Chuyên đề diện tích hình thoi

DIỆN TÍCH HÌNH THOI I KIẾN THỨC CƠ BẢN  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích hai đường chéo S AC BD  Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo tích cạnh với chiều cao S AC BD= AD.BH II.MỘT SỐ DẠNG BÀI Dạng 1: Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Bài 1: Cho hình thang cân ABCD(AB / / CD) có AC  BD , đường trung bình d Tính diện tích tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình thang cân Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD  12cm; AB  18cm Các đường phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành tứ giác EFGH a) Chứng minh EFGH hình vng b) Tính diện tích hình vng EFGH Dạng 2: Tính diện tích hình thoi Bài 3: Tính diện tích hình thoi có cạnh 2cm góc 30 Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh a , góc tù 150 Bài 5: Cho hình thoi ABCD Gọi H, K chân đường vng góc kẻ từ A đến CD, BC Chứng minh AH  AK Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh 17cm, tổng hai đường chéo 46cm Bài 7: Cho hình thang cân ABCD(AB / / CD) có E, N, G, M trung điểm AB, BC, CD, DA a) Tứ giác MENG hình gì? b) Cho SABCD  800m Tính SMENG ? Bài 8: Tùng làm diều có thân hình tứ giác ABCD Cho biết AC trung trực BD AC  90cm , BD  60cm Em tính diện tích thân diều Dạng 3: Tìm diện tích lớn (nhỏ nhất) hình Bài 9: So sánh diện tích hình thoi hình vng có chu vi Bài 10: Cho hình thoi ABCD Chứng minh AC.BD  2AB2 HƯỚNG DẪN Bài A Do AC  BD, AC  BD nên ta chứng B E EF  FG  GH  HE EF  EH Do EFGH Do đó, SEFGH  F H hình vng Đường chéo hình vng d d D C G Bài I A B E F H G   EDC   450  a) ECD có ECD nên E  90 D K C    Tương tự: H  G  F  90  AHD  BFC(gcg) nên HD = FC Ta lại có ED = EC nên EH = EF Hình chữ nhật EFGH có EH = EF nên hình vng b) DIBK hình bình hành, H F trung điểm ID BK nên HF = IB Ta lại có IB  AB  AI  AB  AD  18  12  6(cm) Hình vng có hai đường chéo vng góc nên SEFGH  Bài  Hình thoi ABCD có AB  2cm,B  30 Kẻ AH  BC ta tính AH  1cm Đáp số: 2cm Bài 1 HF  6.6  18(cm ) 2 a2 Đáp số: A Bài Gọi S diện tích hình thoi Ta có: S  BC.AH,S  CD.AK D B H Vì BC = CD nên AH = AK K C Bài Hình thoi ABCD có AB = 17cm B Gọi O giao điểm hai đường chéo Đặt OA  x,OB  y(x, y  0) , ta có xy A 46  23; x  y  172  289 SABCD  C O AC.BD 2x.2y   2xy 2 D Giải tìm 2xy  240 Vậy SABCD  240cm Bài a) Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác đường chéo hình thang cân, ta CM A E MENG hình thoi b) SMENG  SABCD  400m 2 N M D B G C Bài A Chứng minh AC  BD SABCD B D  AC.BD  2700cm 2 Vậy diện tích thân diều 2700cm C Bài Giả sử hình thoi ABCD hình vng MNPQ có chu vi 4a, suy cạnh hình thoi hình vng a Kẻ BH  AD , ta có BH  AB  a  SABCD  BH.AB  a2  SMNPQ Vậy hình thoi hình vng có chu vi hình vng có diện tích lớn A B D H Bài 10 C Tương tự Ta có SABCD  AB Mặt khác, SABCD  AC.BD 2 Từ suy AC.BD  2AB III PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Phiếu Bài 1: Cho hình thang ABCD  AB //CD  có AB  cm, CD  12 cm, BD  cm, AC  15 cm  a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD E Tính DBE b) Tính diện tích hình thang ABCD Bài 2: Một hình chữ nhật có hai cạnh kề dài 8m 5m Tính diện tích tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình chữ nhật Bài 3: Tứ giác ABCD có AC  BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Biết EG  5cm , HF  cm Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 4: Tính diện tích hình thoi có cạnh a, góc tù hình thoi 150 Bài 5: Tính diện tích hình thoi có chu vi 52 cm, đường chéo 24 cm Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I kẻ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N Lấy D đối xứng I qua N a) Tứ giác ADCI hình gì? b) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh DK  DC c) Cho AB  12 cm, BC  20 cm Tính diện tích hình ADCI Bài 7: Hình thang ABCD(AB//CD) có AB = 3cm, CD = 14cm, AC = 15cm, BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang Bài 8: Tính diện tích hình thoi có cạnh cm, tổng hai đường chéo 10 cm Bài 9: Tính cạnh hình thoi có diện tích 24 cm , tổng hai đường chéo 14 cm HƯỚNG DẪN Bài 1: a) DE  17cm; BE  15cm ; BD  8cm DE  BE  DB  172  152  82  289   90  DBE vng B  DBE b) Theo câu a, có BD  AC  S ABCD  cm  AC  BD  60 Bài 2: Đáp số: (Tứ giác hình thoi, diện tích 20 m2 ) Bài 3: EF đường trung bình tam giác ABC nên EF  Tương tự: GH  AC 1 AC ; EH  FG  BD 2 Do AC  BD nên EF  FG  GH  EH suy EFGH hình thoi S EFGH  1 EG FH  5.4  10(cm2 ) 2 B ˆ  30 , BH= a Bài 4: Kẻ BH  AD Ta tính A SABCD a a2  AD B H  a  2 Bài 5: Đáp số: 120cm A C 30° H D Bài 6: a) Chứng minh ADCI hình thoi b) Gọi AI  BN  G  G trọng tâm ABC Ta chứng minh DK  GI, lại có DC  AI  DK GI   DC AI c) S ADCI  2S ACI  S ABC  96cm Bài 7: a) Kẻ BE//AC Tứ giác ABEC hình bình hành nên BE = AC = 15cm, CE = AB = cm suy DE = DC + CE = 14 + =17 (cm) Tam giác BDE vng có: BD2 + BE2 = DE2 ( Vì 82 + 152 = 172) Nên BD  BE Ta lại có BE//AC nên b) Hình thang ABCD có hai đường chéo vng góc nên S ABCD  1 AC.BD  15.8  60(cm ) 2 Bài 8: Gọi độ dài hai đường chéo 2x 2y , ta có 2x  2y  10 x  y  42   Suy 2xy  x  y  – x  y  52  16  Diện tích hình thoi 2x.2y  2xy  9(cm ) Bài 9: 2x Gọi độ dài hai đường chéo 2y , ta có 2x 2y  48  xy  12 2x  2y  14  x  y   x  y   49  x  y  2xy  x  y  49  24  25 Từ suy Cạnh hình thoi PHIẾU Bài 1: Cho hình thoi ABCD có AB  BD  8cm a) Tính diện tích hình thoi ABCD b) Lấy E đối xứng với A qua D Tính diện tích tứ giác ABCE Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Trên đường thẳng qua đỉnh A song song với BC lấy hai điểm M , N cho A trung điểm M , N ( M , B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC ) Gọi I , H , K trung điểm cạnh MB, BC , CN Chứng minh tứ giác AIHK hình thoi Bài 3: Cho tam giác ABC cân A , trung tuyến AM Gọi D điểm đối xứng với A qua M K trung điểm MC , E điểm đối xứng với D qua K a) Chứng minh tứ giác ABDC hình thoi b) Chứng minh tứ giác AMCE hình chữ nhật c) AM BE cắt I Chứng minh I trung điểm BE d) Chứng minh AK, CI, EM đồng quy Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB BC a) Gọi D điểm đối xứng A qua N Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật b) Lấy I trung điểm cạnh AC E điểm đối xứng N qua I Chứng minh tứ giác ANCE hình thoi Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi b) So sánh diện tích hình thoi MNPQ hình chữ nhật ABCD Bài 6:   1200 Tính diện tích hình thoi ABCD Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh 6cm, B Bài 7: Tính diện tích hình thoi có cạnh 17 cm, tổng hai đường chéo 46cm Bài 8: a) Trong hình thoi có chu vi nhau, tìm hình thoi có diện tích lớn b) Trong hình thoi có tổng hai đường chéo 12cm, hình có diện tích lớn Bài 9: Cho hình thoi ABCD có AC  10cm, BD  6cm Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC , CD, DA a) Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b) Tính diện tích hình thoi ABCD c) Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 10: Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo 10cm 24cm Tính: a) Diện tích hình thoi ABCD b) Chu vi hình thoi ABCD c) Độ dài đường cao hình thoi HƯỚNG DẪN GIẢI Bài a) Tính S ABCD  ? Gọi O  AC  BD Xét AOB có  AOB  900   AB  AO  BO 8  82  AO    2  AO  3(cm)  AC  3(cm) 2 S ABCD  AC.BD  3.8  32 3(cm ) b) Tính S ABCE  ? Ta coù : BC / /DE (E  AD)   BCD  (2 goùc so le trong)  CDE Từđó chứng minh BCD =CDE (c.g.c) 1  SBCD  SCDE  OC.BD  3.8  16 3(cm2 ) 2  S ABCE  SABCD  SCDE  32 16  48 3(cm2 ) Bài chứng minhMBA=NCA(c.g.c)  N  (hai góc tương ứng), MB=NC (hai cạnh tương ứng) M MCN=NBM (c.g.c) Nối BN vàCM ta có AK vaøHI / / = MC AI vaøHK / / = BN maøMC=BN (MCN=NBM) AI  HI  MC  BN tứ giác AIHK làhình thoi (dhnb) Bài a) Chứng minh tứ giác ABDC làhình thoi tứ giác ABDC làhình bình hành (AM =MD, MB=MC, AD  BC  M) lại có AM  BC  tứ giác ABDC làhình thoi (dhnb) b) Chứng minh tứ giác AMCE làhình chữ nhật Xét ADE có : MK làđường trung bình (MA = MD, KD = KE)  MK / / = AE (Định lí)  AE / / = MC (KM = KC)  tứ giác AECM làhình bình hành (dhnb)   900 ( AM  BC ) mà AMC  hbh AECM làhình chữ nhật (dhnb) c) chứng minh I làtrung điểm BE Xét  AIE vàMIBcó :   IMB   90 ( AECM laøhcn) IAE AE = BM (= MC)   IBM  (2 goùc so le trong) AEI  AIE = MIB(g.c.g)  IB  IE (hai cạnh tương ứng) màI  BE  I làtrung điểm BE d) chứng minh AK, EM, CI đồng qui Ta có : AC  EM  N  N làtrung điểm AC (t / c) Xét  AMC có : AK làđường trung tuyến xuất phát từđỉnh A MN làđường trung tuyến xuất phát từđỉnh N CI làđường trung tuyến xuất phát từđỉnh C  AK, MN, CI đồng qui hay AK, ME, CI đồng qui (vì N  ME) Bài a) Chứng minh tứ giác ABDC làhình chữ nhật Có AD  CB  N màNC = NB, ND = NA (N trung điểm BC, D đối xứng với A qua N)  tứ giác ABDC làhình bình hành (dhnb)   900  hbh ABDC làhcn (dhnb) Lại có CAB b) Chứng minh tứ giác ANCE làhình thoi 1 Có CN = NA = CB  AD (ABDC làhcn) (1) 2 CNA cân N (đn) màIC = IA  NI  CA (t / c)  NI làđường trung trực đoạn CA  EC = EA (E  NI) (2) Vì CI  IN (cmt), IE = IN (E đối xứng với N qua I)  CI làđường trung trực đoạn EN  CE = CN (t / c)(3) Từ(1), (2) vaø(3)  CN = NA = AE = EC  tứ giác ANCE làhình thoi (dhnb) Bài a) Vì ABCD hình chữ nhật nên AC = BD (t/c) mà  AC;    MN  PQ  MQ  NP MQ  NP  BD   MN  PQ  Vậy MNPQ hình thoi (dhnb) 1 b) SMNPQ  MP.NQ  AD AB  SABCD 2 Bài   1200  A   60 Hình thoi ABCD có B Kẻ BH  AD Xét tam giác vng ABH, có  A  60   ABH  30 AB  3(cm) Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng ABH, có: BH  AB  AH  62  32  25  AH   BH  5(cm) 1 SABCD  2SABD  AD.BH  .6.5  30(cm ) 2 Bài 1 AC BD  AE BD  AE BD 2 2 mà AE  BD  AB (Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng AEB) SABCD    AE  BD   AE BD  AB 2  AE BD   AE  BD   AB 2  46   AE BD     172  240   Vậy SABCD  240cm2 Bài a) Giả sử hình thoi ABCD hình vng MNPQ có chu vi 4a Vậy cạnh hình thoi hình vng a Kẻ BH  AD , Ta có BH  AB  a  SABCD  BH AB  a  SMNPQ Vậy hình thoi hình vng có chu vi hình vng có diện tích lớn Hay hình thoi có chu vi hình vng có diện tích lớn 1 (a  b)2 b) Gọi hai đường chéo a, b Ta có a+b=12  SABCD  ab   18cm 2 Dấu “=” xảy a=b=6 Vậy hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo 12 hình thoi có hai đường chéo diện tích lớn Hình thoi hình vng Bài a) Tứ giác EFGH hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) b) SABCD  AC.BD  30cm 2 c) SEFGH  EF.FG  15cm2 Bài 10 Xét hình thoi ABCD có AC = 24cm, BD=10cm O giao điểm AC BD 1 a)S ABCD  AC BD  24.10  120(cm ) 2 b) Do O giao điểm AC BD nên 1 OA  AC  12cm,OB  BD  5cm 2 Xét tam giác vng AOB, ta có: AB  OA  OB  122  52  144  25  169  AB  13(cm) Chu vi hình thoi ABCD  AB  BC  CD  DA  4.AB  4.13  52(cm ) S  60(cm ) ABCD Kẻ AH  CD ta có SACD  CD AH 2S 2.60  AH  ACD   9,2(cm ) CD 13 c) SACD  ... MNPQ hình thoi b) So sánh diện tích hình thoi MNPQ hình chữ nhật ABCD Bài 6:   1200 Tính diện tích hình thoi ABCD Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh 6cm, B Bài 7: Tính diện tích hình thoi. .. hình gì? Vì sao? b) Tính diện tích hình thoi ABCD c) Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 10: Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo 10cm 24cm Tính: a) Diện tích hình thoi ABCD b) Chu vi hình. .. chéo 46cm Bài 8: a) Trong hình thoi có chu vi nhau, tìm hình thoi có diện tích lớn b) Trong hình thoi có tổng hai đường chéo 12cm, hình có diện tích lớn Bài 9: Cho hình thoi ABCD có AC  10cm,