Chuyên đề diện tích hình tam giác hình thang

ĐỀ BÀI: IV DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC, HÌNH THANG VÀ CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐĨ 51 Cho hình tam giác ABC có góc A góc vng, AB = 30cm, AC = 45cm M điểm cạnh AB cho AM = 20cm Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AC điểm N Tính diện tích hình tam giác AMN 52 Cho hình tam giác ABC có diện tích 12 cm Cạnh AB = 8cm AC = 5cm Kéo dài thêm AB đến M ẠC đến N cho BM = CN = 2cm Hỏi diện tích hình tam giác AMN xăng-ti-mét vuông ? (Không làm thay đổi góc tạo hai cạnh AB AC) 53 Cho hình tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 7,5cm Em kéo dài cạnh AB thêm 1cm, hỏi sau phải rút ngắn cạnh AC xăng-ti-mét để hình tam giác có diên tích diện tích hình tam giác ban đầu ? 54 Có hình tam giác ABC, An giảm cạnh AB thêm 4 nó, sau lại tăng cạnh AC cạnh Sau tính cẩn thận, An thấy diện tích hình tam giác lại nhỏ diện tích hình tam giác ban đầu cm Hãy tính diện tích hình tam giác lúc đầu chưa thay đổi cạnh 55 Một mảnh vườn hình tam giác diện tích 39 cm Người ta muốn ngăn góc Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí m để ni gà Trên cạnh thứ lấy 3m, cạnh bớt vừa đủ Hỏi cạnh thứ dài mét ? 56 Cho hình tam giác ABC ; M N trung điểm cạnh BC CA Các đường thẳng AM BN cắt O Đường thẳng CO cắt AB P a) So sánh độ dài đoạn AP PB b) So sánh độ dài đoạn AO OM 57 Một mảnh vườn hình tam giác ABC, có diện tích 90 m2 , cạnh AB dài 10m cạnh BC có điểm M cho BM = 2MC Người ta muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB điểm N cho diện tích tạm giác BMN 15 m2 Hỏi điểm N cách B mét ? 58 Cho hình tam giác ABC có cạnh AB 9cm có diện tích 36 cm Trên BC, lấy điểm M cho BM = 3MC Qua M người ta vẽ đường thẳng cắt BA kéo dài điểm K cho diện tích hình tam giác KBM 36 cm a) Tính độ dài đoạn AK b) AC MK cắt điểm O So sánh diện tích hai hình tam giác OAK OCM 59 Cho hình tam giác ABC với M trung điểm cạnh AB, N trung điểm đoạn MB, P trung điểm cạnh AC, Q trung điểm đoạn PC Tính diện tích hình tứ giác MNQP biết diện tích hình tam giác ABC 16 cm 60 Cho hình tam giác ABC điểm O nằm hình tam giác, đường thẳng AO cắt cạnh BC M Đường thẳng BO cắt CA N Cho biết diện tích hình tam giác AOB Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí cm , diện tích hình tam giác BOM diện tích hình tam giác AON cm2 Hãy tính diện hình tích tam giác ABC 61 Cho hình tam giác ABC điểm O nằm hình tam giác Biết diện tích hình tam giác AOB giác COA cm cm , diện tích hình tam giác BOC cm , diện tích hình tam Đường thẳng OA chia hình tam giác ABC thành hai phần Tính diện tích hai phần 62 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = CA lấy điểm N NC = MC cạnh NA Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài điểm K a) Đường thẳng MN chia hình tam giác ABC thành hai phần Tính diện tích phần biết diện tích hình tam giác ABC 36 cm b) So sánh đoạn KA KB 63 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm P cho AP = lấy điểm N cho CN = 2 PB, cạnh AC NA cạnh BC lấy điểm M cho BM = MC Các đường thẳng AM BN cắt H Đường thẳng CP cắt NB I cắt AM K Em so sánh diện tích hình tam giác HIK với tổng diện tích ba hình tam giác APK, BMH CIN Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí 64 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB, cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = MN = NC Tính diện hình tam giác ABC biết diện tích hình tứ giác DEMN cm 65 Cho hình tam giác ABC có AB = 1,5cm Trên cạnh AC lấy điểm M cho BM = 3MC Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 2NC Đường thẳng MN đường thẳng AB cắt P a) Tính đoạn thẳng AP b) So sánh độ dài đoạn thẳng MP MN 66 Cho hình tam giác ABC o điểm nằm hình tam giác Đường thẳng AO cắt cạnh BC điểm M, đường thẳng BO cắt cạnh AC N Biết AO = OM BO gấp lần NO Đường thẳng co cắt cạnh AB P Hãy so sánh đoạn thẳng : a) OP CO b) BM MC 67 Cho hình tam giác ABC có diện tích 420 cm N trung điểm cạnh CA P điểm nằm cạnh AB cho AP = 3PB Các đoạn thẳng BN CP cắt K Hãy tính diện tích hình tam giác BKC 68 Cho hình tam giác ABC, M điểm cạnh BC cho BM = 2MC N điểm cạnh CA cho CN = 3NA ; AM cắt BN O Hãy tính diện tích hình tam giác ABC biết diện tích hình tam giác AOB 20 cm 69 Cho hình tam giác ABC có D, E trung điểm cạnh AB, AC a) Hãy so sánh diện tích hình tam giác ADE với diện tích hình tam giác ABC b) M điểm BC Đoạn thẳng AM cắt đoạn thẳng DE I Hãy so sánh AI IM Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí 70 Cho hình tam giác ABC có diện tích 72 cm Hai điểm D, E trung điểm cạnh AB, AC Trên cạnh BC ỉấy hai điểm M, N cho MN = BC Đường thẳng DE cắt đoạn thẳng AM, AN điểm P, Q Tính diện tích hình tứ giác MNQP 71 Cho hình tam giác ABC, D điểm nằm cạnh AB cho AD = E điểm nằm cạnh AC cho AE = 3 AB ; AC Một đường thẳng qua A cắt đoạn thẳng DE I cắt cạnh BC M a) So sánh diện tích hình tam giác ADE ABC b) So sánh đoạn thẳng AI AM 72 Trên cạnh AB hình tam giác ABC lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BM = MN = NC Trên cạnh AC lấy điểm p, Q cho CP = PQ = QA Tia AM cắt đoạn thẳng DQ EP U, V Tia AN cắt đoạn thẳng DQ EP X, Y a) So sánh độ dài đoạn thẳng AU, UV, VM b) So sánh diện tích hình tứ giác UVYX với diện tích hình tam giác ABC 73 Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = AC lấy điểm N cho AN = MB, cạnh NC Hai tia BN CM cắt điểm O a) So sánh diện tích hai hình tam giác OBC ABC Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí b) So sánh độ dài đoạn thẳng BO ON 74 Cho hình tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm P cho AP = 2PB Trên cạnh BC lấy điểm M cho MB = 2MC, cạnh CA lấy điểm N cho CN = 2NA AM BN cắt E; CP cắt AM G cắt BN D So sánh diện tích hình tam giác DEG ABC 75 Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp lần đáy AB Hai đường chéo AC BD cắt điểm O a) So sánh đoạn thẳng OB OD, OA OC b) Tính diện tích hình tam giác OAD DCO, biết diện tích hình thang ABCD 32 cm 76 Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp lần đáy AB Các cạnh bên AD BC kéo dài cắt P a) So sánh đoạn thẳng PA PD, PB PC b) Tính diện tích hình thang biết diện tích hình tam giác PAB cm 77 Cho hình thang ABCD có đáy AB CD AC BD cắt O M trung điểm cạnh đáy AB Đường thẳng OM cắt cạnh đáy CD N So sánh đoạn CN ND 78 Cho hình thang ABCD có đáy AB CD AC BD cắt O Qua O có đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD P, cắt BC Q So sánh đoạn OP OQ 79 Cho hình thang ABCD có đáy AB CD AC BD cắt O Các cạnh bên kéo dài cắt K Đường thẳng KO cắt AB M cắt CD N So sánh đoạn thẳng MA MB, đoạn thẳng ND NC 80 Cho hình thang ABCD, đáy AB CD, M điểm AB, N điểm CD Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí a) So sánh tổng diện tích hai hình tam giác CMD ANB với diện tích hình thang ABCD b) AN DM cắt E ; CM BN cắt G So sánh tổng diện tích hai hình tam giác AED BGC với diện tích hình tứ giác MENG 81 Cho hình thang ABCD có đáy AB CD ; M N trung điểm cạnh BC AD ; AM cắt BN E, CN cắt DM G a) So sánh tổng diện tích hai hình tam giác MAD NBC với diện tích hình thang ABCD b) So sánh diện tích hình tứ giác MENG với tổng diện tích hai hình tam giác AEB CGD 82 Cho hình thang ABCD đáy AB = 30cm CD = 45cm AC BD cắt O Cho biết diện tích hình tam giác OAB 180 cm Hãy tính diện tích hình thang 83 Cho hình thang ABCD hai đáy AB CD Các cạnh bên AD BC kéo dài cắt K Cho biết diện tích hình tam giác KCD gấp 1,5 lần diện tích hình tam giác KAC Tính cạnh đáy 1hình thang biết diện tích hình thang 375 cm chiều cao 10cm 84 Cho hình vng ABCD M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Các đường thẳng AN CQ cắt đường thẳng BP DM tạo thành hình tứ giác GHIK a) Em so sánh diện tích hình tứ giác GHIK với tổng diện tích bốn hình tam giác nhỏ có đỉnh A, B, C, D b) Tính diện tích hình tứ giác GHIK biết cạnh hình vng 20cm 85 Cho hình chữ nhật ABCD M N hai điểm nằm cạnh AB cho Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí MN = AB ; P, Q hai điểm cạnh CD cho PQ = CD ; Hai đường thẳng MO NQ cắt điểm O nằm hình chữ nhật Biết diện tích hình tam giác OPQ lớn diện tích hình tam giác OMN 1,5 cm Hãy tính diện tích hình chữ nhật cho 86 Cho hình chữ nhật ABCD E G trung điểm cạnh AD BC M, N hai điểm nằm cạnh AB CD Đoạn thẳng MN cắt đoạn thẳng EG I So sánh : a) Diện tích hình tứ giác ABGE, EGCD với diện tích hình chữ nhật ABCD b) Độ dài đoạn thẳng MI IN 87 Cho hình chữ nhật ABCD E, G trung điểm cạnh AD BC M, N hai điểm nằm hai cạnh AB CD MN EG cắt I a) Cho biết diện tích hình thang AMND gấp đơi diện tích hình thang MBCN, so sánh hai đoạn thẳng EI IG b) Ngược lại, cho biết EI = 2IG, so sánh diện tích hai hình thang AMND MBCN 88 Cho hình tứ giác ABCD I trung điểm cạnh AB Cho biết diện tích hình tam giác ACD BCD băng 12 cm 18 cm Hãy tính diện tích hình tam giác ICD 89 Cho hình tứ giác ABCD M N hai điểm nằm cạnh AB CD cho AM = 2MB ; CN = 2ND AN cắt DM P, BN cắt CM Q So sánh diện tích hình tứ giác PMQN với tổng diện tích hai hình tam giác APD BQC 90 Cho hình tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AC, BD cắt điểm O Cho biết diện tích hình tam giác OAB, OBC OCD cm2 ; 3,5 cm tính diện tích hình tứ giác ABCD Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí 5,25 cm Hãy 91 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích 34 cm Cạnh CB kéo dài phía B cạnh DA kéo dài phía A cắt P Biết diện tích hình tam giác PAB 18cm diện tích hình tam giác ABC cm Hãy tính diện tích hình tam giác ABD BCD 92 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích 47 cm Cạnh CB kéodài phía B, cạnh DA kéo dài phía A cắt điểm P Hãy tính diện tích hình tam giác PAB biết hình tam giác ABC hình tam giác BCD có diện tích 12 cm 24 cm 93 Cho hình tứ giác ABCD M, N, p, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD DA, MP NQ cắt I Hãy so sánh đoạn thẳng MI IP 94 Cho hình tứ giác ABCD, AB lấy điểm E cho AE = cho BH = cho DP = HC Trên CD lấy điểm N cho CN = EB Trên BC lấy điểm H CD Trên DA lấy điếm P, DA EN PH cắt điểm O So sánh EO ON 95 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích 300 cm2 biết: AM = MN = NB ; DP = PQ = QC Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Tính diện tích hình MNQP 96 Cho hình tứ giác ABCD có diện tích 900 cm , biết : AM = MN = NB ; BE = EG = GC ; DP = PQ = QC ; AK = KH = HD Tính diện tích hình RSTO HƯỚNG DẪN, BÀI GIẢI 51 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Từ SABN + SBCP + SCDQ + SDAM = (S1 + S2 + S3 + S4 ) × 2+ (S5 + S6 + S7 + S8 ) = SABCD Mặt khác : SABCD = (S1 + S2 + S3 + S4 ) + (S5 + S6 + S7 + S8 ) + S9 Suy : S9 = S1 + S2 + S3 + S4 SGHIK = SAGM + SBHN + SCIP + SDKQ Hay b) Ta tính SANM = SAND S1 : AM x BN : = (20 : 2) x (20 : 2) : = 50 ( so với SAMN cm ); gấp 200 : 50 = (lần) Suy đường cao hạ từ D tới AN so với đường cao hạ từ M tới AN gấp lần Từ SAGD Hay so với SAGM gấp lần SADM = SAGD + SAGM = SAGM SAMD = x5 = AD x AM : = 20 x (20 : 2) : = 100 ( cm Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí ); S1 = SAGM Tương tự tính diện tích S2 , S3 , S4 SGHIK = 100 : = 20 ( cm ) ta kết Vậy = 20 x = 80 ( cm ) 85 Nếu chia cạnh AB hình chữ nhật thành phần MN : : = (phần) PQ = : = (phần) Hai hình tam giác NPQ MNP có đường cao (bằng BC) nên SNPQ SPMN phần SPMN - SNPQ = SOPQ - SOMN = 1, ( SNPQ = Từ : 1,5 x = 4,5 ( cm cm ) ) = (phần) SABCD = 4,5 x = 18 ( cm ) 86 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí phần a) Gợi ý : Bài không sử dụng GE song song với hai cạnh Ta thấy S1 = S4 S2 = S3 nên S1 + S2 = S3 + S4 hay SABGE = SEGCP = SABCD SAME + SMBG = b) 1 AM × AE + MB × BG 2 = BC (AM + MB) × = AB × BC 2 = SABCD AE = BG = (vì SMEG = SABGE - (SAME + SMBG ) = SNEG = Tương tự Suy BC ) 1 SABCD - SABCD = SABCD 4 SABCD SMEG = SNEG Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Xem EG đáy chung, hai đờng cao hạ từ M N tới EG Hai hình tam giác MEI NEI có đáy chung EI hai đường cao nói nên SMEI = SNEI Xem MI NI đáy hai hình tam giác có đường cao chung hạ từ E tới MN nên đáy : MI = IN 87 SAME + SDNE = 1 AM × AE + DN × ED 2 = AD × (AM + DN) × 2 = SAMND AE = ED = (vì SMEN = Suy phần lại SMGN = Tương tự ta có : a) Nếu AD ) SAMND SBMNC SAMND = SBMNC ×2 SMEN = SMGN × Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Xem MN đáy chung hình tam giác ta có đường cao hạ từ E tới MN gấp đôi đường cao hạ từ G tới MN Các đường cao đường cao hình tam giác EMI GMI Vậy SEMI = SGMI × Xem EI IG đáy, hai hình tam giác có đường cao chung hạ từ M tới EG Vậy EI = 2IG b) Ngược lại EI = 2IG SMEI = SMIG × Suy SNEI = SNIG × SMEN = SMGN × Theo phần chung SAMND = SMEN × Vậy SBMNC = SMGN × SAMND = SBMNC × 88 Gọi K trung điểm cạnh CD ta có : SADI + SBCK = 1 SADB + SBCD = SABCD 2 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Từ SADI + SBCI + (SBKC + SDAK ) = SABCD ; SADI + SBCI + SICD = SABCD Vậy SICD = SBKC + SDKA = 1 SBDC + SADC 2 (cm ) = 18 : + 12 : = 15 Cách khác : SAID = SIBC = 1 SABD = (SABCD - 18) = SABCD - 2 1 SABC = (SABCD - 12) = SABCD - 2 Từ (1) (2) Từ : (1) (2) SAID + SICB = SABCD - 15 SIDC = 15 (cm ) 89 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí SABD SAMD = SADM + SBCN = = (SABD + SBCD ) SABCD SBCM = SBCA SADN = SACD SADN + SBCM = SABCD SADM + SBCN + SBCM + SADN = SABCD Hay : S1 + S2 + S3 + S4 + (SADP + SBQC ) × = SABCD Mặt khác SABCD = S1 + S2 + S3 + S4 + (SAPD + SBQC ) + SMPNQ SAPD + SBQC = SMNPQ Vậy 90 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Hai hình tam giác OAB OBC có đường cao chung hạ từ B tới AC nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với cạnh đáy Đoạn thẳng OA phần đoạn thẳng OC = 3,5 phần Hai hình tam giác ADO OCD có đường cao chung hạ từ D tới AC nên diện tích OCD 3,5 phần, diện tích OAD phần Vậy SOAD SABCD (cm ) = 5,25 : 3,5 x = (cm ) = + 3,5 + 5,25 + = 18,75 91 SPAB so với SABC gấp 18 : = (lần) Hai hình tam giác có chung đường cao hạ từ A tới PC nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với cạnh đáy, PB so với BC gấp lần Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Và PC so với BC gấp lần Hai hình tam giác DPC DBC có chung đường cao hạ từ D tới PC nên SDBC so với gấp lần : SDPC = SPAB + SABCD SDBC Và SDPC SDAB = 34-13 = 21 = 18 + 34 = 52 = 52 : = 13 (cm ) (cm ) (cm ) 92 SDBC so với SABC gấp 24 : 12 = (lần) Xem đáy chung BC đường cao hạ từ D tới BC so với đường cao hạ từ A tới BC gấp lần (DK = 2AH) Hai hình tam giác DPB APB có đáy chung PB đường cao đường cao nói Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Vậy Coi SDPB SAPB so với SAPB phần SABD = SDPB - SAPB Suy : Ta có : gấp lần = - = (phần) SAPB = SABD SABD = SABCD - SBCD = 47 - 24 = 23 Vậy : SAPB = SABD = 23 (cm ) (cm ) 93 Gợi ý: Theo cách làm 88, xét hình tứ giác ABNQ QNCD Ta có : Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí SAQN + = SDQN + SQMN = SPQN SAQN = SDQN Mà SBQN ; SCQN ; SBQN = SCQN SQMN = SPQN nên Hai hình tam giác có đáy chung NQ, nên chiều cao hạ từ M từ P tới NQ Hai đường cao hai đường cao hai hình tam giác MQI PQI nên SMQI = SPQI (đáy QI chung) Xem MI DP đáy hình tam giác có chiều cao chung hạ từ Q tói MP Vậy MI = IP 94 Gợi ý : Làm tương tự 93 Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí 1 SAPB = SABHP - SPHB 3 2 = SABH = SABHP - SAPH 3 SAPE = SEBH SAPE + SEBH = SABHP - ( SPBH + SAPH ) 3 Vì SAPE + SEBH = SABHP - SEPH SEPH = nên SPBH + SAPH 3 (1) Tương tự: SDPN = 1 SDPC = SCDPH - SCPH 3 SCHN = 2 SHDC = SCDPH - SDPH 3 SDPN + SCHN = SCDPH - ( SCHP + SDPH ) SNPH = Suy Vì SCPH = SDPH 3 (2) SCHP = SPBH × ; SPHD = SAPH × Từ (1) (2) có SNPH = SEPH × Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí Hai hình tam giác NPH EPH chung đáy PH nên đường cao từ N gấp đôi đường cao từ E, từ : SHON = SHPE × Hai hình tam giác HON HOE chung đường cao hạ từ H nên đáy ON = OE x 95 SADB = SBCD SADM = SBCQ SADM + SBCQ = (SADB + SCBD ) = SDMBQ = Suy ra: SABCD SABCD Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí SMDP = SMPQ Nhưng SQMN = SQNB Suy : SMNPQ = SMNQ + SMPQ = SMDP + SQNB = SMNQP = 300 : = 100 SABCD (cm ) 96 Theo 95 ta có : SEGMN = SABCD = 900 : = 300 (cm ) Theo 94 ta có : ER = 1 RN ; ON = EO 2 Nên ER = RO = ON Tương tự : GS = ST = TM Xét hình tứ giác EGMN, lại theo 95 ta có : Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí SRSTO = SEGMN = 300 : = 100 (cm ) Hoc360.net – Tài liệu học tập, giảng miễn phí ... cm , diện tích hình tam giác BOM diện tích hình tam giác AON cm2 Hãy tính diện hình tích tam giác ABC 61 Cho hình tam giác ABC điểm O nằm hình tam giác Biết diện tích hình tam giác AOB giác. .. diện tích hình tam giác ABC biết diện tích hình tam giác AOB 20 cm 69 Cho hình tam giác ABC có D, E trung điểm cạnh AB, AC a) Hãy so sánh diện tích hình tam giác ADE với diện tích hình tam giác. .. tổng diện tích hai hình tam giác CMD ANB với diện tích hình thang ABCD b) AN DM cắt E ; CM BN cắt G So sánh tổng diện tích hai hình tam giác AED BGC với diện tích hình tứ giác MENG 81 Cho hình thang