1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Chuyên đề 3 một số hệ THỨC về CẠNH và góc TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1

10 10 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 810,5 KB

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A Kiến thức cần nhớ Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình bên thì: b  a sin B  a cos C ; c  a sin C  a cos B b  c tan B  c cot C ; c  b tan C  b cot B Giải tam giác vuông Là tìm tất cạnh góc tam giác vng B biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài) B Một số ví dụ �   Tính giá trị  để BH Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, B = 3CH Giải Đặt AH = h Xét ABH vng H ta có: BH = AH.cot B = h.cot  Xét ACH vng H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan  BH  3CH � h.cot   3h.tan  � tan    tan  tan  � tan    tan 30��   30� 3 Nhận xét: Trong giải ta biểu diễn BH CH theo AH theo tỉ số lượng giác góc  Từ mối quan hệ BH CH ta tìm giá trị  �  35� �  50�và đường cao AH = 5,0cm Ví dụ Giải tam giác ABC biết B ,C Giải Ta phải tìm � A , AB, AC BC   � � C �  95� A  180� B • Xét ABH vng H ta có: AH  AB.sinB � AB  AH 5,  �8,  cm  sinB sin 35� BH  AH cotB �5, 0.cot 35��7,1 cm  • Xét ACH vng H ta có: AH  AC.sin C � AC  AH 5,  �6,5  cm  sin C sin 50� CH  AH cot C �5, 0.cot 50��4,  cm  Do BC  BH  CH  7,1  4,  11,3  cm  Vậy � A  95� ; AB  8, 7cm; AC  6,5cm; BC  11,3cm Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH  AB.cos B; CH  AC.cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD CK  AD Xét ABH vuông H, ACK vng K, ta có: BH  AB.sin Vậy BH  CK   AB  AC  sin A A ; CK  AC sin 2 A A  8sin 2 Mặt khác , BH  CK �BD  CD  BC   cm  nên 8sin Do A A �4 �sin 2 sin 30 � A �� 30  � � A 60 max � A  60�khi D, H, K trùng  ABC đểu Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD đường thẳng BH, CK vng góc với AD mà ta tìm liên hệ AB, AC với BH, CK; liên hệ BH, CK với BC Do AB, AC BC có liên hệ với nhau, từ tìm số đo góc A Ví dụ Chứng minh định lí cơsin: Trong tam giác nhọn, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng Giải Vẽ đường cao BH Xét HBC vuông H ta có: BC  HB  HC  HB   AC  AH   HB  AC  AC AH  AH   HB  AH   AC  AC AH  AB  AC  AC AH  1 Xét ABH vng H ta có : AH = AB cosA Thay vào (1) ta BC  AB  AC  AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính toán 3.1 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải a) ACD vng D, có AD = ACsin C ABE vng E, có BE = ABsin A BCF vng F, có CF = BCsin B Suy AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C b) ABE vng E, có AE = ABcos A BCF vng F, có BF = BCcos B ACD vng D, có CD = ACcos C Suy AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C 3.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải ABB' vuông B', có AB' = ABcos A BCC’ vng C', có BC' = BCcos B CAA' vng A', có CA' = ACcos C Suy AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Do AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác qua điểm nên đề yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A theo định lí Xê-va ta có A ' B B 'C C ' A  từ A ' C B ' A C 'B suy đpcm 3.3 Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động ABM    0�   90� xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho �  Tính độ dài ngắn AB Giải ABM vng M, có AM  AB.sin  � AB  Do � M  H AB AM Vậy AB  ngắn  AM AM sin  ngắn 2cm M �H sin  3.4 Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD, CK  AD Ta có BH �BD, CK �CD Suy BH  CK �BD  CD  BC ABH vuông H, có: BH  AB.sin A ACK vng K, có: CK  AC.sin A Do BH  CK   AB  AC  sin Do sin A A A  6sin mà BH  CK �BC  3cm nên 6sin �3 2 � A 3 A �   sin 60� Suy �� 60  � � A 120 2 Vậy max � A  120�khi H �K �D  ABC vuông cân A �  40� 3.5 Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Tính độ dài BC Giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  14sin 40��9.0  cm  BH  AB.cos B  14.cos 40��10,  cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  112  92 �6,3  cm  • Nếu H nằm B C BC  BH  HC �10,  6,3  17  cm  • Nếu C’ nằm B H BC '  BH  HC ' �10,  6,3  4,  cm  �  70� Tính độ dài BC 3.6 Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  3, 2sin 70��3,  cm  BH  AB.cos B  3, 2.cos 70��1,1 cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH � 5, 02  3, 02  4,0  cm  Điểm C nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC  BH  HC �1,1  4,0  5,1 cm  3.7 Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH Giải Xét KBC vng K, có: BK  BC.sin  � BC  Vì ABC cân A nên HB  HC  BK h  sin  sin  h 2sin  Xét AHC vng H có: AH  HC.tan   h sin  h  2sin  cos  cos  �  40� �  65� 3.8 Cho tam giác ABC, B ,C a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm trịn đến centimet) Giải �  Đặt MAH a) Xét ABH AHC vng H ta có: BH  AH cot B; CH  AH cot C ; MH  AH tan  Ta có BH  CH   BM  MH    CM  MH   2MH Do AH cot B  AH cot C  AH tan  Suy cot B  cot C  tan  Hay tan   cot B  cot C cot 40� cot 65�  �0,3627 2 tan  �� tan19  �56 '  20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B  AH cot C  45 � AH  cot B  cot C   45 Suy AH  45 45  �27  cm  cot B  cot C cot 40� cot 65� 3.9 Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a) � A  50�, AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b) � A  55�, AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Giải a) Vẽ CH  AB Xét ACH vuông H, ta có: AH  AC.cos A  6, 2.cos 50��4,  cm  Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm A H �  90� Suy � ABC  H Vậy ABC tam giác tù b) Vẽ CH  AB, BK  AC Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 55��2,  cm  Xét ABK vng K, ta có: AK  AB.cos A  3,5.cos 55��2,  cm  • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm A B �  90�nên HBC � nhọn Xét HBC có H • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm A C �  90�nên � Xét KBC có K ACB nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3.10 Cho tam giác ABC vuông A, � A  64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 64��2,  cm  AKB vuông K, ta có: AK  AB.cos A  c.cos 64� � tù � tù C ABC tù  B � tù • Xét trường hợp B �  90�� AH  AB �  c hay c  c  Ta có B � tù • Xét trường hợp C �  90�� AK  AB � c.c os64o  4,5 � c  Ta có : C 4,5 �10,3 cos64o Tóm lại, ABC tù  c  2cm c  10,3cm 3.11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D �AB, E �AC ; F, G �BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 Giải �   ; AD  x DB   x Ta đặt B Ta có DE / / BC suy Do DE  DE AD  (hệ định lí Ta-lét) BC AB AD.BC x.6 x   AB Xét DBG vng G, ta có DG  DB.sin     x  sin  Diện tích hình chữ nhật DEFG S  DE.DG  x   x  sin  2 �a  b � Vận dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm ab �� � ta �2 � �x   x � x   x  �� � � � (dấu “=” xảy x = 4-x  x = 2) Do S � 4sin   6sin  2 Vì  sin   nên S   cm  D trung điểm AB 3.12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1.18) Do ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin ta có: BC  AB  AC  AB AC.cosA �  39   52  72  2.5.7.cos A Suy cos A  , � A  60� 3.13 Giải tam giác ABC, biết: �  62� �  53� a ) BC  6,8cm; B ;C �  40� �  35� b) BC  6,8cm; B ;C Giải � C �  65� a) Ta có � A  180� B Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c   sin A sin B sin C Do 6,8 b c   sin 65� sin 62� sin 53� Suy b  6,8.sin 62� 6,8.sin 53� �6,6  cm  ; c  �6,0  cm  sin 65� sin 65� Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin � C �  105� b) Ta có � A  180� B Vậy ABC tam giác tù, khơng vận dụng đính lí sin Vẽ đường cao AH Vì góc B C nhọn nên điểm H nằm B C Ta có BH  AH cot B, CH  AHcotC Mà BH  CH  BC nên AH  cot B  cot C   6,8 � AH  6,8 �2,  cm  cot 40� cot 35� ABH vuông H, có AH  AB.sin B Suy AB  AH 2, � �4,  cm  sin B sin 40� ACH vng H, có AH  AC.sin C Suy AC  AH 2, � �4,5  cm  sin C sin 35� 3.14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Giải Xét ABC, cạnh BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì  52  62 ) nên góc A góc nhọn (xem 1.18) Vậy ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin, ta có: • BC  AB  AC  AB AC.cos A Do  52  62  2.5.6.cos A Suy cos A  , � A �78� • AC  AB  BC  AB.BC.cosB Do 62  52   2.5.7.cos B Suy cos B  19 � �57� , B 35 �  180�  78� 57� • C   45� Nhận xét: Để giải tam giác biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin 3.15 Giải tam giác ABC, biết: � A  68�, AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn số đo góc đến độ) Giải Vẽ CH  AB Xét ACH vng H, ta có: CH  AC.sin A  5, 7.sin 68��5,3  cm  AH  AC.cos A  5, 7.cos 68��2,1 cm  Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm A B Do BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm) Xét HBC vuông H, ta có: BC  CH  BH � 5,32  2,92 �6,  cm  Xét ABC có BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì 62  52  5, ) nên góc A góc nhọn, suy ABC nhọn Do 5,  5,  6,  2.5,0.6, 0.cos B Suy cos B �� 0, 4752  � B 62 � �180�  68� 62� Từ C   50� 3.16 Giải tam giác ABC, biết: � A  50�, AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm trịn độ dài đến hàng phần mười) Giải Vẽ BH  AC ABH vuông H, ta có: AH  AB.cos A  4, 6.cos 50��3,  cm  BH  AB.sin A  4,6.sin 50��3,5  cm  HBC vuông H, ta có: HC  BC  BH  3, 72  3,52 �1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC �3,  1,  4,  cm  BH 3,5 �  90�và sin C  � �sin 71� Khi C BC 3, � �180�  50� 71� �  71�và B Suy C   59� • Nếu C’ nằm H A AC '  AH  HC ' �3,  1,  1,8  cm  Khi � AC ' B  90� � � 'C  C �  71�� � Ta có BC   21� AC ' B  180� 71� 109�và AB ' C  180�  50� 109� ... nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn 3. 10 Cho tam giác ABC vuông A, � A  64�, AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vuông. .. AB = 5cm, BC  39 cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1. 18) Do ABC tam giác nhọn Theo... ta có: HC  BC  BH  3, 72  3, 52 ? ?1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC ? ?3,  1,  4,  cm  BH 3, 5 �  90? ?và sin C  � �sin 71? ?? Khi C BC 3, � ? ?18 0�  50� 71? ?? �  71? ? ?và B Suy C   59� •

Ngày đăng: 24/09/2021, 22:33

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w