Chuyên đề một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (2022) toán 9

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9 A Lý thuyết 1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1 Trong một tam giác vuông, bình phương[.]

Chuyên đề Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vng - Tốn A Lý thuyết Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Định lí Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AB2 = BC BH; AC2 = BC HC Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AH2 = BH HC Định lí Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AB AC = BC AH Định lí Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau đúng? A AH2 = AB.AC B AH2 = BH.CH C AH2 = AB.BH D AH2 = CH.BC Lời giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức: HA2 = HB.HC Chọn đáp án B Câu 2: Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau sai? Lời giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức: Chọn đáp án D Câu 3: Tính x, y hình vẽ sau: A x = 7,2; y = 11,8 B x = 7; y = 12 C x = 7,2; y = 12,8 D x = 7,2; y = 12 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: Vậy x = 7,2; y = 12,8 Chọn đáp án C Câu 4: Tính x, y hình vẽ sau: A x = 3,6; y = 6,4 B y = 3,6; x = 6,4 C x = 4; y = D x = 2; y = 7,2 Lời giải: Theo định lý Pytago ta có: BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 100 ⇔ BC = 10 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: Vậy x = 3,6; y = 6,4 Chọn đáp án A Câu 5: Tính x, y hình vẽ sau: Lời giải: Theo định lý Pytago ta có: BC2 = AB2 + AC2 ⇔ BC2 = 74 ⇔ BC = √74 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: Chọn đáp án A Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 9cm; CH = 16cm Tìm khẳng định sai khẳng định sau: A AH = 15 cm B AB = 12 cm C AC = 20 cm D AH = 12 cm Lời giải: Ta có : BC = BH + HC = + 16 = 25 (cm) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác –vuông ta có: Chọn đáp án A Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 6cm; BH = 4,5 cm Tìm khẳng định khẳng định sau ? A AB = 10 B AC = 7,5 C BC= 12, D HC = Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: Chọn đáp án C Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm; BH = 9cm A 100 cm2 Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB:AC = 3:4 AB + AC = 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH, BH, CH Lời giải: a) Theo giả thiết: AB:AC = 3:4, suy Do AB = 3.3 = (cm); AC = 3.4 = 12 (cm) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py – ta – go ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy BC = 15cm b) Tam giác ABC vng A, ta có AH.BC = AB.AC, suy AH2 = BH.HC Đặt BH = x (0 < x < 9) HC = 15 - x, ta có: (7,2)2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = ⇔ (x 5,4)(x - 9,6) = ⇔ x = 5,4 x = 9,6 (loại) Vậy BH = 5,4cm Từ HC = BC - BH = 9,6 (cm) Chú ý: Có thể tính BH sau: AB2 = BH.BC suy Câu 2: Tìm độ dài x, y hình sau: a) Lời giải: a) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: BH = BC – HC = 16 – = (đvđd) AB2 = BC BH = 16 = 144 Suy ra: AB = 12 (đvđd) Vậy x = 12 (đvđd) b) Tam giác MNP vng M, đường cao MK Ta có: AH BC = AB AC Suy ra: MK=MN . MPNP=9 . 1215=7,2 (đvđd) Vậy y = 7,2 (đvđd) Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : BC = : AB + BC = 16 cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải: Theo giả thiết: AB : BC = : nên AB3=BC5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: AB3=BC5=AB+BC3+5=168=2 Do AB = 2.3 = (cm); BC = 2.5 = 10 (cm) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py – ta – go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 Suy AC2 = BC2 − AC2 = 102 − 62 = 64 Do AC = cm Vậy độ dài cạnh tam giác ABC là: AB = cm; AC = cm; BC = 10 cm Câu 4: Cho tam giác ABC vng A, có AB = cm, BC = cm AH đường cao Tính độ dài cạnh AC, AH, BH, CH Lời giải: Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vuông A, ta có: BC2 = AB2 + AC2 ⇔ AC2 = BC2 – AB2 = 52 – 32 = 16 ⇔ AC = (cm) Ta có: Vậy độ dài cạnh AC = cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Trên cạnh BC lấy M, tia đối tia BC lấy N cho MAN = 90° a) Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí M BC; b) Biết AB = 3cm, AC = 4cm, tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Giải: a) Kẻ đường cao AD tam giác ABC AD khơng đổi M thay đổi BC Xét tam giác AMN có góc A = 90°, AD ⊥ BC nên theo hệ thức theo hệ thức lượng tam giác vng ta có mad AD không đổi (theo chưng minh trên) nên: không phụ thuộc vào vị trí M BC b) Xét tam giác ABC có góc A = 90°, AD ⊥ BC nên theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: => AD = 12/5 = 2,4 (cm) Dấu ” = ” xảy AM = AN tam giác AMN vng cân A góc DAM = 45° Vậy diện tích tam giác AMN nhỏ 5, 76 Câu 6: Hãy tính x y hình sau: Lời giải: a) Ta kí hiệu hình vẽ đây: Xét tam giác ABC vng A có đường cao AH BC = + = Áp dụng hệ thức liên hệ cạnh góc vng hình chiếu nó, ta có: AB2=BH.BC⇒x2=2.8=16⇒x=16=4AC2=CH.BC⇒y2=6.8=48⇒y=48=43 Vậy x = y=43 b) ... Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: Chọn đáp án B Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A Biết AB? , đường cao AH = 30 cm Tính Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta... 10: Cho tam giác vng Biết tỉ số hai cạnh góc vng : cạnh huyền 125cm Tính độ dài cạnh tam giác vuông cho? A 50 75 B 25 75 C 75 100 D.60 80 Lời giải: Gọi tam giác vuông cho tam giác ABC vuông A;... trị nhỏ diện tích tam giác AMN Giải: a) Kẻ đường cao AD tam giác ABC AD khơng đổi M thay đổi BC Xét tam giác AMN có góc A = 90 °, AD ⊥ BC nên theo hệ thức theo hệ thức lượng tam giác vng ta có mad