SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN hệ SONG SONG (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Các tính chất thừa nhận  Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt  Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng  Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng  Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng  Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết: - Nó qua ba điểm khơng thẳng hàng - Nó qua điểm đường thẳng không qua điểm - Nó chứa hai đường thẳng cắt Các kí hiệu:  ABC  kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A , B,C ( h1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word -  M ,d -  d ,d  kí hiệu mặt phẳng qua d điểm M �d (h2) kí hiệu mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt d1 ,d2 (h3) Hình chóp hình tứ diện 3.1 Hình chóp Trong mặt phẳng    cho đa giác lồi A1A An Lấy điểm S nằm    Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A , , An ta n tam giác SA1A ,SA2A , ,SAn A1 Hình gồm đa giác A1A2 An n tam giác SA1A ,SA2A , ,SAn A1 gọi hình chóp , kí hiệu S.A1A An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1A2 An đáy , đoạn SA1 ,SA2 , ,SAn cạnh bên, A1A2 , A A3 , , An A1 cạnh đáy, tam giác SA1A2 ,SA2A3 , ,SA n A1 mặt bên… 3.2 Hình Tứ diện Cho bốn điểm A , B,C , D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC , ABD , ACD  BCD  gọi tứ diện ABCD B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp:Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng       thường tìm sau : Tìm hai đường thẳng a, b thuộc       , đồng thời chúng nằm mặt phẳng    đó; giao điểm M  a�b điểm chung       Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : a)  SAC   SBD  A.SC B.SB C.SO O  AC �BD D  S b)  SAC   MBD  A.SM B.MB C.OM O  AC �BD D.SD c)  MBC   SAD  A.SM B.FM F  BC �AD C.SO O  AC �BD D.SD d)  SAB  SCD  A.SE E  AB �CD B.FM F  BC �AD C.SO O  AC �BD D.SD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Gọi O  AC �BD � O �AC � SAC  � �� O �BD � SBD  Lại có S � SAC  � SBD  � � O � SAC  � SBD  � SO   SAC  � SBD  b) O  AC �BD � O �AC � SAC  � �� O �BD � MBD  � � O � SAC  � MBD  Và M � SAC  � MBD  � OM   SAC  � MBD  c) Trong  ABCD  gọi � �F �BC � MBC  F  BC �AD � � � F � MBC  � SAD  �F �AD � SAD  Và M � MBC  � SAD  � FM   MBC  � SAD  d) Trong  ABCD  gọi E  AB �CD , ta có SE   SAB � SCD  Ví dụ Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD , M điểm đoạn AO a) Tìm giao tuyến mặt phẳng  MCD  với mặt phẳng  ABC  A PC P  DC �AN , N  DO �BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B PC P  DM �AN , N  DA �BC C PC P  DM �AB , N  DO �BC D.PC P  DM �AN , N  DO �BC b) Tìm giao tuyến mặt phẳng  MCD  với mặt phẳng  ABD  A.DR R  CM �AQ , Q  CA �BD B DR R  CB �AQ , Q  CO �BD C DR R  CM �AQ , Q  CO �BA D DR R  CM �AQ , Q  CO �BD c) Gọi I , J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ không song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  IJM   ACD  A.FG F  IJ �CD , G  KM �AE , K  BE �IA , E  BO �CD B FG F  IA �CD , G  KM �AE , K  BA �IJ , E  BO �CD C FG F  IJ �CD , G  KM �AE , K  BA �IJ , E  BO �CD D FG F  IJ �CD , G  KM �AE , K  BE �IJ , E  BO �CD Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Trong  BCD  gọi N  DO �BC ,  ADN  gọi P  DM �AN � �P �DM � CDM  �� �P �AN � ABC  � P � CDM  � ABC  Lại có C � CDM  � ABC  � PC   CDM  � ABC  b)Tương tự,  BCD  gọi Q  CO �BD ,  ACQ  gọi R  CM �AQ � �R �CM � CDM  �� � R � CDM  � ABD  �R �AQ � ABD  D điểm chung thứ hai  MCD   ABD  nên DR   CDM  � ABD  c) Trong  BCD  gọi E  BO �CD , F  IJ �CD , K  BE �IJ ;  ABE gọi G  KM �AE � � G �KM � IJM  �F �IJ � IJM  � � F � IJM  � ACD  , � Có � G �AE � ACD  �F �CD � ACD  � � G � IJM  � ACD  Vậy FG   IJM  � ACD  Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word - Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng - Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng lại Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên SA ,SB SC lấy điểm D , E F cho DE cắt AB I , EF cắt BC J , FD cắt CA K Khẳng định sau đúng? A.Ba điểm B, J , K thẳng hàng B Ba điểm I , J , K thẳng hàng C Ba điểm I , J , K không thẳng hàng D.Ba điểm I , J ,C thẳng hàng Lời giải: Ta có I  DE �AB, DE � DEF  � I � DEF  ; AB � ABC  � I � ABC   1 Tương tự J  EF �BC � �J �EF � DEF  �� �J �BC � ABC   2 K  DF �AC � K �DF � DEF  � ��  3 Từ (1),(2) K �AC � ABC  � (3) ta có I , J , K điểm chung hai mặt phẳng  ABC   DEF  nên chúng thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Cho tứ diện SABC có D , E trung điểm AC , BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng    qua AC cắt SE,SB M , N Một mặt phẳng    qua BC cắt SD ,SA tương ứng P Q a) Gọi I  AM �DN , J  BP �EQ Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm S, I , J ,G thẳng hàng B Bốn điểm S, I , J ,G không thẳng hàng C Ba điểm P , I , J thẳng hàng D Bốn điểm I , J ,Q thẳng hàng b) Giả sử K  AN �DM , L  BQ �EP Khằng định sau đúng? A Ba điểm S, K , L thẳng hàng B Ba điểm S, K , L không thẳng hàng C Ba điểm B, K , L thẳng hàng D Ba điểm C, K , L thẳng hàng Lời giải: a) Ta có S � SAE  � SBD  , (1) � � G �AE � SAE  G � SAE � � G  AE �BD � � �� G �BD � SBD  G � SBD  � �  2 � � �I �DN � SBD  �I � SBD  I  AM �DN � � �� �I �AM � SAE  �I � SAE   3 � � �J �BP � SBD  �J � SBD  J  BP �EQ � � �� �J � SAE  �J �EQ � SAE  4 Từ (1),(2),(3) (4) ta có S, I , J ,G điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word chung hai mặt phẳng  SBD   SAE  nên chúng thẳng hàng Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Một mặt phẳng    cắt cạnh bên SA ,SB,SC ,SD tưng ứng điểm M , N , P ,Q Khẳng định đúng? A Các đường thẳng MP , NQ,SO đồng qui B Các đường thẳng MP , NQ,SO chéo C Các đường thẳng MP , NQ,SO song song D Các đường thẳng MP , NQ,SO trùng Lời giải: Trong mặt phẳng  MNPQ  gọi I  MP �NQ Ta chứng minh I �SO Dễ thấy SO   SAC  � SBD  � �I �MP � SAC  � �I �NQ � SBD  � �I � SAC  �� � I �SO I � SBD   � Vậy MP , NQ,SO đồng qui I Ví dụ Cho hai mặt phẳng  P   Q  cắt theo giao tuyến đường thẳng a Trong  P  lấy hai điểm A , B không thuộc a S điểm không thuộc  P  Các đường thẳng SA ,SB cắt  Q  tương ứng điểm C , D Gọi E giao điểm AB a.Khẳng định đúng? A AB,CD a đồng qui http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B AB,CD a chéo C AB,CD a song song D AB,CD a trùng Lời giải: Trước tiên ta có S �AB ngược lại S �AB � P  � S � P  (mâu thuẫn giả thiết) S, A , B khơng thẳng hàng, ta có mặt phẳng  SAB � C �SA � SAB � Do C  SA � Q  � � C � Q  � � C � SAB � �� C � Q  �  1 � �D �SB � SAB Tương tự D  SB � Q  � � �D � Q  � �D � SAB �� �D � Q   2 Từ (1) (2) suy CD   SAB � Q  � � �E �AB � SAB �E � SAB �� Mà E  AB �a� � �E � Q  �E �a � Q  � E �CD Vậy AB,CD a đồng qui đồng qui E Bài tốn 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M điểm cạnh SD cho SM  SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với  SAC  b) N điểm thay đổi cạnh BC Xác định giao tuyến d  SBC   AMN  Chứng minh d qua điểm cố định c) Gọi G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp với  MNG 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng    căt cạnh bên SA ,SB,SC tương ứng điểm A ', B',C ' Gọi O giao điểm AC BD a) Tìm giao điểm D '    với SD b) Chứng minh SA SC SB SD    SA ' SC ' SB' SD ' 16 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I , J hai điểm cạnh AD SB a) Tìm giao điểm K , L đường thẳng IJ DJ với  SAC  b) Giả sử O  AD �BC , M  OJ �SC Chứng minh A , K , L , M thẳng hàng 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD , AB  2CD Gọi I trung điểm SA , J điểm cạnh SC với JS  JC Gọi    mặt phẳng quay quanh IJ , cắt cạnh SD ,SB M , N Tìm tập hợp giao điểm IM JN  AC.BD  AD.CB Chứng 18 Cho tứ diện ADCD thỏa mãn điều kiện ABCD minh đường thẳng qua đỉnh tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đồng qui điểm ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Ta có M , N điểm chung hai mặt phẳng (MBC) (NAD ) nên (MBC) �(NAD )  MN � �I �BM � BCM  � I � BCM  � DEF  b) Gọi I  BM �DE � � I � DE � DEF   � Tương tự, gọi J  CM �DF � J � BCM  � DEF  Do IJ   BCM  � DEF  a)Ta có (SAB) �(SCD)  SE, (SAC) �(SBD )  SF b) Gọi I , J giao điểm EF với BC , AD (SEF ) �(SAD)  SJ , (SEF ) �(SBC)  SI a) Gọi E, F giao điểm AM , AN với BD CD EF  (AMN ) �(BCD ) b) Gọi I , K giao điểm DN , DM với AC ABthì EF  (DMN ) �( ABC) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Trong  BCD  gọi E  CD �NP � �E �CD � �E �NP � MNP  � E  CD � MNP  b) Trong  ACD  gọi Q  AD �ME ta có  MNP  � ABD   PQ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Trong  ABCD  gọi O  AC �BD ,  SAC  gọi I  AM �SO �� �I AM �� � I  AM � SBC  �I �SO � SBD  b) Trong  ABCD  gọi J  AN �BD , kéo dài IJ cắt SD K Ta có � K �SD � � K  SD � AMN  � K �IJ � AMN  � a) Gọi E  AB �   E cố định � �E �AB �   � E �     �   � E �    �  1 Tương tự � �M  d1 �   � M �     �    2 � d1 �   � � �N  d1 �   � d1 �   � � N �     �    3 Từ  1 , 2 , 3 suy M , N , E thẳng hàng hay MN qua điểm E cố định � �I �AM �mp A , d1  � I � '  mp A , d1  �mp B,d2  b) Ta có I  AM �BN � � �I �BN �mp B,d2  rõ ràng mp A ,d1  , mp B,d2  mặt phẳng cố định nên  ' cố định http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy I thuộc đường thẳng cố định  ' c) Lập luận tương tự câu b) ta có J � "  mp A ,d2  �mp B,d1  d) Gọi    mặt phẳng xác định  ',  "    cố định Gọi F  AB �   Gọi K  AB �   � K cố định Dễ thấy I , J điểm chung mặt phẳng  A ,d1  , B,d2   A ,d2  , B,d1  nên I , J thuộc mp  ',  " Vậy I , J , K thẳng hàng IJ qua điểm K cố định �E �CD � a) Trong  BCD  gọi E  JK �CD � � �E � IJK  � E  CD � IJK  Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác BCD cát tuyến EKJ ta có KD JB EC  mà KB JC ED KD JB EC  ,  1,  Hay DE  DC KB JC ED � �F �AD b) Trong  ACD  gọi F  AD �IE � � �F �IE � IJK  F  AD � IJK  Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ACD cát tuyến EFI ta có EC FD IA EC  1, mà  ( câu a) ED FA IC ED IA FD  suy  � FA  2FD IC FA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Do FD KD FD KD  ,  �  � FK P AB FA KB FA KB a) Gọi O  AC �BD ,  SAC  gọi � �E �AM E  AM �SO � � � E  AM � SBD  �E �SO � SBD  Do O , M trung điểm AC SC nên E trọng tâm tam giác SAC EM  EA b) Trong  SBD  gọi � �F �SD F  BE �SD � � � F  SD � ABM  �F �BE � ABM  Vì SO trung tuyến tam giác SBD SE  ( E trọng tâm tam giác SAC ) SO nên E trọng tâm tam giác SBD , F trung điểm SD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Gọi E trung điểm AD �� �I MG I  MG �BE � � �I �BE � ABCD  � I  GM � ABCD  Gọi N trung điểm BE MN P SE SE IG GE    , mà IM Ta có IM MN SE trung tuyến SBI nên G trọng tâm SBI � E trung điểm BI , ABDI hình bình hành DI P AB , mặt khác CD P AB Vậy I ,C , D thẳng hàng, hay I �CD IC  2ID b) Trong  ABCD  gọi J  AD �OI J giao điểm AD với  OMG Dễ thấy J trọng tâm tam giác IAC nên JA  JD c) Trong  SAD  gọi K  JG �SA K giao điểm  OMG với SA Ta có J trọng tâm tam giác IBD nên EJ EG   � JG PSD từ ta có ED ES KS JD   KA JA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 � �I �c �mp O ,c a) Ta có I  c �   � � �I �   Lại có O �   �mp O ,c � OI     �mp O ,c � O �a �mp M ,a � b) Do O  a�b� � O �b �mp M ,b � � O �mp M , a �mp M ,b Vậy OM  mp M , a �mp M ,b , rõ ràng OM �mp O, c cố định 11 a) Gọi O  AC �BD ,  SAC  gọi I  SO �AN ,  SBD  gọi P  MI �SD P  SD � AMN  b) Thiết diện tứ giác AMNP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 12 a) Trong    gọi K  IJ �MN Ta chứng minh S,O , K thẳng hàng K  IJ �MN Thật � K �IJ � SAC  � �� K �MN � SBD  � � K � SAC  � SBD  Mà SO   SAC  � SBD  � K �SO Vậy SO , IJ , MN đồng qiu K E  AB �CD � �E �AB � SAB � � b) Ta có �E �CD � SCD  � E � SAB � SCD  Tương tự F � SAB � SCD  , S, E, F điểm chung hai mặt phẳng  SAB  SCD  nên chứng thẳng hàng c) Do IJ không song song với AC nên  SAC  gọi R  IJ �AC R cố định Dễ thấy PQ   ABCD  �   �R �IJ R  IJ �AC � � �R �AC � �R �   �� � R �PQ �R � ABCD  Vậy PQ qua điểm R cố định    thay đổi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 a) Trong  ABC  gọi E  MN �AC ,  SAC  gọi Q  EP �SA , thiết diện tứ giác MNPQ b) Vì I  MP �NQ � �I �MP � SMC  �� �I �NQ � SAN  � I � SAN  � SMC  Mặt khác gọi O  AN �CM O cố định nên SO   SCM  � SAN  cố định Vậy I thuộc đường thẳng SO cố định 14 a) Gọi O  AC �BD , I  SO �BM �� �I BM � �I �SO � SAC  � I  BM � SAC  b) Gọi K  AN �BD , J  SO �KM , E  AJ �SC Do J �KM � AMN  � AJ � AMN  � E � AMN  � E � SBC  � AMN  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ ta có NE   AMN  � SBC  Gọi d   SAD  � SBC  d cố định Trong  SAD  gọi F  AM �d F cố định Do F �d � SBC  � F � SBC  Vậy N , E, F điểm chung hai mặt phẳng  AMN   SBC  nên chúng thẳng hàng, hay NE qua điểm F cố định c) Gọi Y trung điểm AB X  DY �MG Trong  ABCD  gọi O  NX �AB Z  NX �CD ,  SCD  gọi T  MZ �SC  SAB gọi P  QG �SA Thiết diện ngũ giác MPQNT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15 a) Trong  SAC  gọi I  SO �A 'C ' , I �SO �BD � I � SBD  Trong  SBD  gọi D '  B' I �SD �D ' �SD � �� � D '  SD �   �D ' �B' I �   ‘ b) Kẻ AK P A 'C ', K �SO CJ ' P A 'C ', J �SO Ta có Và  SA SK  SA ' SI SC SJ SA SC SO SK  �    SC ' SI SA ' SC ' SI SI SO  SJ  SO  OK    SO  OJ  2SO   SI SI SI ( AK PCJ �  1 OK OA   1� OK  OJ ) OJ OC Tương tự ta tính SB SD 2SO   SB' SD ' SI  2 Từ  1 , 2 suy ra: SA SC SB SD    SA ' SC ' SB' SD ' ( đpcm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 16 a) Trong  ABCD  gọi E  AC �BI � E �BI � SBI  Trong  SBI  gọi � K �IJ � K  IJ �SE � � K �SE � SAC  � � K  IJ � SAC  Trong  ABCD  gọi F  AC �BD � F �BD � SBD  Trong  SBD  gọi �L �DJ � L  SF �DJ � � �L �SF � SAC  � L  DJ � SAC  b) Dễ thấy A , K , L , M � SAC   1 Mặt khác K �IJ � AOJ  , L �DJ � AOJ  , M �OJ � AOJ  nên A , K , L , M � AOJ   2 Từ  1 , 2 suy A , K , L , M thuộc hai mặt phẳng  SAC   AOJ  nên chúng thuộc giao tuyến hai mawth phẳng  SAC   AOJ  , hay A , K , L , M thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 17 Gọi O  AC �BD , K  IJ �SO SO, MN , IJ đồng quy K Gọi � �H �MI � SAB H  MI �NJ � � � H � SAB � SCD  �H � SBC  Gọi E  AD �BC � SE   SAD  � SBC  Vậy H �SE Gới hạn Gọi M  BK �SD N  DK �SB Khi M � M N � B Khi N � N M � D Vậy để    cắt cạnh SB,SD M thuộc đoạn DM N thuộc đoạn BN Gọi H  IM �SE quỹ tích điểm H tia H 1x chứa E (Bạn đọc tự làm phần đảo) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 18 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD E  AI �CD Theo tính chất đường phân giác ta có ED BD  EC BC  1 Mặt khác từ giả thiết ABCD  AC.BD � BD AD  BC AC  2 EC AD  � AE ED AC đường phân giác góc A tam giác ACD Nghĩa tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ACD thuộc AE Do AI BJ thuộc Từ  1  2 suy  ABE nên chúng cắt O Vậy bốn đường thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đơi cắt chúng không đồng phẳng nên phải đồng quy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng - Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng. .. định đúng? A Các đường thẳng MP , NQ,SO đồng qui B Các đường thẳng MP , NQ,SO chéo C Các đường thẳng MP , NQ,SO song song D Các đường thẳng MP , NQ,SO trùng Lời giải: Trong mặt phẳng  MNPQ  gọi... ngũ giác MNRHT Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Để dựng đường thẳng d qua O cắt d1 ,d2 ta dựng giao tuyến hai mặt phẳng mp O ,d1 