Hh chuyên đề 1 góc trong tam giác

CHUYÊN ĐỀ GÓC TRONG TAM GIÁC I.Cơ sở lí thuyết Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau:  Trong tam giác: oTổng số ba góc tam giác 1800 oBiết hai góc ta xác địn góc cịn lại oMỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với  Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại  Trong tam giác vng: oBiết góc nhọn, xác định góc cịn lại oCạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 300  Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo 450  Trong tam giác đều: góc có số đo 600  Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo  Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 900  Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450  Hai góc đối đỉnh  Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân hình vẽ Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …) (Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều đòi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng tốn II Một số dạng toán hướng giải Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác Bài tốn Cho ∆ ABC có ^A=200 có AB= AC, lấy M ∈ AB cho MA=BC Tính số đo ^ AMC ? Nhận xét Ta cần tìm ^ AMC thuộc ∆ ABC có ^A=200 mà ^B=C^=800=200+600 Ta thấy có liên hệ rõ nét góc 200 góc 600, mặt khác MA=BC Từ đây, ta thấy yếu tố xuất hiệ liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác A Hướng giải Cách (Hình 1) M Vẽ ∆ BDC (D, A phía so với BC) Nối A với D Ta có ∆ ABD=∆ ACD (c.c.c) => ^ DAC=^ DAB=100 => ^ AMC=1800−( ^ ACM + ^ MAC )=1800−(200+100)=1500 Lại có ∆ AMC=∆ CDA (c.g.c) => ^ MCA=^ DAC=100 D Cách (Hình 2) B C Vẽ ∆ ACD (M, D khác phía so với AC) A D Ta có ∆ BAC=∆ ADM (c.g.c) => ^ AMD=800 (1) => ∆ MDC cân D, ^ MDC=400 => ^ DMC=700 (2) M Từ (1) (2) suy ^ AMC=1500 Từ hướng giải thử giải Bài toán1 theo phương án sau: B C  Vẽ ∆ ACD (C, D khác phía so với AB)  Vẽ ∆ ABD (B, D khác phía so với AC)  Vẽ ∆ AMD (D, C khác phia so với AB) ………………………… Lập luận tương tự ta có kết Bài tốn Cho ∆ ABC cân A, ^A=400 Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho ^ EBA=^ FBC =300 Tính ^ AEF ? Hướng giải Vẽ ∆ ABD (B, D khác phía so với AC) A ∆ ABC cân A, ^A=400 (gt) => ^ ABC=^ ACB=700 mà ^ FBC=300 (gt) => ^ ABF=400, ^ BAF=400 => ∆ AFB cân F EF => AF=BF, mặt khác AD=BD, FD chung D ¿> ∆ AFB=∆ BFD (c c c)=¿ ^ ADF =^ BDF =60 =30 0 B HC Do AH đường cao tam giác cân BAC => ^ BAE=200=^ FAD=600−400, AB= AD (vì ∆ ABD đều), ^ ABE=300 (gt) => ∆ ABE=∆ ADF (g.c.g) => AE= AF => ∆ EAF cân A mà ^ EAF =200 ^ 1800−200 ¿> AEF = =80 Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ giả thiết 400=600−200 mối liên hệ FA=FB suy từ ∆ ABE cân F Với hướng suy nghĩ giải Bài tốn theo cách sau:  Vẽ ∆ AFD đều, F, D khác phía so với AB (H.1)  Vẽ ∆ BFD đều, F, D khác phía so với AB (H.2) ………………… A A (H.1) D F D F E (H.2) E B HC B HC Bài tốn (Trích tốn nâng cao lớp – Vũ Hữu Bình) Cho ∆ ABC, ^B=C^=450 Điểm E nằm ∆ cho ^ EAC=^ ECA =150 Tính ^ BEA ? Nhận xét Xuất phát từ 150 750 biết, ta có 600=750−150 EA=EC ∆ EAC cân E Với yếu tố giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Vẽ ∆ AEI (I, B phía so với AE) A Ta có ∆ AEC=∆ AIB (c.g.c) ¿> IB=CE mà EI =CE (∆ AEI đều) I ¿> IB=EI => ∆ EIB c â n t i I ¿> ^ EIB=3600−(600+1500)=1500 E C ¿> ^ IEB=150 B ¿> ^ BEA=B^EI + ^ IEA=750 A Khai thác Chúng ta giải Bài tốn theo cách sau: E C Vẽ ∆ ACD (D, E khác phía so với AC) B  Một số toán tương tự D Bài toán 3.1 Cho ∆ ABC, ^A=1V , AB=2 AC Kẻ tia Cx /¿ AB Kẻ AD cho C^ AD=150 , D∈ Cx (B, D phía so với AC) Tính ^ ADB ? Bài tốn 3.2 Cho ∆ ABC, ^A=1V , B^ =750 , BH =2 AC , H ∈ AB (B, H khác phía so với AC) Tính ^ HCA ? Bài toán 3.3 Cho ∆ ABC ( AB=AC ) ^A=α (600 Δ ABM cân B, ^ ABM=500−100=400 D ¿> ^ AMB=700 A Cách (H.2) Vẽ ΔA BD (D, A khác phía so với BC) ¿> Δ ABM cân A Từ có hướng giải tương tự B Bài toán Cho ∆ ABC , (B^ =C^ =700) Kẻ tia Bx cho C^Bx=100 Trên tia Bx lấy điểm D cho BD=BA (A, D khác phía so với BC) Tính ^ BCD ? Nhận xét A Ta thấy xuất góc 700 100 mà 600=700−100, đồng thời với BD=BA Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ tam giác I Hướng giải Cách C Dx Vẽ Δ BIC (I, A phía so với BC) B A Ta thấy Δ BIA=ΔCIA (c.g.c) Δ BIA=Δ BCD (c.g.c) ^ BAC ( ) ^ ^ ¿> BCD=BIA=180 − 10 + =150 Cách E Vẽ ∆ ABE (E, B khác phía so với AC) C Từ ta có cách giải tương tự Dx Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng B có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Phân tích +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia ^ BAC thành ba góc ¿>∆ ABM cân A (Đường cao đồng thời phân giác) ¿> AH đồng thời trung tuyến A K ¿> HB=HM = BM =¿ HM= MC +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến ^ MAC=^ MAH=^ HAB liên quan đến HM = HB = B HM C BM = 21 MC Kẻ MK ⊥ AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích AM ⊥ AC t ại K → ∆ AHM =∆ AKM → MK =MH → MK =12 MC → C^ =300 → ^ HAC=600 → ^ HAM =^ MAC=300 → ^ HAB=300 → ^ BAC=900 → B^ =600 Hướng giải Vì MK ⊥ AC K Xét ∆ ABM có AH đường cao ứng với BM AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì ^ BAH =^ HAM=¿ 12 ^ BAM) Nên ∆ ABM cân đỉnh A => H trung điểm BM ¿> HM = BM = BC Xét ∆ AHM ∆ AKM có AM cạnh huyền chung ^ HAM=^ KAM (gt) ¿>∆ AHM =∆ AKM (cạnh huyền – góc nhọn) ¿>HM =KM (hai cạnh tương ứng) ¿> KM = BC= MC Xét ∆ MKC có ^ MKC=900, KM = 12 MC ¿>C^=300 ta tính ^B=300, ^A=900 Vậy ^B=300, ^A=900 , C^ =600 Bài toán Cho ∆ ABC ,C^=300 Đường cao AH AH = BC D trung điểm AB Tính ^ ACD ? Hướng giải Xét ∆ AHC có C^=300, ^ AHC=1V =¿ AH =1 AC A 2D mà AH = BC (¿ )=¿ AC =BC C ¿>∆ ACB cân C => CD phân giác => ^ ACD=150 BH Nhận xét Suy nghĩ chứng minh ∆ ACB cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ ∆ AHC vng có C^ =300 AH = BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam giác vng có góc 300 Bài tốn Cho ∆ ABC có ba góc nhọn Về phía ngồi ∆ ABC ta vẽ tam giác ABD ACE I trực tâm ∆ ABD, H trung điểm BC Tính ^ IEH ? E Phân tích A ∆ HEI nửa tam giác D I =>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF B H C Hướng giải Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Ta có ∆ BHF=∆ CHE (c g c )=¿ BF=CE Ta có IA = IB ^ AIB=1200 (vì ∆ ABD đều) F ^ IAE=300+B^ AC + 600=900+ ^ BAC Mà ^ IBF=3600−( ^ IBA+ ^ ABC + ^ HBF ) ¿ 3600−(300+ ^ ABC+ ^ ECH ) ¿ 3600−(300+ ^ ABC+ ^ ACB +600) ¿ 3600−¿ ¿> ∆ IBF=∆ AIE (c g c )=¿ IF=IE ¿> ∆ FIE cân I mà ^ AIB=1200 ¿> ^ FIE=1200=¿ ^ IEH =300 Khai thác Với cách giải nhiều em phát đề xuất cách vẽ đường phụ sau:  Lấy K đối xứng với I qua H (H.1)  Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) ……………………… E E A MA D D I I B B H C H C (H.2) (H.1) K Bài tập dạng: Cho ∆ ABC, vẽ ∆ ABD , ∆ ACE (E, D nằm tam giác) I, P trung điểm AD CE Điểm F nằm BC cho BF = 3FC Tính ^ FPI ? Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng cân Bài tốn Cho ∆ ABC, M trung điểm BC, ^ BAM=300, ^ MAC=150 Tính ^ FPI ? Phân tích Khi đọc kĩ toán ta thấy ^ BAM=300, ^ MAC=150 , BM =MC, quan sát hình vẽ nhận dạng tốn ta biết có nguồn gốc từ Bài tốn Mặt khác ^ BAC=450, điều giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân Hướng giải Cách Hạ CK ⊥ AB (Dễ chứng minh tia CB nằm hai tia CA CK) Ta có ∆ AKC vng cân K (vì ^ BAC=450) ¿> KA=KC Vẽ ∆ ASC vuông cân S (K, S khác phía so với AC) Do ∆ BKC vng K => KM = 21 BC = MC AS ¿>∆ KMC cân M Dễ thấy ∆ KAM =∆ CSM (c g c )=¿C^ SM =300 ¿> ^ ASM =600 ^ SAM =600 ¿>∆ ASM => AS = SM = AK BMC ¿>∆ AKM cân A K ¿> ^ MKC=^ MCK =900−750=150 ¿> ^ BCA=450−150=300 Cách A Lấy D đối xứng B qua AM => ∆ BAD cân A D Mà ^ BAM=300 (¿)=¿ ^ BAD=600=¿ ∆ ABD Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), (BD∩ AM ={ I }) BI C Mà MI ⊥ BD=¿ CD ⊥ BD M Mặt khác xét ∆ ABD có C^ AD=150 (¿ ) , ^ ADC=600+900=1500 ¿> ^ DCA=150=¿ ∆ ADC cân D => AD = CD Mà AD = BD (∆ ABD đều) Vậy ∆ BDC vuông cân D => ^ DCB=450 ¿> ^ BCA=450−^ DCA =450−150=300 Bài toán 10 Cho ∆ ABC , ^A=1 V , AC=3 AB D điểm thuộc đoạn AC cho AD = 2DC Tính ^ ADB+^ ACB=? Hướng giải Kẻ EK ⊥ AC cho EA = ED, E ∈ AD với EF = AD (B, F khác phía so với AC) Ta có ∆ BAD=∆≝¿ (c.g.c) (*) B ¿> BD=FD , ^ BDF=1 V =¿ ∆ BDF vuông cân D ¿> ^ DFB=450 (1) E Trên tia đối tia AB lấy I cho AI = 2AB A C D Dễ thấy ∆ IBF=∆ ACB (c.g.c) => ^ ACB=^ IBF=^ EFB (2) Từ (*), (1) (2) ta có ^ ADB+ ^ ACB=B^ FD=450 Nhận xét I F Sau vẽ hình ta dự đốn ^ ADB+^ ACB=450 lúc ta nghĩ đến việc tạo tam giác vuông cân để tổng số đo hai góc cần tìm số đo góc 450 Ý nghĩ dự đoán ^ ADB+^ ACB=450 xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ ∆ ABE vuông cân (E trung điểm AD) Khi phát tổng hai góc 450 giải toán theo nhiều cách giải khác Bài toán 11 Cho ∆ ABC vuông cân A, M điểm đoạn AC (M khác A, C) Kẻ AF ⊥ BM , F ∈ BC E điểm thuộc đoạn BF cho EF = FC kẻ EI // BM, I ∈ BA Tính ^ AIM? Hướng giải B Gọi K giao điểm IE AC Xét ∆ KEC có FA // EK, EF = FC (gt) => KA = AC và^K=^ FAC IE F Ta có ∆ ABM =∆ AKI (g c g )(v ì ^ FAC=^ ABM ) => AM = AI => ∆ AIM vuông cân A ¿> ^ AIM =450 K AM C Nhận xét Đường kẻ phụ KI KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai B nguyên nhân làm nảy sinh kẻ đường phụ này: +/ Một IE // AF +/ Hai EF = FC E F Từ làm xuất ý nghĩ chứng minh ∆ ABM =∆ AKI I MC toán giải Căn vào yếu tố giả thiết cho tốn ta có A cách vẽ hình phụ khác sau: Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AM H Từ ta có cách giải tương tự Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác cân biết góc Bài tốn 12 Cho ∆ ABC , ^A=800, AC> AB D điểm thuộc đoạn AC cho DC=AB M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Tính C^ MN ? Hướng giải Trên tia đối tia AC lấy điểm K cho AK = DC K Nối K với B ta có ∆ AKB cân A (vì AB = DC) A D ¿> ^ BKA= ^ BAC= ∙ 800=400(t / c góc ngồi) Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC => MN đường trung bình ∆ KBC B C ¿> ^ NMC=^ BKC=400 Nhận xét Vì đâu ta có kẻ đường phụ AK? +/ Thứ nhất: Ta có ∆ AKB cân biết ^ BAC Như góc ∆ AKB tìm +/ Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC +/ Thứ ba: Do NB = MC Với lí thứ hai ba ta có góc cần tìm ^ BKA Vậy toán giải Sau nêu lí đó, ta có đường kẻ phụ khác sau:  Lấy K đối xứng với A qua N  Lấy K trung điểm BD  Lấy K đối xứng M qua B  Lấy K đối xứng D qua N ………………………… Bài tốn dạng tổng qt sau: Giữ nguyên giả thiết thay ^A=α (00