 2n.2n−1 C n(n − 1)2n− D 2n(n − 1)2n− S4 = 2.1.Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn A n(n + 1)2n− B n(n − 1)2n+ 32 − 1 3n+1 − n Cn + + C n+ n 4n+1 − 2n+1 4n+1 − 2n+1 4n+1 − 2n+1 4n+1 − 2n+1 A B C D +1 −1 − 12 n+ n+ n+ n+ Lời giải: n n Ta có: S1 = (5+ 3) = Xét khai triển: 2010 2011 (1+ x)2011 = C2011 + xC2011 + x2C2011 + + x2010C2011 + x2011C2011 Cho x = ta có được: 2010 2011 32011 = C2011 + 2.C2011 + 22C2011 + + 22010C2011 + 22011C2011 (1) Cho x = −2 ta có được: 2010 2011 −1= C2011 − 2.C2011 + 22C2011 − + 22010C2011 − 22011C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 2010 C2011 + 22C2011 + + 22010C2011 = 32011 − S5 = Cn0 + ( 2010 Suy ra: S2 = C2011 + 22C2011 + + 22010C2011 = ) 32011 − n! n! = k!(n − k)! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (n − 1)! =n = nCnk−−11 , ∀k ≥ (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! k Ta có: kCn = k n n−1 k=1 k=0 ⇒ S3 = ∑ nCnk−−11 = n∑ Cnk−1 = n.2n−1 k Ta có : k(k − 1)Cn = n! = n(n − 1)Cnk−−22 (k − 2)!(n − k)! http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n ⇒ S4 = n(n − 1)∑ Cnk−−22 = n(n − 1)2n− k= Ta có S5 = A − B , 32 33 3n+1 n Cn + Cn + + C n+ n 1 n B = Cn1 + Cn2 + + C n+ n Tính A = ? 3k+1 k n! Cn = 3k+1 Ta có: k+ (k + 1)!(n − k)! A = Cn0 + = 3k+1 (n + 1)! 3k+1 k+1 = C n + 1(k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! n + n+1 n k+1 k+1 ∑ Cn+2 − 2Cn0 n + k=  n+1 k k 4n+1 − 0 = C − C − C = −2 ∑  n+1 n÷ n n + 1 k=0 n+  Tính B = ? k n! (n + 1)! Cn = = Ta có: k+ k + k!(n − k)! n + 1(k + 1)![(n + 1) − (k + 1))! k+1 = C (*) n + n+1 n k+1  n+1 k 2n+1 −  ⇒ B= C − = C − C = − ∑ ∑ n+ ÷ n + k=0 n+1 n + 1 k=0 n+1 n+  ⇒A= Vậy S5 = 4n+1 − 2n+1 − n+ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... ta có: a1 + a2 + a3 + 1= a4 + a5 + a6 (1) Mà a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ∈ { 1,2,3,4,5,6} đôi khác nên a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1+ + 3+ 4+ 5+ = 21 (2) Từ (1), (2) suy ra: a1 + a2 + a3 = 10... 3.36 = 108 số cần lập Cách 2: Gọi x = abcdef số cần lập  a+ b+ c + d + e+ f = 1+ 2+ 3+ + 5+ = 21 Ta có:   a+ b+ c = d + e+ f + ⇒ a+ b+ c = 11 Do a, b,c∈ { 1,2,3,4,5,6} Suy ta có cặp sau: (a,b,c)...  n ≥ Ta có: Cn 2+1 + 2Cn 2+ + 2Cn 2+ + Cn 2+ = 149 ⇔ ( n + 1) ! + ( n + 2) ! + ( n + 3) ! + ( n + 4) ! = 149 ⇔ n = 2!n! 2!( n − 1) ! 2!( n + 1) ! 2!( n + 2) ! Do đó: M = A64 + 3A53 = 6! Ví dụ Giải