Chuyên đề diện tích tam giác

DIỆN TÍCH TAM GIÁC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT * Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao tương ứng * Lưu ý: S a.h - Nếu hai tam giác có cạnh tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số chiều cao tương ứng - Nếu hai tam giác có đường cao tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số cạnh tương ứng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Tính tốn, chứng minh diện tích tam giác Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Chứng minh SAMB = SAMC Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, BN, CP cắt trọng tâm G Chứng minh: a) SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA; b) Các tam giác GAB, GBC GCA có diện tích a) Tính diện tích tam giác cân có cạnh bên a cạnh đáy b b) Tính diện tích tam giác có cạnh a Cho tam giác ABC có đáy BC = 60 cm, chiều cao tương ứng 40 cm Gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB, AC Tính diện tích tứ giác BDEC Dạng Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác Phương pháp giải: Từ công thức S  2S 2S h  a.h , suy a  h a Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy BC = 60 cm, đường cao AH = 40 cm Tính đường cao tương ứng với cạnh bên TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Một tam giác cân có đường cao ứng vói cạnh đáy 15 cm, đường cao ứng với cạnh bên 20 cm Tính cạnh tam giác (chính xác đến 0,1 cm) Dạng Sử dụng cơng thức tính diện tích để chứng minh hệ thức Phương pháp giải: Phát quan hệ diện tích hình sử dụng cơng thức tính diện tích Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh: AH.BC = AB.AC Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh HD HE HF    AD BE CF Dạng Tìm vị trí điểm để thỏa mãn đẳng thức diện tích Phương pháp giải: Dùng cơng thức tính diện tích dẫn đến điều kiện vị trí điểm, thường liên quan đến khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho tam giác ABC Hãy vị trí điểm M tam giác cho SMAB + SMAC =SMBC 10 Tam giác ABC có BC = cm Lấy điểm M cạnh AC cho AM = AC Xác định vị trí điểm N BC cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp lần diện tích MNC Dạng Tìm diện tích lớn nhỏ hình Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhỏ cùa hình, ta sử dụng mối quan hệ đường vng góc đường xiên Lưu ý: - Nếu diện tích hình ln nhỏ số M tồn vị trí hình để diện tích M M diện tích lớn hình - Nếu diện tích hình ln lớn số m tồn vị trí hình để diện tích m m diện tích nhỏ hình 11 Tìm diện tích lớn tam giác ABC có AB = 3cm, BC = ịcm 12 Tính diện tích lớn tam giác vng ABC có cạnh huyền BC = a TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Kẻ đường cao AH Ta có: SAMB = SAMC = BM.AH CM.AH Mà BM = CM (gt)  SAMB = SAMC (ĐPCM) a) Tam giác AGP PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G AP = PB nên SAGP = SPGB Tương tự, ta có: SBGM = SMGC SCGN = SNGA Vì G trọng tâm ABC  AG = 2GM  SBGM = SABG  SBGM = SAGP = SPGB Chứng minh tương tự, ta suy được: SAGP = SPGB = SBGM = SMGC = SCGN = SNGA b) Sử dụng kết câu a) ta có diện tích tam giác SABC, từ suy ĐPCM a) Kẻ đường cao AH  BH = HC = b Áp dụng định lý Pytago tam giác vng AHB, tính AH  4a  b 2 Vậy S ABC  b 4a  b b) Ta có: BK = KC = a TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Tính AK  Vậy S ABC  a 3 a 4 S ABC  60.40  1200cm 2 Chứng minh: S ACD  S BCD  Vậy S BDEC  S BCD  S DEC  S ABC 3 S ABC  1200  900cm 4 BH  HC  BC  30cm Áp dụng định lý Pytago tam giác vng AHC, tính AC = 50cm Ta có: S ABC  1 BC AH  AC.BK 2  AC.BK = 2400  BK = 48cm S ABC  1 AH BC  BK AC 2  15 BC  20 AC  BC   BH = HC = AC AC Áp dụng định lý Pytago tam giác vng ACH, ta có: AC2 = AH2 + CH2 = 152 + AC2 Tính AC = AB = 20,1cm BC = 26,8cm S ABC  1 AH BC  AB AC 2  AH.BC = AB.AC (ĐPCM) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com S BHC  HD.BC S ABC   AD.BC S BHC HD  S ABC AD (1) Chứng minh tương tự, ta có: S AHC HE S HF AHB   S ABC BE S ABC CF Từ (1) (2), suy (2) HD HE HF    (ĐPCM) AD BE CF Vẽ AH  BC, MK  BC S MBC  S MAB  S MAC   MK  S ABC AH Vì M khơng nằm ngồi tam giác nên M nằm đoạn thẳng EF//BC cách BC khoảng AH 10 Vẽ MH  BC, BK  AC SAMNB = 3SMNC  SABC = 4SMNC Ta có: S ABC AC   S BMC MC S BMC BC S    ABC  S MNC NC NC S MNC NC Mà SABC = 4SCMN  NC = 2,25 11 Ta có: S ABC  AH BC Mà AH  AB  S ABC  AB.BC  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vậy diện tích lớn ABC 6cm2 Dấu "=" xảy  AH  BC  ABC vuông B 12 Đặt BC = a, AC = b, AB = c Ta có: a  b  c bc  b2  c2 1 b2  c2 a2  S ABC  bc   2 Vậy diện tích lớn tam giác ABC a2 Dấu "=" xảy  b = c  ABC vuông cân A B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Một hình chữ nhật có kích thước 6m 2m Một hình tam giác có cạnh 5m, 5m, 6m Chứng minh hai hình có chu vi diện tích Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc, AC  16cm, BD  10cm Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  12 cm , AD  6, cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có CD = 4cm, BC = 3cm Gọi H hình chiếu C BD Tính diện tích tam giác ADH Bài 5: Hai hình vng có hiệu hai cạnh 3m hiệu diện tích 69m Tính cạnh hình vuông Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Biết AD  3cm, DC  5cm Tính diện tích tam giác ABC Bài 7: Trong hình chữ nhật có chu vi 100m, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 8: Tính diện tích tam giác vng có cạnh huyền 26m, hiệu hai cạnh góc vng 14m Bài 9: Cho tam giác ABC cân A, BC  15cm, đường cao AH  10cm Tính đường cao ứng với cạnh bên Bài 10: Tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD, AB  10cm , AC  15cm Tính diện tích hình vng có đường chéo AD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A, AB  a , AC  b , đường cao AH Ở phía ngồi tam giác vẽ hình vng ABDE, ACFG, BCIK a) Tính diện tích tam giác DBC b) Chứng minh AK  DC c) Đường thẳng AH cắt KI M Tính diện tích tứ giác BHMK , CHMI , BCIK Bài 12: Tam giác ABC có AB  10cm, AC  17 cm, BC  21cm a) Gọi AH đường vng góc kẻ từ A đến DC Tính HC  HB HC  HB b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 13: Cho điểm M nằm ABC Các tia AM , BM , CM cắt cạnh đối diện D, E , F Chứng minh MD ME MF   1 AD BE CF HƯỚNG DẪN Bài 1: Chu vi hình chữ nhật chu vi hình tam giác 16m Diện tích hình chữ nhật diện tích hình tam giác 12m Bài 2: EFGH hình chữ nhật, có EF  8cm, EH  5cm Diện tích hình chữ nhật EFGH 40cm Bài 3: a) ABCD hình chữ nhật nên SBCD  SABCD = AB.AD= 12.6,  40, 8cm TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 E trung điểm CD, suy ra: S BDE  SBCE  S BCD  20, 4cm b) H trung điểm BC  SCHE  S BCE  20,  10, 2cm 2 K trung điểm CE  SHKC  SCHE  5,1cm I trung điểm CH  SCKI  S HKC  2, 55cm Vậy SEHIK  SCHE  SCIK  10,2  2, 55  7, 65cm Bài 4: Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng BCD , ta có BD2  BC  CD2  32  42  25  52 nên BC  5cm CH  2S BCD BD  BC  CD 3.4   2, cm BD Xét tam giác vuông CDH, ta có DH  CD2  CH  42  2, 42  10, 24  3.22 nên DH  3, 2cm Kẻ AK  BD Ta có S S ADH  ABD  SCBD nên AK  CH  2, 4cm Vậy 1 DH  AK   3,2.2,  3, 86 (cm2) 2 Bài 5: Gọi a b cạnh hình vng Ta có a  b  a  b  69, a  b2 a b    23 a b Biết tổng a  b  23 , a  b  ta tính a  13;b  10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1  B  )nên Bài 6: Kẻ DH  BC Ta có HBD  ABD (cạnh huyền BD chung, góc nhọn B DH  AD  3cm BH  AB Áp dụng định lý Py-ta-go vào DHC vng, ta có HC  DC  DH  52  32  42, nên HC  4cm Đặt AB  BH  x Áp dụng định lý Py –ta-go vào ABC vng, ta có BC  AB  AC nên (x  4)2  x  82  x  Diện tích ABC 1 AB.AC  6.8  24cm2 2 Bài 7: Gọi kích thước hình chữ nhật x(m), kích thước 50  x(m) Diện tích hình chữ nhật bằng: S  x (50  x )  x  50x  (x  25)2  625  625 Giá trị lớn S 625 x  25 Vậy diện tích lớn hình chữ nhật 625 m2 , hình chữ nhật hình vng có cạnh 25m Bài 8: Gọi a, b cách cạnh góc vng Ta có a  b  14 a  b  262  676 1 Từ a  b  14 suy (a  b)2  142, tức a  b  2ab  196 2 Từ 1 2 suy 2ab  676  196  480 Diện tích tam giác vng ab 480   120m A Bài 9: Tam giác ABC cân A Đường cao AH nên K BH  HC  BC :  15 :  7,5  cm  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AHC ta có AC  AH  HC  102  7,52  156.25  12, 52 ; suy AC  12,5 cm TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B H C S ABC  1 BC AH  15.10  75 cm 2   Kẻ BK  AC , ta có BK  2S ABC : AC  2.75 :12,5  12  cm  Bài 10: Kẻ DH  AB, DK  AC Điểm D thuộc tia phân giác góc A nên DH  DK Đặt DH  DK  x , ta có A S ABC  S ADB  S ADC 1 1  AB.x  AC.x  10.x  15.x  12,5 x 1 2 2 Mặt khác S ABC 1  AB AC  10.15  75 2  2 H K B C D Từ 1   suy 12, x  75 Do x  75 :12,5   G  S AHDK  62  36 cm E F Bài 11: a) S DBC A a2  S ADBE  2 b D a B C H b) ABK  DBC  c.g.c   AK  DC C) S BHMK  S ABK  S DBC  a K M I Chứng minh tương tự, SCHMI  S ACFG  b Vậy S BICK  a  b Lưu ý Bài toán cho ta cách chứng minh định lý Py-ta-go: Nếu ABC vuông A BC  AB  AC 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 12: A a) Đặt HC  x, HB  y Ta có:    x  y  AC  AH  AB  AH   AC  AB  17  10  189 Do đó: x  y  17 10 B y x y 189  9 x y 21 2 b) Biết tổng  x  y  hiệu  x  y  ta tính y  cm , từ AH  cm Đáp số: S ABC  84 cm Bài 13: Ta có: Và S BMD MD ( BMD BAD có chung đường cao kẻ từ B )  S BAD AD SCMD MD ( CMD CAD có chung đường cao kẻ từ C )  SCAD AD Suy ra: MD S BMD SCMD S BMD  SCMD S MBC     AD S BAD SCAD S BAD  SCAD S ABC Chứng minh tương tự: Suy ra: S MAC ME S MAB MF  ;  S BAC BE SCAB CF S  S MAC  S MAB S MD ME MF    MBC  ABC  (đpcm) AD BE CF S ABC S ABC ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x H 21 C ... M M diện tích lớn hình - Nếu diện tích hình lớn số m tồn vị trí hình để diện tích m m diện tích nhỏ hình 11 Tìm diện tích lớn tam giác ABC có AB = 3cm, BC = ịcm 12 Tính diện tích lớn tam giác. .. Tính diện tích tam giác ADH Bài 5: Hai hình vng có hiệu hai cạnh 3m hiệu diện tích 69m Tính cạnh hình vng Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Biết AD  3cm, DC  5cm Tính diện tích. .. Tính diện tích tứ giác EFGH Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  12 cm , AD  6, cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác