Bài 4 đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau

CHUYÊN ĐỀ BÀI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết hai đường thẳng song song + Nhận biết hai đường thẳng cắt + Phát biểu điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc, trùng  Kĩ + Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng + Vận dụng tìm điều kiện tham số để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vng góc, trùng + Thành thạo cách xác định phương trình đường thẳng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng song song Hai đường thẳng y ax  b y ax  b song song với a a , b b trùng a a , b b Ví dụ: Vẽ đường thẳng ( d ): y 2 x  (d ): y 2 x  Xét đường thẳng ( d ): y 2 x  2 x y Đường thẳng ( d ): y 2 x  qua hai điểm A( 0; ) B(  2; ) Xét đường thẳng (d ): y 2 x  x y 2 Đường thẳng (d ): y 2 x  qua hai điểm C( 0;  ) D( 1; ) Đồ thị hàm số ( d ): y 2 x  (d ): y 2 x  hình vẽ Đường thẳng cắt y ax  b đường thẳng Hai y ax  b cắt a a Ví dụ: Vẽ đường thẳng ( d ): y 2 x  (d ): y  x  Xét đường thẳng ( d ): y 2 x  x 2 y Đường thẳng ( d ): y 2 x  qua hai điểm A( 0; ) B(  2; ) Xét đường thẳng (d ): y  x  x –1 y 2 Đường thẳng (d ): y  x  qua hai điểm C( 0;  ) D(  1; ) Đồ thị hàm số ( d ): y 2 x  (d ): y  x  hình vẽ Trang Chú ý: - Khi a a b b hai đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b - Khi a.a  hai đường thẳng vng góc với SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đường thẳng song song với đường thẳng , VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng trùng với đường thẳng , Đường thẳng cắt đường thẳng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải Cho hai đường thẳng ( d1 ): y ax  b Ví dụ: Cho ba đường thẳng (d1 ): y  x  , (d ): y ax  b (d ): y x  (d3 ): y 2 x  Xác định ( d1 ) // ( d )  a a b b vị trí tương đối cặp đường thẳng (d1 ) (d1 ) (d )  a a  b b (d ) , (d ) (d3 ) (d1 ) cắt (d )  a a Hướng dẫn giải Xét hai đường thẳng Trang ( d1 )  (d )  a.a  (d1 ): y  x  có a1 1, b1 1 ; Chú ý: Gọi  góc tạo đường thẳng y ax  b (d ): y x  có a2 1, b2 3 trục Ox, a  tan  a Hai đường thẳng (d1 ) (d ) song song với a1 a2 1, b1 b2 (1 3) Xét hai đường thẳng ( d3 ): y 2 x  có a3 2, b3 1 ; (d ): y x  có a2 1, b2 3 Hai đường thẳng (d3 ) (d ) cắt a2 a3 (1 2) Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) (d1 ): y 5 ( d ): y  b) (d3 ): y 2 x  (d ): y x  Hướng dẫn giải a) Xét hai đường thẳng ( d1 ): y 5 ( d ): y  Ta có ( d1 ): y 5 đường thẳng song song với Ox; ( d ): y  đường thẳng song song với Ox Mà  5 nên hai đường thẳng (d1 ) (d ) song song b) Xét hai đường thẳng (d3 ): y 2 x  (d ): y x  Đường thẳng (d3 ): y 2 x  có hệ số a3 2; b3  Đường thẳng (d ): y x  có hệ số a4 1; b4 2 Hai đường thẳng (d3 ) (d ) cắt a3 a4 (2 1) Ví dụ Xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) ( d1 ): y 3x  (d ): y 3 x  b) (d3 ): y 2( x  2)  x 1 (d ): y  x  Hướng dẫn giải a) Xét hai đường thẳng ( d1 ): y 3 x  (d ): y 3 x  Đường thẳng ( d1 ): y 3 x  có hệ số a1 3; b1 3 Đường thẳng (d ): y 3 x  có hệ số a2 3; b2  Hai đường thẳng (d1 ) (d ) song song với a1 a2 3 b1 b2 (3  5) b) Xét hai đường thẳng (d3 ): y 2( x  2)  x  (d ): y  x  Đường thẳng ( d3 ): y 2( x  2)  x   (d3 ): y  x  Ta có đường thẳng (d3 ) có hệ số a3 1 ; b3  Trang đường thẳng (d ): y  x  có hệ số a4 1; b4  Vậy hai đường thẳng ( d3 ): y 2( x  2)  x  (d ): y  x  trùng Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ba đường thẳng ( d1 ): y  x  , (d ): y 2 x  (d3 ): y  x  Xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng (d1 ) (d ) , (d ) (d3 ) , (d1 ) (d3 ) Đáp án Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng (d1 ) (d ) Đường thẳng ( d1 ): y  x  có hệ số a1  1; b1 1 Đường thẳng (d ): y 2 x  có hệ số a2 2; b2 2 Suy đường thẳng (d1 ) cắt đường thẳng (d ) a1 a2 (1 2) Xác định vị trí tương đối (d ) (d3 ) Đường thẳng (d ): y 2 x  có hệ số a2 2; b2 2 Đường thẳng (d3 ): y  x  có hệ số a3  1; b3 2 Suy đường thẳng (d3 ) cắt đường thẳng (d ) a3 a2 (2  1) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng (d1 ) (d3 ) Đường thẳng ( d1 ): y  x  có hệ số a1  1; b1 1 Đường thẳng (d3 ): y  x  có hệ số a3  1; b3 2 Suy đường thẳng (d1 ) song song với đường thẳng (d3 ) a1 a3  1; b1 b3 (1 2) Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ) : y 3( x  1)  x  , (d ) : y 3x  2( x  5) Xác định vị trí tương đối đường thẳng (d1 ) ; (d ) Đáp án Xét đường thẳng ( d1 ) : y 3( x  1)  x  ta có y 3( x  1)  x   y 3x   x   y  x  Vậy phương trình đường thẳng (d1 ) có dạng y  x  Xét phương trình (d ) : y 3x  2( x  5) ta có y 3x  2( x  5)  y 3x  x  10  y  x  10 Vậy phương trình đường thẳng (d ) có dạng y x  10 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng (d1 ) : y  x  ; (d ) : y  x  10 Đường thẳng (d1 ) : y  x  có hệ số a1 1; b1 5 Đường thẳng (d ) : y  x  10 có hệ số a2 1; b2 10 Vậy suy hai đường thẳng (d1 ) (d ) song song a1 a2 1 b1 b2 (5 10) Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vng góc, trùng Trang Phương pháp giải Ví dụ: Tìm m để đồ thị hai hàm số (d1 ) : y 2 x  (d ) : y (m  3) x  m song song với Bước Xác định hệ số a, b đường thẳng Hướng dẫn giải Hàm số (d1 ) : y 2 x  có hệ số a 2 ; b 3 Hàm số (d ) : y (m  3) x  m có hệ số Bước Dựa vào điều kiện tương giao đường thẳng a (m  3) ; b  m2 Đồ thị hai hàm số cho song song m  2  m 3 Hai đường thẳng song song a a b b Hai đường thẳng trùng khi a a b b Hai đường thẳng cắt a a Hai đường thẳng vng góc với a.a  Kết hợp yêu cầu thiết lập phương trình, bất phương trình có ẩn tham số Bước Giải kết luận Xét m  2  m  ;  m 3 với m  m 0 với m Vậy với m  đồ thị hai hàm số (d1 ) : y 2 x  (d ) : y (m  3) x  m song song Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc (d1 ) : y mx  2m  (d ) : y (2m  3) x  cắt Hướng dẫn giải Hàm số (d1 ) : y mx  2m  có hệ số a m b 2m  Chú ý: Khi đề yêu cầu hàm số hàm bậc lưu ý đến điều kiện Hàm số (d ) : y (2m  3) x  có hệ số a 2m  b  Các hàm số cho hàm số bậc nhất, hệ số a a khác 0, tức  m 0  m 0     2m  0  m  Đồ thị hai hàm số cho cắt a a tức 2m  m Trang  m 3 Vậy với m 3 , m 0 m  đồ thị hai hàm số bậc (d1 ) : y mx  2m 1 (d ) : y (2m  3) x  cắt m x  Ví dụ Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc (d1 ) : y  (d ) : y 2 x  vng góc với Huơng dẫn giải Hàm số (d1 ) : y  m m x  có hệ số a  b 3 2 Hàm số (d ) : y 2 x  có hệ số a 2 b  Các hàm số cho hàm số bậc nhất, hệ số a a khác 0, tức m  0   m 1  2 0 Đồ thị hai hàm số cho vng góc với a.a  tức m   m    m 0 (thỏa mãn m 1 ) Vậy với m 0 đồ thị hai hàm số bậc (d1 ) : y  m x  (d ) : y 2 x  vng góc với Ví dụ Tìm m để hai đồ thị hàm số bậc ( d1 ) : y m x  m (d ) : y  x  trùng Hướng dẫn giải Hàm số ( d1 ) : y m x  m có hệ số a m b m Hàm số (d ) : y  x  có hệ số a 1 b 1 Các hàm số cho hàm số bậc nhất, hệ số a a khác 0, tức m2 0  m 0  1 0 Đồ thị hai hàm số cho trùng m 1  a a   m 1 (thỏa mãn m 0 )  b b m 1 Vậy với m 1 đồ thị hai hàm số bậc ( d1 ) : y m x  m Trang (d ) : y  x  trùng Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số bậc y mx  y 2 x  Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số trùng Đáp án Hàm số y mx  có hệ số a m b 1 Hàm số y 2 x  có hệ số a 2 b 1 m 0  m 0 Các hàm số hàm số bậc nên  2 0 m 2  m 2 (thỏa mãn m 0 ) Đồ thị hai hàm số trùng  1 1 Vậy với m 2 đồ thị hai hàm số y mx  y 2 x  trùng Câu 2: Cho hàm số bậc y ( m  1) x  y 3x  Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số song song với Đáp án Hàm số y ( m  1) x  có hệ số a m  b 3 Hàm số y 3x  có hệ số a 3 b 1 m  0  m 1 Các hàm số hàm số bậc nên  3 0 m  3  m 4 (thỏa mãn m 1 ) Đồ thị hai hàm số song song với  3 1 Vậy với m 4 đồ thị hai hàm số y ( m  1) x  y 3x  song song với Câu 3: Cho hàm số bậc y (1  2m) x  y  x  Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số cắt Đáp án Hàm số y (1  2m) x  có hệ số a 1  2m b 5 Hàm số y  x  có hệ số a  b 1 1  2m 0  m Các hàm số hàm số bậc nên   0 Đồ thị hai hàm số cắt  2m   m 1 Vậy với m 1 ; m  đồ thị hai hàm số y (1  2m) x  y  x  cắt Câu 4: Cho hàm số bậc y  m x  y 4 x  Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hai hàm số vng góc với Đáp án Hàm số y  m m x  có hệ số a  b 3 2 Trang Hàm số y 4 x  có hệ số a 4 b 1 m  0  m 0 Các hàm số hàm số bậc nên   0 Đồ thị hai hàm số vng góc với Vậy với m  m 1   m  (thỏa mãn m 0 ) 2 1 m đồ thị hai hàm số y  x  y 4 x  vng góc với 2 Câu 5: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc (d1 ) : y (m  2) x  2m ; (d ) : y 2 x  a) hai đường thẳng song song b) hai đường thẳng trùng Đáp án Hàm số y (m  2) x  2m có hệ số a m2  b 2m Hàm số y 2 x  có hệ số a 2 b 4 m  0  m  Các hàm số hàm số bậc nên  2 0 a) Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song  m2  2 m 2   m  (thỏa mãn m  )  m 2  2m 4 Vậy với m  đồ thị hai hàm số (d1 ) : y (m  2) x  2m (d ) : y 2 x  song song với b) Đồ thị hai hàm số hai đường thẳng trùng  m  2    2m 4 m 2  m 2 (thỏa mãn m  )  m 2 Vậy với m 2 đồ thị hai hàm số (d1 ) : y (m  2) x  2m (d ) : y 2 x  trùng Câu 6: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc ( d1 ) : y mx  m  (d ) : y  x  a) hai đường thẳng cắt b) hai đường thẳng vng góc Đáp án Hàm số y mx  m  có hệ số a m b  m  1 Hàm số y  x  có hệ số a  b 4 3 m 0   m 0 Các hàm số hàm số bậc nên  0  3 a) Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt m  Trang 1 Vậy với m  ; m 0 đồ thị hai hàm số ( d1 ) : y mx  m  (d ) : y  x  cắt 3 b) Đồ thị hai hàm số hai đường thẳng vng góc m   m  (thỏa mãn m 0 ) Vậy với m  đồ thị hai hàm số ( d1 ) : y mx  m  (d ) : y  x  vng góc với Câu 7: Tìm m để đồ thị hai hàm số bậc y (2m2  m) x  m  m ; y  x  song song với Đáp án Hàm số y (2m  m) x  m  m có hệ số a 2m  m b m2  m Hàm số y x  có hệ số a ' 1 b ' 2 2m  m 0  m(2m  1) 0  Các hàm số hàm số bậc nên  1 0 m 0   m   Đồ thị hai hàm số y (2m2  m) x  m  m ; y  x  song song với   m 1  2  2m  m 1  2m  m  0 (2m  1)( m  1) 0    m       m   2  m  m 2 m  m  0 (m  2)(m  1) 0     m 1    m   (thỏa mãn m 0; m  ) Vậy với m  đồ thị hai hàm số bậc y (2m  m) x  m  m y  x  song song với Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Xác định phương trình đường thẳng biết điểm qua Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y ax  Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm M (1;3) Bước Thay tọa độ điểm qua vào phương trình đường thẳng Bước Thiết lập phương trình Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y ax  qua điểm M (1;3) Thay x 1 y 3 vào y ax  , ta a.1  Trang 10 Bước Giải phương trình Bước Kết luận  a 2 Vậy với a 2 đồ thị hàm số y ax  qua M (1;3) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y 2mx  3m  Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ –1 Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y 2mx  3m  cắt trục hoành điểm có hồnh độ –1 tức đồ thị hàm số qua điểm M ( 1;0) Thay x  y 0 vào y 2mx  3m  , ta 2m.( 1)  3m   m 1 Vậy với m 1 đồ thị hàm số y 2mx  3m  số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ –1 Ví dụ Xác định a, b để đường thẳng y ax  b qua hai điểm A(1;3) B (2;5) Hướng dẫn giải Đường thẳng y ax  b qua điểm A(1;3) suy a  b 3 (1) Đường thẳng y ax  b qua điểm B (2;5) suy 2a  b 5 (2) Từ (1) rút a theo b, ta a 3  b Thay vào (2) ta có 2(3  b)  b 5   b   b 1 Với b 1 suy a 2 Vậy với a 2 , b 1 đồ thị hàm số y ax  b qua hai điểm A(1;3) B (2;5) Ví dụ Cho hàm số y  mx  Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  x  điểm có hồnh độ Hướng dẫn giải Gọi A giao điểm đồ thị hai hàm số y  mx  y  x  Vì đồ thị hàm số y  mx  y  x  cắt điểm có hồnh độ suy tọa độ điểm A A(1; 4) Đồ thị hàm số y  mx  qua A(1; 4) nên  m.1   m  Vậy với m  đồ thị hàm số y  mx  y  x  cắt điểm có hồnh độ Bài tốn 2: Xác định phương trình đường thẳng biết vị trí tương đối hai đường thẳng điểm qua Phương pháp giải Ví dụ: Xác định phương trình đường thẳng qua điểm A(1;5) song song với đường thẳng Trang 11 y  x  Bước Dựa vào vị trí tương đối hai Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng qua điểm A(1;5) đường thẳng để xác định hệ số a song song với đường thẳng y  x  y ax  b Vì đường thẳng y ax  b song song với đường thẳng y  x  suy a  b 3 Khi phương trình đường thẳng y ax  b có dạng y  x  b (b 3) Bước Thay tọa độ điểm mà đường thẳng qua Mặt khác đường thẳng y  x  b qua điểm để xác định hệ số b Bước Kết luận A(1;5) nên   b  b 6 (thỏa mãn b 3 ) Vậy định phương trình đường thẳng qua điểm A(1;5) song song với đường thẳng y  x  y  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định phương trình đường thẳng qua điểm A(1;  2) vuông góc với đường thẳng y  x 3 Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng qua điểm A(1;  2) vng góc với đường thẳng y  x  y ax  b Vì đường thẳng y ax  b vng góc với đường thẳng y  x  suy a   a  Khi phương trình đường thẳng y ax  b có dạng y  x  b Mặt khác đường thẳng y  x  b qua điểm A(1;  2) suy  2.1  b  b 0 Vậy phương trình đường thẳng qua điểm A(1;  2) vng góc với đường thẳng y  x  y  x Ví dụ Xác định phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Hướng dẫn giải Trang 12 Gọi phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ là y ax  b Vì đường thẳng y ax  b song song với đường thẳng y  x  suy a  b 2 Khi phương trình đường thẳng y ax  b có dạng y  x  b (b 2) Mặt khác đường thẳng y  x  b cắt trục hoành điểm có hồnh độ hay đường thẳng y  x  b qua điểm M (6; 0) suy  3.6  b  b 18 (thỏa mãn b 2 ) Vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ là y  3x  18 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y (m  1) x  Tìm tham số m để đồ thị hàm số qua điểm M (1;3) Đáp án Đồ thị hàm số y (m  1) x  qua điểm M (1;3) nên (m  1).1   m  1  m 2 Vậy với m 2 đồ thị hàm số y (m  1) x  qua điểm M (1;3) Câu 2: Cho hàm số y (3m  1) x  m  Tìm tham số m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ  Đáp án Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ –3 nên đồ thị hàm số qua điểm (0;–3) Thay x 0 y  vào hàm số, ta  (3m  1).0  m   m  Vậy với m  đồ thị hàm số y (3m  1) x  m  cắt trục tung điểm có tung độ –3 Câu 3: Cho hàm số y 2mx  3m  Tìm tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ Đáp án Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ nên đồ thị hàm số qua điểm (1;0) Thay x = y = vào hàm số, ta 2m.1  3m   m 2 Vậy với m = đồ thị hàm số y 2mx  3m  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Câu 4: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M (1;  2) song song với đường thẳng y 2 x  Đáp án Gọi phương trình đường thẳng qua điểm M (1;  2) song song với đường thẳng y 2 x  có dạng y ax  b a 2 Vì đường thẳng y ax  b song song với đường thẳng y 2 x  nên   b 1 Khi phương trình đường thẳng y ax  b có dạng y 2x  b  b 1 Trang 13 Mặt khác đường thẳng y 2x  b qua điểm M (1;  2) nên  2.1  b  b  (thỏa mãn b 1 ) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y 2x  Câu 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M (2;3) song song với đường thẳng y 2 x  Đáp án Gọi phương trình đường thẳng qua điểm M (2;3) song song với đường thẳng y 2 x  có dạng y ax  b a 2 Vì đồ thị hàm số y ax  b song song đồ thị hàm số y 2 x  nên  b 1 Khi phương trình đường thẳng y ax  b có dạng y 2 x  b (b 1) Mặt khác đường thẳng y ax  b qua điểm M (2;3) suy 2.2  b  b  (thỏa mãn b 1 ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm M (2;3) song song với đường thẳng y 2 x  y 2 x  Câu 6: Viết phương trình đường thẳng vng góc với đường thẳng y  x  cắt trục tung điểm có tung độ  Đáp án Gọi phương trình đường thẳng vng góc với đường thẳng y  x  cắt trục tung điểm có tung độ  có dạng y ax  b 3 Vì đồ thị hàm số y ax  b vng góc với đường thẳng y  x  nên a   a  3 Khi phương trình hàm số y ax  b có dạng y  3 x b Mặt khác đường thẳng y ax  b cắt trục tung điểm có tung độ –5 suy đồ thị hàm số đường thẳng qua điểm M (0;  5) Thay x 0 y  vào hàm số, ta   3  b  b  2 Vậy phương trình đường thẳng vng góc với đường thẳng y  x  cắt trục tung điểm có tung độ  y  3 x  Câu 7: Xác định m để đường thẳng y mx  3m  qua điểm A(1;  3) Đáp án Đường thẳng y mx  3m  qua điểm A(1;  3) Thay x 1 y  vào hàm số y mx  3m  , ta  m.1  3m   4m   m  1 Trang 14 Vậy với m  1 đồ thị hàm số y mx  3m  qua điểm A(1;  3) Câu 8: Xác định m để đường thẳng y (2m  1) x  3m  song song với đường thẳng y 3 x  Đáp án Hàm số y (2m  1) x  3m  có hệ số a 2m  ; b 3m  Hàm số y 3 x  có hệ số a 3 b 9 Để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song a a b b Xét a a suy 2m  3  2m 4  m 2 Xét b b suy 3m  9  3m 7  m  Kết hợp hai điều kiện trên, ta m 2 Vậy để đồ thị hai hàm số y (2m  1) x  3m  y 3 x  hai đường thẳng song song m 2 Trang 15