Chuyên đề 3 đường trung bình của tam giác, của hình thang

Chương I Chuyên đề ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG A.Kiến thức cần nhớ Định nghĩa  Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (h.3.1)  Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang (h.32) Hình 3.1 Hình 3.2 Tính chất  Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Trên hình 3.1 MN //BC MN   BC Đường trung bình hình thang song song với hai cạnh đáy nửa tổng hai đáy Trên hình 3.2 MN //AB //CD MN  AB  CD Định lí  Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba  Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai B Một số ví dụ Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh AG chia đôi MN Giải (h.3.3) * Tìm cách giải Kết luận tốn gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Gọi H trung điểm BG ta dùng định lý đường trung bình để chứng minh * Trình bày lời giải Gọi O giao điểm AG MN Gọi H trung điểm BG Trang Theo tính chất trọng tâm, ta có: BH HG GN Xét ABG có MH đường trung bình  MH //AG Xét HMN có AG //MH NG GH nên ON OM Vậy AG chia đôi MN Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý đường trung bình tam giác Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có chu vi 4a Gọi E, F , G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai đoạn thẳng EG HF có đoạn thẳng có độ dài khơng lớn a Giải (h.3.4) * Tìm cách giải Để chứng minh hai đoạn thẳng EG HF có độ dài khơng lớn a , ta chứng minh tổng hai đoạn khơng lớn a Khi hai đoạn thẳng có độ dài khơng lớn a * Trình bày lời giải Gọi M trung điểm BD Xét ABD có HM đường trung bình nên HM  Xét BDC có MF đường trung bình nên MF  Xét ba điểm M ,H ,F có HF MH  MF  Chứng minh tương tự, ta được: EG  Vậy HF  EG  AB CD AB  CD AD  BC AB  CD  AD  BC 4a  2a 2 Suy hai đoạn thẳng HF ,EG có độ dài khơng lớn a Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ ví dụ vẽ trung điểm đoạn thẳng BD Cũng vẽ trung điểm đoạn thẳng AC thay cho trung điểm đoạn thẳng BD Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , BC 6 cm Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD  AB Vẽ DE //BC  E  AC  Tính độ dài DE Giải (h.3.5) * Tìm cách giải Vì AD  DB nên ta vẽ trung điểm F DB Từ F vẽ đường thẳng song song với BC DE đường trung bình tam giác Từ tính độ dài * Trình bày lời giải Trang Gọi F trung điểm DB Khi đó: AD DF FB Vẽ FH //BC  H  AC  Xét AFH có DE //FH AD DF nên AE EH Xét hình thang DECB có FH //BC DF FB nên EH HC Ta đặt DE  x Ta có DE đường trung bình AFH  DE  FH  FH 2 x Ta có FH đường trung bình hình thang DECB  FH  DE  BC x6  2x   x 2( cm ) 2 Vậy DE 2cm Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ ví dụ ngồi việc vẽ trung điểm đoạn thẳng ta thêm đường thẳng song song với cạnh tam giác Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , AB đáy nhỏ Gọi M , N , P, Q trung điểm AD, BC, BD AC a) Chứng minh bốn điểm M, N , P, Q thẳng hàng; b) Chứng minh PQ //CD PQ  CD  AB ; c) Hình thang ABCD phải có điều kiện để MP PQ QN Giải (h.3.6) * Tìm cách giải Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng nên vận dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh thẳng hàng * Trình bày lời giải a) Xét ABD có MP đường trung bình  MP //AB  MP //CD Xét ADC có MQ đường trung bình  MQ //CD Xét hình thang ABCD có MN đường trung bình  MN //CD Qua điểm M có đường thẳng MP,MQ,MN song song với CD nên đường thẳng trùng nhau, suy bốn điểm M , N ,P,Q thẳng hàng b) Ta có: MN //CD nên PQ //CD; PQ MQ  MP  c) Ta có: MP NQ  CD AB CD  AB   2 AB AB CD  AB MP PQ   2  AB CD  AB  AB CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ) Trang Nhận xét: Đường trung bình MN hình thang đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo có tính chất giống song song với hai đáy, có tính chất khác MN nửa tổng hai đáy PQ nửa hiệu hai đáy C Bài tập vận dụng  Đường trung bình tam giác 3.1 Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD đường trung trực AC Gọi M ,N trung điểm AD AB Vẽ ME  BC NF  CD  E  BC ,F  CD  Chứng minh ba đường thẳng ME,NF AC đồng quy 3.2 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E Gọi M, N trung điểm BE CD Đường thẳng MN cắt tia AB AC P Q Hỏi hai điểm D E phải có điều kiện để tam giác APQ cân A ? 3.3 Cho tam giác ABC Gọi Bx Cy đường chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh B C Gọi H K hình chiếu A Bx Cy a) Chứng minh tứ giác BCKH hình thang; b) Tam giác ABC phải có điều kiện để hình thang BCKH hình thang cân? 3.4 Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi O giao điểm ba đường trung trực Chứng minh khoảng cách từ O đến BC nửa độ dài AH 3.5 Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH đường phân giác BD Biết AH  BD , tính số đo góc tam giác ABC 3.6 Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm D tam giác Vẽ tam giác ADE vuông cân A cho D E thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AC Gọi M , N , P trung điểm BC , CD DE Tính số đo góc tam giác MNP 3.7 Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  , O giao điểm hai đường chéo Gọi G, E, F  trung điểm OA, OD BC Cho biết COD 60 , tính góc tam giác GEF 3.8 Cho tam giác ABC , góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân ABM CAN theo thứ tự có cạnh đáy AB AC Gọi O trung điểm BC Chứng minh tam giác OMN tam giác vuông cân 3.9 Tam giác ABC, AB  AC Trên cạnh AB lấy điểm E , cạnh AC lấy điểm F cho BE CF Gọi M trung điểm EF Chứng minh E F di động AB, AC trung điểm M EF nằm đường thẳng cố định Trang 3.10 Cho đoạn thẳng AB n điểm O1 ,O2 , ,On không nằm A B cho O1 A  O2 A   On A O1 B  O2 B   On B a Chứng minh tồn điểm M cho O1M  O2 M   On M a  B   A Biết trung điểm ba đường cao thẳng hàng Chứng minh 3.11 Cho tam giác ABC ,C tam giác ABC vuông A  Đường trung bình hình thang 3.12 Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  Vẽ AH  CD Chứng minh rằng: a) HD đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC đường trung bình hình thang 3.13 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB Trên tia đối tia BC lấy điểm O cho 1 BO  BC Đường thẳng OM cắt OC N Chứng minh rằng: AN  AC 3.14 Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định Vẽ tam giác tam giác ABM vuông cân B , tam giác CAN vuông cân C Chứng minh A di động nửa mặt phẳng bờ BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định 3.15 Cho điểm M nằm hai điểm A B không trung điểm đoạn thẳng AB Trên  D  Gọi nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác CAM DBM cân C D cho C H F trung điểm AD BC Chứng minh rằng: HF  CD 3.16 Chứng minh tam giác có góc nhau, xen hai cạnh có tổng tam giác cân có chu vi nhỏ Hướng dẫn giải 3.1 (h.3.7) Gọi O giao điểm AC BD Ta có: AC  BD OA OC Xét ABD có MN đường trung bình  MN //BD OA  MN (vì OA  BD ) Xét ABC có ON đường trung bình  ON //BC ON  ME (vì ME  BC ) Xét ACD có OM đường trung bình  OM //CD OM  NF (vì NF  CD ) Xét OMN có OA,ME,NF ba đường cao nên chúng đồng quy 3.2 (h.3.8) Trang Gọi O trung điểm BC Xét EBC có OM đường trung bình  OM //CE OM  CE Xét DBC có ON đường trung bình  ON //BD ON  BD   AQP,N   APQ (so le trong) Ta có: M 1  P   N  M   OM ON  CE BD APQ cân A  Q 1 3.3 (h.3.9) a) Gọi D E thứ tự giao điểm AH AK với đường thẳng BC ABD có BH vừa đường phân giác, vừa đường cao nên tam giác cân  HA HD Tương tự, ta có: KA KE Xét ADE có HK đường trung bình nên HK //DE  HK //BC Do tứ giác BCKH hình thang  B  ;K  C  (so le trong) b) Ta có: H 1 1  K   B  C  Hình thang BCKH hình thang cân  H 1 1  ABD  ACE  ABC  ACB  ABC cân A 3.4 (h.3.10) Gọi M N trung điểm BC CA Gọi F G trung điểm AH BH Ta có MN đường trung bình ABC; FG đường trung bình ABH Suy MN //AB MN  AB FG //AB FG  AB Do MN //FG MN FG Dễ thấy OM //AD,ON //BE     OMN HFG có: MN FG;OMN (hai góc có cạnh tương ứng song song) HFG;ONM HGF Vậy OMN HFG  g.c.g   OM HF  AH 3.5 (h.3.11) Gọi M trung điểm BD thì: Trang MD  BD  AH ABC cân A, AH đường cao nên HB HC Ta có HM đường trung bình BCD  HM //AC Hình thang HMAD có hai đường chéo nên hình thang cân   90  C  B  C  ADH DAM  c.c c   A1 D 1 (1)  C  x  1  90  x  x  x  x 36 Ta đặt B  C  36 ; A 108 Vậy ABC có B 3.6 (h.3.12) ABD ACE có:  (cùng phụ với góc DAC ); AB  AC; A1  A AD  AE Do ABD ACE  c.g.c   C   BD CE B 1 Gọi H K giao điểm đường thẳng BD với CE CA   BKA    CKH   90 Ta có: B 90  C 90  H 1 Xét CBD có MN đường trung bình  MN //BD MN  BD Xét CED có NP đường trung bình  NP //CE NP= CE Vì BD CE nên MN  NP   90 (hai góc có cạnh tương ứng song song) Ta có: MNP H  90 ;M  P  45 Do MNP vng cân N  N 3.7 (h.3.13) ADC BCD có AD BC, AC BD, CD chung Do ADC BCD  c.c.c    ACD BDC  COD cân  Mặt khác COD 60 nên COD Ta có: OE ED nên CE đường trung tuyến tam giác đều, CE đường cao Vậy CE  BD Trang Xét EBC vng E có EF đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EF  BC Chứng minh tương tự, ta có: GF  BC Xét AOD có EG đường trung bình nên EG  AD  EG  BC (vì AD BC )    E  F  60 Vậy EF FG EG   BC   GEF  G   3.8 (h.3.14) Gọi D E thứ tự trung điểm AB AC Ta có OD OE đường trung bình ABC nên OE //AD OE  AD; OD //AE OD  AE     (đồng vị) BDO BAC; CEO BAC Vì MAB vng cân M nên MD  AB MAD vuông cân  AD MD Tương tự, NE  AC NEA vuông cân  AE  NE OMD NOE có:      MD OE   AD  ;ODM OEN 90  BAC ;OD NE   AE    Vậy OMD NOE  c.g c   OM ON OMD  NOE        Do MON MOD  DOE  NOE MOD  BDO  OMD 180  90 90 Vậy MON vuông cân 3.9 (h.3.15) Vẽ đường phân giác AD AD đường thẳng cố định Gọi O trung điểm BC O điểm cố định Gọi P, Q giao điểm đường thẳng OM với đường thẳng AC AB Xét EBC có ON đường trung bình  ON //BE ON  BE Xét ECF có MN đường trung bình  MN //CF MN  CF Trang  O  Vì BE CF nên ON MN  OMN cân  M 1    M  P  ;Q  O   P  Q  Ta có P 1 1   Q   Xét APQ có BAC góc ngồi nên BAC P  nên A P   OP //AD Mặt khác A1  A 2 Vậy M nằm đường thẳng qua O song song với AD Đó đường thẳng cố định 3.10 Gọi M trung điểm AB O điểm tùy ý không nằm A B  Trường hợp O nằm tia đối tia AB hay tia đối tia BA (h.3.16), ta chứng minh OM   OA  OB  1 Trường hợp O không thẳng hàng với A B (h.3.17) Gọi N trung điểm OB , MN đường trung bình OAB, MN  OA Xét OMN , ta có: OM  MN  ON  OM  OA  OB  2 Từ  1   suy ra: OM  OA  OB *  Áp dụng hệ thức  *  n điểm O1 ,O2 , ,On ta có: O1M  O A  On B O1 A  O1 B O A  O2 B ;O2 M  ; ;On M  n 2 Cộng vế bất đẳng thức ta được: O1M  O2 M   On M   O A  On B O1 A  O1 B O2 A  O2 B    n 2 O1 A  O2 A    On A O1 B  O2 B    On B a a    a 2 2 Như điểm cần tìm trung điểm M AB 3.11 (h.3.18) Vì AA,BB,CC  ba đường cao ABC Gọi M ,N ,P trung điểm đường cao Gọi D,E,F thứ tự trung điểm BC,CA AB Ta có: EF ,FD,DE đường trung bình ABC Trang  EF //BC,FD //CA,DE //AB Vì M trung điểm AA nên M  FE Vì N trung điểm BB nên N  FD Vì P trung điểm CC  nên P  DE Theo đề ra, ba điểm M ,N ,P thẳng hàng nên điểm nằm cạnh DE,DF EF DEF  Nếu ba điểm M ,N ,P nằm DE N trùng với D , M trùng với E , ABC vng C , trái với giả thiết góc C góc nhỏ ABC  Nếu ba điểm M ,N ,P nằm DF lập luận trên, ABC vuông B , trái với   A giả thiết B  Vậy ba điểm M ,N ,P nằm EF Lập luận tương tự ta ABC vuông A 3.12 (h.3.19) a) Vẽ BK  CD ta AH //BK AB //HK  AB HK ADH BCK  HD KC Ta có: HD  KC CD  HK  HD CD  AB  HD  CD  AB Theo ví dụ đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo nửa hiệu hai đáy Vậy HD PQ b) Ta có: HC CD  HD CD  CD  AB CD  AB  2 Đường trung bình hình thang nửa tổng hai đáy Do HC độ dài đường trung bình hình thang 3.13 (h.3.20) Gọi D trung điểm BC Vẽ BE //ON ,DF //ON  E,F  AC  Ta có: OB BD DC  BC  Xét ABE có MN //BE MA MB nên NA NE  Xét hình thang ONFD có BE //ON OB BD nên NE EF  Xét CBE có DF //BE BD DC nên EF FC  1  2  3 Từ  1 ,  , 3 suy ra: AN  NE EF FC , AN  AC Trang 10 3.14 (h.3.21) Gọi O trung điểm MN Vẽ OF  BC; AH  BC;MD  BC NE  BC Ta có: OF //AH //MD //NE BMD ABH (cạnh huyền – góc nhọn)  MD BH BD  AH  1 Tương tự, CNE ACH  NE CH CE  AH  2 Từ  1   suy BD CE   AH  Dễ thấy OF đường trung bình hình thang MDEN  OF  MD  NE BH  CH BC   (khơng đổi) 2 Ta có: FD FE; BD CE  FB FC Vậy O nằm đường trung trực BC cách BC khoảng khơng đổi BC Do O điểm cố định Suy MN qua điểm cố định điểm O 3.15 (h.3.22) * Tìm hướng giải Điều phải chứng minh HF  CD gợi ý cho ta nghĩ đến định lí đường trung bình tam giác Ta vẽ đường trung bình EG MCD EG  CD Chỉ phải chứng minh HF EG * Trình bày lời giải Gọi E trung điểm CM , G trung điểm DM Khi EG đường trung bình MCD  EG  CD  1  D  nên CAM DBM cân C D mà C góc đáy chúng nhau:     CAM CMA DMB DBM  CA//DM CM //DB (vì có cặp góc đồng vị nhau) Xét CMB có EF đường trung bình  EF //MB Xét DAM có HG đường trung bình  HG //AM Suy ra: EF //HG (vì song song với AB ) Vậy tứ giác EFGH hình thang Trang 11 Xét hình thang ACDM có EH đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH //AC Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG //DB     Do EHG CAM ,FGH DBM     Mặt khác CAM (chứng minh trên) nên EHG DBM FGH Vậy hình thang EFGH hình thang cân  HF EG  2 Từ  1   suy ra: HF  CD 3.16 (h.3.23) Vẽ ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M , tia đối tia CA lấy điểm N cho BM CN Như AB  AC  AM  AN  1 Ta phải chứng minh chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Muốn ta phải chứng minh BC  MN Ta vẽ MD //NE //BC ( D  AC,E  tia đối tia BA ) Hình thang MDCB hình thang cân  MB DC , mà BM CN DC CN Xét hình thang cân MDNE có BC //NE DC CN nên MB BE Vậy BC đường trung bình hình thang MDNE Vẽ MH  EN HN BC (xem 3.12) Xét MHN vng H có HN  MN  BC  MN  2 Từ  1   suy chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Trang 12