CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A Kiến thức cần nhớ Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình bên thì: b a sin B a cos C ; c a sin C a cos B b c tan B c cot C ; c b tan C b cot B Giải tam giác vuông Là tìm tất cạnh góc tam giác vng B biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài) B Một số ví dụ � Tính giá trị để BH Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, B = 3CH Giải Đặt AH = h Xét ABH vng H ta có: BH = AH.cot B = h.cot Xét ACH vng H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan BH 3CH � h.cot 3h.tan � tan tan tan � tan tan 30�� 30� 3 Nhận xét: Trong giải ta biểu diễn BH CH theo AH theo tỉ số lượng giác góc Từ mối quan hệ BH CH ta tìm giá trị � 35� � 50�và đường cao AH = 5,0cm Ví dụ Giải tam giác ABC biết B ,C Giải Ta phải tìm � A , AB, AC BC � � C � 95� A 180� B • Xét ABH vng H ta có: AH AB.sinB � AB AH 5, �8, cm sinB sin 35� BH AH cotB �5, 0.cot 35��7,1 cm • Xét ACH vng H ta có: AH AC.sin C � AC AH 5, �6,5 cm sin C sin 50� CH AH cot C �5, 0.cot 50��4, cm Do BC BH CH 7,1 4, 11,3 cm Vậy � A 95� ; AB 8, 7cm; AC 6,5cm; BC 11,3cm Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH AB.cos B; CH AC.cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH AD CK AD Xét ABH vuông H, ACK vng K, ta có: BH AB.sin Vậy BH CK AB AC sin A A ; CK AC sin 2 A A 8sin 2 Mặt khác , BH CK �BD CD BC cm nên 8sin Do A A �4 �sin 2 sin 30 � A �� 30 � � A 60 max � A 60�khi D, H, K trùng ABC đểu Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD đường thẳng BH, CK vng góc với AD mà ta tìm liên hệ AB, AC với BH, CK; liên hệ BH, CK với BC Do AB, AC BC có liên hệ với nhau, từ tìm số đo góc A Ví dụ Chứng minh định lí cơsin: Trong tam giác nhọn, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng Giải Vẽ đường cao BH Xét HBC vuông H ta có: BC HB HC HB AC AH HB AC AC AH AH HB AH AC AC AH AB AC AC AH 1 Xét ABH vng H ta có : AH = AB cosA Thay vào (1) ta BC AB AC AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính toán 3.1 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải a) ACD vng D, có AD = ACsin C ABE vng E, có BE = ABsin A BCF vng F, có CF = BCsin B Suy AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C b) ABE vng E, có AE = ABcos A BCF vng F, có BF = BCcos B ACD vng D, có CD = ACcos C Suy AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C 3.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA ' A ' B.B ' C.C ' A AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải ABB' vuông B', có AB' = ABcos A BCC’ vng C', có BC' = BCcos B CAA' vng A', có CA' = ACcos C Suy AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Do AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác qua điểm nên đề yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A theo định lí Xê-va ta có A ' B B 'C C ' A từ A ' C B ' A C 'B suy đpcm 3.3 Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động ABM 0� 90� xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho � Tính độ dài ngắn AB Giải ABM vng M, có AM AB.sin � AB Do � M H AB AM Vậy AB ngắn AM AM sin ngắn 2cm M �H sin 3.4 Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC 3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH AD, CK AD Ta có BH �BD, CK �CD Suy BH CK �BD CD BC ABH vuông H, có: BH AB.sin A ACK vng K, có: CK AC.sin A Do BH CK AB AC sin Do sin A A A 6sin mà BH CK �BC 3cm nên 6sin �3 2 � A 3 A � sin 60� Suy �� 60 � � A 120 2 Vậy max � A 120�khi H �K �D ABC vuông cân A � 40� 3.5 Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Tính độ dài BC Giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH AB.sin B 14sin 40��9.0 cm BH AB.cos B 14.cos 40��10, cm Xét AHC vng H có: HC AC AH 112 92 �6,3 cm • Nếu H nằm B C BC BH HC �10, 6,3 17 cm • Nếu C’ nằm B H BC ' BH HC ' �10, 6,3 4, cm � 70� Tính độ dài BC 3.6 Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH AB.sin B 3, 2sin 70��3, cm BH AB.cos B 3, 2.cos 70��1,1 cm Xét AHC vng H có: HC AC AH � 5, 02 3, 02 4,0 cm Điểm C nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC BH HC �1,1 4,0 5,1 cm 3.7 Cho tam giác ABC cân A, góc đáy < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH Giải Xét KBC vng K, có: BK BC.sin � BC Vì ABC cân A nên HB HC BK h sin sin h 2sin Xét AHC vng H có: AH HC.tan h sin h 2sin cos cos � 40� � 65� 3.8 Cho tam giác ABC, B ,C a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm trịn đến centimet) Giải � Đặt MAH a) Xét ABH AHC vng H ta có: BH AH cot B; CH AH cot C ; MH AH tan Ta có BH CH BM MH CM MH 2MH Do AH cot B AH cot C AH tan Suy cot B cot C tan Hay tan cot B cot C cot 40� cot 65� �0,3627 2 tan �� tan19 �56 ' 20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B AH cot C 45 � AH cot B cot C 45 Suy AH 45 45 �27 cm cot B cot C cot 40� cot 65� 3.9 Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a) � A 50�, AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b) � A 55�, AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Giải a) Vẽ CH AB Xét ACH vuông H, ta có: AH AC.cos A 6, 2.cos 50��4, cm Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm A H � 90� Suy � ABC H Vậy ABC tam giác tù b) Vẽ CH AB, BK AC Xét ACH vng H, ta có: AH AC.cos A 4,5.cos 55��2, cm Xét ABK vng K, ta có: AK AB.cos A 3,5.cos 55��2, cm • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm A B � 90�nên HBC � nhọn Xét HBC có H • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm A C � 90�nên � Xét KBC có K ACB nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3.10 Cho tam giác ABC vuông A, � A 64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH AB, BK AC AHC vng H, ta có: AH AC.cos A 4,5.cos 64��2, cm AKB vuông K, ta có: AK AB.cos A c.cos 64� � tù � tù C ABC tù B � tù • Xét trường hợp B � 90�� AH AB � c hay c c Ta có B � tù • Xét trường hợp C � 90�� AK AB � c.c os64o 4,5 � c Ta có : C 4,5 �10,3 cos64o Tóm lại, ABC tù c 2cm c 10,3cm 3.11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D �AB, E �AC ; F, G �BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 Giải � ; AD x DB x Ta đặt B Ta có DE / / BC suy Do DE DE AD (hệ định lí Ta-lét) BC AB AD.BC x.6 x AB Xét DBG vng G, ta có DG DB.sin x sin Diện tích hình chữ nhật DEFG S DE.DG x x sin 2 �a b � Vận dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm ab �� � ta �2 � �x x � x x �� � � � (dấu “=” xảy x = 4-x x = 2) Do S � 4sin 6sin 2 Vì sin nên S cm D trung điểm AB 3.12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC 39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC BA2 BC (vì 52 39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1.18) Do ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin ta có: BC AB AC AB AC.cosA � 39 52 72 2.5.7.cos A Suy cos A , � A 60� 3.13 Giải tam giác ABC, biết: � 62� � 53� a ) BC 6,8cm; B ;C � 40� � 35� b) BC 6,8cm; B ;C Giải � C � 65� a) Ta có � A 180� B Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c sin A sin B sin C Do 6,8 b c sin 65� sin 62� sin 53� Suy b 6,8.sin 62� 6,8.sin 53� �6,6 cm ; c �6,0 cm sin 65� sin 65� Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin � C � 105� b) Ta có � A 180� B Vậy ABC tam giác tù, khơng vận dụng đính lí sin Vẽ đường cao AH Vì góc B C nhọn nên điểm H nằm B C Ta có BH AH cot B, CH AHcotC Mà BH CH BC nên AH cot B cot C 6,8 � AH 6,8 �2, cm cot 40� cot 35� ABH vuông H, có AH AB.sin B Suy AB AH 2, � �4, cm sin B sin 40� ACH vng H, có AH AC.sin C Suy AC AH 2, � �4,5 cm sin C sin 35� 3.14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Giải Xét ABC, cạnh BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC AB AC (vì 52 62 ) nên góc A góc nhọn (xem 1.18) Vậy ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin, ta có: • BC AB AC AB AC.cos A Do 52 62 2.5.6.cos A Suy cos A , � A �78� • AC AB BC AB.BC.cosB Do 62 52 2.5.7.cos B Suy cos B 19 � �57� , B 35 � 180� 78� 57� • C 45� Nhận xét: Để giải tam giác biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin 3.15 Giải tam giác ABC, biết: � A 68�, AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn số đo góc đến độ) Giải Vẽ CH AB Xét ACH vng H, ta có: CH AC.sin A 5, 7.sin 68��5,3 cm AH AC.cos A 5, 7.cos 68��2,1 cm Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm A B Do BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm) Xét HBC vuông H, ta có: BC CH BH � 5,32 2,92 �6, cm Xét ABC có BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC AB AC (vì 62 52 5, ) nên góc A góc nhọn, suy ABC nhọn Do 5, 5, 6, 2.5,0.6, 0.cos B Suy cos B �� 0, 4752 � B 62 � �180� 68� 62� Từ C 50� 3.16 Giải tam giác ABC, biết: � A 50�, AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm trịn độ dài đến hàng phần mười) Giải Vẽ BH AC ABH vuông H, ta có: AH AB.cos A 4, 6.cos 50��3, cm BH AB.sin A 4,6.sin 50��3,5 cm HBC vuông H, ta có: HC BC BH 3, 72 3,52 �1, cm • Nếu H nằm A C AC AH HC �3, 1, 4, cm BH 3,5 � 90�và sin C � �sin 71� Khi C BC 3, � �180� 50� 71� � 71�và B Suy C 59� • Nếu C’ nằm H A AC ' AH HC ' �3, 1, 1,8 cm Khi � AC ' B 90� � � 'C C � 71�� � Ta có BC 21� AC ' B 180� 71� 109�và AB ' C 180� 50� 109� ... nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3. 10 Cho tam giác ABC vuông A, � A 64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH AB, BK AC AHC vuông. .. AB = 5cm, BC 39 cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC BA2 BC (vì 52 39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1. 18) Do ABC tam giác nhọn Theo... ta có: HC BC BH 3, 72 3, 52 ? ?1, cm • Nếu H nằm A C AC AH HC ? ?3, 1, 4, cm BH 3, 5 � 90? ?và sin C � �sin 71? ?? Khi C BC 3, � ? ?18 0� 50� 71? ?? � 71? ? ?và B Suy C 59� •