DỜI HÌNH PHÉP vị tự (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

PHÉP VỊ TỰ A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Cho điểm I số thực k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành uuuu r uuu r uuuu r uuu r điểm M ' cho IM ' = k.IM gọi phép vị tự tâm I , tỉ số k Kí hiệu V( I ;k) Vậy V( I ;k) ( M ) = M ' ⇔ IM ' = k.IM Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ, cho I ( x0 ;y0 ) , M ( x;y ) , gọi M '( x';y') = V( I ;k) ( M ) x' = kx + ( 1− k ) x0   y' = ky + ( 1− k ) y0 Tính chất: uuuuuur uuuur • Nếu V( I ;k) ( M ) = M ',V( I ;k) ( N ) = N ' M 'N ' = kMN M 'N ' = k MN • Phép vị tự tỉ số k - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm bảo toàn thứ tự ba điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc - Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R Tâm vị tự hai đường tròn Định lí: Với hai đường tròn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn http://dethithpt.com Cho hai đường tròn ( I;R ) ( I ';R') • Nếu I ≡ I ' phép vị tự V R'   I ;± ÷ R  biến ( I;R ) thành ( I ';R') • Nếu I ≠ I ' R ≠ R' phép vị tự V R'  O; ÷  R V R'   O1 ;− ÷ R  biến ( I;R ) thành ( I ';R') Ta gọi O tâm vị tự ngồi O1 tâm vị tự hai đường tròn • Nếu Nếu I ≠ I ' R = R' có V( O ;−1) biến ( I;R ) thành ( I ';R') B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ Phương pháp: Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ phép vị tự Các ví dụ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 5x + 2y − = Hãy viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 Lời giải: http://dethithpt.com Cách 1: Lấy M ( x;y ) ∈ d ⇒ 5x + 2y − = ( *) Gọi M '( x';y') = V( O;−2) ( M ) Theo biểu thức tọa độ ta có  x = − x' x' = −2x + [1− ( −2) ].0  ⇔   y' = −2y + [1− ( −2) ].0  y = − y'  Thay vào ( *) ta − x'− y'− = ⇔ 5x'+ 2y'+ 14 = Vậy d' : 5x + 2y + 14 = Cách 2: Do d' song song trùng với d nên phương trình có dạng : 5x + 2y + c = Lấy M ( 1;1) thuộc d Gọi M '( x';y') = V( O;−2) ( M ) ta có uuuuu r uuuur x' = −2 OM ' = −2OM ⇒  Thay vào ( *) ta c = 14  y' = −2 Vậy d' : 5x + 2y + 14 = 2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = Tìm ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự tâm I ( −1;2) tỉ số k = Lời giải: Đường tròn ( C ) có tâm J ( 1;1) , bán kính R = uur ur x'− = 3( 1+ 1) x' = ⇔  y' = −2  y'− = 3( 1− 2) Gọi J '( x';y') = V( I ;3) ( J ) ⇒ IJ ' = 3IJ ⇔  ⇒ J '( 7; −2) Gọi ( C') ảnh ( C ) qua phép vị tự V( I ;3) ( C') có tâm J '( 7; −2) , bán kính R' = 3R = Vậy ( C') : ( x − 7) + ( y + 2) = 36 2 Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp: http://dethithpt.com Sử dụng cách tìm tâm vị tự hai đường tròn học Các ví dụ Ví dụ Cho hai đường tròn ( O;R ) ( O';2R ) đựng nhau, với O ≠ O' Tìm tâm vị tự hai đương tròn ( O ) ( O') Lời giải: Do O ≠ O' R ≠ 2R nên có hai phép vị tự V( I ;2) V( I ';−2) biến ( O;R ) thành ( O';2R ) http://dethithpt.com Ví dụ Cho hai đường tròn ( C ) : ( x − 2) + ( y − 1) = ( C') : ( x − 8) + ( y − 4) = 16 2 2 Tìm tâm vị tự hai đường tròn Lời giải: Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1;2) ,bán kính R = ; đường tròn ( C') có tâm I '( 8;4) , bán kính R' = Do I ≠ I ' R ≠ R' nên có hai phép vị tự V( J ;2) V( J ';−2) biến ( C ) thành ( C') Gọi J ( x;y ) uur ur 8 − x = 2( − x) x = −4 ⇔  y = −2 4 − y = 2( 1− y ) Với k = JI ' = 2JI ⇔  ⇒ J ( −4; −2) Tương tự với k = −2 , tính J '( 4;2) Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH Phương pháp: Để dựng hình ( H ) ta quy dựng số điểm ( đủ để xác định hình ( H ) ) ta xem điểm cần dựng giao hai đường đố đường có sẵn đường ảnh vị tự đường khác Các ví dụ Ví dụ Cho hai điểm B,C cố định hai đường thẳng d1 ,d2 Dựng tam giác ABC có đỉnh A thuộc d1 trọng tâm G thuộc d2 Lời giải: http://dethithpt.com Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán Gọi I trung điểm BC , theo tính uur uur chất trọng tâm ta có IA = 3IG ⇒ V( I ;3) ( G ) = A mà G ∈ d2 ⇒ A ∈ d2 ' Với d2 ' ảnh d2 qua V( I ;3) Lại có A ∈ d1 ⇒ A = d1 ∩ d2 ' Cách dựng: - Dựng đường thẳng d2 ' ảnh d2 qua V( I ;3) - Dựng giao điểm A = d1 ∩ d2 ' Dựng giao điểm G = IA ∩ d2 Hai điểm A ;G hai điểm cần dựng Chứng minh: Rõ ràng từ cách dựng ta có A ∈ d1 ,G ∈ d2 ; I trung điểm BC uur uur V( I ;3) ( G ) = A ⇒ IA = 3IG ⇒ G trọng tâm tam giác ABC Biện luận: Số nghiệm hình số giao điểm d1 d2 ' Ví dụ Cho hai đường tròn đồng tâm ( C1 ) ( C ) Từ điểm A đường tròn lớn ( C1 ) dựng đường thẳng d cắt ( C ) B,C cắt ( C1 ) D cho AB = BC = CD Lời giải: Phân tích: http://dethithpt.com Giả sử dựng đường thẳng d cắt ( C1 ) D ( C ) B,C cho AB = BC = CD , uuur uuur AB = AC ⇒ V 1 ( C ) = B A ; ÷  2 Mà C ∈ ( C ) nên B ∈ ( C ') với đường tròn ( C ') ảnh (C ) qua V 1 A; ÷  2 Lại có B ∈ ( C ) nên B ∈ ( C ) ∩ ( C ') Cách dựng - Dựng đường tròn ( C ') ảnh đường tròn ( C ) qua phép vị tự V A ;1÷ - Dựng giao điểm B ( C ) ( C ') -  2 Dựng đường thẳng d qua A ,B cắt đường tròn ( C ) ,( C1 ) C,D tương ứng Đường thẳng d đường thẳng cần dựng Chứng minh: Gọi I trung điểm AD I trung điểm BC Vì V 1 A; ÷  2 ( C) = B nên AB = BC , mặt khác AD BC có chung trung điểm I nên IA = ID,IC = IC, ID = CD + IC;IA = IB + AB suy CD = AB Vậy AB = BC = CD Biện luận: Gọi R1;R bán kính đường tròn ( C1 ) ( C ) ta có: • Nếu R1 ≥ 2R2 có nghiệm hình • Nếu R1 < 2R2 có hai nghiệm hình Bài tốn 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: http://dethithpt.com Để tìm tập hợp điểm M ta quy tìm tập hợp điểm N tìm phép vị tự V( I ;k) cho V( I ;k) ( N ) = M suy quỹ tích điểm M ảnh quỹ tích N qua V( I ;k) Các ví dụ Ví dụ Cho đường tròn ( O;R ) điểm I nằm ngồi đường tròn cho OI = 3R , A điểm thay đổi đường tròn ( O;R ) Phân giác góc · cắt IA điểm M Tìm tập hợp điểm M A di động ( O;R ) IOA Lời giải: Theo tính chất đường phân giác ta có MI OI 3R = = =3 MA OA R ⇒ IM = IA uuu r uur ⇒ IM = IA ⇒ V (A) = M ( O;R ) qua 3 I; ÷  4 V     , mà A thuộc đường tròn ( O;R ) nên M thuộc  O'; R ÷ ảnh 3 I; ÷  4   V Vậy tập hợp điểm M  O'; R ÷ ảnh ( O;R ) qua  I ;43÷   http://dethithpt.com   Ví dụ Cho tam giác ABC Qua điểm M cạnh AB vẽ đường song song với đường trung tuyến AE BF , tương ứng cắt BC CA tai P,Q Tìm tập hợp điểm R cho MPRQ hình bình hành Lời giải: Gọi I = MQ ∩ AE , K = MP ∩ BF G trọng tâm tam giác ABC MI AM AQ IQ = = = BG AB AF GF uuu r uuuur MI BG ⇒ = = ⇒ MI = MQ IQ GF Ta có uuuur r uuuu Tương tự ta có MK = MP uuur uuuur uuu r uuuur uuuur uuuu r uuuu r uuuur GR = − GM ⇒ V 1 ( M ) = R , mà Từ ta có MG = MI + MK = MQ + MP = MR Do  G;− ÷ 3 2  M thuộc cạnh AB nên R thuộc ảnh cạnh AB qua V 1  G;− ÷ 2  đoạn đoạn EF Vậy tập hợp điểm R đoạn EF Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TỐN Các ví dụ Ví dụ Trên cạnh AB tam giác ABC lấy điểm M ,N cho AM = MN = NB , điểm E,F trung điểm cạnh CB,CA , gọi P giao điểm BF CN , Q giao điểm AE với CM Chứng minh PQ / /AB Lời giải: http://dethithpt.com Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có MF đường trung bình tam giác ACN nên MF P CN , mặt khác N trung điểm MB nên P trung điểm BF Ta có uuur uuu r uuur uuu r uuu r GP = BP − BG = BF − BF r uuur uuu = − BF = GB uuuu r r uuuu Tương tự GQ = GA Vậy V 1  G; ÷  4 ( B) = P V 1  G; ÷  4 (A) = Q suy PQ / /AB Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi I,J,M trung điểm A B,AC,IJ Đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác AIJ cắt AO D Gọi E hình chiếu vng góc D BC Chứng minh A ,M ,E thẳng hàng Lời giải: Xét phép vị tự V( A ;2) ta có uuur uur uuur uur AB = 2AI;AC = 2AJ nên V( A ;2) ( I ) = B,V( A ;2) ( J ) = C V( A ;2) biến tam giác A IJ thành tam giác ABC , phép vị tự biến đường tròn ( O ) thành đường tròn ( O') ngoại tiếp tam giác ABC uuuu r uuuu r Do AD = 2AO ⇒ V( A ;2) ( O ) = D ⇒ O' ≡ D , hay D tâm đường http://dethithpt.com tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử V( A ;2) ( M ) = M ' OM ⊥ IJ ⇒ DM ' ⊥ BC ⇒ M ' ≡ E Vậy V( A ;2) ( M ) = E nên A ,M ,E thẳng hàng http://dethithpt.com ... nghiệm hình Bài tốn 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: http://dethithpt.com Để tìm tập hợp điểm M ta quy tìm tập hợp điểm N tìm phép vị tự V( I ;k) cho V( I ;k) (... O1 tâm vị tự hai đường tròn • Nếu Nếu I ≠ I ' R = R' có V( O ;−1) biến ( I;R ) thành ( I ';R') B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ Phương... tự với k = −2 , tính J '( 4;2) Bài tốn 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH Phương pháp: Để dựng hình ( H ) ta quy dựng số điểm ( đủ để xác định hình ( H ) ) ta xem điểm cần dựng