chuyên đề thể tích góc khoảng cách trong không gian

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Chuyên đề: Thể tích khối đa diện Vấn đề 1: Thể tích khối chóp A.Kiến thức cần nhớ I Hệ thức lượng tam giác vuông ABC vuông A: 1 1   2 AH AB AC 2 AB  BH BC AC  HC.BC S ABC  1 AH BC  AB AC 2 II Các công thức tam giác thường: 1.Định lý cô sin:  BC  AB  AC  AB.AC cos BAC Công thức đường trung tuyến: AM   AB  AC   BC Công thức diện tích: 1  AH BC  AB AC.sin BAC 2 AB.BC CA  pr  4R S ABC  Công thức thể tích: * Thể tích khối chóp: V   h (  diện tích đáy, h chiều cao) *Thể tích khối lăng trụ : V   h (  diện tích đáy, h chiều cao) Góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng : - Góc đường thẳng mặt phẳng (P) : góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng (P) - Góc hai mặt phẳng : góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến ( xác định hình vẽ) GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH B Các phương pháp tính thể tích I Tính thể tích trực tiếp cách xác định chân đường cao : Một số dấu hiệu xác định chân đường cao Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy cạnh bên đường cao khối chóp Hình chóp có mặt bên mặt chéo vuông góc với đáy đường cao đường kẻ mặt bên ( mặt chéo) vuông góc với giao tuyến Hình chóp có mặt mặt vuông góc với mặt phẳng đáy đoạn giao tuyến mặt nói đường cao hình chóp Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy Hình chóp S.ABCD có SA=SB , SA,SB tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy nằm đường trung trực AB Hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB), (SAC) tạo với mặt đáy góc nhau, chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy nằm đường phân giác  góc BAC Bài tập minh họa: Hình chóp biết chân đường cao 1.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng (ABCD) 45o Gọi E trung điểm BC, H hình chiếu vuông góc A SB Tính thể tích khối chóp S.BDE theo a 1.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a Gọi E trung điểm AB Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm DE Biết góc SA mặt đáy (ABCD) 60o Tính theo a thể tích khối chóp 1.1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SC  2a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm M cạnh AB Góc SC đáy (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp theo a Hình chóp có mặt vuông góc với mặt phẳng đáy 1.2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt   30o Tính thể phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC tích khối chóp S.ABC (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Giải: + Hạ SH  BC  H  BC  ;  SBC    ABC   SH   ABC  Vậy SH đường cao khối chóp GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH  a Ta có: SH  SBsinSBC SABC  BA.BC  6a ( đvdt) + Vậy thể tích khối chóp là: VC.ABCD  SH.SABC  2a 3 (đvtt) 1.2.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B AB  SD  3a, AD  SB  4a,a  Đường chéo AC   SBD  Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: Ta có AC   SBD    SBD    ABCD  Do chân đường cao hạ từ S nằm BD Từ giả thiết ta có: AD  AB2  SB2  SD  BD nên tam giác ∆SBD  S  SH  SB.SD 12a  BD với H hình chiếu vuông góc S lên BD Dễ dàng tính được: SABCD 75a   AD  BC  AB  12a 15 15 a  a (đvtt) 2 Vậy VC.ABCD    30o , SBC tam giác 1.2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC (Trích đề thi ĐH khối A – 2013) 1.2.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 1.2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB  a 3,   60o ,  SAB    ABCD  Tính thể tích khối chóp S.ABCD BAD 1.2.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA=SB=a, SD  a 2, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 1.2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABCD có AB  a,AD  a góc (SAC) mặt phẳng (ABCD) 60o , tam giác SAB cân GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH S thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) gọi H, M trung điểm AB BC Tính thể tích khối chóp S.DHM Hình chóp có hai mặt vuông góc với mặt phẳng đáy Đối với dạng toán này, đề thường gắn giả thiết góc cạnh bên mặt đáy góc mặt bên mặt đáy việc tính độ dài đường cao, diện tích đáy phức tạp Do cần nắm vững cách xác định góc số kĩ tính diện tích tam giác, tứ giác 1.3.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB  AD  2a,CD  a; góc hai mặt phẳng (SBC) đáy (ABCD) 60o Gọi I trung điểm cạnh AB Biết (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề thi ĐH khối A – 2009) Giải SIB   ABCD  , SIC    ABCD  suy SI   ABCD  Gọi K hình chiếu I * BC Ta có IK  BC,SI  BC  BC  SIK   BC  SK Vậy góc (SBC) mặt đáy   60o SKI * Diện tích hình thang: SABCD  3a SABCD 3a  SABI  SCDI  SIBC   SIBC 5a 3a SIBC   BC.IK , BC   AB  CD   AD  a  IK  2   SI  SI  15a Ta có tanSIK IK 15a * Vậy thể tích khối chóp S.ABCD: V  SABCD SI  1.3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB//CD, AB=2CD=4a, BC  a 10 , biết mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SAB) tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: Ta có  SAC    SBD   SO , theo giả thiết (SAC), (SBD) vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên suy ra: SO   ABCD  Vậy SO đường cao hình chóp S.ABCD GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Vậy VS.ABCD  SO SABCD * Tính diện tích hình thang: - Gọi H hình chiếu C AB, M N trung điểm AB CD - Ta có: AB  CD a  HC  CB2  HB2  3a HB  Vậy: SABCD   AB  CD .CH   4a  2a  3a  9a 2 * Tính độ dài đường cao: - a OM  CH  2a , SM  Trong tam giác vuông SOM, ta có: SO  SM  OM  2 * Vậy: 1 VS.ABCD  SO SABCD  2a.9a  2a 3 1.3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BD=a Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM=2AM Biết hai mặt phẳng (SAC) (SDM) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: - Gọi H  AC  DM , Vì hai mặt phẳng  SAC   SDM  vuông góc với mặt (ABCD)  SH   ABCD  Vậy VS.ABCD  SH.SABCD * Tính đường cao SH: - Từ H kẻ HK  AB  SK  AB GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH ( dễ chứng minh: AB   SHK  ) Vậy góc (SAB) (ABCD)   60o góc SKH - Do AM / /CD nên suy HA AM   HC CD AO  AH  AC   -Mà ABD đều, AO đường cao nên:  AH  a   a 3.1  a  HK  AHsin HAK 4  SH  HK.tan 60o  3a *Tính diện tích hình thang ABCD: AC.BD  a2 1 3a a a 3  (đvtt) * Vậy VS.ABCD  SH.SABCD  3 16 SABCD  1.3.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh 2a Mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích khối chóp S.ABC 1.3.5 Hình chóp có mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 1.4.1 Cho hình chóp S.ABCD có AB=5a, BC=6a, CA=7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Giải: - xác định điểm M cho AB   SMH  ,   60o suy góc (SAB) đáy SMH MH  SH.cot 60o Tương tự vậy: OP=ON  SH.cot 60o Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S OM  r  Theo Hêrông: S  6a , p=9a p GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH o Vậy SO  OM.tan 60  a  2a  VS.ABC  SO.SABC  3a 3 II PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁN TIẾP THỂ TÍCH KHỐI CHÓP A Cơ sở lý thuyết: Nếu khối đa diện (H) chia thành hai khối (H1) (H2) : VH  VH1  VH2 Cho khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác S Khi đó: VS.A 'B 'C ' SA'.SB'.SC'  VS.ABC SA.SB.SC Nếu khối chóp (H) (H’) có hai đa giác đáy nằm mặt phẳng đường cao (H) (H’) song song trùng B Bài tập minh họa: 2.1.1 Cho khối chóp S.ABC biết tam giác ABC tam giác vuông cân B, AC=2a, SA   ABC  , SA=a Gọi I điểm thuộc SB cho SI  SB Tính thể tích khối tứ diện S.ACI Giải: - Tam giác ABC vuông cân B có: AC  2a  AB  BC  a  SABC  AB.BC  a 2 - Ta có SA   ABC  nên SA đường cao hình chóp S.ABC  VS.ABC - Ta lại có: VS.AIC VS.ABC a3  SA.SABC  3 SA.SI.SC 1 a3    VS.AIC  VS.ABCD  SA.SB.SC 3 2.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH AC cho AH  Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: Ta có AH  AC a  4 SH   ABCD   SH  AC  SAH, SHC vuông H  SH  SA  AH  a 14  SC  SH  HC2  a Vì SC  AC  a nên tam giác SAC cân C mà CM đường cao tam giác nên M trung điểm SA Ta có: VS.MBC SM 1    VS.MBC  VS.ABC VS.ABC SA 2 1 a a 14 a 14  (đvtt) Mà VS.ABC  SH.S ABC  3 24 a 14 VS.MBC  (đvtt) 48 2.13 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật, AB=SA=a, AD  a SA vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: Gọi O giao điểm AC BD, O trung điểm AC nên I trọng tâm tam AI AI V AI AM 1    nên AINM    (1) AO AC VACDN AC AD VACDN NC   (2) VACDS SC giác ABD, đó: Mặt khác: GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH VAIMN 1 a 2a a Từ (1) (2) suy ra:  mà VSACD  SA.SACD  a  (đvtt) VACDS 12 3 Vậy VAIMN 1 a3 a3  VACDS   (đvtt) 12 12 72 2.1.4 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=2a, BC=a, SA  SB  SC  SD  a 2, E điểm thuộc cạnh SC, SE=2EC, F điểm thuộc cạnh SD cho: SF  FD Tính thể tích khối đa diện SABSF Giải: SABCD  AB.BC  2a BD  AB2  AD2  a Gọi O giao điểm AC BD, Khi O trung điểm AC BD  BO  a AC  2 - Xét tam giác SBD cân S có SO đường trung tuyến, đồng thời đường cao tam giác SBD  SO  BD - Tương tự,  SO  AC Vậy SO   ABCD  , suy SO đường cao hình chóp S.ABCD 2 SO  SB  BO  a  a 5 a      1 a a3 VSABCD  SO.SABCD  2a  3 VSAFE SF SE 1 1 a3 a3 Ta có:     VSAFE  VSADC   (đvtt)) VSADC SD SC 6 12 VSABE SE 2 a3 a3    VSABE  VSABC   (đvtt) VSABC SC 3 3 3 a3 a3 5a Vậy VSABEF  VSAEF  VSABE    (đvtt) 12 3 12 2.1.5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vuông góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng SB SC TÍnh thể tích khối chóp ABCNM theo a GV: ĐỖ BÁ THÀNH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH   ABC   90O , 2.1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD AB=BC=a, AD=2a, SA   ABCD  SA=2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a 2.1.7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA  a Gọi H, K hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB, SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC I Tính thể tích khối chóp S.AHIK 2.1.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính VSBCNM (Trích đề khối A - 2011) GV: ĐỖ BÁ THÀNH 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Vấn đề 4: Khoảng cách A.Kiến thức cần nhớ I BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 1.Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực theo bước sau : B1 : Trong mặt phẳng ( O;d ) hạ OH vuông góc d với H thuộc d B2 : Tính độ dài OH Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SA=AB=2a,  ABC  600 SA   ABCD  a) Tính d  O; SC  b) Tính d  O; SB  d  D; SB  Giải: a) S Gọi I hình chiếu O SC Ta có SA   ABCD   SA  AC Vì CAS đồng dạng với CIO nên CS AS AS.CO   OI  CO IO CS K A OI  2a.a SA2  AC Vậy d  O; SC    2a 4a  4a a  a D I H O jB C b) Kẻ OH vuông góc với SB H, d(O;SB)=OH Ta có BD  AC , BD  SA  BD   SAC  mà SO   SAC  nên BD  SO Vậy tam giác SOB vuông O Do OH đường cao tam giác vuông SOB nên 1 a 30    d  O; SB   OH  2 OH OB OS d  D; SB  DB a 30 - Ta có    d  D; SB   2.d  O; SB   d  O; SB  OB Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB a) Tính khoảng cách từ I đến CM b) Tính khoảng cách từ S đến CM Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông đường cao AB=a, BC=2a, SA=a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Ngoài có SC vuông góc với BD GV: ĐỖ BÁ THÀNH 22 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM=x với  x  a Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm giá trị xđẻ khoảng cách có GTNN, GTLN II BÀI TOÁN Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) thực theo phương pháp sau:  Xác định trực tiếp  Phương pháp đổi điểm  Phương pháp đổi đỉnh ( thể tích) Khoảng cách d(M;(P))  Phương pháp tọa độ không gian Phương pháp trực tiếp: B1: Dựng OH với H hình chiếu O lên (  ) cách: ▪ Dựng mp(P) qua O vuông góc  với (  ) cắt (  ) theo giao tuyến a O ▪ Trong (P) dựng OH  a H  OH    B2: Tính độ dài OH a H  Bài mẫu Khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt phẳng Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, tam giác ABC không vuông B, C Vẽ AE  BC , AH  SE Chứng minh: AH   SBC  *Phân tích toán Ta có sẵn AH  SE (1) S Ta phải chứng minh: AH  BC Thậtvậy BC  AE , BC  SA  BC   SAE   BC  AH   H Từ ( 1) (2) suy : AH   SBC  C - Để tính AH ta sử dụng công thức A 1  2 AH SA AE E B Bài mẫu Khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt phẳng Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông B, Vẽ AH  SB Chứng minh: AH   SBC  GV: ĐỖ BÁ THÀNH 23 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có sẵn AH  SB (1) S Ta phải chứng minh: AH  BC Thậtvậy BC  AB, BC  SA  BC   SAB   BC  AH   H A C Từ ( 1) (2) suy : AH   SBC  - Để tính AH ta sử dụng công thức B 1  2 AH SA AB Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC, có SA   ABC  , độ dài cạnh SA  4cm, AB  3cm, AC  4cm, BC  5cm Tính d(A;(SBC)) Giải * Trong tam giác ABC ta có AB  AC  BC tam giác vuông A S Trong tam giác ABC hạ AE  BC (1) H Ta phải chứng minh: AH  BC Thậtvậy BC  AE , BC  SA  BC   SAE   BC  AH   A C Từ (1) (2) suy ra: AH   SBC  Vậy d(A;(SBC))=AH E * Tính AH - Trong tam giác vuông ABC ta có 1   2 AE AB AC B - Trong tam giác vuông SAE ta có: 1 1 1  2  2  2 AH SA AE SA AB AC  d  A;  SBC    AH  SA.SE SA  SE  34 17 Ví dụ : Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến  Trên  lấy hai điểm A, B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với  AC=BD=AB Tính khoảng cách từ A đên (BCD) theo a GV: ĐỖ BÁ THÀNH 24 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Giải - Trong tam giác ABC, hạ AH  BC (1) - Ta cần chứng minh AH  BD Thật BD  AB ( BD   ), BD  AC  BD   ABC   BD  AH (2) - Từ (1) (2) ta có AH   BCD  Vậy d(A, (BCD))=AH - Tính AH: tam giác ABC vuông A, AH đường cao ứng với cạnh huyền AB AC 1    AH  2 AH AB AC 2 AB  AC a Vậy d  A,  BCD    AH  2  a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác cân S mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc  Tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD) Giải - Gọi H trung điểm AB suy SH  AB  HS  (ABCD) Suy H chân đường cao hạ từ S hình chóp - SH  (ABCD)  CH hình chiếu SC xuống mặt phẳng (ABCD) Vậy góc SC   đáy góc SCH - Gọi I hình chiếu H xuống DK, HI  SK (1) - Gọi K trung điểm CD Ta có HK  CD Ta cần chứng minh IH  CD, CD  HK,CD  SH  CD   SHK   CD  IH (2) Từ (1) (2) suy ra: HI  (SCD) Vậy HI khoảng cách từ H đến mp(SCD) - Trong tam giác vuông BHC vuông B HC  BH  BC  a Tam giác SHC vuông H  SH  HC tan   a tan  Trong  SHK vuông với HK = a , ta có: GV: ĐỖ BÁ THÀNH 25 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH 1 tan   a tan      HI  2 2 HI SH HK 5a.tan  tan   b Bài tập tự luyện: Bài (Bài 62-SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, Aˆ  900 , BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc mp(SBC) mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCB) Bài (Câu IV-để thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết ˆ  300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a SB  2a va SBC Phương pháp đổi điểm: Tính khoảng cách từ M đến (P) Nếu điểm A chân đường vuông góc (ta gọi điểm dễ) Việc tính khoảng cách từ điểm dễ đến mặt phẳng trình bày thông qua hai mẫu Phương pháp đổi điểm thay tính khoảng cách từ điểm khó đến (P) ta chuyển tính khoảng cách từ điểm dễ đến mặt phẳng (P) sau suy khoảng cách cần tìm thông qua hệ thức tỉ lệ - Để sử dụng thạo phương pháp đổi điểm làm cần tìm điểm dễ sau xem toán thuộc trường hợp trường hợp sau: TH1: Nếu AM//(P) d(M;(P))=d(A;(P)) TH2: Nếu AM không song song với (P) A,M phía với (P) Gọi I giao điểm AM (P) Vậy: d  M ;  P  d  A;  P    MI AI  d  M ;  P   MI d  A;  P   AI TH3: Nếu AM không song song với (P) A,M hai phía với (P) - Gọi I giao điểm AM (P) Vậy: d  M ;  P  d  A;  P    MI MI  d  M ;  P   d  A;  P   AI AI a Các ví dụ: GV: ĐỖ BÁ THÀNH 26 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Ví dụ 1: (ĐH 2013B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phảng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Giải * Xác định khoảng cách; - Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB tam giác nên ta có SH  AB , mặt khác giả thiết:  SAB    ABCD   SH   ABCD  - Ta có AH//(SCD)  d  A;  SCD    d  H ;  SCD   - Goi I trung điểm CD, ta có HI  CD , SA  CD  CD   SHI  - Trong tam giác vuông SHI hạ HK  SI (1) Do CD   SHI   HK  CD (2) Từ (1) (2) ta có: HK   SCD  d  H ;  SCD    HK * Tính khoảng cách HK: - Trong tam giác vuông SHI, ta có 1   2 HK SH HI - Với SH đường trung tuyến tam giác nên SH  a HI  BC  a 21  HK   a 2 SH  HI a2  a2 a 21 Vậy: d  A;  SCD    SH HI a.a Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a Cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm cạnh BC , E trung điểm BB’ Tính khoảng cách từ B’ đến (AME) Giải - Vì E trung điểm BB’  d  B ';  AME   d ( B; ( AME ))  B'E BE Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi vuông góc - Hạ BK  AM , ta có AM  BE  AM   BEK  -Trong tam giác BEK hạ BH  EK (1) mặt khác AM   BEK   BH  AM (2) GV: ĐỖ BÁ THÀNH 27 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH -Từ (1) (2)  BH   AME  1 1 1      2 2 BH BE BK BE BM BA2 1     2 a a a a a  BH   Vậy khoảng cách từ B đến mp(AME) a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ trung điểm M SC tới mặt phẳng (ABCD) b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ suy khoảng cách từ O đến mp (SBC) c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mp (SAC) Giải a) Ta có MO // SA  MO vuông góc (ABCD)  d ( M ;( ABCD))  MO  a SA  2 b) Nhận xét BC  AB   BC  SA   BC  ( SAB )   SAB   ( SBC ) Hạ AH vuông góc với SB  AH  ( SBC )  d ( A;( SBC ))  AH Trong  SAB vuông A ta có 1 1  2    2 2 AH SA AB 3a (a 3) a  AH  a Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) a Vì AO  ( SBC ) = C nên GV: ĐỖ BÁ THÀNH 28 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH d (O; ( SBC )) OC 1 a    d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC ))  AH  d ( A; ( SBC )) AC 2 c) Vì BG  ( SAC ) = N nên d (G;( SAC )) GN 1    d (G;( SAC ))  d ( B;(SAC )) d ( B;( SAC )) BN Ta có ( BAC )  ( SAC ), BO  AC a 2 a  d (G;( SAC)  BO   d ( B;( SAC ))  BO  b Bài tập tự luyện: Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến nặt phẳng (IBC) Bài 2: (Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD  3a , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) III BÀI TOÁN Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách mặt phẳng song song Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến (  ) với d // (  ) (hoặc khoảng cách từ (  ) đến (  ) với (  )//(  )) ta tiến hành theo bước: B1: Chọn điểm A d (hoặc điểm A (  )) cho khoảng cách dễ tính B2: Kết luận d (d ;( ))  d ( A;( )) (hoặc d (( );(  ))  d ( A;(  )) ) a Một số ví du:: Ví dụ 1: Cho hình hộp thoi ABCD A’B’C’D’có tất cạnh a  '  DAA '  600 Tính khoảng cách mặt phẳng đáy (ABCD) và BAD  BAA (A’B’C’D’) Giải Từ giả thiết suy tam giác A’AD, BAD, A’AB tam giác Suy tứ diện A’ABD tứ diện Khi hình chiếu A’ mp(ABCD) trọng tâm H  ABD Suy khoảng cách mp(ABCD) mp(A’B’C’D’) độ dài A’H GV: ĐỖ BÁ THÀNH 29 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Ta có: a 3 2a A ' H  AA '  AH  a       2 2 Vậy khoảng cách hai mặt phẳng đáy hình hộp A’H = A ' H  a Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’có đáy tam giác cạnh a mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 600 Tính khoảng cách mặt phẳng đáy (ABC) (A’B’C’) Giải - Gọi H hình chiếu A xuống đáy (ABC) - Từ H hạ HM, HP, HP vuông góc với B’C’, A’C’, A’B’ Ta dễ dàng chứng minh AM  B ' C ', AN  A ' C ', AP  A ' B ' Do đó, góc mặt phẳng (AA’B’), (AA’C’), (AB’C’) tạo với mặt đáy góc  AMH ,  ANH ,  APH , từ ta có AMH  ANH  APH  HM  HN  HP hình chiếu A tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ ( tam giác nên tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp) AH  , mà HM a a a a HM    AH   2 3 - tam giác AMH , ta có tan  AMH  Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD=2a Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC) Giải GV: ĐỖ BÁ THÀNH 30 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Vì tứ giác ABCD nửa lục giác đường kính AD  DA//BC  AD// (SBC)  d ( AD;(SBC))  d ( A;(SBC)) Hạ AK vuông góc với BC ta BC  AK    BC   SAK    SAK    SBC  BC  AS  Hạ AH vuông góc với SK suy AH   SBC   d  A;  SBC    AH Do ABCD nửa lục giác đường kính AD = 2a   AK  BO  a 1 1  2  2 AH SA AK a  AH     a 3      2a 2 a Vậy khoảng cách từ AD đến mp(SBC) a b Bài tập tự luyện: Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA vuông góc với đáy (ABC) Biết AC=2a, SA=a Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, SB a) tính khoảng cách từ MP đến mặt phẳng (SAC) b) Tính khoảng cách từ (MNP) đến (SAC) Phần IV KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa đoạn vuông góc chung: Đoạn MN gọi đoạn vuông chung d d’ MN  d   MN  d ' M  d , N  d '  GV: ĐỖ BÁ THÀNH 31 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH 2.Định nghĩa khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Thế khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau? Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo d d’ kí hiệu d(d,d’) độ dài đoạn vuông góc chung MN Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: - Xác định đoạn vuông góc chung - Tính độ dài đoạn vuông góc chung Chú ý: Khi hai đường thẳng d d’ vuông góc với nhau, ta thường dùng cách Cách 2: - Dựng ( tìm ) mặt phẳng trung gian (P) chứa d song song với d’ - Khi khoảng cách từ d đến d’ khoảng cách từ điểm M d’ đến (P) - Khi đó: d  d ; d '  d  M ;  P    MH Cách 3: - Dựng mặt phẳng trung gian (P) chứa d vuông góc với d’ - M  d '  P  Từ I kẻ MH  d Vậy ta có: MH  d ', MH  d Nên MH đoạn vuông góc chung d d’ II Bài tập minh họa Bài Cho chóp tứ giác ABCD đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên a Tính khoảng cách hai đường AD SB Giải GV: ĐỖ BÁ THÀNH 32 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Cách : tính trực tiếp gọi I trung điểm AD, d(AD;SB)=d(I;(SBC)) Cách 2: AD//BC nên AD //(SBC) d(AD ;SB)=d(AD ;(SBC))=d(A;(SBC))sb vầ Chú ý: Trong toán này, ta có mặt phẳng trung gian (SBC) (SBC) chứa SB song song với AD Bài (KA-2010) Cho chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a, gọi M N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH   ABCD  , SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Giải - Kẻ HK  SC  K  SC  - Dễ chứng minh CN vuông góc với DM,vì:   DNC   90o     90o DCN ADM  DNC   NHC ADM  DCN  :     90 o DM  CN    DM   SHC  DM  SH   DM  HK Vậy: DM  HK ; SC  HK  d  DM ; SC   HK 1   , Mặt khác: tam giác DNC vuông D DH đường cao nên ta 2 HK HC SH 1 a2 có     DH  DH DN DC a -Ta có Ta có : HC  DC  DH  HC  a   HK  a a2 12 19 Chú ý : Trong toán DM SC vuông góc với Do theo hai hướng : xác định trực tiếp đoạn vuông góc chung cách trên, xác định mặt phẳng trung gian (SCN) chứa SC vuông góc với DM làm theo cách Bài (KB 2007) Chóp tứ giác SABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD, tính khoảng cách MN AC GV: ĐỖ BÁ THÀNH 33 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Giải a MN  BD Gọi K trung điểm SA, tứ giác MKCN hình bình hành Vậy MN//CK (1) - Ta có BD  AC , BD  SH  BD   SAC   BD  CK (2) - Từ (1) (2) ta có : MN  BD b Tính khoảng cách MN AC - Vì MN//(SAC) nên d(MN ;AC)=d(MN,(SAC))=d(N ;(SAC)) - Từ gọi K hình chiếu N AC ta có : NK  AC    NK   SAC   d  N ;  SAC    NK NK  SHNK  * Tính NK : NK  BH a2  a2 a   2 Bài Cho tứ diện ABCD, AB=a, tất cạnh lại 3a Tính khoảng cách hai đường chéo AB CD Giải - gọi M, N trung điểm AB CD - Ta có ANB cân N AN=BN M trung điểm AB nên suy : MN  AB (1) Tương tự ta chứng minh MN  CD (2) Từ (1) (2) suy MN đoạn vuông góc chung 2  3 a MN  BN  BM   3a       2 GV: ĐỖ BÁ THÀNH 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH III Bài tập rèn luyện Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C (ĐH Khối D 2008) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=2a Hai mặt phẳng (SAC) (SBC) vuông góc với đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc tạo bới (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp SBCMN khoảng cách hai đường thẳng AB SN (ĐH Khối A 2011) Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giac vuông a, AB=a, AC=2a, AA’=a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy, góc tạo bới SC (SAB) 30o Gọi E, F trung điểm BC SD Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DE CF Bài V  a3 a , d  AM ; B ' C   Bài V  a 3, d  AB; SN   Bài d  AB '; BC   2a 39 13 2a Bài Thiết lập mặt phẳng trung gian (FCI) song song với DE - khoảng cách DE CF khoảng cách từ D đến (FCI) Và ta việc đổi điểm sang tính khoảng cách từ điểm dễ H đến (FCI) làm việc khối chóp F.HCI - ĐS : HR  3a 31 31 E BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài (Khối A, A1 2014) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD= 3a Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) GV: ĐỖ BÁ THÀNH 35 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Bài ( khối B 2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 60o Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) Bài ( Khối A,A1 2013) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông A  ABC  60o , SBC tam giác cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy TÍnh khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Bài 4.( Khối B 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài ( Khối D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA   120o , M trung điểm cạnh BC SMA   45o Tính khoảng vuông góc với đáy, BAD cách từ D đến (SBC) Bài ( Khối D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a TÍnh khoảng cách từ A đến mặt phằng (BCD’) Bài (Khối A, A1 2012) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc c S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài 8.(Khối D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a TÍnh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Bài 9.(Khối A 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc (SBC) (ABC) 60o , Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 10.(Khối B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD  a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 60o , Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a Bài 11 (ĐH Vinh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vuông S, Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA=3HD Gọi M trung điểm AB, biết SA  2a đường thẳng SC tạo với đáy góc 30o Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Bài 12 (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , góc (SBD) đáy 60o , Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD GV: ĐỖ BÁ THÀNH 36 ... www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Vấn đề 4: Khoảng cách A.Kiến thức cần nhớ I BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 1.Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm... - www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH (ABCD) H Góc hợp cạnh bên mặt đáy  góc A ' AH   * Tính thể tích khối chóp: Trong tam giác ABD: a a AH   3 Trong tam giác vuông... www.toanmath.com CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH – GÓC – KHOẢNG CÁCH Vấn đề 3: Góc toán liên quan A.Kiến thức cần nhớ Góc hai đường thẳng: a Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’