Chuyên đề một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Microsoft Word HH9 C1 CD3 M?T S? H? TH?C V? C?NH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ[.]

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình bên thì: b  a sin B  a cos C ; c  a sin C  a cos B b  c tan B  c cot C ; c  b tan C  b cot B II Giải tam giác vuông Là tìm tất cạnh góc tam giác vng B biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài) B MỘT SỐ DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO    Tính giá trị  để BH = 3CH Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, B Giải Đặt AH = h Xét ABH vng H ta có: BH = AH.cot B = h.cot  Xét ACH vuông H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan  BH  3CH  h.cot   3h.tan   tan    tan  tan   tan    tan 30    30 3 Nhận xét: Trong giải ta biểu diễn BH CH theo AH theo tỉ số lượng giác góc  Từ mối quan hệ BH CH ta tìm giá trị    35, C   50 đường cao AH = 5,0cm Ví dụ Giải tam giác ABC biết B Giải A , AB, AC BC Ta phải tìm    A  180  B  C   95 • Xét ABH vng H ta có: AH  AB.sinB  AB  5, AH   8,  cm  sinB sin 35 BH  AH cotB  5, 0.cot 35  7,1 cm  1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      • Xét ACH vng H ta có: AH  AC.sin C  AC  5, AH   6,5  cm  sin C sin 50 CH  AH cot C  5, 0.cot 50  4,  cm  Do BC  BH  CH  7,1  4,  11,3  cm  A  95; AB  8, 7cm; AC  6,5cm; BC  11,3cm Vậy  Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH  AB.cos B; CH  AC cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD CK  AD Xét ABH vuông H, ACK vng K, ta có: BH  AB.sin Vậy BH  CK   AB  AC  sin A A ; CK  AC sin 2 A A  8sin 2 Mặt khác , BH  CK  BD  CD  BC   cm  nên 8sin Do A A   sin   sin 30 2  A  30   A  60 max  A  60 D, H, K trùng  ABC đểu Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD đường thẳng BH, CK vng góc với AD mà ta tìm liên hệ AB, AC với BH, CK; liên hệ BH, CK với BC Do AB, AC BC có liên hệ với nhau, từ tìm số đo góc A Ví dụ Chứng minh định lí cơsin: Trong tam giác nhọn, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng Giải 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Vẽ đường cao BH Xét HBC vng H ta có: BC  HB  HC  HB   AC  AH   HB  AC  AC AH  AH   HB  AH   AC  AC AH  AB  AC  AC AH 1 Xét ABH vuông H ta có : AH = AB cosA Thay vào (1) ta BC  AB  AC  AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho  ABM    0    90  Tính độ dài ngắn AB Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A   40 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B   70 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Bài Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH   40, C   65 Bài Cho tam giác ABC, B a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm trịn đến centimet) Bài Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; a)  b)  A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D  AB, E  AC ; F, G  BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Bài 12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Bài 13 Giải tam giác ABC, biết:   62; C   53 a) BC  6,8cm; B   40; C   35 b) BC  6,8cm; B Bài 14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập Bài 15 Giải tam giác ABC, biết:  phân thứ nhất, làm trịn số đo góc đến độ) A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm trịn Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  độ dài đến hàng phần mười) HƯỚNG DẪN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải a) ACD vng D, có AD = ACsin C ABE vng E, có BE = ABsin A BCF vng F, có CF = BCsin B Suy AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C b) ABE vng E, có AE = ABcos A BCF vng F, có BF = BCcos B ACD vng D, có CD = ACcos C Suy AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải ABB' vng B', có AB' = ABcos A BCC’ vng C', có BC' = BCcos B CAA' vng A', có CA' = ACcos C Suy AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Do AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác qua điểm nên đề yêu cầu chứng minh A ' B B 'C C ' A AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A theo định lí Xê-va ta có  từ suy đpcm A ' C B ' A C 'B Bài Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho  ABM    0    90  Tính độ dài ngắn AB Giải ABM vng M, có AM  AB.sin   AB  AM sin  Do AB ngắn  AM ngắn  M  H  AM  2cm Vậy AB  M  H sin  Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD, CK  AD Ta có BH  BD, CK  CD Suy BH  CK  BD  CD  BC ABH vng H, có: BH  AB.sin A ACK vng K, có: CK  AC.sin A Do BH  CK   AB  AC  sin Do sin A A A  sin mà BH  CK  BC  3cm nên sin  3 2  A 3 A    sin 60 Suy  60   A  120 2 Vậy max  A  120 H  K  D  ABC vng cân A   40 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Giải * Tìm cách giải 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Vẽ đường cao AH để vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  14sin 40  9.0  cm  BH  AB.cos B  14.cos 40  10,  cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  112  92  6,3  cm  • Nếu H nằm B C BC  BH  HC  10,  6,3  17  cm  • Nếu C’ nằm B H BC '  BH  HC '  10,  6,3  4,  cm    70 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  3, 2sin 70  3,  cm  BH  AB.cos B  3, 2.cos 70  1,1 cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  5, 02  3, 02  4,  cm  Điểm C khơng thể nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ cịn trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC  BH  HC  1,1  4,  5,1 cm  Bài Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH Giải Xét KBC vng K, có: BK  BC sin   BC  Vì ABC cân A nên HB  HC  BK h  sin  sin  h sin  Xét AHC vuông H có: AH  HC.tan   sin  h h  sin  cos  cos    40, C   65 Bài Cho tam giác ABC, B a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm trịn đến độ); 6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet) Giải   Đặt MAH a) Xét ABH AHC vng H ta có: BH  AH cot B; CH  AH cot C ; MH  AH tan  Ta có BH  CH   BM  MH    CM  MH   2MH Do AH cot B  AH cot C  AH tan  Suy cot B  cot C  tan  Hay tan   cot B  cot C cot 40  cot 65   0,3627 2 tan   tan1956'    20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B  AH cot C  45  AH  cot B  cot C   45 Suy AH  45 45   27  cm  cot B  cot C cot 40  cot 65 Bài Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a)  A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm b)  Giải a) Vẽ CH  AB Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  6, 2.cos 50  4,  cm  Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm A H   90 Suy  ABC  H Vậy ABC tam giác tù b) Vẽ CH  AB, BK  AC Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 55  2,  cm  Xét ABK vng K, ta có: AK  AB.cos A  3,5.cos 55  2,  cm  • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm A B   90 nên HBC  nhọn Xét HBC có H • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm A C 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com        90 nên  Xét KBC có K ACB nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 64  2,  cm  AKB vng K, ta có: AK  AB.cos A  c.cos 64  tù C  tù ABC tù  B  tù • Xét trường hợp B   90  AH  AB   c hay c  c  Ta có B  tù • Xét trường hợp C   90  AK  AB  c.c os64o  4,5  c  Ta có : C 4,5  10,3 cos64o Tóm lại, ABC tù  c  2cm c  10, 3cm Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D  AB, E  AC ; F, G  BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 Giải    ; AD  x DB   x Ta đặt B Ta có DE / / BC suy Do DE  DE AD (hệ định lí Ta-lét)  BC AB AD.BC x.6 x   AB Xét DBG vuông G, ta có DG  DB.sin     x  sin  Diện tích hình chữ nhật DEFG S  DE.DG  x   x  sin   ab  x4 x Vận dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm ab    ta x   x     4     (dấu “=” xảy x = 4-x  x = 2) 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Do S  sin   6sin  Vì  sin   nên S   cm  D trung điểm AB Bài 12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1.18) Do ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin ta có: BC  AB  AC  AB AC.cosA   39   52   2.5.7.cos A Suy cos A  ,  A  60 Bài 13 Giải tam giác ABC, biết:   62; C   53 a ) BC  6,8cm; B   40; C   35 b) BC  6,8cm; B Giải  C   65 a) Ta có  A  180  B Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c   sin A sin B sin C Do 6,8 b c   sin 65 sin 62 sin 53 Suy b  6,8.sin 62 6,8.sin 53  6,  cm  ; c   6,  cm  sin 65 sin 65 Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin  C   105 b) Ta có  A  180  B Vậy ABC tam giác tù, khơng vận dụng đính lí sin Vẽ đường cao AH Vì góc B C nhọn nên điểm H nằm B C Ta có BH  AH cot B, CH  AHcotC Mà BH  CH  BC nên AH  cot B  cot C   6,8 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       AH  6,8  2,  cm  cot 40  cot 35 ABH vng H, có AH  AB.sin B Suy AB  2, AH   4,  cm  sin B sin 40 ACH vng H, có AH  AC.sin C Suy AC  2, AH   4,5  cm  sin C sin 35 Bài 14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Giải Xét ABC, cạnh BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì  52  62 ) nên góc A góc nhọn (xem 1.18) Vậy ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin, ta có: • BC  AB  AC  AB AC cos A Do  52   2.5.6.cos A A  78 Suy cos A  ,  • AC  AB  BC  AB.BC cosB Do  52   2.5.7.cos B Suy cos B  19   57 , B 35   180   78  57   45 •C Nhận xét: Để giải tam giác biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin Bài 15 Giải tam giác ABC, biết:  A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn số đo góc đến độ) Giải Vẽ CH  AB Xét ACH vng H, ta có: CH  AC.sin A  5, 7.sin 68  5,3  cm  AH  AC.cos A  5, 7.cos 68  2,1 cm  Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm A B Do BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm) 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Xét HBC vng H, ta có: BC  CH  BH  5,32  2,92  6,  cm  Xét ABC có BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì 62  52  5, ) nên góc A góc nhọn, suy ABC nhọn Do 5,  5, 02  6, 02  2.5, 0.6, 0.cos B   62 Suy cos B  0, 4752  B   180   68  62   50 Từ C A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm trịn số đo góc đến độ, làm tròn Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  độ dài đến hàng phần mười) Giải Vẽ BH  AC ABH vng H, ta có: AH  AB.cos A  4, 6.cos 50  3,  cm  BH  AB.sin A  4, 6.sin 50  3,5  cm  HBC vng H, ta có: HC  BC  BH  3,  3,52  1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC  3,  1,  4,  cm    90 sin C  BH  3,5  sin 71 Khi C BC 3,   71 B   180   50  71   59 Suy C • Nếu C’ nằm H A AC '  AH  HC '  3,  1,  1,8  cm  Khi  AC ' B  90    71   'C  C AC ' B  180  71  109  Ta có BC AB ' C  180   50  109   21 C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác MNP vuông N Hệ thức sau đúng? A MN = MP sin P B MN = MP cos P C MN = MP tan P D MN = MP cot P Câu 2: Cho tam giác MNP vuông N Hệ thức sau đúng? 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      M N P A NP = MP cos P B NP = MN cos P B NP = MN tan P D NP = MP cot P Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A có BC = a, AC = b, AB = c Chọn khẳng định sai? A b = a sin B = a cos C B a = c tan B = c cot C C a = b + c D c = a sin C = a cos B  = 50 Chọn khẳng định Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A có BC = a, AC = b, AB = c, ABC đúng? A b = c sin 50 B b = a tan 50 C b = c cot 50 D c = b cot 50 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10 cm,C = 30 Tính AB; BC A AB = 20 ; BC = 3 B AB = 10 14 ; BC = 3 C AB = 10 ; BC = 20 D AB = 10 20 ; BC = 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 20 cm,C = 60 Tính AB; BC A AB = 20 3; BC = 40 B AB = 20 3; BC = 40 C AB = 20; BC = 40 D AB = 20; BC = 20  = 40 Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có BC = 12 cm; B Tính AC ;C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A AC » 7, 71;C = 40 B AC » 7, 72;C = 50 C AC » 7, 71;C = 50 D AC » 7, 73;C = 50  = 55 Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A có BC = 15 cm, B Tính AC ;C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A AC » 12, 29;C = 45 B AC » 12, 29;C = 35 C AC » 12, 2;C = 35 D AC » 12, 92;C = 40  Câu 9: Cho tam giác ABC vng A có BC = 15 cm, AB = 12 cm Tính AC ; B  » 3652¢ A AC = 8(cm); B  » 3652¢ B AC = 9(cm); B  » 3752¢ C AC = 9(cm); B  » 3655¢ D AC = 9(cm); B  (làm tròn đến độ) Câu 10: Cho tam giác ABC vng A có BC = 26 cm, AB = 10 cm Tính AC ; B 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      A AC = 22;C » 67 B AC = 24;C » 66 C AC = 24;C » 67 D AC = 24;C » 68 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 7cm, AB = 5cm Tính BC ;C A BC = 74(cm);C » 3532¢ B BC = 74(cm);C » 3632¢ C BC = 74(cm);C » 3533¢ D BC = 75(cm);C » 3532¢  = 60 Tính BC Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 16, AB = 14 B A BC = 10 B BC = 11 C BC = D BC = 12  = 60 Tính Câu 12: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15 B BC A BC = 3 + B BC = 13 + C BC = D BC =  = 60,C  = 50,CA = 3, cm Câu 13: Cho tam giác ABC có B Diện tích tam giác ABC gần với giá trị đây? A B C D  =D  = 90,C  = 40, AB = cm, AD = cm Câu 14: Cho tứ giác ABCD có A Tính diện tích tứ giác ABCD (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) A 17, 34cm B 17, 4cm C 17, 54cm D 17, 54cm  =D  = 90,C  = 45, AB = 6cm, AD = 8cm Câu 15: Cho tứ giác ABCD có A Tính diện tích tứ giác ABCD A 60cm B 80cm C 40cm D 160cm  = 40 ACB  = 30 Gọi Cho tam giác ABC có BC = 11cm, ABC N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC A B N C Câu 16: Độ dài AN gần với giá trị đây? A B C D Câu 17: Độ dài AC gần với giá trị đây? A B C D Câu 18: Diện tích tam giác ABC gần với giá trị đây? 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      A 27 B 23 C 22 D 21  = 50  = 35 Gọi Cho tam giác ABC có BC = 9cm, ABC ACB N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC A B C N Câu 19: Độ dài AN gần với giá trị đây? A B C D Câu 20: Độ dài AC gần với giá trị đây? B A C D Câu 21: Diện tích tam giác ABC gần với giá trị đây? A 13 B 15 C 16 D 25 HƯỚNG DẪN Lời giải: M N Ta có sin P = P MN  MN = MP sin P MP Đáp án cần chọn A Lời giải: Ta có cot P = NP  NP = MN cot P MN Đáp án cần chọn B Lời giải: Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Ta có: + Theo định lý Pytago ta có a = b + c nên C + Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: 14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      b = a.cinB = a cos C ; c = a sin C = a cos B; b = c tan B = c cotC ; c = b tan C = b cot B Nên A, D Đáp án cần chọn B Lời giải: A C B Cho tam giác ABC vuông A có BC = a, AC = b, AB = c + Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: b = a sin B = a sin 50; c = a cos B = a cos 50;b = c tan 50; c = b cot 50 Nên D Đáp án cần chọn D Lời giải: A B Xét tam giác ABC vng A có: tan C = cos C = C 10 AB  AB = AC tan C = 10 tan 30 = ; AC AC AC 10 20 10 20  BC = = = ; BC = Vậy AB = BC C cos 3 3 Đáp án cần chọn D Lời giải: A B 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      C Xét tam giác ABC vng A có: tan C = cos C = AB  AB = AC tan C = 20 tan 30 = 20 ; AC AC AC 20  BC = = = 40 Vậy AB = 20 3; BC = 40 BC cos C Đáp án cần chọn A Lời giải: A C B Xét tam giác ABC vuông A có + sin B = AC  AC = BC sin B = 12 sin 40 » 7, 71 BC  +B  +C  = 180  C  = 180 - 40 - 90 = 50 +A Vậy AC » 7, 71;C = 50 Đáp án cần chọn C Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có + sin B = AC  AC = BC sin B = 15 sin 55 » 12, 29 BC  +B  +C  = 180  C  = 180 - 55 - 90 = 35 +A Vậy AC » 12, 29;C = 35 Đáp án cần chọn B Lời giải: A C Xét tam giác ABC vng A có: 16. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      B + BC = AB2 + AC  AC = BC - AB2 = 152 - 122 = 9(cm) + sin B = AC  = =  B » 3652¢ BC 15  » 3652¢ Vậy AC = 9(cm); B Đáp án cần chọn B 10 Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có: + BC = AB2 + AC  AC = BC - AB2 = 262 - 102 = 24(cm) + sin B = 24 12 AC  » 67 = = B 26 13 BC Vậy AC = 24;C » 67 Đáp án cần chọn C 10 Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có: + BC = AB + AC = 52 + 72 = 74  BC = 74(cm) + tan C = AB  » 3532¢ = C AC Vậy BC = 74(cm);C » 3532¢ Đáp án cần chọn A 11 Lời giải: A 60° B H C Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cos B = AB cos 60 = 16 = AH = AB sin B = AB sin 60 = 16 =8 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHC ta có: HC = AC - AH = 142 - (8 3)2 = 196 - 192 = Suy HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 Đáp án cần chọn A 12 Lời giải: A 60° B H C Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cos B = AB cos 60 = 12 = AH = AB sin B = AB sin 60 = 12 =6 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHC ta có: HC = AC - AH = 152 - (6 3)2 = 117 Suy HC = 13 Vậy BC = CH + HB = 13 + Đáp án cần chọn B 13 Lời giải: A B D C Kẻ đường cao AD Xét tam giác vng ACD , ta có: AD = AC sin C = 3, sin 50 » 2, 68 cm CD = AC cos C = 3, cos 50 » 2, 25cm 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Xét tam giác ABD , có BD = AD cot B » 2, 68 cot 60 » 1, 55 cm Suy BC = BD + CD = 3, Do S ABC = AD.BC » 5, 09 cm Đáp án cần chọn B 14 Lời giải: A D B E C  =D  = 90  AD  BC hay ABCD hình thang vng A, D Vì A Kẻ BE ^ DC E  =D  =E  = 90 Tứ giác ABED có ba góc vng A nên ABED hình chữ nhật Suy DE = AB = cm; BE = AD = cm Xét tam giác BEC vuông E có EC = BE cot 40 » 3, 56 (cm )  DC = DE + EC » 7, 56 (cm ) Do S ABCD = (AB + CD ).AD » 17, 34 cm Đáp án cần chọn A 15 Lời giải:  =D  = 90  AD  BC Vì A hay ABCD hình thang vng A, D Kẻ BE ^ DC E  =D  =E  = 90 Tứ giác ABED có ba góc vng A nên ABED hình chữ nhật Suy DE = AB = cm; BE = AD = cm  = 45 Xét tam giác BEC vng E có BCE nên BEC vng cân E  EC = BE = 8cm  DC = DE + EC = + = 14cm Do S ABCD = (AB + CD ).AD (6 + 14).8 = = 80 cm 2 Đáp án cần chọn B 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      16 Lời giải: Đặt BN = x (0 < x < 11)  NC = 11 - x Xét tam giác ABN vng N có AN = BN tan B = x tan 40 Xét tam giác ACN vng N có AN = CN tan C = (11 - x ) tan 30 Nên x tan 40 = (11 - x ) tan 30  x » 4, 48 (thoả mãn) Khi AN = BN tan B = 4, 48 tan 40 » 3, 76 (cm ) Đáp án cần chọn B 17 Lời giải: Theo câu trước ta có AN » 3, 76 Xét tam giác ACN vng N có sin C = AN AN  AC = = 7, 52 sin C AC Đáp án cần chọn A 18 Lời giải: Theo kết câu trước ta có AN » 3, 76 nên S ABC = AN BC = 20, 68 cm Đáp án cần chọn D 19 Lời giải: Đặt BN = x (0 < x < 9)  NC = - x Xét tam giác ABN vng N có AN = BN tan B = x tan 50 Xét tam giác ACN vng N có AN = CN tan C = (9 - x ) tan 35 Nên x tan 50 = (9 - x ) tan 35  x » 3, 33 (thoả mãn) Khi AN = BN tan B = 3, 33 tan 35 » 2, 79 Đáp án cần chọn D 20 Lời giải: Theo câu trước ta có AN » 2, 79 Xét tam giác ACN vng N có sin C = AN AN  AC = » 4, 87 AC sin C Đáp án cần chọn C 21 Lời giải: 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ... Thay vào (1) ta BC  AB  AC  AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng... nhọn Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vuông. .. (làm trịn số đo góc đến độ, làm tròn Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  độ dài đến hàng phần mười) HƯỚNG DẪN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn