Chuyên đề diện tích hình tam giác hình thang

Người ta muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại điểm N sao cho diện tích tạm giác BMN bằng 15.. Qua M người ta vẽ một đường thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích hình tam

ĐỀ BÀI:

IV DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC, HÌNH THANG VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐÓ

51 Cho hình tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB = 30cm, AC = 45cm M là một

điểm trên cạnh AB sao cho AM = 20cm Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC

và cắt cạnh AC tại điểm N Tính diện tích hình tam giác AMN

52 Cho hình tam giác ABC có diện tích là 12 Cạnh AB = 8cm và AC = 5cm Kéo dài thêm AB đến M và ẠC đến N sao cho BM = CN = 2cm Hỏi diện tích hình tam giác AMN là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ? (Không làm thay đổi góc được tạo bởi hai cạnh

AB và AC)

53 Cho hình tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 7,5cm Em đã kéo dài cạnh AB thêm

1cm, hỏi sau đó phải rút ngắn cạnh AC bao nhiêu xăng-ti-mét để được một hình tam giác mới có diên tích bằng diện tích hình tam giác ban đầu ?

54 Có một hình tam giác ABC, An giảm cạnh AB đi của nó, sau đó lại tăng cạnh AC

thêm của cạnh này Sau khi tính cẩn thận, An thấy diện tích hình tam giác mới lại nhỏ hơn diện tích hình tam giác ban đầu là 2 Hãy tính diện tích hình tam giác lúc đầu chưa thay đổi các cạnh

55 Một mảnh vườn hình tam giác diện tích 39 Người ta muốn ngăn ra ở một góc

8 để nuôi gà Trên cạnh thứ nhất lấy 3m, còn cạnh kia bớt đi của nó thì vừa đủ Hỏi cạnh thứ nhất dài bao nhiêu mét ?

56 Cho hình tam giác ABC ; M và N là trung điểm của cạnh BC và CA Các đường

thẳng AM và BN cắt nhau tại O Đường thẳng CO cắt AB tại P

b) So sánh độ dài các đoạn AO và OM.

57 Một mảnh vườn hình tam giác ABC, có diện tích 90 , cạnh AB dài 10m trên cạnh

BC có điểm M sao cho BM = 2MC Người ta muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại điểm N sao cho diện tích tạm giác BMN bằng 15 Hỏi điểm N cách B bao nhiêu mét ?

58 Cho hình tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là 36 Trên BC, lấy điểm M sao cho BM = 3MC Qua M người ta vẽ một đường thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích hình tam giác KBM cũng bằng 36

a) Tính độ dài đoạn AK

b) AC và MK cắt nhau tại điểm O So sánh diện tích hai hình tam giác OAK và OCM

59 Cho hình tam giác ABC với M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm đoạn MB, P là

trung điểm cạnh AC, Q là trung điểm đoạn PC Tính diện tích hình tứ giác MNQP nếu biết diện tích hình tam giác ABC bằng 16

60 Cho hình tam giác ABC và một điểm O nằm trong hình tam giác, đường thẳng AO

cắt cạnh BC tại M Đường thẳng BO cắt CA tại N Cho biết diện tích hình tam giác AOB

là 3 , diện tích hình tam giác BOM và diện tích hình tam giác AON đều bằng 1 Hãy tính diện hình tích tam giác ABC

61 Cho hình tam giác ABC và điểm O nằm trong hình tam giác Biết rằng diện tích hình

tam giác AOB bằng 6 , diện tích hình tam giác BOC bằng 8 , diện tích hình tam giác COA bằng 2 Đường thẳng OA chia hình tam giác ABC thành hai phần Tính diện tích hai phần đó

62 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC và trên cạnh

CA lấy điểm N sao NC = NA Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài tại điểm K

a) Đường thẳng MN chia hình tam giác ABC thành hai phần Tính diện tích các phần đónếu biết diện tích hình tam giác ABC bằng 36

b) So sánh các đoạn KA và KB

63 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho AP = PB, trên cạnh AC

lấy điểm N sao cho CN = NA và trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại H Đường thẳng CP cắt NB tại I và cắt AM tại K

Em hãy so sánh diện tích hình tam giác HIK với tổng diện tích của ba hình tam giác APK, BMH và CIN

64 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EB,

trên cạnh AC lấy điểm M, N sao cho AM = MN = NC Tính diện hình tam giác ABC nếu biết diện tích hình tứ giác DEMN bằng 6

65 Cho hình tam giác ABC có AB = 1,5cm Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho BM =

3MC Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC Đường thẳng MN và đường thẳng

AB cắt nhau tại P

a) Tính đoạn thẳng AP

b) So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN

66 Cho hình tam giác ABC và o là một điểm nằm trong hình tam giác Đường thẳng

AO cắt cạnh BC tại điểm M, đường thẳng BO cắt cạnh AC tại N Biết rằng AO = OM và

BO gấp 5 lần NO Đường thẳng co cắt cạnh AB tại P Hãy so sánh các đoạn thẳng :a) OP và CO

b) BM và MC

67 Cho hình tam giác ABC có diện tích 420 N là trung điểm cạnh CA P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP = 3PB Các đoạn thẳng BN và CP cắt nhau tại K Hãy tính diện tích hình tam giác BKC

68 Cho hình tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC N là điểm trên

cạnh CA sao cho CN = 3NA ; AM cắt BN tại O Hãy tính diện tích hình tam giác ABC nếu biết diện tích hình tam giác AOB bằng 20

69 Cho hình tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC.

a) Hãy so sánh diện tích hình tam giác ADE với diện tích hình tam giác ABC

b) M là một điểm bất kì trên BC Đoạn thẳng AM cắt đoạn thẳng DE tại I Hãy so sánh

AI và IM

70 Cho hình tam giác ABC có diện tích là 72 Hai điểm D, E lần lượt là trung điểm

các cạnh AB, AC Trên cạnh BC ỉấy hai điểm M, N sao cho MN = BC Đường thẳng

DE cắt các đoạn thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm P, Q

Tính diện tích hình tứ giác MNQP

71 Cho hình tam giác ABC, D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AD = AB ;

E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AE = AC Một đường thẳng đi qua A cắt đoạn thẳng DE tại I và cắt cạnh BC tại M

a) So sánh diện tích các hình tam giác ADE và ABC

b) So sánh các đoạn thẳng AI và AM

72 Trên cạnh AB của hình tam giác ABC lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB

Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC Trên cạnh AC lấy 2 điểm p, Qsao cho CP = PQ = QA Tia AM cắt các đoạn thẳng DQ và EP lần lượt tại U, V Tia AN cắt các đoạn thẳng DQ và EP lần lượt tại X, Y

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AU, UV, VM

b) So sánh diện tích hình tứ giác UVYX với diện tích hình tam giác ABC

73 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB, trên cạnh

AC lấy điểm N sao cho AN = NC Hai tia BN và CM cắt nhau tại điểm O

a) So sánh diện tích hai hình tam giác OBC và ABC

b) So sánh độ dài các đoạn thẳng BO và ON

74 Cho hình tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm P sao cho AP = 2PB Trên cạnh BC

lấy điểm M sao cho MB = 2MC, trên cạnh CA lấy điểm N sao cho CN = 2NA AM và BN cắt nhau tại E; CP cắt AM tại G và cắt BN tại D

So sánh diện tích các hình tam giác DEG và ABC

75 Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB Hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại điểm O

a) So sánh các đoạn thẳng OB và OD, OA và OC

b) Tính diện tích các hình tam giác OAD và DCO, nếu biết diện tích hình thang ABCD bằng 32

76 Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB Các cạnh bên AD và BC kéo

dài cắt nhau tại P

a) So sánh các đoạn thẳng PA và PD, PB và PC

b) Tính diện tích hình thang nếu biết rằng diện tích hình tam giác PAB bằng 4

77 Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD AC và BD cắt nhau tại O M là trung

điểm cạnh đáy AB Đường thẳng OM cắt cạnh đáy CD tại N So sánh đoạn CN và ND

78 Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD AC và BD cắt nhau tại O Qua O có

đường thẳng cùng song song với hai đáy, cắt AD tại P, cắt BC tại Q So sánh đoạn OP

và OQ

79 Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD AC và BD cắt nhau tại O Các cạnh bên

kéo dài cắt nhau tại K Đường thẳng KO cắt AB tại M và cắt CD tại N So sánh các đoạn thẳng MA và MB, các đoạn thẳng ND và NC

80 Cho hình thang ABCD, đáy là AB và CD, M là 1 điểm bất kì trên AB, N là điểm bất

82 Cho hình thang ABCD đáy AB = 30cm và CD = 45cm AC và BD cắt nhau tại O

Cho biết diện tích hình tam giác OAB là 180 Hãy tính diện tích hình thang

83 Cho hình thang ABCD hai đáy AB và CD Các cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau

ở K Cho biết diện tích hình tam giác KCD gấp 1,5 lần diện tích hình tam giác KAC Tính các cạnh đáy của 1hình thang đó nếu biết diện tích hình thang là 375 và chiềucao của nó là 10cm

84 Cho hình vuông ABCD M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

Các đường thẳng AN và CQ cắt các đường thẳng BP và DM tạo thành hình tứ giác GHIK

a) Em hãy so sánh diện tích hình tứ giác GHIK với tổng diện tích của bốn hình tam giácnhỏ lần lượt có một đỉnh là A, B, C, D

b) Tính diện tích hình tứ giác GHIK nếu biết cạnh hình vuông là 20cm.

85 Cho hình chữ nhật ABCD M và N là hai điểm nằm trên cạnh AB sao cho

MN = AB ; P, Q là hai điểm trên cạnh CD sao cho PQ = CD ; Hai đường thẳng MO

và NQ cắt nhau tại điểm O nằm trong hình chữ nhật

Biết rằng diện tích hình tam giác OPQ lớn hơn diện tích hình tam giác OMN là 1,5 Hãy tính diện tích hình chữ nhật đã cho

86 Cho hình chữ nhật ABCD E và G lần lượt là trung điểm cạnh AD và BC M, N lần

lượt là hai điểm bất kì nằm trên các cạnh AB và CD Đoạn thẳng MN cắt đoạn thẳng

EG tại I So sánh :

a) Diện tích mỗi hình tứ giác ABGE, EGCD với diện tích hình chữ nhật ABCD

b) Độ dài các đoạn thẳng MI và IN

87 Cho hình chữ nhật ABCD E, G lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC M, N là

hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh AB và CD MN và EG cắt nhau tại I

a) Cho biết diện tích hình thang AMND gấp đôi diện tích hình thang MBCN, hãy so sánhhai đoạn thẳng EI và IG

b) Ngược lại, cho biết EI = 2IG, hãy so sánh diện tích hai hình thang AMND và MBCN

88 Cho hình tứ giác ABCD I là trung điểm cạnh AB Cho biết diện tích các hình tam

giác ACD và BCD lần lượt băng 12 và 18 Hãy tính diện tích hình tam giác ICD

89 Cho hình tứ giác ABCD M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và CD sao

cho AM = 2MB ; CN = 2ND AN cắt DM tại P, BN cắt CM tại Q So sánh diện tích hình

tứ giác PMQN với tổng diện tích hai hình tam giác APD và BQC

90 Cho hình tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AC, BD cắt nhau tại điểm O Cho biết diện

tích các hình tam giác OAB, OBC và OCD lần lượt bằng 4 ; 3,5 và 5,25 Hãy tính diện tích hình tứ giác ABCD

91 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích là 34 Cạnh CB kéo dài về phía B và cạnh

DA kéo dài về phía A thì cắt nhau tại P Biết diện tích hình tam giác PAB bằng 18cm và diện tích hình tam giác ABC bằng 6 Hãy tính diện tích các hình tam giác ABD và BCD

92 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích bằng 47 Cạnh CB kéodài về phía B, cạnh

DA kéo dài về phía A cắt nhau tại điểm P

Hãy tính diện tích hình tam giác PAB nếu biết rằng hình tam giác ABC và hình tam giác BCD lần lượt có diện tích bằng 12 và 24

93 Cho hình tứ giác ABCD và M, N, p, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD

và DA, MP và NQ cắt nhau tại I

Hãy so sánh các đoạn thẳng MI và IP

94 Cho hình tứ giác ABCD, trên AB lấy điểm E sao cho AE = EB Trên BC lấy điểm

H sao cho BH = HC Trên CD lấy điểm N sao cho CN = CD Trên DA lấy điếm P, sao cho DP = DA EN và PH cắt nhau tại điểm O

96 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích là 900 , biết :

= 30 x 45 : 2 = 675 ;

MB = AB - AM = 30 - 20 = 10 (cm)

= 10 x 45 : 2 = 225

Nhưng vì hai hình tam giác CMB và CNB có chung đáy BC và chiều cao hạ

từ M và từ N đến BC bằng chiều cao hình thang MNCB

= 675 - 225 = 450 Chiều cao NA của hình tam giác NAB là :

450 x 2 : 30 = 30 (cm)

Diện tích hình tam giác AMN là :

20 x 30 : 2 = 300

52

So sánh 2 hình tam giác CAM và CAB ta thấy :

Chiều cao chung là CH, các đáy

AB = 8 (cm)

AM = 8 + 2 = 10 (cm)

Suy ra :

= 3 x 10 : 2 = 15

So sánh 2 hình tam giác MAC và MAN ta thấy :

Chiều cao MK chung, các đáy AC = 5cm, AN = 5 + 2 = 7 (cm)

AB bằng 4 phần thì AD bằng :

4 – 1 = 3 (phần)Hai hình tam giác ABC và ADC có chung chiều cao hạ từ C nên

- AC bằng 4 phần thì AE bằng :

4 + 1 = 5 (phần)Hai hình tam giác ADE và ADC có chung chiều cao hạ từ D nên

Nếu biểu thị là 12 phần thì = 16 phần

= 15 phần

- Khi đó hiệu diện tích hai hình tam giác ABC và ADE là

16 – 15 = 1 (phần)Một phần là 2 nên diện tích hình tam giác ABC là :

2 X 16 = 32 ( )

55

(vì là hai hình tam giác có chung chiều cao và cạnh đáy bằng nhau).

Từ đó Hai hình tam giác AOC và BOC có chung đáy OC nên các đường cao hạ từ A và từ B tới đường thẳng OC phải bằng nhau : AH = BK

a) Hai hình tam giác OAP và OPB có đáy chung OP và các đường cao AH và BK bằng nhau, nên diện tích bằng nhau

Coi AP và PB là đáy, thì hai hình tam giác này có đường cao chung hạ từ

O tới AB, vậy các đáy phải bằng nhau : AP = PB

b) Ta có

mà hai hình tam giác AOC và OMC có đường cao chung (hạ từ C tới AM)

nên AO = 2OM

57

Vậy BN = AB : 4 = 10 : 4 = 2,5 (m).

58.

Đoạn thẳng BM là 3 phần thì cạnh BC bằng :

3 + 1 = 4 (phần)

Hai hình tam giác ABC và ABM có chung chiều cao hạ từ A tới BC nên là 4 phần, thì bằng 3 phần.

so với thì gấp 6 : 2 = 3 (lần)

Hai hình tam giác này có đáy OA chung

Vậy đường cao BK so với đường cao CI thì gấp 3 lần

Hai hình tam giác BOP và COP có đáy OP chung, đường cao BK gấp 3 lần đường cao

(6 + 8 + 2) – 4 = 12

Từ đó ta có :

Hay

64

Trong hình tam giác AME ta có :

(VÌ D là trung điểm cạnh đáy AE)

Nên :

PA = 2AB = 2 x 1,5 = 3 (cm)b) Vì PA = 2AB nên

Hai hình tam giác này chung đáy BM nên đường cao hạ từ A gấp 2 lần đường cao hạ

Nếu coi PC và PO là hai đáy thì hai hình tam giác này có chung đường cao hạ từ A tới

Hai hình tam giác ACP và AOP có chung đáy AP mà đường cao hạ từ C gấp 3 lần đường cao hạ từ O nên

nên Hai hình tam giác có chung đường cao hạ từ C tới AB) và

hay nên

74.

Hoàn toàn tương tự ta có CO = 3OA.

b) Hai hình tam giác ACD và BCD có đường cao hạ từ A và từ B tới CD bằng nhau, đáy

CD chung, nên

Cùng bỏ đi phần diện tích chung OCD, ta có

Nếu coi là 1 phần thì và đều là 3 phần

Hai hình tam giác AOD và DOC có đường cao DE chung và OC = 3OA nên

Vì có đường cao hạ từ A tới CD và từ C tới AB bằng nhau nên đáy CD = 3AB.

Coi BC là đáy chung, ta có đường cao hạ từ D tới BC gấp 3 lần đường cao hạ từ A tới BC

Hai hình tam giác DPC và APC có đáy chung PC còn đường cao là 2 đường cao nói trên nên

Nếu xem đáy là PD và PA thì 2 hình tamgiác này có chung đường cao hạ từ C tới PA, vậy DP = 3PA.

Hai hình tam giác DOM và COM có cạnh đáy OM chung, nên đường cao hạ từ C và từ

D tới OM phải bằng nhau

- Hai hình tam giác ODN và OCN có đáy chung ON và đường cao là 2 đường cao nói trên, vậy

- Hai hình tam giác này, xem DN và NC là đáy thì chiều cao hạ từ O tới CD là chung.Vậy DN = NC

78

(đáy AB chung, chiều cao bằng chiều cao hình thang)

Cùng trừ đi phần diện tích chung ta có

(giải thích như trên)

Từ đó (đáy OD chung và đường cao nói trên).

Xem PO và OQ là đáy thì 2 hình tam giác này có đường cao chung hạ từ D tới PQ Vậy các đáy này bằng nhau tức là PO = OQ

79.

Ta vẽ thêm đoạn thẳng PQ đi qua O, song song với các đáy

Theo bài 78 ta có PO = QO nên

Xem DN và NC là đáy thì 2 hình tam giác này có đường cao chung hạ từ O tới CD Vậy

2 đáy phải bằng nhau DN = NC

= (CD + AB) X h : 2

=

Vậy tổng diện tích 2 hình tam giác ANB và CMD bằng diện tích hình thang

b) Kí hiệu như trên hình vẽ ta có :

Mà

Hai hình tam giác ADC và ABC có chiều cao bằng chiều cao hình thang, nên so với thì gấp :

Tổng các cạnh đáy của hình thang là :

a) Các hình tam giác ABN, BCP, CDQ, DAM là các tam giác vuông, có 1 cạnh góc vuông là cạnh hình vuông, cạnh góc vuông kia bằng cạnh góc vuông Vậy mỗi tam giác có diện tích bằng diện tích hình vuông.

Xem MI và NI là đáy thì hai hình tam giác này có đường cao chung hạ từ E tới MN nên

2 đáy bằng nhau : MI = IN

87.

(vì ).