Chuyên đề 3 một số hệ THỨC về CẠNH và góc TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A Kiến thức cần nhớ Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình bên thì: b  a sin B  a cos C ; c  a sin C  a cos B b  c tan B  c cot C ; c  b tan C  b cot B Giải tam giác vuông Là tìm tất cạnh góc tam giác vng B biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài) B Một số ví dụ �   Tính giá trị  để BH Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, B = 3CH Giải Đặt AH = h Xét ABH vng H ta có: BH = AH.cot B = h.cot  Xét ACH vng H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan  BH  3CH � h.cot   3h.tan  � tan    tan  tan  � tan    tan 30��   30� 3 Nhận xét: Trong giải ta biểu diễn BH CH theo AH theo tỉ số lượng giác góc  Từ mối quan hệ BH CH ta tìm giá trị  �  35� �  50�và đường cao AH = 5,0cm Ví dụ Giải tam giác ABC biết B ,C Giải Ta phải tìm � A , AB, AC BC   � � C �  95� A  180� B • Xét ABH vng H ta có: AH  AB.sinB � AB  AH 5,  �8,  cm  sinB sin 35� BH  AH cotB �5, 0.cot 35��7,1 cm  • Xét ACH vng H ta có: AH  AC.sin C � AC  AH 5,  �6,5  cm  sin C sin 50� CH  AH cot C �5, 0.cot 50��4,  cm  Do BC  BH  CH  7,1  4,  11,3  cm  Vậy � A  95� ; AB  8, 7cm; AC  6,5cm; BC  11,3cm Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH  AB.cos B; CH  AC.cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD CK  AD Xét ABH vuông H, ACK vng K, ta có: BH  AB.sin Vậy BH  CK   AB  AC  sin A A ; CK  AC sin 2 A A  8sin 2 Mặt khác , BH  CK �BD  CD  BC   cm  nên 8sin Do A A �4 �sin 2 sin 30 � A �� 30  � � A 60 max � A  60�khi D, H, K trùng  ABC đểu Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD đường thẳng BH, CK vng góc với AD mà ta tìm liên hệ AB, AC với BH, CK; liên hệ BH, CK với BC Do AB, AC BC có liên hệ với nhau, từ tìm số đo góc A Ví dụ Chứng minh định lí cơsin: Trong tam giác nhọn, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng Giải Vẽ đường cao BH Xét HBC vuông H ta có: BC  HB  HC  HB   AC  AH   HB  AC  AC AH  AH   HB  AH   AC  AC AH  AB  AC  AC AH  1 Xét ABH vng H ta có : AH = AB cosA Thay vào (1) ta BC  AB  AC  AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính toán 3.1 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải a) ACD vng D, có AD = ACsin C ABE vng E, có BE = ABsin A BCF vng F, có CF = BCsin B Suy AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C b) ABE vng E, có AE = ABcos A BCF vng F, có BF = BCcos B ACD vng D, có CD = ACcos C Suy AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C 3.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải ABB' vuông B', có AB' = ABcos A BCC’ vng C', có BC' = BCcos B CAA' vng A', có CA' = ACcos C Suy AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Do AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác qua điểm nên đề yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A theo định lí Xê-va ta có A ' B B 'C C ' A  từ A ' C B ' A C 'B suy đpcm 3.3 Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động ABM    0�   90� xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho �  Tính độ dài ngắn AB Giải ABM vng M, có AM  AB.sin  � AB  Do � M  H AB AM Vậy AB  ngắn  AM AM sin  ngắn 2cm M �H sin  3.4 Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD, CK  AD Ta có BH �BD, CK �CD Suy BH  CK �BD  CD  BC ABH vuông H, có: BH  AB.sin A ACK vng K, có: CK  AC.sin A Do BH  CK   AB  AC  sin Do sin A A A  6sin mà BH  CK �BC  3cm nên 6sin �3 2 � A 3 A �   sin 60� Suy �� 60  � � A 120 2 Vậy max � A  120�khi H �K �D  ABC vuông cân A �  40� 3.5 Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Tính độ dài BC Giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  14sin 40��9.0  cm  BH  AB.cos B  14.cos 40��10,  cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  112  92 �6,3  cm  • Nếu H nằm B C BC  BH  HC �10,  6,3  17  cm  • Nếu C’ nằm B H BC '  BH  HC ' �10,  6,3  4,  cm  �  70� Tính độ dài BC 3.6 Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  3, 2sin 70��3,  cm  BH  AB.cos B  3, 2.cos 70��1,1 cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH � 5, 02  3, 02  4,0  cm  Điểm C nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC  BH  HC �1,1  4,0  5,1 cm  3.7 Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH Giải Xét KBC vng K, có: BK  BC.sin  � BC  Vì ABC cân A nên HB  HC  BK h  sin  sin  h 2sin  Xét AHC vng H có: AH  HC.tan   h sin  h  2sin  cos  cos  �  40� �  65� 3.8 Cho tam giác ABC, B ,C a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm trịn đến centimet) Giải �  Đặt MAH a) Xét ABH AHC vng H ta có: BH  AH cot B; CH  AH cot C ; MH  AH tan  Ta có BH  CH   BM  MH    CM  MH   2MH Do AH cot B  AH cot C  AH tan  Suy cot B  cot C  tan  Hay tan   cot B  cot C cot 40� cot 65�  �0,3627 2 tan  �� tan19  �56 '  20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B  AH cot C  45 � AH  cot B  cot C   45 Suy AH  45 45  �27  cm  cot B  cot C cot 40� cot 65� 3.9 Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a) � A  50�, AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b) � A  55�, AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Giải a) Vẽ CH  AB Xét ACH vuông H, ta có: AH  AC.cos A  6, 2.cos 50��4,  cm  Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm A H �  90� Suy � ABC  H Vậy ABC tam giác tù b) Vẽ CH  AB, BK  AC Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 55��2,  cm  Xét ABK vng K, ta có: AK  AB.cos A  3,5.cos 55��2,  cm  • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm A B �  90�nên HBC � nhọn Xét HBC có H • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm A C �  90�nên � Xét KBC có K ACB nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3.10 Cho tam giác ABC vuông A, � A  64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 64��2,  cm  AKB vuông K, ta có: AK  AB.cos A  c.cos 64� � tù � tù C ABC tù  B � tù • Xét trường hợp B �  90�� AH  AB �  c hay c  c  Ta có B � tù • Xét trường hợp C �  90�� AK  AB � c.c os64o  4,5 � c  Ta có : C 4,5 �10,3 cos64o Tóm lại, ABC tù  c  2cm c  10,3cm 3.11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D �AB, E �AC ; F, G �BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 Giải �   ; AD  x DB   x Ta đặt B Ta có DE / / BC suy Do DE  DE AD  (hệ định lí Ta-lét) BC AB AD.BC x.6 x   AB Xét DBG vng G, ta có DG  DB.sin     x  sin  Diện tích hình chữ nhật DEFG S  DE.DG  x   x  sin  2 �a  b � Vận dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm ab �� � ta �2 � �x   x � x   x  �� � � � (dấu “=” xảy x = 4-x  x = 2) Do S � 4sin   6sin  2 Vì  sin   nên S   cm  D trung điểm AB 3.12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1.18) Do ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin ta có: BC  AB  AC  AB AC.cosA �  39   52  72  2.5.7.cos A Suy cos A  , � A  60� 3.13 Giải tam giác ABC, biết: �  62� �  53� a ) BC  6,8cm; B ;C �  40� �  35� b) BC  6,8cm; B ;C Giải � C �  65� a) Ta có � A  180� B Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c   sin A sin B sin C Do 6,8 b c   sin 65� sin 62� sin 53� Suy b  6,8.sin 62� 6,8.sin 53� �6,6  cm  ; c  �6,0  cm  sin 65� sin 65� Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin � C �  105� b) Ta có � A  180� B Vậy ABC tam giác tù, khơng vận dụng đính lí sin Vẽ đường cao AH Vì góc B C nhọn nên điểm H nằm B C Ta có BH  AH cot B, CH  AHcotC Mà BH  CH  BC nên AH  cot B  cot C   6,8 � AH  6,8 �2,  cm  cot 40� cot 35� ABH vuông H, có AH  AB.sin B Suy AB  AH 2, � �4,  cm  sin B sin 40� ACH vng H, có AH  AC.sin C Suy AC  AH 2, � �4,5  cm  sin C sin 35� 3.14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Giải Xét ABC, cạnh BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì  52  62 ) nên góc A góc nhọn (xem 1.18) Vậy ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin, ta có: • BC  AB  AC  AB AC.cos A Do  52  62  2.5.6.cos A Suy cos A  , � A �78� • AC  AB  BC  AB.BC.cosB Do 62  52   2.5.7.cos B Suy cos B  19 � �57� , B 35 �  180�  78� 57� • C   45� Nhận xét: Để giải tam giác biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin 3.15 Giải tam giác ABC, biết: � A  68�, AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn số đo góc đến độ) Giải Vẽ CH  AB Xét ACH vng H, ta có: CH  AC.sin A  5, 7.sin 68��5,3  cm  AH  AC.cos A  5, 7.cos 68��2,1 cm  Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm A B Do BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm) Xét HBC vuông H, ta có: BC  CH  BH � 5,32  2,92 �6,  cm  Xét ABC có BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì 62  52  5, ) nên góc A góc nhọn, suy ABC nhọn Do 5,  5,  6,  2.5,0.6, 0.cos B Suy cos B �� 0, 4752  � B 62 � �180�  68� 62� Từ C   50� 3.16 Giải tam giác ABC, biết: � A  50�, AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm trịn độ dài đến hàng phần mười) Giải Vẽ BH  AC ABH vuông H, ta có: AH  AB.cos A  4, 6.cos 50��3,  cm  BH  AB.sin A  4,6.sin 50��3,5  cm  HBC vuông H, ta có: HC  BC  BH  3, 72  3,52 �1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC �3,  1,  4,  cm  BH 3,5 �  90�và sin C  � �sin 71� Khi C BC 3, � �180�  50� 71� �  71�và B Suy C   59� • Nếu C’ nằm H A AC '  AH  HC ' �3,  1,  1,8  cm  Khi � AC ' B  90� � � 'C  C �  71�� � Ta có BC   21� AC ' B  180� 71� 109�và AB ' C  180�  50� 109� ... nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3. 10 Cho tam giác ABC vuông A, � A  64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vuông. .. AB = 5cm, BC  39 cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1. 18) Do ABC tam giác nhọn Theo... ta có: HC  BC  BH  3, 72  3, 52 ? ?1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC ? ?3,  1,  4,  cm  BH 3, 5 �  90? ?và sin C  � �sin 71? ?? Khi C BC 3, � ? ?18 0�  50� 71? ?? �  71? ? ?và B Suy C   59� •