Bài 4 đường trung bình của tam giác, của hình thang

CHUYÊN ĐỀ BÀI ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa, định lí đường trung bình tam giác + Nắm định lí, định nghĩa đường trung bình hình thang  Kĩ + Tính độ dài đoạn thẳng thơng qua tính chất đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang + Chứng minh đường thẳng song song dựa vào tính chất đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường trung bình tam giác - Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác - Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba - Định lí 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang - Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn nối trung điểm hai cạnh bên hình thang - Định lí 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai - Định lí 4: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đường trung bình tam giác MN đường trung bình Đường trung bình hình thang MN đường trung bình Định nghĩa Tính chất MN đường trung bình MN đường trung bình Độ dài Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình tam giác để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Ví dụ: Tính độ dài đoạn thẳng BC hình sau Hướng dẫn giải Bước Chứng minh đường trung bình Xét ABC, ta có: AE EC, AD DB Bước Sử dụng tính chất độ dài đường  DE đường trung bình tam giác ABC trung bình (Theo định nghĩa đường trung bình)  DE  BC (Theo định lí 2)  BC 6  cm  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vẽ sau Chứng minh D trung điểm AB Hướng dẫn giải Xét ABC ta có: AE = EC (Giả thiết)    DE / /BC AED ACB  Theo định lí ta có DE đường trung bình ABC  D trung điểm AB Ví dụ Cho ABC, BD đường trung tuyến, E trung điểm đoạn thẳng AD, F trung điểm đoạn thẳng DC, M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: a) ME / /NF b) ME NF Hướng dẫn giải a) Xét ABD, ta có: M, E trung điểm AB, AD  ME đường trung bình ABD Trang  ME / /BD  1 Tương tự CBD, ta có: NF / /BD   Từ (1) (2), ta suy ra: ME / / NF (vì song song với BD) b) Theo tính chất đường trung bình tam giác (theo định lí 2) 1 ME  BD NF  BD 2 Vậy ME NF Ví dụ Cho ABC cân A Gọi M trung điểm đường cao AH D giao điểm CM AB a) Gọi N trung điểm BD chứng minh HN // DC b) Chứng minh AD  AB Hướng dẫn giải a) Ta có ABC tam giác cân A nên đường cao AH đường trung tuyến, hay H trung điểm BC Xét BCD, ta có: H, N trung điểm BC BD nên HN đường trung bình BCD  HN / /DC b) Ta có HN / /DC (chứng minh câu a)  HN / /MD Xét AHN, ta có: M trung điểm AH, DM / /HN  DM đường trung bình AHN  D trung điểm AN  AD  AB Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn câu sai A Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác B Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba C Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba cạnh D Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy.  Câu 2: Cho ABC có E trung điểm AC, DE // BC, AD 6 cm, DB x Tham khảo hình vẽ Giá trị x Trang A x 3cm B x 4cm C x 5cm D x 6cm Câu 3: Cho tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm đường cao AH D giao điểm CI AB a) Gọi N trung điểm BD Chứng minh HN // DC b) Chứng minh AD  AB Câu 4: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD DE EB Đoạn CD cắt AM I Chứng minh: a) EM song song với DC b) I trung điểm AM c) DC 4DI Dạng 2: Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình hình thang để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Cách Sử dụng định nghĩa đường trung bình Ví dụ: Cho hình thang ABCD, hình thang AB // EF // GH // CD, AB 4cm, GH 8cm Tìm Cách Sử dụng định lí 3, định lí x, y Hướng dẫn giải +) Hình thang ABHG có: E, F trung điểm AG BH Theo định nghĩa đường trung bình hình thang ta có EF đường trung bình hình thang ABHG  EF   x AB  HG (theo định lí 4) 8 6  cm  +) Xét hình thang EFCD, ta có: G, H trung điểm ED FC Trang Theo định nghĩa đường trung bình hình thang ta có GH đường trung bình hình thang EFCD  GH  EF  CD (theo định lí 4)  CD 2GH  EF  y 2.8  10  cm  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I K cho AI IK KD Từ I K kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự F H a) Chứng minh: BF FH HC b) Cho CD 8cm; IF 6cm Tính AB HK Hướng dẫn giải a) Dễ thấy ABHK, IFCD hình thang Ta có I trung điểm AK (giả thiết) IF//AB (giả thiết)  IF đường trung bình hình thang ABHK  F trung điểm BH hay BF FH Tương tự hình thang IFCD ta có KH đường trung bình nên FH HC  BF FH HC b) Xét tứ giác IFCD, ta có: KH   KH  IF  CD (KH đường trung bình hình thang IFCD) 8 7  cm  Trong hình thang ABKH, IF đường trung bình nên IF  AB  HK  2IF AB  HK  2.6 AB   AB 5  cm  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn câu sai A Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang B Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai C Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy D Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy Câu 2: Cho hình thang ABCD hình vẽ Giá trị x A cm B cm Trang C cm D cm Câu 3: Độ dài đường trung bình hình thang 8cm hiệu hai đáy 4cm Vậy độ dài hai đáy hình thang A A 10 cm cm B 10 cm cm C 10cm 4cm D 8cm 6cm Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I K cho AI IK KD Từ I K kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự F H a) Chứng minh: BF FH HC b) Cho CD 8cm; IF 6cm Tính AB HK Câu 5: Cho hình thang vng ABCB A D Gọi E, F trung điểm AD, BC Chứng minh: a) AFD cân F   b) BAF CDF Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Trên cạnh AD lấy hai điểm I K cho AI = IK = KD Từ I K kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự F H a) Chứng minh: BH 2HC b) Cho KH 6cm; IF 4cm Tính AB CD Dạng 3: Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Cách Sử dụng định nghĩa đường trung bình Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, trung tam giác tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự trung điểm Cách Sử dụng định nghĩa đường trung bình BE, CD Gọi giao điểm MN với BD, CE theo thứ hình thang tự I, K Cách Sử dụng định lí 1, 2, 3, để suy điều a) Tính độ dài MN cần chứng minh b) Chứng minh MI IK KN Hướng dẫn giải a) Xét ABC có: E, D trung điểm Trang AB, AC  ED  BC  4  cm  2 +) Xét tứ giác EDCB có: ED // BC nên EDCB hình thang Mặt khác, ta lại có M, N trung điểm EB, DC nên MN đường trung bình hình thang EDCB  MN  ED  BC   6  cm  2 b) Xét BED có: M trung điểm BE, MI // ED suy MI đường trung bình BED  MI  ED  2  cm  2 Tương tự, ta có NK đường trung bình CDE  NK  ED  2  cm  2 Ta lại có MI  IK  NK MN   IK  6  IK 2  cm  Vậy MI IK KN Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao BH, CK Gọi D, E hình chiếu B C lên đường thẳng HK Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh MKH cân b) Chứng minh DK HE Hướng dẫn giải a) Ta có MH MK đường trung tuyến hai tam giác vng BHC BKC có cạnh huyền BC  MK MH (vì nửa  MHK cân M b) Kẻ MI  DE I +) Xét hình thang vng BCED, ta có: M trung điểm BC, MI  DE nên I trung điểm DE Mặt khác MHK cân M nên I trung điểm HK  DK HE BC) a) Sử dụng tính chất tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền b) Kẻ MI  DE Chứng minh MI đường trung bình hình thang vng DBCE Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Gọi M, N, L trung điểm AB, AD AC Từ M kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt AC H Chứng minh H trực tâm tam giác MNL Câu 2: Cho tam giác ABC, M N trung điểm hai cạnh AB AC Nối M với N, tia đối tia NM xác định điểm P cho NP = MN Nối P với C a) Chứng minh MP BC b) Chứng minh CP // AB c) Chứng minh MP CP Câu 3: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB) Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tam giác AMC BCD Gọi E, F, I K theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng MC, MB, CD AD a) EFIK hình gì? b) Chứng minh KF  MD Câu 4: Cho hình thang ABCD  AB // CD  AB < CD Gọi O giao điểm AC BD OCD a) Chứng minh: ABCD hình thang cân b) Gọi P, Q, R trung điểm OA, OD, BC Chứng minh PQR Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình tam giác để chứng minh tính chất hình học 1-C 2-D Câu a) Ta có ABC tam giác cân A Vì AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến  H trung điểm BC +) Xét BDC có H N trung điểm BA BC  HN đường trung bình tam giác BDC  HN // DC b) Theo câu a) ta có: HN // CD  HN // DI +) Xét ANH ta có I trung điểm AH, DI // NH  D trung điểm AN  AD DN NB  AD  AB Câu a) Xét BCD, ta có M, E trung điểm BC DE  EM đường trung bình BCD  EM // DC b) Theo câu a) ta có EM // CD  EM // DI +) Xét AEM có D trung điểm AE; DI // EM  I trung điểm AM c) Theo câu b) ta có DI đường trung bình AEM  DI  EM  1 Theo câu a) ta có EM đường trung bình BCD  EM  CD   Từ (1) (2), suy ra: CD 4DI Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình hình thang để chứng minh tính chất hình học 1-D 2-B 3-A Câu a) Xét hình thang ABHK (do AB // KH), ta có: IA IK, IF // KH  F trung điểm BH  BF FH Tương tự, với hình thang IFCD (do IF // CD), ta có: HF HC Vậy BF FH HC Trang 11 b) +) Xét hình thang IFCD có KH đường trung bình hình thang IFCD  KH  IF  CD   7  cm  2 +) Xét hình thang ABHK, ta có: IF đường trung bình hình thang ABKH  IF  AB  HK  2.IF AB KH  AB 2.6  5  cm  Câu a) Xét hình thang vng ABCD có EF đường trung bình hình thang  EF // AB // CD  EF  AD +) Xét AFD có EF vừa đường cao, vừa đường trung tuyến  AFD tam giác cân F b) Theo câu a) ta có AFD cân F   (hai góc tương ứng)  FAD FDA     Ta lại có: FAD  BAF 90 FDA  FDC 90    BAF CDF Câu a) Ta có AB // KH (giả thiết) nên ABHK hình thang +) Xét hình thang ABHK có I trung điểm AK; IF // KH  FB FH  1 Chứng minh tương tự hình thang IFCD, ta có: HF HC   Từ (1) (2), ta suy BH = 2HC b) Theo câu a) ta có IF đường trung bình hình thang ABHK  IF  AB  HK  2.IF AB HK  AB 2.4  2  cm  Theo câu a) ta có KH đường trung bình hình thang IFCD  KH  IF  CD  2.KH IF  CD  CD 2.6  8  cm  Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang để chứng minh tính chất hình học Câu +) Xét ABD có: MN đường trung bình ABD  MN / / BD  LH  MN  LH  BD  +) Tương tự, ta có: NL đường trung bình ACD  NL // DC  NL  MH Trang 12  H trực tâm MNL Câu a) Xét tam giác ABC có MN đường trung bình tam giác ABC  MN  BC Mà ta lại có MN  MP  gt   MP BC b) Ta xét hai tam giác ANM CNP, ta có:   MN NP; AN NC; ANM CNP (hai góc đối đỉnh)  ANM CNP  c.g.c    (hai góc tương ứng)  MAN PCN Mà hai góc vị trí so le nên CP // AB c) Theo câu b) Ta có CP = AM (hai cạnh tương ứng) Mà MA = MB suy MB = CP Câu c) Xét MCB có EF đường trung bình MCB  EF // CB  1 +) Xét DAC có KI đường trung bình DAC  KI // AC   Từ (1) (2), ta suy EFIK hình thang +) Gọi N trung điểm BC, FN // MC (FN đường trung bình BCM) Ta dễ dàng chứng minh MC // BD  FN // BD Mặt khác ta lại có: IN // BD (IN đường trung bình CDB)  F, I, N thẳng hàng   60o  FIK B   60o Chứng minh tương tự, ta có EKI A Do EFIK hình thang cân b) Theo câu a) ta có EFIK hình thang cân nên EI KF Ta lại có EI đường trung bình MCD  KF EI  MD Câu a) Xét AOB, ta có: Trang 13   ABO ODC 60 (hai góc so le trong)   AOB COD 60 (hai góc đối đỉnh)  AOB tam giác  AO OB Mặt khác, ta có: OD OC (vì DOC đều)  AC BD Xét hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD hình thang cân b) Xét AOD có PQ đường trung bình tam giác AOD 1  PQ  AD  BC  1 2 Trong ABO có BP vừa đường trung tuyến, vừa đường cao nên BO  PC  Xét BPC có BPC 90 , PR đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  PR  BC  2 Chứng minh tương tự BQC có QR  BC  3 Từ (1), (2) (3), ta suy PQR Trang 14